2020届高三下学期3月月考数学（理）试题（解析版）

高 2020 级高三下 3 月月考数学理科试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 ，所以 ，应选答案 A． 2.已知复数 ，则（ ） A. B. 的实部为 C. 的虚部为 D. 的共轭复数为 【答案】C 【解析】 分析：由题意首先化简复数 z，然后结合 z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得： ， 则 ，选项 A 错误； 的实部为 ，选项 B 错误； 的虚部为 ，选项 C 正确； 的共轭复数为 ，选项 D 错误. 本题选择 C 选项. 点睛：本题主要考查复数 运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.已知向量 ， ，则向量 ， 的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 的 { } { }| 1 2 , | 1 4,A x x B x x x Z= − ≤ ≤ = − < < ∈ A B = { }0,1,2 [ ]0,2 { }0,2 ( )0,2 { }{ | 1 2}, 0,1,2,3A x x B= − ≤ ≤ = {0,1,2}A B∩ = 2 1 iz = − + 2z = z 1 z 1− z 1 i+ ( ) ( )( ) ( )2 1 2 1 11 1 2 i iz ii i − − − −= = = − −− + − − 2z = z 1− z 1− z 1z i= − + ( )1,1a = ( )2 4,2a b+ =  a b 3 π 6 π 4 π 2 π根据所给数据求出向量 的坐标，然后代入向量夹角公式 即可得解. 【详解】因为 ， ，所以 ， 设向量 ， 的夹角为 ， 则 ， 因为 ， 所以 ，所以向量 ， 的夹角为 ， 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标表示，向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题. 4.“ ”是“ ”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案. 【详解】解：由 ，得 ， 得 ， ； 反之，由 ，不一定有 ，如 ∴“ ”是“ ”成立的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题. 5. 已知某个几何体的三视图如下图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的 体积是（ ） b cos a b a b θ ⋅=     ( )2 4,2a b+ =  ( )1,1a = ( ) ( ) ( ) ( )4,2 2 4,2 2,2 2,0b a= − = − =  a b θ 2 2 2 2 1 2 1 0 2cos 21 1 2 0 θ × + ×= = + ⋅ + 0 θ π≤ ≤ 4 πθ = a b 4 π ( ) ( )ln 2 ln 1 0a b− − − > 1a b > ( ) ( )ln 2 ln 1 0a b− − − > 2 0 1 0 2 1 a b a b − >  − >  − > − 1a b> > 1a b ∴ > 1a b > ( ) ( )ln 2 ln 1 0a b− − − > 2, 1a b= − = − ( ) ( )ln 2 ln 1 0a b− − − > 1a b >A. 288+36 B. 60 C. 288+72 D. 288+8 【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图知：该几何体是由底面圆 半径为 ，高为 的半圆柱和长为 ，宽为 ，高为 的长方 体的组合体，所以该几何体的体积是 ，故选 A． 考点：1、三视图；2、空间几何体的体积． 【易错点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的体积，属于容易题．解题时要看清楚是求表面积还 是求体积，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体的体积即 可． 6.某程序框图图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则 =( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 本题根据所要得出的结果来求判断条件，进行若干轮的循环求解，找到结束点即可. 【详解】初始条件 , ； 的 3 8 8 6 6 21V 3 8 8 6 6 36 2882 π π= × × × + × × = + 9 5 a 1S = 1K =运行第一次， ， ； 运行第二次， ， ； 运行第三次， , ； 运行第四次， ， ，要输出的值是 ， 必须条件满足，停止运行，所以判断框填 ， 故选：D. 【点睛】本题考查了补全程序框图，考查了计算能力，属于中档题. 7.圆 是心直线 的定点为圆心，半径 ，则圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由 有 ，所以直线过定点 ，则所求圆的方 程为 ，故选择 A. 8.