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2020 年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（2）
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）将方程 3x2+1＝6x 化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系
数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣6，1 B．3，6，1 C．3，1，﹣6 D．3，1，6
2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3 分）将抛物线 y＝x2 向右平移两个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣4
4．（3 分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷一次骰
子，设两枚骰子向上一面的点数之和为 S，则下列事件属于随机事件的是（ ）
A．S＝6 B．S＞13 C．S＝1 D．S＞1
5．（3 分）已知⊙O 的直径为 12cm，圆心到直线 L 的距离 5cm，则直线 L 与⊙O 的公共点
的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
6．（3 分）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）
一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D、
C 两点到门槛 AB 距离为 1 尺（1 尺＝10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度
（两扇门的和）AB 为（ ）
A．100 寸 B．101 寸 C．102 寸 D．103 寸
7．（3 分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三
只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）第 2 页（共 28 页）
A． B． C． D．
8．（3 分）如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，将扇形 OAB 绕点 B 逆时针旋转，得到扇
形 BDC，若点 O 刚好落在弧 AB 上的点 D 处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（3 分）我们可以用折纸的方法求方程 x2+x﹣1＝0 的一个正根．如图，裁一张边长为 1
的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线
段 EA 上，折出点 B 的新位置 F，因而 EF＝EB，类似地，在 AB 上折出点 M，使 AM＝AF
，表示方程 x2+x﹣1＝0 的一个正根的线段是（ ）
A．线段 BM B．线段 AM C．线段 BE D．线段 AE
10．（3 分）如图，直线 y＝2x 与直线 x＝2 相交于点 A，将抛物线 y＝x2 沿线段 OA 从点 O
运动到点 A，使其顶点始终在线段 OA 上，抛物线与直线 x＝2 相交于点 P，则点 P 移动
的路径长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）第 3 页（共 28 页）
11．（3 分）已知 3 是一元二次方程 x2+m＝0 的一个根，则该方程的另一个根是 ．
12．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 ．
13．（3 分）一个口袋中有 6 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明
为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把
它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸
了 100 次，其中 60 次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有
个．
14．（3 分）要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框
所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为 21cm，宽为 10cm，求镜框的宽
度．设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程，化成一般式为 ．
15．（3 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面
宽度增加 m．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，E，F 分别是边 AB，AD 上的动点，AE＝DF
，连接 DE，CF 交于点 P，过点 P 作 PK∥BC，且 PK＝2，若∠CBK 的度数最大时，则
BK 长为 ．
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（8 分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
18．（8 分）已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E，若 BC＝BE．
求证：△ADE 是等腰三角形．第 4 页（共 28 页）
19．（8 分）某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了 A、B、C、D 四份听力材料，
它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有 a、b 是两份口语材料，它们的难易程度分
别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；
（2）用树状图形或列表法，求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A（0，1），B（1，3）
，C（4，3）．
（1）将△ABC 平移得到△A1B1C1，且 C1 的坐标是（0，﹣1），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）小娟发现△A1B1C1 绕点 P 旋转也可以得到△A2B2C2，请直接写出点 P 的坐标．
21．（8 分）在⊙O 中，直径 AB⊥弦 CD 于点 F，点 E 是弧 AD 上一点，连 BE 交 CD 于点 N
，点 P 在 CD 的延长线上，PN＝PE．
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）连接 DE，若 DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求 PN 的长．第 5 页（共 28 页）
22．（10 分）某商场销售一种成本为每件 30 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y（
件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似看作一次函数 y＝﹣10x+600，商场销售该商
