2020届高三下学期第一次月考数学（文）试题（解析版）

2020 届高三下期第一次月考数学（文）试题卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若全集 ，集合 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出集合 A，再按补集的定义求解即可. 【详解】解不等式 ，得 ，所以 ，故 . 故选：B. 【点睛】本题考查补集的定义及求法，属于基础题. 2.已知 为虚数单位，则 等于（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 按照复数的运算法则和等比数列的前 项和计算即可. 【详解】 . 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，考查等比数列的前 项和，考查计算能力，属于基础题. 3.已知椭圆 分别过点 和 ，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 { }1 4U x x= − ≤ ≤ 1 3 273 xA x  = ≤ ≤    UC A [ ]1,3− ( ]3,4 [ ]3,4 ( )3,4 1 3 273 x≤ ≤ 1 3x− ≤ ≤ { }1 3A x x= − ≤ ≤ ( ]3,4UC A = i 2 3 2019i i i i+ + +⋅⋅⋅+ i− n 2 3 2019 2019 2 2(1 ) (1 ) (1 ) 11 1 (1 )(1 ) i i i i i i ii i i ii i i i+ + +⋅⋅⋅ − + += = = = = −− − − ++ n 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )2,0A ( )0, 1B − 3 2 3 5 2 5由题意可得 a2＝4，b2＝1，利用隐含条件求得 c，则 2c 即为所求． 【详解】由题意可得 ， ，所以 a2＝4，b2＝1， 所以 ，从而 . 故选 B 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础题． 4.中国铁路总公司相关负责人表示，到 2018 年底，全国铁路营业里程达到 13.1 万公里，其中高铁营业里程 2.9 万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是 2014 年到 2018 年铁路和高铁运营里程（单位：万公 里）的折线图，以下结论不正确的是（ ） A. 每相邻两年相比较，2014 年到 2015 年铁路运营里程增加最显著 B. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程与年价正相关 C. 2018 年高铁运营里程比 2014 年高铁运营里程增长 80%以上 D. 从 2014 年到 2018 年这 5 年，高铁运营里程数依次成等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】 由折线图逐项分析即可求解 【详解】选项 ， 显然正确； 对于 ， ，选项 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9 不是等差数列，故 错. 故选 D 【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题 5.若 ，则 （ ） 2a = 1b = 4 1 3c = − = 2 2 3c = A B C 2.9 1.6 0.81.6 − > C D 3 4tan 4 3 πθ − = −   tan 2θ =A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由两角差的正切求得 ，再利用二倍角公式求解即可 【详解】因为 ，所以 ，解得 ，从而 . 故选 C 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查两角差的正切及二倍角公式，考查运算求解能力，是基础题 6.等差数列 前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ） A. 57 B. 60 C. 63 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式及性质求出 a3，再利用等差数列通项公式求出 a1，d，由此能求出{an}的前 n 项 和公式，进而求得 ． 【详解】因为 ，所以 ， 又 ，解得 ， ， 设数列 的公差为 ，所以 ， 解得 ，所以 ，从而 . 故选 C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，是基础题，注意等差数列性质的合理运 用． 7.已知一个圆柱的轴截面是面积为 36 的正方形，则这个圆柱的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的 7 25 − 7 25 7 24 − 7 24 tan 7θ = 3 4tan 4 3 πθ − = −   tan 1 4 1 tan 3 θ θ + = −− tan 7θ = 2 2tan 7tan2 1 tan 24 θθ θ= = −− { }na n nS 3 6 20a a+ = 5 35S = 7S = 7S ( )1 5 3 5 3 5 5 2 5 352 2 a a aS a + ×= = = × = 3 7a = 3 6 20a a+ = 3 7a = 6 13a = { }na d 6 3 3 6a a d− = = 1 3 2 a d =  = 2 2nS n n= + 7 63S = 36π 27π 18π 12π【分析】 由轴截面求得圆柱的高和底面圆半径，再计算圆柱的侧面积． 【详解】设底面圆的半径为 ，则高为 ， 由 ，得 ， ∴ . 故选 A. 【点睛】本题考查了圆柱的轴截面与侧面积的应用问题，是基础题． 8.若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A. B. C. -2 D. 【答案】B 【解析】 分析】 作出不等式组对应平面区域，利用 z 的几何意义即可得到结论． 【详解】画出不等式组表示的可行域， 表示通过可行域内的点 与坐标原点的直线的斜率， 又 解得 C ， 由图可知： 【 r 2r 2 2 36r r⋅ = 2 9r = 22 2 4 36S r r rπ π π= ⋅ = =侧面 x y 1 0 3 0 2 0 x y x y x + − ≤  − + ≤  + ≥ y x 1 3 − 1 2 − 3 2 − y x ( ),x y 3 0 2 0 x y x − + =  + = ( )2,1−点 C 与坐标原点 的连线斜率最大，即 . 