设 是两条不同的直线， 是两个不重合的平面，有以下四个命题： ①若 且 ，则 ； ②若 且 ，则 ； ③若 且 ，则 ； ④若 且 ，则 ；其中真命题的序号是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①④ D. ①② 【答案】A 【解析】 对于命题①，直线 可以相交和异面，故是错误的；对于命题②，由二面角的定义可知直线 ，故 是正确的；对于命题③，由异面直线所成角的定义可知直线 ，故是正确的；对于命题④，直线 可以相交和异面，故是错误的，应选答案 A． 1 31 1 2 2S = + =× 2K = 3 1 5 2 2 3 3S = + =× 3K = 5 1 7 3 3 4 4S = + =× 4K = 7 1 9 4 4 5 5S = + =× 5K = 9 5 4?K > C :(2 1) ( 1) 2 0l m x m y m+ + + + = 4r = C 2 2( 2) ( 2) 16x y+ + − = 2 22 2 1) 6( ) (x y− + − = 2 2( 2) ( 2) 16x y− + + = 2 2( 2) ( 2) 16x y+ + + = ( ) ( )2 1 1 2 0m x m y m+ + + + = ( ) ( )2 2 0x y m x y+ + + + = ( )2,2− ( ) ( )2 22 2 16x y+ + − = ,m n ,α β / / , / /m nα β / /α β / /m n ,m nα β⊥ ⊥ α β⊥ m n⊥ , / /m nα β⊥ / /α β m n⊥ / / ,m nα β⊥ α β⊥ / /m n ,m n m n⊥ m n⊥ ,m n9.数列{an}满足 ，则 a1a2a3…a10=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题,当 时,得到 ,与题目中式子相减,即可得到 ,进而求 解 【详解】解：n=1 时,a1= , ∵ , ∴ 时, , 两式相减可得 2n-1an= , ∴ , n=1 时，也满足 ∴ , 故选 A 【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解 10.函数 的部分图象如图所示，则函数 的最小正周 期为 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 . ( )2 1 * 1 2 32 2 2 2 n n na a a a n N−+ + +…+ = ∈ 551( )2 1011 ( )2 − 911 ( )2 − 601( )2 2n ≥ 2 2 1 2 3 1 12 2 2 2 n n na a a a− − −+ + +…+ = 1 2n na = 1 2 2 1 1 2 32 2 2 2 n n na a a a−+ + +…+ = 2n ≥ 2 2 1 2 3 1 12 2 2 2 n n na a a a− − −+ + +…+ = 1 2 1 2n na = 1 2 3 10a a a a = 55 2 3 10 1 2 3 10 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2+ + + +  × × × × = =    ( ) cos( )( 0, )2f x x πω ϕ ω ω= + > < 3( ) ( )g x f x ϕπ= − π 2π 4π 2 π先根据图象求周期得 ，再根据点坐标求 ，最后根据 图象确定周期. 【 详 解 】 由 图 知 ， 点 是 五 点 作 图 的 第 二 个 点 ， 则 ， ∴ ， 由 图 象 知 与 的最小正周期相同，均为 ，故选 A. 【点睛】已知函数 的图象求解析式 (1) . (2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 . 11.已知点 为双曲线 右支上一点，点 ， 分别为双曲线的左右焦点，点 是 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范 围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给条件和三角形面积公式，求得 ， 的关系式，即可求得离心率的范围. 【详解】设 的内切圆半径为 ， 则 ， ， ， 因为 ， 所以 ， 由双曲线的定义可知 ， ， ω ϕ ( )g x 7π π π 2ππ 24 12 3 4 T T ωω= − = ⇒ = = ⇒ = π 03     ， π π π2 3 2 6 ϕ ϕ× + = ⇒ = − ( ) ( ) 3 π 1cos 2π 6 2g x f x xϕ  = − = − +   ( )y g x= π 1cos 2 6 2y x = − +   2π π2T = = sin( ) ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > > max min max min,2 2 y y y yA B − += = T 2, .T πω ω= ϕ P ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F I 1 2PF F∆ 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≤ ( )1, 2 )2, +∞ (1, 2 ( )2,+∞ a c 1 2PF F∆ r 1 1 1= 2IPFS PF r∆ ⋅ 2 2 1= 2IPFS PF r∆ ⋅ 1 2 1 2 1= 2IF FS F F r∆ ⋅ 1 2 1 2 2 2IPF IPF IF FS S S∆ ∆ ∆− ≤ 1 2 1 2 2 2PF PF F F− ≤ 1 2 =2PF PF a− 1 2 =2F F c所以 ，即 . 