品每月获得利润为 w（元）．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得 2000 元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）若销售价不低于 40 元且不高于 55 元，请直接写出每月销售新产品的利润 w 的取值
范围．
23．（10 分）在△ABC 中，∠ABC＝120°，线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CD
，连接 BD．
（1）如图 1，若 AB＝BC，求证：BD 平分∠ABC；
（2）如图 2，若 AB＝2BC，①求 的值；
②连接 AD，当 S△ABC＝ 时，直接写出四边形 ABCD 的面积为 ．
24．（12 分）已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+3 与 x 轴交于点 A、B（A 左 B 右），且 AB＝4，与
y 轴交于 C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，证明：对于任意给定的一点 P（0，b）（b＞3），存在过点 P 的一条直线交
抛物线于 M、N 两点，使得 PM＝MN 成立；
（3）将该抛物线在 0≤x≤4 间的部分记为图象 G，将图象 G 在直线 y＝t 上方的部分沿 y
＝t 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 m，最第 6 页（共 28 页）
小值为 n，若 m﹣n≤6，求 t 的取值范围．第 7 页（共 28 页）
2020 年湖北省武汉市九年级元月调考数学模拟试卷（2）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）将方程 3x2+1＝6x 化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系
数和常数项分别是（ ）
A．3，﹣6，1 B．3，6，1 C．3，1，﹣6 D．3，1，6
【分析】方程整理后为一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．
【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x+1＝0，
二次项系数为 3；一次项系数为﹣6，常数项为 1，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝
0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知
识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次
项系数，一次项系数，常数项．
2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称的概念，把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图
形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．第 8 页（共 28 页）
3．（3 分）将抛物线 y＝x2 向右平移两个单位，再向下平移 4 个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝（x+2）2+4 B．y＝（x﹣2）2﹣4 C．y＝（x﹣2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣4
【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标
减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），
向右平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位后的图象的顶点坐标为（2，﹣4），
所以，所得图象的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利
用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
4．（3 分）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，掷一次骰
子，设两枚骰子向上一面的点数之和为 S，则下列事件属于随机事件的是（ ）
A．S＝6 B．S＞13 C．S＝1 D．S＞1
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断
即可．
【解答】解：A、两枚骰子向上一面的点数之和 S 等于 6 是随机事件，符合题意；
B、两枚骰子向上一面的点数之和 S 大于 13 是不可能事件，不合题意；
C、两枚骰子向上一面的点数之和 S 等于 1 是不可能事件，不合题意；
D、两枚骰子向上一面的点数之和 S 大于 1 是必然事件，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条
件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事
件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3 分）已知⊙O 的直径为 12cm，圆心到直线 L 的距离 5cm，则直线 L 与⊙O 的公共点
的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【分析】先求出圆的半径，圆心到直线的距离与半径比较即可判断出直线和圆的位置关
系，从而确定公共点的个数．
【解答】解：∵⊙O 的直径为 12cm，
∴⊙O 的半径为 6cm，第 9 页（共 28 页）
∵圆心到直线 L 的距离为 5cm，
∴直线 L 与圆是相交的位置关系，
∴直线 L 与⊙O 的公共点的个数为 2 个．
故选：A．
【点评】直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．
若圆心到直线的距离是 d，半径是 r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d＝r，直
线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．
6．（3 分）在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）
一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD 和 BC），门边缘 D、
C 两点到门槛 AB 距离为 1 尺（1 尺＝10 寸），双门间的缝隙 CD 为 2 寸，那么门的宽度
（两扇门的和）AB 为（ ）
A．100 寸 B．101 寸 C．102 寸 D．103 寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设 OA＝OB＝AD＝BC＝r，过 D 作 DE⊥AB 于 E，
则 DE＝10，OE＝ CD＝1，AE＝r﹣1．
在 Rt△ADE 中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得 2r＝101．
故门的宽度（两扇门的和）AB 为 101 寸．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（3 分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，则三
