2020年河南中考数学一模试卷

第 1 页（共 29 页） 2020 年河南省中考数学一模试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3 分）下列各数中，最大的数是（　　） A．﹣ B． C．0 D．﹣2 2．（3 分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有 26.8 万人次游览了植物园和动物园， 则数据 26.8 万用科学记数法表示正确的是（　　） A．268×103 B．26.8×104 C．2.68×105 D．0.268×106 3．（3 分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．（x﹣3）2＝x2﹣9 C．a3•a3＝a6 D． 5．（3 分）下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10﹣x 对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差 6．（3 分）若关于 x 的方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 7．（3 分）在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，再添加一个条件，仍不能判定 四边形 ABCD 是矩形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC第 2 页（共 29 页） 8．（3 分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有 5 节车厢，且阿 信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同 一节车厢上车的概率为何（　　） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD ＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点 D 为△ABC 的外心 D．∠ACB＝90° 10．（3 分）在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，动点 F 从点 D 出发，沿折线 D﹣C﹣B 运动，两点的速度均为 1cm/s，到达终点均停止运动，设 AE 的长为 x，△AEF 的面积为 y，则 y 与 x 的图象大致 为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）第 3 页（共 29 页） 11．（3 分）若 ，则 x2+2x+1＝　 　． 12．（3 分）已知反比例函数 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围 是　 　． 13．（3 分）不等式组 有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是　 　． 14．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，分别以点 A，B 为圆 心， AC，BC 的长为 半径 画弧 ，交 AB 于点 D ， E，则 图中 阴影部 分的 面积 是　 　． 15．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝3，点 M 为 AB 边上一点，AM＝2， 点 N 为 AD 边上的一动点，沿 MN 将△AMN 翻折，点 A 落在点 P 处，当点 P 在菱形的对 角线上时，AN 的长度为　 　． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中 x＝sin30°+2﹣1+ ． 17．（9 分）如图，△ABC 内接于圆 O，且 AB＝AC，延长 BC 到点 D，使 CD＝CA，连接 AD 交圆 O 于点 E． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC 的度数为　 　时，四边形 AOCE 是菱形． ②若 AE＝ ，AB＝2 ，则 DE 的长为　 　．第 4 页（共 29 页） 18．（9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由 父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数 学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结 果制成如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有　 　名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为　 　； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动， 请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？ 19．（9 分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距 BC 为 50 米，在乙楼顶部 A 点测得甲 楼顶部 D 点的仰角为 37°，在乙楼底部 B 点测得甲楼顶部 D 点的仰角为 60°，则甲、 乙两楼的高度为多少？（结果精确到 1 米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75， ≈1.73） 20．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂 足为点 B，反比例函数 y＝ （x＜0）的图象经过 AO 的中点 C，交 AB 于点 D．若点 D 的坐标为（﹣4，n），且 AD＝3．第 5 页（共 29 页） （1）求反比例函数 y＝ 的表达式； （2）求经过 C、D 两点的直线所对应的函数解析式； （3）设点 E 是线段 CD 上的动点（不与点 C、D 重合），过点 E 且平行 y 轴的直线 l 与反 比例函数的图象交于点 F，求△OEF 面积的最大值． 21．（10 分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说， 该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价 为 20 元．根据以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每 上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y（本）与销售单价 x（元）之间的 函数关系式及自变量的取值范围． （2）书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐 赠后可获得最大利润为 1960 元，求 a 的值． 22．（10 分）【问题提出】在△ABC 中，AB＝AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BD ＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且 α+β＝120°，连接 AD，求∠ADB 的度数．