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文科数学试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2. 瑞士数学家欧拉在 1748 年得到复数的三角方程: ，根据该三角方程，计算 的 值为（ ） A． B．0 C．1 D． 3.移动支付、商铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了了解本校学生中新“四大发 明”的普及情况，随机调在了 100 位学生，其中使用过移动支付或共享单年的学生共 90 位，使用过移动支 付的学生共有 80 位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有 60 位，则该校使用共享单车的 学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4.已知 ， 满足约束条件 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.函数 的零点个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.在等差数列 中， ，则 （ ） ( ){ }2, |A x y y x= = ( ){ }2 2, | 1B x y x y= + = A B cos sinixe x i x= + 1ieπ + 1− i x y 0, 2 3 0, 0, x x y y ≥  + − ≥  ≥ 2 2x y+ 3 5 5 2 5 5 3 5 ( ) cos | ln |f x x x= − { }na 5 13 40a a+ = 7 8 9 10 11a a a a a+ + + + =A．40 B．60 C．80 D．100 7.函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 8.如图，执行程序框图后，输出的结果是（ ） A．140 B．204 C．245 D．300 9.已知函数 ，将 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标扩大到原来的 3 倍；再把图象上所有的点向上平移 1 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 的周期可以为 （ ） A． B． C． D． 10.若函数 与函数 存在公共点 ，并且在 处具有公共切线，则实数 （ ） siny x x= ( ) sinf x x= ( )f x 1 2 ( )y g x= ( )| |g x 2 π π 3 2 π 2π ( ) 2f x ax= ( ) lng x x= ( ),P m n ( ),P m n a =A． B． C． D． 11.阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题: 平面内到两定点距离之比为常数 ( ， )的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点 ， 间的距离为 2，动点 满 足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 12.四边形 是菱形， ， ，沿对角线 翻折后，二面角 的余弦 值为 ，则三棱锥 的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 ， 为单位向量，且 ，则 ． 14.等比数列 的首项 ， ，则 ． 15.设 ， 为椭圆 ： 的两个焦点， 为 上一点，且 ，则 的面积 为 ． 16.边长为 1 的正方体 中，点 为上底面 的中心， 为下底面 内一点， 且 直 线 与 底 面 所 成 线 面 角 的 正 切 值 为 2 ， 则 点 的 轨 迹 围 成 的 封 闭 图 象 的 面 积 为 _ ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 某调研机构，对本地 岁的人群随机抽取 200 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查， 1 e 2 e 1 2e 3 2e k 0k > 1k ≠ A B P | | 2| | PA PB = 2 2PA PB+ 36 24 2− 48 24 2− 36 2 24 2 ABDC 60BAC∠ = ° 3AB = BC A BC D− − 1 3 − D ABC− 5π 6π 7π 2 2π a b , 3a b π< >=  | 2 |a b+ =  { }na 1 1a = 4 8a = 4S = 1F 2F C 2 2 14 x y+ = M C 1 2 2F MF π∠ = 1 2F MF∆ 1 1 1 1ABCD A B C D− M 1 1 1 1A B C D N ABCD MN ABCD N [ ]22, 50将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，结果显示，有 100 人为“低碳族”，该 100 人的年龄情况对应的频率分布直方图如图. (1)根据频率分布直方图，估计这 100 名“低碳族”年龄的平均值、中位数; (2)若在“低碳族”且年龄在 ， 的两组人群中，用分层抽样的方法抽取 30 人，试估算每 个年龄段应各抽取多少人？ 18.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 为 的中点，且 ，求 的最大值. 19. 如 图 甲 ， 在 直 角 梯 形 中 ， ， ， ， 过 点 作 ，垂足为 ，现将 沿 折叠，使得 .取 的中点 ，连接 ， ， ，如图乙. （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积. [ )30, 34 [ )34, 38 ABC∆ A B C a b c sin cos( )6b A a B π= − B D AC 1BD = ABCS∆ ABCD / /AB CD AB CD⊥ 2 2 4CD AB BC= = = A AE CD⊥ E ADE∆ AE DE EC⊥ AD F BF CF EF BC ⊥ DEC E FBC−20. 已知 ， . （1）令 ，求证： 有唯一的极值点； （2）若点 为函数 上的任意一点，点 为函数 上的任意一点，求 ， 两点之间距离的最小 值. 21.已知抛物线 ： （ ），过其焦点 的直线与抛物线相交于 ， 两点， 满足 . （1）求抛物线 的方程； （2）已知点 的坐标为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求 的最小值. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的 题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数），曲线 的普通方程为 ，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 和曲线 的极坐标方程； xOy ( ) xf x e= ( ) lng x x= ( ) ( ) ( )h x f x g x= − ( )h x A ( )f x B ( )g x A B E 2 2y px= 0p > F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y = − E C ( )2,0− CA CB 1k 2k 2 2 1 2 1 1 k k + 1C 3sin , 3cos , x y θ θ =  = θ 2C 2 2 14 x y+ = x 1C 2C（2 ）射线 ： （ ）依次与曲线 和曲线 交于 ， 两点，射线 ： （ ）依次与曲线 和曲线 交于 ， 两点，求 的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值. （2）当 时，若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围. 1l 0 θ θ= 0 (0, )2 πθ ∈ 1C 2C A B 2l 0 2 πθ θ= + 0 (0, )2 πθ ∈ 1C 2C C D AOC BOD S S ∆ ∆ ( ) | | | 1|f x x a x= − + − ( ) 3f x ≤ { }| 0 3x x≤ ≤ a 2a = ( ) 14 2 2n nf x +≥ − − x n