只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ ）第 10 页（共 28 页）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有两只雌鸟的情况数，即可求出所
求的概率．
【解答】解：画树状图，如图所示：
所有等可能的情况数有 8 种，其中三只雏鸟中恰有两只雌鸟的情况数有 3 种，
则 P＝ ．
故选：B．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
8．（3 分）如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝90°，将扇形 OAB 绕点 B 逆时针旋转，得到扇
形 BDC，若点 O 刚好落在弧 AB 上的点 D 处，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】如图，连 OD、AB、BC，延长 AD 交 BC 于 H 点，由旋转的性质可得 BD＝BO＝
OD＝CD＝OA，∠BDC＝90°，可证△ABC 是等边三角形，由线段垂直平分线的性质可
得 AH 垂直平分 BC，由等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质可得 AC＝2CH，AD＝
CH﹣CH，即可求解．
【解答】解：如图，连 OD、AB、BC，延长 AD 交 BC 于 H 点，第 11 页（共 28 页）
∵将扇形 OAB 绕点 B 逆时针旋转，得到扇形 BDC，若点 O 刚好落在弧 AB 上的点 D 处，
∴BD＝BO＝OD＝CD＝OA，∠BDC＝90°
∴∠OBD＝60°，即旋转角为 60°，
∴∠ABC＝60°，又可知 AB＝BC，
∴△ABC 是等边三角形，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AH 垂直平分 BC，
∴∠CAH＝30°，
∴AC＝2CH，AH＝ CH，
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，DH⊥BC，
∴DH＝CH，
∴AD＝ CH﹣CH，
∴ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，利用 CH 表示 AC 和 AD 是本题的
关键．
9．（3 分）我们可以用折纸的方法求方程 x2+x﹣1＝0 的一个正根．如图，裁一张边长为 1
的正方形纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落在线
段 EA 上，折出点 B 的新位置 F，因而 EF＝EB，类似地，在 AB 上折出点 M，使 AM＝AF
，表示方程 x2+x﹣1＝0 的一个正根的线段是（ ）第 12 页（共 28 页）
A．线段 BM B．线段 AM C．线段 BE D．线段 AE
【分析】设 AM＝AF＝x，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设 AM＝AF＝x，由题意知 EF＝BE＝ ，在 Rt△ABE 中，
AB2+BE2＝AE2，即 1+（ ）2＝（x+ ）2，整理得 x2+x﹣1＝0，
即 AM 为方程 x2+x﹣1＝0 的一个正数根．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用正确找出题中等量关系，本题
属于基础题型．
10．（3 分）如图，直线 y＝2x 与直线 x＝2 相交于点 A，将抛物线 y＝x2 沿线段 OA 从点 O
运动到点 A，使其顶点始终在线段 OA 上，抛物线与直线 x＝2 相交于点 P，则点 P 移动
的路径长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据点 M 在 y＝2x 上可得相应坐标，即可用顶点式表示出相应的二次函数解析
式，求出点 P 的坐标，利用二次函数的性质解决问题即可．
【解答】解：∵设抛物线的顶点 M 的横坐标为 m，且在线段 OA 上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2）．
∴当抛物线运动到 A 点时，顶点 M 的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为 y＝（x﹣m）2+2m．
∴当 x＝2 时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），
∴点 P 的坐标是（2，m2﹣2m+4）．第 13 页（共 28 页）
∵对于二次函数 y′＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3
当 0≤m≤2 时，
∴m＝1 时，y′有最小值 3，
当 m＝0 或 2 时，y′的值为 4，
∴点 P 移动的路径长为 2×（4﹣3）＝2，
故选：C．
【点评】本题考查轨迹，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二
次函数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）已知 3 是一元二次方程 x2+m＝0 的一个根，则该方程的另一个根是 ﹣3 ．
【分析】根据方程的解求出 m 的值，再利用直接开平方法解方程可得答案．
【解答】解：将 x＝3 代入方程，得：9+m＝0，
则 m＝﹣9，
∴方程为 x2﹣9＝0，
解得 x＝±3，
∴方程的另一个根为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方
法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．
12．（3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标为 （﹣3，
4） ．第 14 页（共 28 页）
【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（3，﹣4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标
规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（3 分）一个口袋中有 6 个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明
为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把
它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程．小明共摸
了 100 次，其中 60 次摸到白球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有 9
个．
【分析】设口袋中有 x 个白球，根据利用频率估计概率得到估计摸到白球的概率为
＝ ，然后根据概率公式得到 ＝ ，再解方程即可．
【解答】解：设口袋中有 x 个白球，
因为摸了 100 次，其中 60 次摸到白球，则估计摸到白球的概率为 ＝ ，
所以 ＝ ，
解得 x＝9，
即可估计口袋中的白球大约有 9 个．
故答案为 9．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定
位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集
中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．（3 分）要为一幅矩形照片配一个镜框，如图，要求镜框的四条边宽度都相等，且镜框