故选：B. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围，其主要方法为根据条件得出一个关于 的齐次式，再化简 转化成关于 的不等式即可得解，本题属于较难题. 12.已知函数 ，若 与 的图象上分别存在点 M，N，使得 MN 关于直线 对称，则实数 k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，则 ,推导出 ，由此利用导数性质能求出实数 k 的取值范围. 【详解】因为函数 的图象上分别存在点 M，N，使得 MN 关于直线 对称，所以设 ，则 , 所以 ，所以 ， ，由 得 ， 因为 ，所以 时， ， 是减函数； 当 时， ， 是增函数， 所以 时， ；当 时， ， 当 时， ； 所以 ， ， 所以实数的取值范围是 , 所以选 B. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要构造函数，由导函数确定研究构造的函数的单调性， 从而可求出结果. 2 2a c≤ 2c a ≥ , ,a b c e 21( ) , ( ) 2ln 2 ,( )f x kx g x x e x ee = = + ≤ ≤ ( )f x ( )g x y e= 2 2 4[ , ]e e − − 2[ ,2 ]ee − 2 4[ ,2 ]ee − 2 4[ , )e − +∞ ( )M ,x kx ( )N ,2x e kx− 2k lnxx = − ( ) ( ) 21, 2ln 2 ,f x kx g x x e x ee  = = + ≤ ≤   y e= ( )M ,x kx ( )N ,2x e kx− 2 2ln 2e kx x e− = + 2k lnxx = − 2 2 2lnxk x +=′ − 0k′ = x e= 21 x ee ≤ ≤ 1 , )x ee ∈ 0k′ < 2k lnxx = − 2( ,x e e ∈  0k′ > 2k lnxx = − x e= 2 2k lnee e = − = − 2x e= 2 2 2 2 4k lnee e = − = − 1x e = 2 1 21k ln ee e = − = 2 mink e = − 2maxk e= 2 2ee ， −  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置. 13. =______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据被积函数 （ ）表示一个半圆，利用定积分 几何意义即可得解. 【详解】被积函数 （ ）表示圆心为 ，半径为 2 的圆的上半部分， 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，在用该方法求解时需注意被积函数的在给定区间 内的函数值符号，本题属于中档题. 14.已知 ，设 ，则 _____． 【答案】1023 【解析】 分析】 根据组合数公式性质可得 ；分别代入 和 求得 和 ，作差即可得到结 果. 【详解】 即： 代入 可得： 代入 可得： 本题正确结果： 【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题， 常采用特殊值的方式来求解. 15.某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化 的 【 2 2 2 4 x dx− −∫ 2π 24y x= − 2 2x≤ ≤ 24y x= − 2 2x≤ ≤ (0,0) 2 2 2 2 14 = 2 =22x dx π π − − ⋅∫ 2π 4 6 n nC C= ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 23 4 1 1 1n n nx a a x a x a x− = + − + − + + − 1 2 na a a+ + + = 10n = 1x = 2x = 0a 0 1 2 na a a a+ + +⋅⋅⋅+ 4 6 n nC C= 10n∴ = ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 2 10 103 4 1 1 1nx a a x a x a x− = + − + − +⋅⋅⋅+ − 1x = ( )10 03 4 1 a− = = 2x = ( )10 10 0 1 26 4 2 na a a a− = = + + +⋅⋅⋅+ 10 1 2 2 1 1023na a a∴ + +⋅⋅⋅+ = − = 1023学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ____________． 【答案】18 【解析】 根据题意得到这个学生有两种选择，其一是从物理化学生物中选两门，剩下的里面选一门，或者从物理化 学生物中选一门，剩下的里面选两门，故情况为 故答案为 18. 