2020年高考数学名校地市好题必刷全真模拟卷（江苏专版）08卷（解析版）

2020 江苏高考数学名校地市好题必刷全真模拟卷 08 Ⅰ卷 一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分共计 70 分 1. 已知集合 A＝{0，a}，B＝{0，1，3}，若 A∪B＝{0，1，2，3}，则实数 a 的值为____________． 【答案】2　 【解析】A＝{0，a}，B＝{0，1，3}, A∪B＝{0，1，2，3}，则 a＝2. 2.设 则复数 的实部与虚部之和为 . 【答案】-3 【解析】由 得复数 的实部和虚部分别为-2 和-1，所以实部与虚部之和为 3. 交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在 50～90 km/h 的汽车中抽取 150 辆进行分 析，得到数据的频率分布直方图(如图所示)，则速度在 70 km/h 以下的汽车有________辆． (第 3 题) 【答案】75　 【解析】速度在 70 km/h 以下的频率为 0.05×10＝0.5，150×0.5＝75 辆． 4.若双曲线 的一条渐近线过点 ，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】依题意，知双曲线的渐近线方程为 则 所以 ，所以 ， 所以双曲线的离心率 5. 运行如图所示的伪代码，则输出的结果 S 为____________． 　S←1 　I←1 While I＜5 　S←S＋2 ,)12( iiz −= z ,2)12( iiiz −−=−= z .312 −=−− )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x ),2( ab− 2 6 ,xa by ±= ),2( ba ba −⋅−= 22 2ba = 22 2ba = .2 622 =+== a ba a ce　I←I＋1 End While Print S 　 【答案】9　 【解析】I＝1 时，S＝3；I＝2 时，S＝5；I＝3 时，S＝7；I＝4 时，S＝9；I＝5 时，输出的结果 S 为 9. 6.在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为 . 【答案】 【解析】在区间 上满足 的 的取值范围为 ，区间长度为 ，由 几何概型的概率计算公式可得所求概率为 7. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时，f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b 为常数)．若 f(2)＝－1，则 f(－6)的值为____________． 【答案】4　 【解析】f(0)＝0，得 b＝－1，f(2)＝－1，得 a＝0，当 x≥0 时，f(x)＝log2(2＋x)－x－1，f(－6)＝－f(6)＝－ (－4)＝4. 8.已知直线 与函数 的图像切于点 且直线 与函数 的图像交于点 ，若 ，则 的值为 . 【答案】 【解析】解法一因为 所以直线 的方程为 因为点 在直线 上，所以 又 ，所以 所以 所以 解法二因为 ，所以直线 的斜率为 又 所以 所以 [ ]π,0 α    −∈ 2 1,2 1cosα 3 1 [ ]π,0    −∈ 2 1,2 1cosα α     3 2,3 ππ 333 2 πππ =− .3 13 =π π l xxf sin)( = ),sin,( ααA l )(xfy = )sin,( ββB πβα =− αtan 2 π ,cos)( xxf =′ l ( ) .sincos ααα +−⋅= xy )sin,( ββB l ( ) ,sincossin ααβαβ +−⋅= πβα =− ( ) ,sincossin ααππα +−=− ,sin2cos ααπ = .2tan πα = πβα =− l ( ) π α π παα βα βα sin2sinsinsinsin =−−=− − ,cos)( xxf =′ ,sin2cos π αα = .2tan πα =9.记 为递增的等差数列 的前 项和，若数列 也为等差数列，则 . 【答案】2 【解析】设等差数列 的公差为 依题意，得 即 ，化简得 则 所以 10.已知长方体 的高 ，则当 最大时，长方体 的体积为 . 【答案】24 【解析】设 则由题意可得 从而 故 所以当且仅当 时， 取得最大值 8，此时 长方体 的体积 11.如图，已知 是 的重心， 是 的中点，且 ， 则 . 