四川省达县中学备战2020年中考九年级数学第二轮压轴题复习：圆（含答案）

四川省达县中学备战 2020 年中考九年级数学第二轮压轴题复习：圆 1、如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为⌒ AD中点，连接 BM，CM． （1）求证：BM＝CM；（2）当⊙O 的半径为 2 时，求⌒ BM的长． 2、如图，D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，且∠CDA=∠CBD． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E，BC=6， ．求 BE 的长． 3、如图，⊙O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），AD⊥CD． （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值； （2）若 AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线 CD 是⊙O 的切线． 4、已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点，过点 D 的直线 交 AC 于 E 点，且△AEF 为等边三角形（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若 DA= AF，求证：CF⊥AB． 6、如 图 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， D、 E 为 ⊙ O 上 位 于 AB 异 侧 的 两 点 ， 连 接 BD 并 延 长 至 点 C， 使 得 CD=BD， 连 接 AC 交 ⊙ O 于 点 F， 连 接 AE、 DE、 DF． （ 1） 证 明 ： ∠ E=∠ C； （ 2） 若 ∠ E=55° ， 求 ∠ BDF 的 度 数 ； （ 3） 设 DE 交 AB 于 点 G， 若 DF=4， cosB= ， E 是 的 中 点 ， 求 EG• ED 的 值 ． 7、如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交线段 BC，AC 于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，线段 FD，AB 的延长线相交于点 G． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）若 CF=1，DF= ，求图中阴影部分的面积．8、如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D，CE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：∠BDC=∠A；（2）若 CE=4，DE=2，求 AD 的长． 9、如图，A、F、B、C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形，∠FAB=15°，连 接 OF 交 AB 于点 E，过点 C 作 OF 的平行线交 AB 的延长线于点 D，延长 AF 交直线 CD 于点 H． （1）求证：CD 是半圆 O 的切线；（2）若 DH=6﹣3 ，求 EF 和半径 OA 的长． 10、如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点 F 是 DA 延长线的一点，AC 平分∠FAB 交⊙ O 于点 C，过点 C 作 CE⊥DF，垂足为点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若 AE=1，CE=2，求⊙O 的半径． 11、如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，且 CD=CB，以 BC 为直径作⊙O，交 BD 于点 E，连 接 CE，过 D 作 DF⊥AB 于点 F，∠BCD=2∠ABD． （1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O 的直径 BC 的长．12、如图，在△ABC 中,∠ABC＝90°,以 BC 为直径作⊙O,交 AC 于 D.E 为 的中点,连接 CE,BE,BE 交 AC 于 F. （1）求证:AB＝AF;（2）若 AB＝3,BC＝4,求 CE 的长. 13、如图，AB 为⊙O 的直径，点 E 在⊙O 上，C 为 的中点，过点 C 作直线 CD⊥AE 于 D， 连接 AC、BC． （1）试判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AD=2，AC= ，求 AB 的长． 