（不必解 答） 【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当 α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识， 以 AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接 CD′（如图 2），然后利用 α＝ 90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．第 6 页（共 29 页） 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D ′BC 的形状是　 　 三角形；∠ADB 的度数为　 　． 【问题解决】 在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图 1）时，请计算∠ADB 的度数； 【拓展应用】在原问题中，过点 A 作直线 AE⊥BD，交直线 BD 于 E，其他条件不变若 BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段 BE 的长为　 　． 23．（11 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），点 B（3，0），与 y 轴 交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q 是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值． （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标．第 7 页（共 29 页） 2020 年河南省中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的） 1．（3 分）下列各数中，最大的数是（　　） A．﹣ B． C．0 D．﹣2 【分析】比较确定出最大的数即可． 【解答】解：﹣2＜﹣ ＜0＜ ， 则最大的数是 ， 故选：B． 【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（3 分）据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有 26.8 万人次游览了植物园和动物园， 则数据 26.8 万用科学记数法表示正确的是（　　） A．268×103 B．26.8×104 C．2.68×105 D．0.268×106 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的 值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 26.8 万用科学记数法表示为：2.68×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．第 8 页（共 29 页） 【解答】解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示， 故选：C． 【点评】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图 是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4．（3 分）下列计算正确的是（　　） A．a3+a3＝a6 B．（x﹣3）2＝x2﹣9 C．a3•a3＝a6 D． 【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算法则分别计 算得出答案． 【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误； B、（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，故此选项错误； C、a3•a3＝a6，正确； D、 + 无法计算，故此选项错误． 故选：C． 【点评】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和同底数幂的乘除运算，正确掌 握相关运算法则是解题关键． 5．（3 分）下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 13 14 15 16 频数 5 15 x 10﹣x 对于不同的 x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（　　） A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为 10，即可得知总人数，结合前两组的频数 知出现次数最多的数据及第 15、16 个数据的平均数，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为 15 岁与年龄为 16 岁的频数和为 x+10﹣x＝10， 则总人数为：5+15+10＝30， 故该组数据的众数为 14 岁，中位数为： ＝14 岁， 即对于不同的 x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B．第 9 页（共 29 页） 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本， 熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 6．（3 分）若关于 x 的方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 【分析】根据△的意义得到 k≠0 且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共 部分即可． 【解答】解：∵x 的方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， ∴k≠0 且△＝4﹣4k×（﹣1）＞0，解得 k＞﹣1， ∴k 的取值范围为 k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△ ＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程 没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 7．（3 分）在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，再添加一个条件，仍不能判定 四边形 ABCD 是矩形的是（　　） A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形， 对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、AB＝AD，则▱ABCD 是菱形，不能判定是矩形，故本选项错误； B、OA＝OB，根据平行四边形的对角线互相平分，AC＝BD，对角线相等的平行四边形 是矩形可得▱ABCD 是矩形，故本选项正确； C、AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确； D、DC⊥BC，则∠BCD＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得▱ABCD 是 矩形，故本选项正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行 四边形是解题关键．第 10 页（共 29 页） 8．