16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑 中， 平 面 ， ，且 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连结 ， 当 的面积最大时， __________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用 平面 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，结合已知，利用线面垂直的判定定理可 以证明出 平面 ，进而可以证明出 ，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明 平面 ，因此可以证明出 ，最后利用线面垂直定理证明出 平面 ，因此得到 ， ，且 为 中点. 解法 1： 设 ， ，利用三角形面积公式可以求出 的长，在利用 ，求出 的长， 最后求出 的面积表达式，利用换元法和配方法求出 面积平方的最大值，最后求出 的值； 解法 2： 设 ，求出 、 、 、 的大小，再求出 的大小，最后求出 2 1 1 2 3 3 3 3 18.C C C C+ = P ABC− PA ⊥ ABC AB BC⊥ 1AP = AC = A AE PB⊥ E AF PC⊥ F EF AEF∆ tan BPC∠ = 2 2 PA ⊥ ABC PA BC⊥ BC ⊥ PAB BC AE⊥ AE ⊥ PBC AE PC⊥ PC ⊥ AEF AE EF⊥ PC AF⊥ F PC AB x= BC y= AE PFE PBC∆ ∆∽ EF AEF∆ AEF∆ tan BPC∠ BPC θ∠ = EF BC PB AB AE表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出 的值. 【详解】因为 平面 ，所以 ，又 ， 所以 平面 ，所以 ，又 ， 所以 平面 ，所以 ，又 ， 所以 平面 ，综上 ， ，且 为 中点. 解法 1： 设 ， ，则 ，又 ，则 ， 又 ，可得 ，所以 ， 所以 ，令 ， 则 所以当 时即 ， ， ，此时 ，故填 . 解法 2. 设 ，则 ，所以 . 又 ， ，所以 ，所以 所以 当且仅当 即 时，取等号. AEFS∆ tan BPC∠ PA ⊥ ABC PA BC⊥ AB BC⊥ BC ⊥ PAB BC AE⊥ PB AE⊥ AE ⊥ PBC AE PC⊥ AF PC⊥ PC ⊥ AEF AE EF⊥ PC AF⊥ F PC AB x= BC y= 2 2 1x y+ = 1AP = AC = 2 1 xAE x = + PFE PBC∆ ∆∽ 22 1 yEF x = ⋅ + ( )2 1 2 2 2 1AEF xyS EF AE x∆ = ⋅ ⋅ = + ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 22 2 1 8 1 8 1 x xx yS x x − = = + + 2 1x t+ = 22 2 2 2 2 ( 1)(2 ) 3 2 1 2 3 1 1 3 118 8 8 4 4 64 t t t tS t t t t t − − − + −    = = = − + − = − − +       1 3 4t = 2 1 3x = 2 2 3y = ( )max 1 8AEFS∆ = 6 23tan 24 3 BCBPC PB ∠ = = = 2 2 BPC θ∠ = tan 2 2 EF EF PF θ = = 2 tan2EF θ= 2 sinBC θ= 2 cosPB θ= 22cos 1AB θ= − 22cos 1 2 cos PA ABAE PB θ θ ⋅ −= = 2 2 2 2 1 1 2 2cos 1 1 2cos 1tan tan2 2 2 4 cos2 cosAEFS EF AE θ θθ θ θθ∆ − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ( )2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos sin 1 1 tan 1 tan 1tan tan 1 tan4 cos 4 4 2 8 θ θ θ θθ θ θθ − + −= ⋅ = − ≤ ⋅ = 2 2tan 1 tanθ θ= − 2tan 2 θ =故答案为： 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方 法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 17~22 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求二选一作 答. 17.设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . （1）若 ，求 ； （2）若 , ，求 边上的中线长. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由 求出 ，从而求出 ，再由 得出 ，再根据正弦定理 即可得解； （2）通过三角形内角和求出角 ，再利用正弦定理得出 ，在 中利用余弦定理， 即可得解. 【详解】（1）由 得 ， , ， . 由正弦定理得， ，则 （2） , ， ，由 得 ，取 中点 D，在 中， ， ，即 边上的中线长为 . 【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查了计算能力和转化思想，属于中档题. 