14、如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折 后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC CD（1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E．交 于点 F（F 与 B、C 不重合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 15、如图，在平面直角坐标系中，O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）三点在⊙P 上． （1）求圆的半径及圆心 P 的坐标；（2）M 为劣弧 的中点，求证：AM 是∠OAB 的平分线； （3）连接 BM 并延长交 y 轴于点 N，求 N，M 点的坐标． 16、如图，在△BCE 中，点 A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 D，AD∥ OC，点 F 为 OC 与⊙O 的交点，连接 AF． （1）求证：CB 是⊙O 的切线；（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．17、如图，已知：AB 是⊙O 的弦，过点 B 作 BC⊥AB 交⊙O 于点 C，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D，取 AD 的中点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 DC 的延长线于点 F，连接 AF 并延长 交 BC 的延长线于点 G． 求证： （1）FC=FG；（2）AB2=BC•BG． 18、如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，AB=6cm，AD=8cm，点 P 从 点 B 出 发 ，沿 对 角 线 BD 向 点 D 匀 速 运 动 ， 速 度 为 4cm/s， 过 点 P 作 PQ⊥ BD 交 BC 于 点 Q， 以 PQ 为 一 边 作 正 方 形 PQMN， 使 得 点 N 落 在 射 线 PD 上 ， 点 O 从 点 D 出 发 ， 沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 ，速 度 为 3m/s，以 O 为 圆 心 ，0.8cm 为 半 径 作 ⊙ O，点 P 与 点 O 同 时 出 发 ， 设 它 们 的 运 动 时 间 为 t（ 单 位 ： s）（ 0＜ t＜ ）． （ 1） 如 图 1， 连 接 DQ 平 分 ∠ BDC 时 ， t 的 值 为 　 　 ； （ 2） 如 图 2， 连 接 CM， 若 △ CMQ 是 以 CQ 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 求 t 的 值 ； （ 3） 请 你 继 续 进 行 探 究 ， 并 解 答 下 列 问 题 ： ① 证 明 ： 在 运 动 过 程 中 ， 点 O 始 终 在 QM 所 在 直 线 的 左 侧 ； ② 如 图 3， 在 运 动 过 程 中 ， 当 QM 与 ⊙ O 相 切 时 ， 求 t 的 值；并 判 断 此 时 PM 与 ⊙ O 是 否 也 相 切 ？ 说 明 理 由 ．参考答案： 1、【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD， ∴ ， ∵M 为 中点， ∴ = ， ∴ + = + ，即 = ， ∴BM=CM； （2）解：∵⊙O 的半径为 2， ∴⊙O 的周长为 4π， ∴ 的长= π． 2、【解答】（1）证明：连结 OD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠BDO， ∵∠CDA=∠CBD， ∴∠CDA=∠ODB， 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠ADO+∠CDA=90°， 即∠CDO=90°， ∴OD⊥CD， ∵OD 是⊙O 半径，∴CD 是⊙O 的切线 （2）解：∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴ ∵ ，BC=6， ∴CD=4， ∵CE，BE 是⊙O 的切线 ∴BE=DE，BE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2，即 BE2+62=（4+BE）2 解得：BE= ． 3、【解答】（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上， ∴∠ACB=90°， 又∵BC=3，AB=5， ∴由勾股定理得 AC=4； （2）证明：∵AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB， ∴∠DCA=∠CBA， 又∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠OAC+∠OBC=90°， ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°， ∴DC 是⊙O 的切线． 