（3 分）阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有 5 节车厢，且阿 信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同 一节车厢上车的概率为何（　　） A． B． C． D． 【分析】根据阿信、小怡各有 5 节车厢可选择，共有 25 种，两人在不同车厢的情况数是 20 种，得出在同一节车厢上车的情况数是 5 种，根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：二人上 5 节车厢的情况数是：5×5＝25， 两人在不同车厢的情况数是 5×4＝20， 则两人从同一节车厢上车的概率是 ＝ ； 故选：B． 【点评】此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数 之比． 9．（3 分）如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B、C 为圆心，以大于 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、N；②作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD ＝AD，∠B＝20°，则下列结论中错误的是（　　） A．∠CAD＝40° B．∠ACD＝70° C．点 D 为△ABC 的外心 D．∠ACB＝90° 【分析】由题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线，故 BN＝CN，∠B＝∠C，故可 得出∠CDA 的度数，根据 CD＝AD 可知∠DCA＝∠CAD，故可得出∠CAD 的度数，进而 可得出结论． 【解答】解：∵由题意可知直线 MN 是线段 BC 的垂直平分线， ∴BD＝CD，∠B＝∠BCD， ∵∠B＝20°， ∴∠B＝∠BCD＝20°， ∴∠CDA＝20°+20°＝40°．第 11 页（共 29 页） ∵CD＝AD， ∴∠ACD＝∠CAD＝ ＝70°， ∴A 错误，B 正确； ∵CD＝AD，BD＝CD， ∴CD＝AD＝BD， ∴点 D 为△ABC 的外心，故 C 正确； ∵∠ACD＝70°，∠BCD＝20°， ∴∠ACB＝70°+20°＝90°，故 D 正确． 故选：A． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关 键． 10．（3 分）在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，∠B＝60°，BC＝2cm，动点 E 从点 A 出发沿 AB 向点 B 运动，动点 F 从点 D 出发，沿折线 D﹣C﹣B 运动，两点的速度均为 1cm/s，到达终点均停止运动，设 AE 的长为 x，△AEF 的面积为 y，则 y 与 x 的图象大致 为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意找到临界点，E、F 分别同时到达 D、C，画出一般图形利用锐角三角 函数表示 y 即可． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，D 为斜边 AB 的中点，∠B＝60°，BC＝2cm， ∴AD＝DC＝DB＝2，∠CDB＝60°第 12 页（共 29 页） ∵EF 两点的速度均为 1cm/s ∴当 0≤x≤2 时，y＝ 当 2≤x≤4 时，y＝ 由图象可知 A 正确 故选：A． 【点评】本题为动点问题可函数图象探究题，考查了二次函数图象和锐角三角函数函数 的应用，解答关键是分析动点到达临界点前后图形的变化． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）若 ，则 x2+2x+1＝　2　． 【分析】首先把所求的式子化成＝（x+1）2 的形式，然后代入求值． 【解答】解：原式＝（x+1）2， 当 x＝ ﹣1 时，原式＝（ ）2＝2． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求式子进行变形是关键． 12．（3 分）已知反比例函数 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是　m ＞2　． 【分析】根据反比例函数 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，可得出 m﹣2＞0， 解之即可得出 m 的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数 y＝ ，当 x＞0 时，y 随 x 增大而减小， ∴m﹣2＞0， 解得：m＞2． 故答案为：m＞2． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出 m﹣2＞0 是解题的 关键． 13．（3 分）不等式组 有 2 个整数解，则实数 a 的取值范围是　8≤a＜13　． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含 a 的式子表示，根据整数解的个数就可以 确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 a 的不等式，从而求出 a 的范围． 【解答】解：解不等式 3x﹣5＞1，得：x＞2，第 13 页（共 29 页） 解不等式 5x﹣a≤12，得：x≤ ， ∵不等式组有 2 个整数解， ∴其整数解为 3 和 4， 则 4≤ ＜5， 解得：8≤a＜13， 故答案为：8≤a＜13． 【点评】本题考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定 a 的 范围是解决本题的关键． 14．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝ ，分别以点 A，B 为圆心，AC，BC 的长为半径画弧，交 AB 于点 D，E，则图中阴影部分的面积是　 ﹣ 　． 【分析】根据题意和图形可知阴影部分的面积是扇形 BCE 与扇形 ACD 的面积之和与 Rt△ ABC 的面积之差． 【解答】解：∵在 Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝ ， ∴∠B＝60°，BC＝tan30°×AC＝1， 阴影部分的面积 S＝S 扇 形 BCE+S 扇 形 ACD ﹣S △ ACB ＝ + ﹣ ＝ ﹣ ， 故答案为： ﹣ ． 【点评】本题考查扇形面积的计算、含 30°角的直角三角形，解答本题的关键是明确题 意，利用数形结合的思想解答． 15．（3 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝3，点 M 为 AB 边上一点，AM＝2， 点 N 为 AD 边上的一动点，沿 MN 将△AMN 翻折，点 A 落在点 P 处，当点 P 在菱形的对 角线上时，AN 的长度为　2 或 5﹣ 　．第 14 页（共 29 页） 【分析】分两种情况：①当点 P 在菱形对角线 AC 上时，由折叠的性质得：AN＝PN，AM ＝PM，证出∠AMN＝∠ANM＝60°，得出 AN＝AM＝2； ②当点 P 在菱形对角线 BD 上时，设 AN＝x，由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝ x，∠MPN＝∠A＝60°，求出 BM＝AB﹣AM＝1，证明△PDN∽△MBP，得出 ＝ ＝ ，求出 PD＝ x，由比例式 ＝ ，求出 x 的值即可． 