故选 B 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，以及直线的斜率公式是解决本题的关键． 9.在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面直线 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件可看出 ，则 为异面直线 与 所成的角，可证得三角形 中， ， 解得 从而得出异面直线 与 所成的角． 【详解】连接 ， ，如图： 又 ，则 为异面直线 与 所成的角. 因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ， ∴ ， 又 ， ，∴ ， ∴ ，解得 . 故选 C 【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理 能力，属于基础题． ( )2,1− ( )0,0 max 1 1 2 2 y x   = = −  −  1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = 1AC 1 1A B 30° 45° 60° 90° 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B 1BAC 1AB BC⊥ 1tan BAC∠ ， 1AC 1 1A B 1AC 1BC 1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B 1AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2 1 2 2 2 2 3BC = + = 1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = °10.已知函数 有唯一零点，则实数 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 通过转化可知问题等价于函数 的图象与函数 的图象只有一个交点求 的值， 分 ， ， 三种情况，结合函数的单调性分析可得结论. 【 详 解 】 函 数 有 唯 一 零 点 ， 等 价 于 函 数 的 图 象 与 函 数 的图象只有一个交点， 当 时， ，此时有两个零点，不满足题意； 当 时，由于 在 上单调递减，在 上单调递增，且 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 的图象最低点为 ，函数 的图象最低点为 ，由于 ，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意； 当 时，由于 在 上单调递减，在 上单调递增，且 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数 的图象最低点为 ，函数 的图象最低点为 ，若两函数 只有一个交点，则 ，即 . 故选：D. 【点睛】本题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考查了转化与划归的思想，考查逻辑思维能力和计 算能力，属于中档题. 11.已知抛物线 ： 的焦点为 ，且 到准线 的距离为 2，直线 与抛 物线 交于 两点（点 在 轴上方），与准线 交于点 ，若 ，则 （ ）. A. B. C. D. 2 2 2( ) 4 ( )x xf x x x m e e− −= − + + + m = 1 2 − 1 2 2− 2 4y x x= − 2 2( )x xy m e e− −= + m 0m = 0m > 0m < 2 2 2( ) 4 ( )x xf x x x m e e− −= − + + + 2 4y x x= − 2 2( )x xy m e e− −= + 0m = 2 24 ( 2) 4 4y x x x= − = − − ≥ − 0m > 2 24 ( 2) 4y x x x= − = − − ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2 2( )x xy m e e− −= + ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2 4y x x= − (2, 4)− 2 2( )x xy m e e− −= + (2,2 )a 2 0 4a > > − 0m < 2 24 ( 2) 4y x x x= − = − − ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2 2( )x xy m e e− −= + ( ,2)−∞ (2, )+∞ 2 4y x x= − (2, 4)− 2 2( )x xy m e e− −= + (2,2 )a 2 4a = − 2a = − C 2 0)2 (y px p= ＞ F F l 1 : 5 0l x my− − = C ,P Q P x l R 3QF = QRF PRF S S ∆ ∆ = 5 7 3 7 6 7 9 7【答案】C 【解析】 设 ，易知 .由题意知 ，则抛物线 .因为 ，所以 ， 又 ， 得 （ 负 值 舍 去 ）， ， 联 立 ， 得 ，故 ，所以 ，故 ，过点 作 垂直于准线 ， 垂 足 为 ， 过 点 作 垂 直 于 准 线 ， 垂 足 为 ， 易 知 ， 故 ，故选 C． 12.设奇函数 的定义域为 ，且 的图像是连续不间断， ，有 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 g（x） ，通过研究导函数及函数 的奇偶性，可判断 g（x）在 x∈ 上为奇函数且单 调递减，利用性质解得不等式即可． 【详解】令 ，则 . 因为 ，有 ， ∴当 时， ，则 在 上单调递减. 又 是定义域在 上的奇函数，∴ ， 则 也是 上的奇函数并且单调递减. 