4、【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ACB=90°， ∵△AEF 为等边三角形， ∴∠CAB=∠EFA=60°， ∴∠B=30°， ∵∠EFA=∠B+∠FDB， ∴∠B=∠FDB=30°， ∴△DFB 是等腰三角形； （2）过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，设 AF=2a， ∵△AEF 是等边三角形，∴FM=EN=a，AM= a， 在 Rt△DAM 中，AD= AF=2 a，AM= ， ∴DM=5a，∴DF=BF=6a， ∴AB=AF+BF=8a，在 Rt△ABC 中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a， ∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC， ∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°， ∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°， ∴CF⊥AB． 6、【解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 AD， ∵ AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ ADB=90° ， 即 AD⊥ BC， ∵ CD=BD， ∴ AD 垂 直 平 分 BC， ∴ AB=AC， ∴ ∠ B=∠ C， 又 ∵ ∠ B=∠ E， ∴ ∠ E=∠ C； （ 2） 解 ： ∵ 四 边 形 AEDF 是 ⊙ O 的 内 接 四 边 形 ， ∴ ∠ AFD=180° ﹣ ∠ E， 又 ∵ ∠ CFD=180° ﹣ ∠ AFD， ∴ ∠ CFD=∠ E=55° ， 又 ∵ ∠ E=∠ C=55° ，∴ ∠ BDF=∠ C+∠ CFD=110° ； （ 3） 解 ： 连 接 OE， ∵ ∠ CFD=∠ E=∠ C， ∴ FD=CD=BD=4， 在 Rt△ ABD 中 ， cosB= ， BD=4， ∴ AB=6， ∵ E 是 的 中 点 ， AB 是 ⊙ O 的 直 径 ， ∴ ∠ AOE=90° ， ∵ AO=OE=3， ∴ AE=3 ， ∵ E 是 的 中 点 ， ∴ ∠ ADE=∠ EAB， ∴ △ AEG∽ △ DEA， ∴ = ， 即 EG• ED=AE2=18． 7、【解答】（1）证明：连接 AD、OD，如图所示． ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴点 D 为线段 BC 的中点． ∵点 O 为 AB 的中点， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴DF 是⊙O 的切线． （2）解：在 Rt△CFD 中，CF=1，DF= ， ∴tan∠C= = ，CD=2， ∴∠C=60°， ∵AC=AB， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AB=4． ∵OD∥AC， ∴∠DOG=∠BAC=60°， ∴DG=OD•tan∠DOG=2 ， ∴S 阴影=S△ODG﹣S 扇形 OBD= DG•OD﹣ πOB2=2 ﹣ π．8、【解答】（1）证明：连接 OD， ∵CD 是⊙O 切线， ∴∠ODC=90°， 即∠ODB+∠BDC=90°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， 即∠ODB+∠ADO=90°， ∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠A， ∴∠BDC=∠A； （2）∵CE⊥AE， ∴∠E=∠ADB=90°， ∴DB∥EC， ∴∠DCE=∠BDC， ∵∠BDC=∠A， ∴∠A=∠DCE， ∵∠E=∠E， ∴△AEC∽△CED， ∴ ， ∴EC2=DE•AE， ∴16=2（2+AD）， ∴AD=6．9、【解答】解：（1）连接 OB， ∵OA=OB=OC， ∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴AB=OC， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°， ∴∠AOF=∠BOF=30°， ∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD， ∴CD 是半圆 O 的切线； （2）∵BC∥OA， ∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD= BC= AB， ∴AE= AD，∵EF∥DH， ∴△AEF∽△ADH， ∴ ， ∵DH=6﹣3 ， ∴EF=2﹣ ， ∵OF=OA， ∴OE=OA﹣（2﹣ ）， ∵∠AOE=30°， ∴ = = ， 解得：OA=2． 