【解答】解：分两种情况：①当点 P 在菱形对角线 AC 上时，如图 1 所示： ：由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠PAM＝∠PAN＝30°， ∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°， ∴AN＝AM＝2； ②当点 P 在菱形对角线 BD 上时，如图 2 所示： 设 AN＝x， 由折叠的性质得：PM＝AM＝2，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°， ∵AB＝3， ∴BM＝AB﹣AM＝1， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∠PDN＝∠MBP＝ ∠ADC＝60°， ∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°， ∴∠BPM＝∠DNP， ∴△PDN∽△MBP， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，第 15 页（共 29 页） ∴PD＝ x， ∴ ＝ x 解得：x＝5﹣ 或 x＝5+ （不合题意舍去）， ∴AN＝5﹣ ， 综上所述，AN 的长为 2 或 5﹣ ； 故答案为：2 或 5﹣ ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三 角形的判定以及分类讨论等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是关键． 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求值： ÷（ ﹣x+1），其中 x＝sin30°+2﹣1+ ． 【分析】根据分式的运算法则以及实数的运算法则即可求出答案． 【解答】解：当 x＝sin30°+2﹣1+ 时， ∴x＝ + +2＝3 原式＝ ÷ ＝ ＝﹣5 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于第 16 页（共 29 页） 基础题型． 17．（9 分）如图，△ABC 内接于圆 O，且 AB＝AC，延长 BC 到点 D，使 CD＝CA，连接 AD 交圆 O 于点 E． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）填空： ①当∠ABC 的度数为　60°　时，四边形 AOCE 是菱形． ②若 AE＝ ，AB＝2 ，则 DE 的长为　 　． 【分析】（1）根据 AAS 证明两三角形全等； （2）①先证明∠AOC＝∠AEC＝120°，∠OAE＝∠OCE＝60°，可得▱AOCE，由 OA＝ OC 可得结论； ②由△ABE≌△CDE 知 AE＝CE＝ ，AB＝CD＝2 ，证△DCE∽△DAB 得 ＝ ， 据此求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD， ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形， ∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB， ∴∠CED＝∠AEB， ∴△ABE≌△CDE（AAS）； （2）①当∠ABC 的度数为 60°时，四边形 AOCE 是菱形； 理由是：连接 AO、OC，第 17 页（共 29 页） ∵四边形 ABCE 是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠ABC＝60， ∴∠AEC＝120°＝∠AOC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵AB＝AC， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠OAE＝∠OCE＝60°， ∴四边形 AOCE 是平行四边形， ∵OA＝OC， ∴▱AOCE 是菱形； ②∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝ ，AB＝CD＝2 ， ∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D， ∴△DCE∽△DAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得 DE＝ ， 故答案为： ． 【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定、三第 18 页（共 29 页） 角形相似和全等的性质和判定、四点共圆的性质、菱形的判定等知识，难度适中，正确 判断圆中角的关系是关键． 18．（9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A．由 父母一方照看；B．由爷爷奶奶照看；C．由叔姨等近亲照看；D．直接寄宿学校．某数 学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结 果制成如下两幅不完整的统计图． （1）该班共有　10　名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为　144　； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动， 请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？ 【分析】（1）依据 C 类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据 B 类 型留守学生所占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数； （2）依据 D 类型留守学生的数量，即可将条形统计图补充完整； （3）依据 D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱 活动中受益． 【解答】解：（1）2÷20%＝10（人）， ×100%×360°＝144°， 故答案为：10，144； （2）10﹣2﹣4﹣2＝2（人）， 如图所示：第 19 页（共 29 页） （3）2400× ×20%＝96（人）， 答：估计该校将有 96 名留守学生在此关爱活动中受益． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 19．（9 分）如图，某小区有甲、乙两座楼房，楼间距 BC 为 50 米，在乙楼顶部 A 点测得甲 楼顶部 D 点的仰角为 37°，在乙楼底部 B 点测得甲楼顶部 D 点的仰角为 60°，则甲、 乙两楼的高度为多少？（结果精确到 1 米，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75， ≈1.73） 【分析】作 AE⊥CD 于 E．则四边形 ABCE 是矩形．解直角三角形分别求出 CD，DE 即 可解决问题． 【解答】解：作 AE⊥CD 于 E．则四边形 ABCE 是矩形． 在 Rt△BCD 中，CD＝BC•tan60°＝50× ≈87（米）， 在 Rt△ADE 中，∵DE＝AE•tan37°＝50×0.75≈38（米），第 20 页（共 29 页） ∴AB＝CE＝CD﹣DE＝87﹣38＝49（米）． 答：甲、乙两楼的高度分别为 87 米，49 米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型． 20．