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 1 20, 0y y> < 2p = 2: 4C y x= | | 3QF = 2 2 2 2( 1) 9x y− + = 2 2 24y x= 2 2x = 2 2 2y = − 2 5 0 4 x my y x  − − = = 2 4 4 5 0y my− − = 1 2 4 5y y = − 1 10y = 1 5 2x = P PP′ : 1l x = − P′ Q QQ′ : 1l x = − Q′ RQQ RPP′ ′ ∽ 3 6 7 7 2 QRF PRF S QR QQ S PR PP = = ′ =′ =  ( )f x ,2 2 π π −   ( )f x ,02x π ∀ ∈ −   ( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ( ) 2 cos3f m f m π <    m ,2 3 π π −   0, 3 π     ,2 3 π π − −   ,3 2 π π     ( )f x cosx = ( )f x ,2 2 π π −   ( ) ( ) cos f xg x x = ( ) ( ) ( ) 2 cos sin cos f x x f x xg x x +′′ = ,02x π ∀ ∈ −   ( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + < ,02x π ∈ −   ( ) 0g x′ < ( ) ( ) cos f xg x x = ,02 π −   ( )f x ,2 2 π π −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos cos f x f xg x g xx x −− = = − = −− ( ) ( ) cosx f xg x = ,2 2 π π −  又 等价于 ， 即 ，∴ ， 又 ， ∴ . 故选 D 【点睛】本题考查了运用导数判断函数的单调性及应用，考查了函数奇偶性的应用，考查了构造法的技巧， 属于中档题． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知 ，则 ______. 【答案】8 【解析】 【分析】 根据分段函数的定义直接求解即可. 【详解】 . 故答案为：8. 【点睛】本题考查分段函数求值问题，属于基础题, 14.西周初数学家商高在公元前 1000 年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉 斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数.现从 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这几组勾股数中随机抽取 1 组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用古典概型定义直接求解即可. ( ) 2 cos3f m f m π <    ( ) 3 cos cos 3 ff m m π π    < ( ) 3g m g π <    3m π> 2 2m π π− < < 3 2m π π< < ( ) 2 , 0 1, 0 xe xf x x x − >=  − 2y x= + p ( )2,4A ( ),0p m B C AB AC求实数 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）联立拋物线与直线的方程，利用 解得 p 即可. （2）设 ， ，将 表示成关于 的表达式，设出过点 的动直线的 方程，代入抛物线方程，结合韦达定理化简得到 ，满足 时符合题意，解 之即可. 【详解】（1）由 ，得 ，代入 ，得 ， 因为拋物线 与直线 相切， 所以 ，解得 . （2）设 ， ， 则 . 设过点 的动直线的方程为 ，代入 ，得 ， 所以 ， ， ， 所以 . 若 变化， 为常数，则需满足 ，解得 . 【点睛】本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查了斜率公式，考查了韦达定理的应用，考查了运 算能力，属于较难题． 21.设函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 恰有两个零点，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 m 4p = 2m = − 0∆ = ， ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y AB ACk k+ 1 2y y， ( ),0P m 8 8 4 2AB AC tk k t m ++ = + − 8 8 4 2 m = − 2y x= + 2x y= − 2 2y px= 2 2 4 0y py p− + = ( )2 2 0y px p= > 2y x= + ( )22 4 4 0p p∆ = − × = 4p = ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y ( ) ( )1 21 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 84 4 8 8 4 4 4 162 28 8 AB AC y yy yk k y y y y y y y y + +− −+ = + = + =+ + + + +− − ( ),0P m x ty m= + 2 8y x= 2 8 8 0y ty m− − = 264 32 0t m∆ = + > 1 2 8y y t+ = 1 2 8y y m= − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 8 8 8 8 4 16 4 2AB AC y y tk k y y y y t m + + ++ = =+ + + + − t AB ACk k+ 8 8 4 2 m = − 2m = − 2( ) ( 2) ln ( )f x ax a x x a R= − − − ∈ ( )f x ( )f x a (4 4ln 2, )+ +∞【分析】 （1） ，讨论 a，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论， 研究函数最值，确定零点个数即可求解 【详解】（1）因为 ，其定义域为 ， 所以 . ①当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 此时 在 上单调递减，在 上单调递增. ②当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ， 此时 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. ③当 时， ，此时 在 上单调递减. ④当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ， 此时 在 ， 上单调递减，在 上单调递增. （2）由（1）可知：①当 时， . 