2 2 ABC∆ A B C a b c 2 2 2 3b c a bc+ − = 6tan 12B = a b 2 3B π= 2 3b = BC 2 5 7 2 2 2 3b c a bc+ − = cos A sin A 6tan 12B = sin B 6C A B ππ= − − = 2c = ABD∆ 2 2 2 3b c a bc+ − = 3cos 2A = 6A π∴ = 6tan 12B = 1sin 5B∴ = sin sin a b A B = 1 sin 25 1sin 5 2 b B a A = = = 6A π= 6C A B ππ= − − = AB BC∴ = sin sin c b C B = 2c = BC ABD∆ 2 2 2 2 cos 7AD AB BD AB BD B= + − × × × = 7AD∴ = BC 718.某篮球队员进行定点投篮训练，每次投中的概率是 ，且每次投篮的结果互不影响. （1）假设这名队员投篮 5 次，求恰有 2 次投中的概率； （2）假设这名队员投篮 3 次，每次投篮，投中得 1 分，为投中得 0 分，在 3 次投篮中，若有 2 次连续投中， 而另外一次未投中，则额外加 1 分；若 3 次全投中，则额外加 3 分，记 为队员投篮 3 次后的总的分数， 求 的分布列及期望. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析， . 【解析】 【分析】 （1）根据题意以及二项分布的定义可知，投中的次数服从二项分布，即 即可得解； （2）首先求出 的所有可能取值，再求出所有可能取值的概率，列出分布列，利用期望公式即可得解. 【详解】（1）设 为队员在 5 次投篮中投中的次数，则 ， 在 5 次投篮中，恰有 2 次投中的概率为： = 或 0.0879 （2）由题意知， 的所有可能取值为 0,1,2,3,6 的分布列为： 3 4 ξ ξ 45 512 243 64 X B 35, 4      ξ X X B 35, 4      ( ) 2 3 2 5 3 32 14 4P X C    = = × × −       45 512 ξ ( ) 31 10 4 64P ξ  = = =   ( ) 21 3 91 3 4 4 64P ξ  = = × =   ( ) 3 1 3 92 4 4 4 64P ξ = = × × = ( ) 2 23 1 1 3 93 4 4 4 4 32P ξ    = = × + × =       ( ) 33 276 4 64P ξ  = = =   ξ0 1 2 3 6 【点睛】本题考查了二项分布，以及求概率和期望， 考查了计算能力，属于较难题. 19.如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点 （1）证明： ； （2）若 为棱 上一点，满足 ，求锐二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（2） 【解析】 【分析】 （1）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明 ； （2）设 ，由 ，求出 ，求出平面 ABF 的法向量和平面 ABP 的法向量，利 用向量法能求出二面角 的余弦值. 【详解】证明：（1）∵在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB， AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点. ∴以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0）， ， ， ξ p 1 64 9 64 9 64 9 32 27 64 243 64Eξ = P ABCD− PA ⊥ ABCD AD AB⊥ //AB DC 2AD DC AP= = = 1AB = E PC BE DC⊥ F PC BF AC⊥ F AB P− − 3 10 10 BE DC⊥ ( , , )F a b c BF AC⊥ 1 1 3, ,2 2 2F     F AB P− − (0,1,1)BE = (2,0,0)DC =， ∴ ； （2）∵F 为棱 PC 上一点，满足 ， ∴设 ， ， 则 ， 　 ， ∵ ， ， 解得 ， ， 设平面 ABF 的法向量 ， 则 ，取 ，得 ， 平面 ABP 的一个法向量 ， 设二面角 的平面角为 ， 则 ， ∴二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 20.已知椭圆 右焦点 ，离心率为 ，过 作两条互相垂直的弦 ， 设 中点分别为 ． (1) 求椭圆的标准方程； (2)求以 为顶点的四边形的面积的取值范围； 0BE DC∴ ⋅ =  BE DC⊥ BF AC⊥ ( , , )F a b c , [0,1]PF PCλ λ= ∈  ( , , 2) (2 ,2 , 2 ), (2 ,2 ,2 2 )a b c Fλ λ λ λ λ λ− = − ∴ − (2 1,2 ,2 2 ), (2,2,0)BF ACλ λ λ∴ = − − =  BF AC⊥ 2(2 1) 2 2 0BF AC λ λ∴ ⋅ = − + ⋅ =  1 1 1 3, , ,4 2 2 2Fλ  = ∴    1 1 3(1,0,0), , ,2 2 2AB AF  = =      ( , , )n x y z= 0 1 1 3 02 2 