10、【解答】（1）证明：连接 CO， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵AC 平分∠FAB， ∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥FD， ∵CE⊥DF， ∴OC⊥CE， ∴CE 是⊙O 的切线；（2）证明：连接 BC， 在 Rt△ACE 中，AC= = = ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA=90°， ∴∠BCA=∠CEA， ∵∠CAE=∠CAB， ∴△ABC∽△ACE， ∴ = ， ∴ ， ∴AB=5， ∴AO=2.5，即⊙O 的半径为 2.5． 11、【解答】（1）证明：∵CD=CB， ∴∠CBD=∠CDB， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠CBE=90°， ∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE， ∴∠BCE=∠DCE， 即∠BCD=2∠BCE， ∵∠BCD=2∠ABD，∴∠ABD=∠BCE， ∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°， ∴CB⊥AB， ∵CB 为直径， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）∵∠A=60°，DF= ， ∴在 Rt△AFD 中，AF= = =1， 在 Rt△BFD 中，BF=DF•tan60°= × =3， ∵DF⊥AB，CB⊥AB， ∴DF∥BC， ∴∠ADF=∠ACB， ∵∠A=∠A， ∴△ADF∽△ACB， ∴ = ， ∴ = ， ∴CB=4 ． 12、解：（1）证明：∵BC 直径为⊙O 的直径， ∴∠BEC＝90°. ∴∠ECF＋∠EFC＝90°. ∵∠ABC＝90°, ∴∠ABF＋∠EBC＝90°. 又∵E 为 的中点,CD∴∠EBC＝∠ECF. ∴∠EFC＝∠ABF. 又∵∠AFB＝∠EFC, ∴∠AFB＝∠ABF. ∴AB＝AF. （2）∵∠ABC＝90°, ∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋42＝5. 又∵AB＝AF＝3, ∴CF＝AC－AF＝5－3＝2. ∵∠EBC＝∠ECF,∠E＝∠E, ∴△EFC∽△ECB. ∴ CE BE＝ CF BC＝ 2 4＝ 1 2.∴BE＝2CE. ∵∠BEC＝90°, ∴BE2＋CE2＝BC2. ∴(2CE)2＋CE2＝42. ∴CE＝ 16 5 . 13、【解答】解：（1）相切，连接 OC， ∵C 为 的中点， ∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠ACO， ∴∠2=∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD，∴OC⊥CD， ∴直线 CD 与⊙O 相切； （2）方法 1：连接 CE， ∵AD=2，AC= ， ∵∠ADC=90°， ∴CD= = ， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴CD2=AD•DE， ∴DE=1， ∴CE= = ， ∵C 为 的中点， ∴BC=CE= ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB= =3． 方法 2：∵∠DCA=∠B， 易得△ADC∽△ACB， ∴ = ， ∴AB=3．14、【解答】（1）解：如图，连接 OC， ∵ 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合， ∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA， ∵OC=2， ∴CD=2CM=2 =2 =2 ； （2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°， ∴PC= = =2 ， ∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线； （3）解：GE•GF 是定值，证明如下： 如图，连接 GA、AF、GB， ∵点 G 为 的中点， ∴ = ， ∴∠BAG=∠AFG，又∵∠AGE=∠FGA， ∴△AGE∽△FGA， ∴ = ， ∴GE•GF=AG2， ∵AB 为直径，AB=4， ∴∠BAG=∠ABG=45°， ∴AG=2 ， ∴GE•GF=8． 