所占面积是照片本身面积的四分之一，已知照片的长为 21cm，宽为 10cm，求镜框的宽
度．设镜框的宽度为 xcm，依题意列方程，化成一般式为 8x2+124x﹣105＝0 ．
【分析】设镜框的宽度为 xcm，根据镜框所占面积是照片本身面积的四分之一，即可得
出关于 x 的一元二次方程，此题得解．第 15 页（共 28 页）
【解答】解：设镜框的宽度为 xcm，
依题意，得：21×10＝4[（21+2x）（10+2x）﹣21×10]，
整理，得：8x2+124x﹣105＝0．
故答案为：8x2+124x﹣105＝0．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
15．（3 分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面
宽度增加 （4 ﹣4） m．
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把 y＝﹣2 代
入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C
点，则通过画图可得知 O 为原点，
抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA＝OB＝ AB＝2 米，抛物线顶点 C 坐标
为（0，2），
通过以上条件可设顶点式 y＝ax2+2，其中 a 可通过将 A 点坐标（﹣2，0）代入抛物线解
析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为 y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降 2 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 y＝﹣2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y＝﹣2 与抛物线相交的两
点之间的距离，
可以通过把 y＝﹣2 代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，第 16 页（共 28 页）
解得：x＝±2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 ﹣4）
米，
故答案为：4 ﹣4．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析
式是解决问题的关键．
16．（3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB＝4，E，F 分别是边 AB，AD 上的动点，AE＝DF
，连接 DE，CF 交于点 P，过点 P 作 PK∥BC，且 PK＝2，若∠CBK 的度数最大时，则
BK 长为 6 ．
【分析】根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠DCF，求得∠CPD＝90°，得到点 P 在
以 CD 为直径的半圆上运动，取 CD 的中点 O，过 O 作 OM⊥CD，且点 M 在 CD 的右侧
，MO＝2，连接 OP，KM，推出四边形 POMK 是菱形，于是得到点 K 在以 M 为圆心，
半径＝2 的半圆上运动，当 BK 与⊙M 相切时，∠CBK 最大，根据勾股定理即可得到结
论．
【解答】解：∵正方形 ABCD 中，AD＝CD，∠A＝∠CDA＝90°，
∵AE＝DF，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠ADE＝∠DCF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠DCF+∠CDE＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴点 P 在以 CD 为直径的半圆上运动，
取 CD 的中点 O，过 O 作 OM⊥CD，且点 M 在 CD 的右侧，MO＝2，
连接 OP，KM，
∵PK∥BC，BC⊥CD，
∴PK⊥CD，
∴PK∥OM，PK＝OM＝2，第 17 页（共 28 页）
∴四边形 POMK 是平行四边形，
∵CD＝AB＝4，
∴OP＝ CD＝2，
∴OP＝OM，
∴四边形 POMK 是菱形，
∴点 K 在以 M 为圆心，半径＝2 的半圆上运动，
当 BK 与⊙M 相切时，∠CBK 最大，
∴∠BKM＝90°，
∵BM＝ ＝2 ，
∴BK＝ ＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判
定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（8 分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
【分析】根据配方法可以解答此方程．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0
x2﹣4x+4＝3
（x﹣2）2＝3
x﹣2＝
∴x1＝2+ ，x2＝2﹣ ；
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方
法．
18．（8 分）已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E，若 BC＝BE．
求证：△ADE 是等腰三角形．第 18 页（共 28 页）
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠A＝∠BCE，根据等腰三角形的判定和性质定理
证明．
【解答】证明：∵A，B，C，D 是⊙O 上的四点，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，
∴DA＝DE，即△ADE 是等腰三角形．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它
的内对角是解题的关键．
19．（8 分）某学校初中英语口语听力考试即将举行，准备了 A、B、C、D 四份听力材料，
它们的难易程度分别是易、中、难、难；另有 a、b 是两份口语材料，它们的难易程度分
别是易、难．
（1）从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；
（2）用树状图形或列表法，求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的结果数和听力、口语两份材料都是难的一套模
拟试卷的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵A、B、C、D 四份听力材料的难易程度分别是易、中、难、难，
∴从四份听力材料中，任选一份是难的听力材料的概率是 ；
故答案为： ；
（2）列表如下：
A 易 B 中 C 难 D 难第 19 页（共 28 页）
a 易 易，易 中，易 难，易 难，易
b 难 易，难 中，难 难，难 难，难
由列表可知：共有 8 种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中听力、口
语均为难的结果有 2 种，
所以 P（两份材料都难）＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，当有两个元素时，可用树形图列
举，也可以列表列举．随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数除以所有可
能出现的结果数．
20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A（0，1），B（1，3）