2 n AB x n AF x y z  ⋅ = = ⋅ = + + =   1z = (0, 3,1)n = − (0,1,0)m = F AB P− − θ | | 3 10cos 10| | | | 10 3m n m n θ ⋅= = = ⋅     F AB P− − 3 10 10 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > ( )1 0F ， 2 2 F AB CD， AB CD， M N， A B C D， ， ，【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用椭圆的离心率 ，以及 求出 a、b，即可求椭圆的方程； （Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为 0 时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积． ②当两弦斜率均存在且不为 0 时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线 AB 的方程为 y=k（x-1），与椭圆方 程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出 AB，CD 即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最 值． 【详解】解：(1) 由题意： ， ∴ ， 则椭圆的方程为 (2) ①当两直线一条斜率不存在一条斜率为 0 时， ②当两直线斜率存在且都不为 0 时， 设直线 方程为 将其带入椭圆方程整理得： 2 2 12 x y+ = 16 29     ， 2 2 c a = 1c ，= 21 2 cc a = =， 2 1a b c= = =， 2 2 12 x y+ = 1 1· 2 2 2 22 2S AB CD= = × × = AB ( ) ( ) ( )1 1 2 21y k x A x y B x y= − ， ， ， ， ( )2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 2 1 2 1 22 2 4 2 2 1 2 1 2 k kx x x xk k −+ = =+ +， ( )2 2 1 2 2 2 2 1 = 1 1 2 k AB k x x k + + − = +同理， ，当 时， 综上所述四边形面积范围是 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应 用，是综合性比较强的题目． 21.已知函数 ， . （1）讨论函数 的单调性； （2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）对 求导可得： ，对 进行分类讨论即可求出单调 性； （2）由题可得： ，通过切线放缩可得： ，再分 ， 两种情况讨论即可得出 的取值范围. 【详解】（1）由题知 ①当 时，恒有 ，得 在 上单调递减； ②当 时，由 ，得 ，在 上，有 ， 单调递增； ( )2 2 2 2 1 2 k CD k + = + ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 22 2 4 2 142 2 1 2 2 1 4 11 1· · · =2 2 1 2 2 2 +2+5 12 1 kk k k kS AB CD k k k k k k  + + + +  = = =+ +  + +   2 2 162 ,2912 1k k  = − ∈   + +   1k = ± 16 9S = 16 29     ， ( ) ln 2f x a x x= − ( ) ( ) ( )2ln 1 2 2 2xg x x e a x= + + − + − ( )f x 0x ≥ ( ) 0g x ≥ a 2a ≤ ( ) ln 2f x a x x= − ( ) ( )' 22 0a x af x xx x − += − = > a ( ) ( ) ( )( ) ( )' 2 1 2 12 2 01 1 x x e x a x aag x e a xx x + − + + += + − − = ≥+ + ( )' 2 12 1 ax x g x x   − −    ≥ + 2a ≤ 2a > a ( ) ( )' 22 0a x af x xx x − += − = > 0a ≤ ( )' 0f x < ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( )' 0f x = 2 ax = 0, 2 a     ( )' 0f x > ( )f x在 上，有 ， 单调递减. （2）由题知 ， 由 时，恒有 ，知 ①当 ，即 时， 恒成立，即 在 上单调递增， （合题意）； ②当 ，即 时，此时导函数有正有负，且有 ， 由 ，得 ，且 在 上单调递增， 当 时， ， ， ， 故 在 上存在唯一的零点 ，当 时， ， 即 在 上递减，此时 ，知 在 上递减， 此时 与已知矛盾（不合题意）； 综合所述：满足条件的实数 的取值范围 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，在解题过程中用到了分类讨论和数形结合思想，还考查了函 数的放缩以及虚设零点问题，需要较强的计算和思考能力，属于难题. 22.