易证 ，所以 . 因为 ， ， . 所以 恰有两个不同的零点，只需 ，解得 . ②当 时， ，不符合题意. ③当 时， 上单调递减，不符合题意.在 ( ) ( ) ( )( )2 1 112 2 x axf x ax a x x − += − − − =′ ( ) ( )2 2 lnf x ax a x x= − − − ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( )( )2 1 112 2 ( 0)x axf x ax a xx x − += − − − = >′ 0a ≥ ( ) 0f x′ < 10 2x< < ( ) 0f x′ > 1 2x > ( )f x 10, 2      1 ,2  +∞   2 0a− < < ( ) 0f x′ < 10 2x< < 1x a > − ( ) 0f x′ > 1 1 2 x a < < − ( )f x 10, 2      1 ,a  − +∞   1 1,2 a  −   2a = − ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( )0, ∞+ 2a < − ( ) 0f x′ < 10 x a < < − 1 2x > ( ) 0f x′ > 1 1 2xa − < < ( )f x 10, a  −   1 ,2  +∞   1 1, 2a  −   0a ≥ ( ) 1 4 ln22 4 af x f − = = +  极小值 ln 1x x≤ − ( ) ( ) ( )2 22 ln 1 1f x ax a x x ax a x= − − − ≥ − − + ( ) 1 10 3 1 3a < ≤+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 6 19 121 1 03 1 3 19 1 9 1 a af a aa aa a   + +≥ ⋅ − − ⋅ + = >  + ++ +  ( )1 2 0f = > ( )f x 1 4 ln2 02 4 af −  = + + 2 0a− < < 1 1 4 ln2 02 4 af fa −   − > = + >       2a = − ( )f x ( )0, ∞+④当 时，由于 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且 ，又 ，由于 ， ， 所以 ，函数 最多只有 1 个零点，与题意不符. 综上可知， ，即 的取值范围为 . 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想， 是难题 请考生在 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 轴正半轴重合,直线 的参数方程为： （ 为参数， ），曲线 的极坐标方程为: . （1）写出曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点,直线 过定点 ,若 ，求直线 的斜率. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 ，得 ，由此能求出曲线 C 的直角坐标方程；（2）把 代入 ， 整 理 得 ， 由 ， 得 ，能求出直线 l 的斜率． 【详解】（1）曲线 C 的极坐标方程为 ，所以 . 即 ，即 . （2）把直线 的参数方程带入 得 设此方程两根为 ，易知 ,而定点 M 在圆 C 外，所以 ， ， ， ，可得 ， 2a < − ( )f x 10, a  −   1 ,2  +∞   1 1, 2a  −   1 4 ln2 02 4 af −  = + >   1 1 11 lnf a a a    − = − − −       1 10 2a < − < 1ln 0a  −        ( )f x 4 4ln2a > + a ( )4 4ln2,+ +∞ x l 2 cos sin x t y t α α = +  = t [0, )α π∈ C 4sinρ θ= C l C ,P Q l M 4 2MP MQ+ = l 2 2( 2) 4x y+ − = 1− 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ= 2 cos sin x t y t α α = +  = ( )22 2 4x y+ − = ( )2 4 cos sin 4 0t tα α+ − + = 1 2 1 2MP MQ t t t t+ = + = + 3 4 πα = 4sinρ θ= 2 4 sinρ ρ θ= 2 2 4x y y+ = ( )22 2 4x y+ − = l ( )22 2 4x y+ − = ( )2 4 cos sin 4 0t tα α+ − + = 1 2,t t ( )2,0M 1 2 1 2MP MQ t t t t+ = + = + 4 cos sin 4 2α α∴ − = cos sin 2α α∴ − = [0, )α π∈ 3 4 πα =∴ ，所以直线 的斜率为-1. 【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程 的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档 题． 23.己知 ，函数 . （1）若 ，解不等式 ； （2）若函数 ，且存在 使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）零点分段解不等式即可（2）等价于 ，由 ，得 不等式即可求解 【详解】（1）当 时， ， 当 时，由 ，解得 ； 当 时，由 ，解得 ； 当 时，由 ，解得 . 综上可知，原不等式的解集为 . （2） . 存在 使得 成立，等价于 . 又因为 ，所以 ，即 . 解得 ，结合 ，所以实数 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题 1k = − l 0a > ( )f x x a= − 2a = ( ) ( )3 5f x f x+ + ≤ ( ) ( ) ( )2g x f x f x a= − + 0x R∈ ( ) 2 0 2g x a a≥ − a { }| 2 3x x− ≤ ≤ (0,4] ( ) 2 max 2g x a c≥ − 2x a x a x a x a a− − + ≤ − − − = 2a = ( ) ( ) 1 2 , 1 3 2 1 3, 1 2 2 1, 2 x x f x f x x x x x x − < − + + = − + + = − ≤ a ( ]0,4