【答案】 【解析】设 D 是 的边 的中点，连接 又 是 的重心，所以 三点共线，所以 nS { }na n       n n a S 3 3 a S { }na ),0( >dd ,12 3 3 2 2 a S a S +=⋅ da da da da 2 33122 1 1 1 1 + ++=+ +× ,0)( 1 =− add ,1ad = ,2 )1( 2 )1(,)1( 1111 anndnnnaSnadnaa nn +=−+==−+= ,2 1+= n a S n n .2 3 3 = a S 1111 DCBAABCD − ,21 =AA ,62=AC yADxAB == 11 , yx + 1111 DCBAABCD − ,. bBCaAB == 222222222 2,2,)62( ybxaba =+=+=+ ,3222 =+ yx ,64)(2)( 222 =+≤+ yxyx 4== yx yx + ,32== ba 1111 DCBAABCD − .2432322 =××=V G ABC∆ H BG 060,3,2 =∠== BACACAB =⋅ AHAG 9 20 ABC∆ BC ,DG G ABC∆ DGA ,,又 是 的 中 点 ， 所 以 则 = 12.已知定义在 上的函数 的导函数为 若 则不等式 的解集为 . 【答案】 【解析】令 则由 可知 所以函数 在 上单调递减.由 的定义域为 可得 解得 ，因为 ， 所以 所以 所以 所以 得 综上， 不等式 的解集为 . 13. 已知点 A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD≤2BD 恒成立，则最小正整数 t 的值为____________． 【答案】4 【解析】直线 AC 的方程为x t＋y＝1 即 x＋ty－t＝0，设 D(x，y)，∵ AD≤2BD 即 AD2≤4BD2， ∴ x2＋(y－1)2＜4[(x－1)2＋y2]，(x－4 3 )2 ＋(y＋1 3 )2 ≥8 9表示圆外区域及圆周上的点， ( ) ( ),3 1 2 1 3 2 3 2 ACABACABADAG +=+×== H BG ( ) ( )    ++=+= ACABABAGABAH 3 1 2 1 2 1 ( ),46 1 ACAB += )4(6 1)(3 1 ACABACABAHAG +⋅+=⋅ )cos54(18 1 22 ACBACACABAB +∠⋅+× .9 2032 13252418 1 22 =   +×××+××= ( )+∞,0 )(xf ),(xf ′ ),()( xfxfx −x 03 )3()9( 2 ≤+ −−− x xfxf ),3()9()3( 2 −≤−+ xfxfx )3()3()9()9( 22 −−≤−− xfxxfx ),3()9( 2 −≤− xgxg    > −≥− ,3 ,392 x xx .3>x 03 )3()9( 2 ≤+ −−− x xfxf ( )+∞,3直线 x＋ty－t＝0 与圆(x－4 3 )2 ＋(y＋1 3 )2 ＝8 9相离， |4 3－1 3t－t| 1＋t2 ≥2 2 3 ，化简得 t2－4t＋1≥0， 解得 t≥2＋ 3或 t≤2－ 3.∴ 正整数 t 的值的值为 4. 14. 已知正数 a，b，c 满足 b＋c≥a，则b c＋ c a＋b的最小值为____________． 【答案】 2－1 2　 【解析】由 b＋c≥a，得b c＋1≥a c，则b c＋ c a＋b＝b c＋ 1 a c＋b c ≥b c＋ 1 2 × b c＋1 ＝b c＋1 2＋ 1 2 b c＋1 2 －1 2≥ 2－1 2. 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题满分 14 分) 在锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA＝3 5，tan(A－B)＝－1 2. (1) 求 tanB 的值； (2) 若 b＝5，求 c. 【解析】(1) 在锐角三角形 ABC 中，由 sinA＝3 5，得 cosA＝ 1－sin2A＝4 5， 所以 tanA＝sinA cosA＝3 4. 由 tan(A－B)＝ tanA－tanB 1＋tanA·tanB＝－1 2，得 tanB＝2. (2) 在锐角三角形 ABC 中，由 tanB＝2，得 sinB＝2 5 5 ，cosB＝ 5 5 ， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝11 5 25 . 由正弦定理 b sinB＝ c sinC，得 c＝bsinC sinB ＝11 2 . 16.(本小题满分 14 分) 如图，在四棱锥 PABCD 中，已知底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 PDC，点 E 为棱 PD 的中点．求证： (1) PB∥平面 EAC； (2) 平面 PAD⊥平面 ABCD.