在平面直角坐标系 x y 中，曲线 C 的参数方程为 为参数），在以 为极点， 轴的非 负半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线 与曲线 C 相交于 A，B 两点，P 为曲 C 上的一动点，求△PAB 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；（2）设A，B 两点的极坐标分别为 ,2 a +∞   ( )' 0f x < ( )f x ( ) ( ) ( )( ) ( )' 2 1 2 12 2 01 1 x x e x a x aag x e a xx x + − + + += + − − = ≥+ + 0x ≥ 1 1xe x≥ + ≥ ( ) ( ) ( )( )2 ' 2 12 1 2 1 2 1 1 ax xx a x ag x x x   − −  + − + + +   ≥ =+ + 1 02 a − ≤ 2a ≤ ( )' 0g x ≥ ( )g x 0x ≥ ( ) ( )0 0g x g\ ³ = 1 02 a − > 2a > ( )' 0 0g = ( )' 2 21 xag x e ax = + − −+ ( ) ( ) '' 2 2 1 xag x e x = − + + ( )''g x 0x ≥ 2a > 1 0a − > 1 0 1ae e− > = ( )'' 0 2 0g a= − < ( )'' 11 2 1 0ag a e −− = − > ( )'g x ( )0, 1a − 0x [ )00,x x∈ ( )'' 0g x < ( )'g x ( )00,x x∈ ( ) ( )' ' 0 0g x g≤ = ( )g x ( )00,x x∈ ( ) ( )' ' 0 0g x g≤ = a 2a ≤ O 4 2(4 x cos y sin α αα = +  = O x l ( ) 6 R πθ ρ= ∈ l 2 4 cos 12 0ρ ρ θ− − = 5 15， ，结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得 ，又由题意得△PAB 中边 AB 上最大的高为圆心 C 到直线 的距离加上半径，进而可得面积的最大值． 【详解】（1）将方程 （ 为参数），消去参数 后可得 ， ∴曲线 C 的普通方程为 ， 将 ， 代入上式可得 ， ∴曲线 C 的极坐标方程为 ． （2）设 A，B 两点的极坐标分别为 ， ， 由 消去 整理得 ， 根据题意可得 ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ． ∵直线 l 的普通方程为 ， ∴圆 C 的圆心 到直线 l 的距离为 ， 又圆 C 的半径为 ， ∴ ． 【点睛】（1）进行方程间的变化时要注意相关方程的概念和转化公式的灵活运用． （2）解决参数方程或极坐标方程下的解析几何问题时，一种方法是直接根据极坐标、参数方程求解，另一 种方法是转化成普通方程后在直角坐标系内求解． 23.已知函数 （1）若 ，求实数 的取值范围； 1 π, 6 ρ     2 π, 6 ρ     1 2AB ρ ρ= − l 4 2 4 x cos y sin α α = +  = ， ， α α 2 2 4 12 0x y x+ − − = 2 2 4 12 0x y x+ − − = 2 2 2x y ρ+ = cosx ρ θ= 2 4 cos 12ρ ρ θ− = 2 4 cos 12 0ρ ρ θ− − = 1 π, 6 ρ     2 π, 6 ρ     2 4 12 π 6 cosρ ρ θ θ  − = = ， ， θ 2 2 3 12 0ρ ρ− − = 1 ρ 2 ρ 2 2 3 12 0ρ ρ− − = 1 2 2 3ρ ρ+ = 1 2 12ρ ρ = − ( )2 1 2 1 2 1 24 2 15AB ρ ρ ρ ρ ρ ρ= − = + − = 3 3 0x y− = ( )2,0 ( )22 2 3 1 3 3 d = = + 4r = ( ) ( ) ( )max 1 1 2 15 1 4 5 152 2PABS AB d r= + = × × + =  ( ) 2f x x a x a= + + + (1) 3f > a（2）证明： 时， ． 【答案】（1） ； （2）见解析. 【解析】 【分析】 （1） 即为 分类讨论即可得到结果； （2）利用三角绝对值不等式即可得到结果. 【详解】（1） 即为 ．当 时， ，得 ； 当 时， ，无解当 时， ，得 ． 所以 时，实数 的取值范围为 ． （2）证明： 【点睛】绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． m R∈ 1( ) ( ) 6f m f m − + ≥ { }| 3 0a a a− 或 ( )1 3f > 1 2 3a a+ + + > ( )1 3f > 1 2 3a a+ + + > 2a < − 2 3 3a− − > 3a < − 2 1a− ≤ ≤ − 1 3> 1a > − 2 3 3a + > 0a > ( )1 3f > a { }| 3 0a a a− 或 ( ) 1 1 2 1 22 2f m f m a m a a a m a a m a am m m m m     − + = − + + − + + + + + = − + + + + − + + +           1 22 2 4 6m mm m ≥ + + + ≥ + =