15、【解答】解：（1）∵O（0，0），A（0，﹣6），B（8，0）， ∴OA=6，OB=8， ∴AB= =10， ∵∠AOB=90°， ∴AB 为⊙P 的直径， ∴⊙P 的半径是 5 ∵点 P 为 AB 的中点， ∴P（4，﹣3）； （2）∵M 点是劣弧 OB 的中点， ∴ = ，∴∠OAM=∠MAB， ∴AM 为∠OAB 的平分线； （3）连接 PM 交 OB 于点 Q，如图， ∵ = ， ∴PM⊥OB，BQ=OQ= OB=4， 在 Rt△PBQ 中，PQ= = =3， ∴MQ=2， ∴M 点的坐标为（4，2）； ∵MQ∥ON， 而 OQ=BQ， ∴MQ 为△BON 的中位线， ∴ON=2MQ=4， ∴N 点的坐标为（0，4）． 16、【解答】（1）证明：连接 OD，与 AF 相交于点 G， ∵CE 与⊙O 相切于点 D， ∴OD⊥CE， ∴∠CDO=90°， ∵AD∥OC， ∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠1=∠2， 在△CDO 和△CBO 中， ， ∴△CDO≌△CBO， ∴∠CBO=∠CDO=90°， ∴CB 是⊙O 的切线． （2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2， ∵∠ECB=60°， ∴∠3= ∠ECB=30°， ∴∠1=∠2=60°， ∴∠4=60°， ∵OA=OD， ∴△OAD 是等边三角形， ∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO， 在△ADG 和△FOG 中， ， ∴△ADG≌△FOG， ∴S△ADG=S△FOG， ∵AB=6， ∴⊙O 的半径 r=3，∴S 阴=S 扇形 ODF= = π． 17、【解答】证明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG， ∴EF⊥AD， ∵E 是 AD 的中点， ∴FA=FD， ∴∠FAD=∠D， ∵GB⊥AB， ∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°， ∴∠DCB=∠G， ∵∠DCB=∠GCF， ∴∠GCF=∠G ，∴FC=FG； （2）连接 AC，如图所示： ∵AB⊥BG， ∴AC 是⊙O 的直径， ∵FD 是⊙O 的切线，切点为 C， ∴∠DCB=∠CAB， ∵∠DCB=∠G， ∴∠CAB=∠G， ∵∠CBA=∠GBA=90°， ∴△ABC∽△GBA， ∴ = ， ∴AB2=BC•BG．18、【解 答 】（ 1） 解 ： 如 图 1 中 ， ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴ ∠ A=∠ C=∠ ADC=∠ ABC=90° ， AB=CD=6． AD=BC=8， ∴ BD= = =10， ∵ PQ⊥ BD， ∴ ∠ BPQ=90° =∠ C， ∵ ∠ PBQ=∠ DBC， ∴ △ PBQ∽ △ CBD， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴ PQ=3t， BQ=5t， ∵ DQ 平 分 ∠ BDC， QP⊥ DB， QC⊥ DC， ∴ QP=QC， ∴ 3t=6﹣ 5t， ∴ t= ， 故 答 案 为 ． （ 2） 解 ： 如 图 2 中 ， 作 MT⊥ BC 于 T． ∵ MC=MQ， MT⊥ CQ，∴ TC=TQ， 由 （ 1） 可 知 TQ= （ 8﹣ 5t）， QM=3t， ∵ MQ∥ BD， ∴ ∠ MQT=∠ DBC， ∵ ∠ MTQ=∠ BCD=90° ， ∴ △ QTM∽ △ BCD， ∴ = ， ∴ = ， ∴ t= （ s）， ∴ t= s 时 ， △ CMQ 是 以 CQ 为 底 的 等 腰 三 角 形 ． （ 3） ① 证 明 ： 如 图 2 中 ， 由 此 QM 交 CD 于 E， ∵ EQ∥ BD， ∴ = ， ∴ EC= （ 8﹣ 5t）， ED=DC﹣ EC=6﹣ （ 8﹣ 5t） = t， ∵ DO=3t， ∴ DE﹣ DO= t﹣ 3t= t＞ 0， ∴ 点 O 在 直 线 QM 左 侧 ． ② 解 ： 如 图 3 中 ， 由 ① 可 知 ⊙ O 只 有 在 左 侧 与 直 线 QM 相 切 于 点 H， QM 与 CD 交 于 点 E． ∵ EC= （ 8﹣ 5t）， DO=3t，∴ OE=6﹣ 3t﹣ （ 8﹣ 5t） = t， ∵ OH⊥ MQ， ∴ ∠ OHE=90° ， ∵ ∠ HEO=∠ CEQ， ∴ ∠ HOE=∠ CQE=∠ CBD， ∵ ∠ OHE=∠ C=90° ， ∴ △ OHE∽ △ BCD， ∴ = ， ∴ = ， ∴ t= ． ∴ t= s 时 ， ⊙ O 与 直 线 QM 相 切 ． 连 接 PM， 假 设 PM 与 ⊙ O 相 切 ， 则 ∠ OMH= PMQ=22.5° ， 在 MH 上 取 一 点 F， 使 得 MF=FO， 则 ∠ FMO=∠ FOM=22.5° ， ∴ ∠ OFH=∠ FOH=45° ， ∴ OH=FH=0.8， FO=FM=0.8 ， ∴ MH=0.8（ +1）， 由 = 得 到 HE= ， 由 = 得 到 EQ= ， ∴ MH=MQ﹣ HE﹣ EQ=4﹣ ﹣ = ， ∴ 0.8（ +1） ≠ ， 矛 盾 ，∴ 假 设 不 成 立 ． ∴ 直 线 MQ 与 ⊙ O 不 相 切 ．