六安一中 2019 级高一年级线上教学第二次阶段检测
数学试卷
时间：120 分钟 分值：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每一小题给出的四个选项中只有一项
9．如图所示，在 ∆ABC 中，已知 D 是 BC 延长线上一点，若 BC = 2CD ，点 E 为线段 AD 的
3中点， AE = λAB + AC ，则λ等于（ ）
4
1 1A． − B． −
3 4
1 1C． D．
是符合题目要求的． 4 3
1．已知数列{an } 的通项公式是 an = n
3n + 1
，那么这个数列是（ ） 10．已知首项为 1 的正项等比数列{an } 的前 n 项和为 Sn ， − a4 , a3 , a5 成等差数列，则 S 2020 与
a2020 的关系是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 A． S 2020 = 2a2020 + 1 B． S 2020 = 2a2020 − 1
2．若等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，且 a2 + a3 = 5 ，则 S4 的值为（ ） C． S2020 = 4a2020 + 1 D． S2020 = 4a2020 − 3
A．9 B．10 C．11 D．12
3．等比数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，公比为 q ，若 S6 = 9S3 ， S5 = 62 ，则 a1 = （ ）
11．已知 ∆ABC 的三条边的边长分别为 2 米、3 米、4 米，将三边都增加 x 米后，仍组成一个
钝角三角形，则 x 的取值范围是 （ ）
A． 2 B．2 C． 5 D．3
A．0 < x < 1 B． 1 < x < 1 C．1 < x < 2 D．0 < x < 1
4．已知在 ∆ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , ∠A = 60°, b = 2 3 ，若此三角形有且 2 2
只有一个,则 a 的取值范围是（ ） 12．设 ∆ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，且 2 A + C =
π ，b = 4 sin B ，则 a + c 的取2
A． 0 < a < 2 3 B． a = 3 C． a ≥ 2 3 或 a = 3 D． 0 < a ≤ 2 3 值范围（ ）
5．设等差数列{an } 的前 n 项和为 Sn ，若 S15 > 0 ，S16 < 0 ，则 Sn 取最大值时 n 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．13
6．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，若 (a − c cos B) sin A = c cos A sin B ，则
△ABC 的形状一定是（ ）
A． (0, 9 ]
2 B．[0, 9 ]
2
C． (2 2 , 9 ]2
D．[2 2 , 9 ]2
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请将答案填写在答题卷相应位置上．
7．小赵开车从 A 处出发，以每小时 40 千米的速度沿南偏东 40° 的方向 13．在 ∆ABC 中，若 AB = 13, BC = 3, ∠C = 120° ，则 AC = .
a , 1 a , 2a 成等差数列，则 a9 + a10 = .直线行驶，30 分钟后到达 B 处，此时，小王发来微信定位，显示他 14．已知等比数列{an } 中，各项都是正．数．，且 1 2 3 2 a + a
自己在 A 的南偏东 70° 方向的 C 处，且 A 与 C 的距离为15 3 千米
， 若此时，小赵以每小时 52 千米的速度开车直线到达 C 处接小王，
则
15．在正项等比数列{an } 中， a1009 a1012 + a1010a1011
7 8
= 2 ×10m ，则
小赵到达 C 处所用的时间大约为（ ） ( 7 ≈ 2.6) lg a1 + lg a2 + + lg a2020 = .（用数字及 m 表示）
A．10 分钟 B．15 分钟 C． 20 分钟 D． 25 分钟
8．已知数列{an } 满足 a1 = 1, an − an−1 = n(n ≥ 2) ，则数列{an } 的通项公式 an =（ ）
16．如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AB = BC ， ∠ABC = 60° ，
CD = 1 ， AD = 2 ，则四边形 ABCD 的面积的最大值为 ．
A． n 2 − n + 1
1C． n(n + 1)
2
B． n 2 − 2n + 2
1D． n(3n − 1)
2三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
在 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 c cos B 与 b cos C 的等差中项为 2a cos A .
20．（本小题满分 12 分）
数列{an } 满足 a1 = 1 ， an = an +1 (1+ 2an ) ( n ∈ N * )．
1
（1）求 cos A 的值；
（2）若 ∆ABC 的面积是 14 ，求 AB ⋅ AC 的值.
（1）求证：数列{
an
（2）若
} 是等差数列；
15a1a2 + a2 a3 + + a1a2 + a2 a3 + + an an +1 >
2
，求正整数 n 的最小值．
31
18．（本小题满分 12 分）
21．（本小题满分 12 分）
1 1 1 1 1
如图，在四边形 ABCD 中，∆ABC 是边长为 4 的正三角形，设 BD = x BA + y BC ( x, y ∈ R ) ．
（1）若 x = y = 1 ，求 BD ；
（2）若 BD ⋅ BC = 36 ， BD ⋅ BA = 40 ，求 x ， y ．
在等比数列{bn
} 中，公比为 q (0 < q < 1) ，b1 , b3,b5 ∈{ , , , , } .
48 32 24 8 2
（1）求数列{bn } 的通项公式；
（2）设 cn = (3n − 1) bn ，求数列{cn } 的前 n 项和 Tn .
19．（本小题满分 12 分）
设数列{an } 的前 n 项和为 Sn ， Sn = nan − 2n(n − 1) ,
（1）求数列{an } 的通项公式；
（2）求数列{| an |} 的前 n 项和 Tn .
a1 = −16
22．（本小题满分 12 分）
在 ∆ABC 中内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知 a = 4, b = 2
（1）求 s in A 的值；
BD
7 ，面积 S = 3 accosB .
2
（2）若点 D 在 BC 上（不含端点），求
sin ∠BAD
的最小值.
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