【解析】(1) 连结 BD 与 AC 相交于点 O，连结 OE. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 中点． 因为 E 为棱 PD 中点，所以 PB∥OE. 因为 PB 平面 EAC，OE 平面 EAC， 所以直线 PB∥平面 EAC. (2) 因为 PA⊥平面 PDC，CD 平面 PDC， 所以 PA⊥CD. 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 AD⊥CD. 因为 PA∩AD＝A，PA，AD 平面 PAD， 所以 CD⊥平面 PAD. 因为 CD 平面 ABCD， 所以平面 PAD⊥平面 ABCD. 17.2019 年第 9 号台风“利奇马”登陆前，为保证广告牌对市民不造成伤害，某市政部门决定用三角钢对广告 牌进行加固，已知广告牌支架的高 且呈“7”字形 ，悬放的广告牌的高 考虑 到广告牌的重量，对不同的广告牌有如下两种加固方案. (1)如图(1)， 与 相距 在 上取一点 通过广告牌下端点 C 将三角钢固定于“7”字形支架， 则 多长时，所需三角钢用料最省？ （2）如图（2）， 与 相距 ，在 AB 上取一点 E，通过广告牌下端点 C 将三角钢固定于“7）字形 支架，考虑到广告牌的重量，同时在 BE，BF 处加固三角钢，形成三角形巩固（三角钢的厚度忽略不 计），则当 BE 为多长时，所需三角钢用料最省？ ⊄ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ mAB 15= )( BEAB ⊥ ,3mCD = CD AB ,3 3 m AB ,E BE CD AB m3 【解析】（1）设三角钢 长 在 中， 则 令 可得 当 时，函数 单调递减， 时，函数 单调递增。 当 即 时， 取得最小值， 即当 长 时，所需三角钢用料最省. (2)设三角钢的总长为 ，则 EF ,, θ=∠CFDym CDFRt∆ ,tan 3 tan θθ == CDDF , cos3 1 sin 3 cos 3 3 tan 3 θθθ θ += + =y , cos3 sin sin cos3 22 θ θ θ θ +−=′y ,0=′y ,3tan =θ )3,0(tan ∈θ θθ cos3 1 sin 3 +=y ( )+∞∈ ,3tanθ θθ cos3 1 sin 3 +=y ,3tan =θ 433 33tan =×      +== θBFBE y BE m4 ,lm α=∠CFD ,cos 3 sin 3 sin,tan33tan,3tan 33 αααααα +==+==+=+= BEEFBFBEDFBF ,6cos 3sin3 sin 3cos3 ++++=++=∴ α α α α EFBEBFl令 得， 又 ， 时， 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 取得最小值 即当 长 时，所需三角钢用料最省. 18.在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的短轴长为 2，过右焦点且垂直于 轴 的直线与椭圆 C 交于 P,Q 两点，且 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 A 为椭圆 C 的上顶点，B 是椭圆 C 在第一象限内的任意一点，直线 AB 交 轴于点 M，点 D 与点 B 关于 轴对称，直线 AD 交 轴于点 N，过点 N 且垂直于 轴的直线与以 OM 为直径的圆在第一象限内 交于点 E，求线段 OE 的长. 【解析】(1)设椭圆 G 的焦距为 由 得 ， 因为 所以 所以 又 所以 所以椭圆 C 的方程为 （2）由题意知， 设 则直线 AB 的方程为 ,cos sin3 sin cos33 22 α α α α +++−=′l 0=′l ,0cos sin3 sin cos33 22 =+++− α α α α ,0)cos(sin )cos1)(sin1)(sin(cos3 2 =++−−∴ αα αααα ,2,0     ∈ πα 0sincos =−∴ αα .4 πα =∴     ∈ 4,0 πα     ∈′l l∴      4,0 π      2,4 ππ ∴ 6tan33 =+= αBE l BE m6 xOy )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC x .1=PQ x x x x ,2c    = =+ , ,12 2 2 2 cx b y a x )1( 2 2 22 a cby −= ,222 cba += , 2 a by ±= .12 2 == a bPQ ,22 =b ,2,1 == ab .14 2 2 =+ yx ),1,0(A ),10,20)(,(