（9 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂 足为点 B，反比例函数 y＝ （x＜0）的图象经过 AO 的中点 C，交 AB 于点 D．若点 D 的坐标为（﹣4，n），且 AD＝3． （1）求反比例函数 y＝ 的表达式； （2）求经过 C、D 两点的直线所对应的函数解析式； （3）设点 E 是线段 CD 上的动点（不与点 C、D 重合），过点 E 且平行 y 轴的直线 l 与反 比例函数的图象交于点 F，求△OEF 面积的最大值． 【分析】（1）先确定出点 A 坐标，进而得出点 C 坐标，将点 C，D 坐标代入反比例函数 中即可得出结论； （2）由 n＝1，求出点 C，D 坐标，利用待定系数法即可得出结论； （3）设出点 E 坐标，进而表示出点 F 坐标，即可建立面积与 m 的函数关系式即可得出 结论． 【解答】解：（1）∵AD＝3，D（﹣4，n）， ∴A（﹣4，n+3）， ∵点 C 是 OA 的中点， ∴C（﹣2， ）， ∵点 C，D（﹣4，n）在双曲线 y＝ 上， ∴ ，第 21 页（共 29 页） ∴ ， ∴反比例函数解析式为 y＝﹣ ； ②由①知，n＝1， ∴C（﹣2，2），D（﹣4，1）， 设直线 CD 的解析式为 y＝ax+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线 CD 的解析式为 y＝ x+3； （3）如图，由（2）知，直线 CD 的解析式为 y＝ x+3， 设点 E（m， m+3）， 由（2）知，C（﹣2，2），D（﹣4，1）， ∴﹣4＜m＜﹣2， ∵EF∥y 轴交双曲线 y＝﹣ 于 F， ∴F（m，﹣ ）， ∴EF＝ m+3+ ， ∴S△OEF＝ （ m+3+ ）×（﹣m）＝﹣ （ m2+3m+4）＝﹣ （m+3）2+ ， ∵﹣4＜m＜﹣2， ∴m＝﹣3 时，S△OEF 最大，最大值为 ．第 22 页（共 29 页） 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解 本题的关键是建立 S△OEF 与 m 的函数关系式． 21．（10 分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说， 该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价 为 20 元．根据以往经验：当销售单价是 25 元时，每天的销售量是 250 本；销售单价每 上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元． （1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y（本）与销售单价 x（元）之间的 函数关系式及自变量的取值范围． （2）书店决定每销售 1 本该科幻小说，就捐赠 a（0＜a≤6）元给困难职工，每天扣除捐 赠后可获得最大利润为 1960 元，求 a 的值． 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元．根据题意得到 w＝（x﹣20﹣a）（﹣ 10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38）求得对称轴为 x＝35+ a，若 0＜a＜6，则 30 a，则当 x＝35+ a 时，w 取得最大值，解方程得到 a1＝ 2，a2＝58，于是得到 a＝2． 【解答】解：（1）根据题意得，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500（30≤x≤38）； （2）设每天扣除捐赠后可获得利润为 w 元． w＝（x﹣20﹣a）（﹣10x+500）＝﹣10x2+（10a+700）x﹣500a﹣10000（30≤x≤38） 对称轴为 x＝35+ a，且 0＜a≤6，则 30 a≤38， 则当 x＝35+ a 时，w 取得最大值， ∴（35+ a﹣20﹣a）[﹣10（35+ a）+500]＝1960 ∴a1＝2，a2＝58（不合题意舍去）， ∴a＝2． 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增 减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型． 22．（10 分）【问题提出】在△ABC 中，AB＝AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BD ＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，且 α+β＝120°，连接 AD，求∠ADB 的度数．（不必解第 23 页（共 29 页） 答） 【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当 α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识， 以 AB 为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接 CD′（如图 2），然后利用 α＝ 90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题． 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC 的形状是　等边　 三角形；∠ADB 的度数为　30°　． 【问题解决】 在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图 1）时，请计算∠ADB 的度数； 【拓展应用】在原问题中，过点 A 作直线 AE⊥BD，交直线 BD 于 E，其他条件不变若 BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段 BE 的长为　7+ 或 7﹣ 　． 【分析】【特例探究】①如图 2 中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接 CD′，AD′， 由△ABD≌△ABD′，推出△D′BC 是等边三角形； ②借助①的结论，再判断出△AD′B≌△AD′C，得∠AD′B＝∠AD′C，由此即可解 决问题． 【问题解决】当 60°＜α≤120°时，如图 3 中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连 接 CD′，AD′，证明方法类似（1）． 【拓展应用】第①种情况：当 60°＜α≤120°时，如图 3 中，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接 CD′，AD′，证明方法类似（1），最后利用含 30 度角的直角三角形求 出 DE，即可得出结论； 第②种情况：当 0°＜α＜60°时，如图 4 中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接 CD′，AD′．证明方法类似（1），最后利用含 30 度角的直角三角形的性质即可得出结 论． 【解答】解：【特例探究】①如图 2 中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接 CD′， AD′，第 24 页（共 29 页） ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°， 在△ABD 和△ABD′中， ∴△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B， ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°， ∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC， ∴△D′BC 是等边三角形， ②∵△D′BC 是等边三角形， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°， 在△AD′B 和△AD′C 中， ∴△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B＝ ∠BD′C＝30°， ∴∠ADB＝30°． 故答案为：等边，30°； 【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，第 25 页（共 29 页） ∴60°＜α≤120°， 如图 3 中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接 CD′，AD′， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BAC＝α， ∴∠ABC＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣ α﹣β， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣ α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B ∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣ α﹣β+90°﹣ α＝180°﹣（α+β）， ∵α+β＝120°， ∴∠D′BC＝60°， 由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∴∠AD′B＝ ∠BD′C＝30°， ∴∠ADB＝30°． 【拓展应用】第①情况：当 60°＜α＜120°时，如图 3﹣1， 由（2）知，∠ADB＝30°， 作 AE⊥BD，第 26 页（共 29 页） 在 Rt△ADE 中，∠ADB＝30°，AD＝2， ∴DE＝ ， ∵△BCD'是等边三角形， ∴BD'＝BC＝7， ∴BD＝BD'＝7， ∴BE＝BD﹣DE＝7﹣ ； 第②情况：当 0°＜α＜60°时， 如图 4 中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接 CD′，AD′． 同理可得：∠ABC＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α， ∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣ α）， 同（1）①可证△ABD≌△ABD′， ∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣ α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B， ∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣ α﹣[β﹣（90°﹣ α）]＝180°﹣（α+β）， ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°． 同（1）②可证△AD′B≌△AD′C， ∴∠AD′B＝∠AD′C， ∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°， ∴∠ADB＝∠AD′B＝150°， 在 Rt△ADE 中，∠ADE＝30°，AD＝2， ∴DE＝ ， ∴BE＝BD+DE＝7+ ，第 27 页（共 29 页） 故答案为：7+ 或 7﹣ ． 【点评】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质．等边三角形的性质、 等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考常考题型． 23．（11 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），点 B（3，0），与 y 轴 交于点 C，且过点 D（2，﹣3）．点 P、Q 是抛物线 y＝ax2+bx+c 上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 在直线 OD 下方时，求△POD 面积的最大值． （3）直线 OQ 与线段 BC 相交于点 E，当△OBE 与△ABC 相似时，求点 Q 的坐标． 【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点 D 坐标代入上式，即可求解； （2）S△POD＝ ×OG（xD﹣xP）＝ （3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+ m+3，即可求解； （3）分∠ACB＝∠BOQ、∠BAC＝∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直 线 OQ 倾斜角，进而求解． 【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点 D 坐标代入上式并解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）设直线 PD 与 y 轴交于点 G，设点 P（m，m2﹣2m﹣3），第 28 页（共 29 页） 将点 P、D 的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t 并解得： 直线 PD 的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则 OG＝3+2m， S△POD＝ ×OG（xD﹣xP）＝ （3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+ m+3， ∵﹣1＜0，故 S△POD 有最大值，当 m＝ 时，其最大值为 ； （3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°， ∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE 与△ABC 相似时，分为两种情况： ①当∠ACB＝∠BOQ 时， AB＝4，BC＝3 ，AC＝ ， 过点 A 作 AH⊥BC 于点 H， S△ABC＝ ×AH×BC＝ AB×OC，解得：AH＝2 ， 则 sin∠ACB＝ ＝ ，则 tan∠ACB＝2， 则直线 OQ 的表达式为：y＝﹣2x…②，第 29 页（共 29 页） 联立①②并解得：x＝ ， 故点 Q1（ ，﹣2 ），Q2（﹣ ，2 ）（舍去）， ②∠BAC＝∠BOQ 时， tan∠BAC＝ ＝3＝tan∠BOQ， 则点 Q（n，﹣3n）， 则直线 OQ 的表达式为：y＝﹣3x…③， 联立①③并解得：x＝ ， 故点 Q3（ ， ），Q4（ ， ） （若 Q 点横坐标取负，直接 OQ 就无法与线段 BC 相交，舍去 Q4）； 综上，当△OBE 与△ABC 相似时，Q 的坐标为：（ ，﹣2 ）或（ ， ）或（ ， ）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的 计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/2/13 15:48:59；用户：3178537625；邮箱：3178537625@qq.com；学号：9978245