，C（4，3）．
（1）将△ABC 平移得到△A1B1C1，且 C1 的坐标是（0，﹣1），画出△A1B1C1；
（2）将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）小娟发现△A1B1C1 绕点 P 旋转也可以得到△A2B2C2，请直接写出点 P 的坐标．
【分析】（1）根据 C1 的坐标是（0，﹣1），即可画出△A1B1C1；
（2）根据△ABC 绕点 A 逆时针旋转 90°得到△A2B2C2，即可画出△A2B2C2；
（3）连接两对对应点，分别作两条连线的垂直平分线，其交点 P 即为所求，进而得出坐
标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；第 20 页（共 28 页）
（2）如图所示，△A2B2C2 即为所求；
（3）如图所示，点 P 即为所求，点 P 的坐标为（﹣4，1）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换作图，旋转作图有自己独特的特点，
决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，
但得到的图形全等．
21．（8 分）在⊙O 中，直径 AB⊥弦 CD 于点 F，点 E 是弧 AD 上一点，连 BE 交 CD 于点 N
，点 P 在 CD 的延长线上，PN＝PE．
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）连接 DE，若 DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求 PN 的长．
【分析】（1）连接 OE，由等腰三角形的性质得出∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∠OEB＝∠
OBE．证出∠OEB+∠PEN＝90°，即 PE⊥OE，即可得出结论；
（2）连接 CE，证出 CE 为⊙O 的直径．由垂径定理得出 CF＝DF，得出 DE＝2OF＝6．
求出 OC＝OB＝5，CE＝10，由勾股定理得出 CD＝8．设 PD＝x，则 PC＝x+8．在 Rt△PDE
和 Rt△PCE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 PD＝ ，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接 OE，如图 1 所示：
∵PN＝PE，
∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，第 21 页（共 28 页）
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∵AB⊥CD，
∴∠OBE+∠BNF＝90°，
∴∠OEB+∠PEN＝90°，
即∠OEP＝90°，
∴PE⊥OE，
∴PE 是⊙O 的切线．
（2）解：连接 CE，如图 2 所示：
∵DE∥AB，AB⊥CD，
∴∠EDC＝90°
∴CE 为⊙O 的直径．
∵AB⊥CD，
∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．
∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，
∴CD＝ ＝ ＝8，
由（1）知 PE⊥CE．设 PD＝x，则 PC＝x+8．
在 Rt△PDE 和 Rt△PCE 中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，
即 x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得：x＝ ，
∴PD＝ ．
∴PE＝ ＝ ＝ ，
∴PN＝PE＝ ．第 22 页（共 28 页）
【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三
角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．（10 分）某商场销售一种成本为每件 30 元的商品，销售过程中发现，每月销售量 y（
件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似看作一次函数 y＝﹣10x+600，商场销售该商
品每月获得利润为 w（元）．
（1）求 w 与 x 之间的函数关系式；
（2）如果商场销售该商品每月想要获得 2000 元的利润，那么每月成本至少多少元？
（3）若销售价不低于 40 元且不高于 55 元，请直接写出每月销售新产品的利润 w 的取值
范围．
【分析】（1）根据月利润＝（销售单价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式；
（2）令 w＝2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本＝成本价×
销售量可得答案；
（3）将（2）中 w 的解析式配方，根据二次函数的性质及售价的范围，可得答案．
【解答】解：（1）w＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．
（2）由题意得，﹣10x2+900x﹣18000＝2000，
解得：x1＝40，x2＝50，
当 x＝40 时，成本为 30×（﹣10×40+600）＝6000（元），
当 x＝50 时，成本为 30×（﹣10×50+600）＝3000（元），
∴每月想要获得 2000 元的利润，每月成本至少 3000 元；
（3）∵w＝（x﹣30）（﹣10x+600）
＝﹣10x2+900x﹣18000
＝﹣10（x﹣45）2+2250
∴当 x＝45 时，w 取得最大值 2250
∵销售价不低于 40 元且不高于 55 元，55 离对称轴 x＝45 远，第 23 页（共 28 页）
∴当 x＝55 时，w 取得最小值，最小值为 1250
∴销售价不低于 40 元且不高于 55 元时，每月销售新产品的利润 w 的取值范围为：1250≤
w≤2250．
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．
根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
23．（10 分）在△ABC 中，∠ABC＝120°，线段 AC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到线段 CD
，连接 BD．
（1）如图 1，若 AB＝BC，求证：BD 平分∠ABC；
（2）如图 2，若 AB＝2BC，①求 的值；
②连接 AD，当 S△ABC＝ 时，直接写出四边形 ABCD 的面积为 ．
【分析】（1）连接 AD，证△ACD 是等边三角形，再证△ABD≌△CBD，推出∠CBD＝∠
ABD，即得出结论；
（2）①连接 AD，作等边三角形 ACD 的外接圆⊙O，证点 B 在⊙O 上，在 BD 上截取 BM
，使 BM＝BC，证△CBA≌△CMD，设 BC＝BM＝1，则 AB＝MD＝2，BD＝3，过点 C
作 CN⊥BD 于 N，可求出 BN＝ BC＝ ，CN＝ BC＝ ，ND＝BD﹣BN＝ ，CD＝
，即可求出 ＝ ＝ ；
②分别过点 B，D 作 AC 的垂线，垂足分别为 H，Q，设 CB＝1，AB＝2，CH＝x，则由①
知，AC＝ ，AH＝ ﹣x，在 Rt△BCH 与 Rt△BAH 中利用勾股定理求出 BH 的值，再
求出 DQ 的值，求出 ＝ ，因为 AC 为△ABC 与△ACD 的公共底，所以 ＝ ，
可求出△ACD 的面积，进一步求出四边形 ABCD 的面积．
【解答】（1）证明：连接 AD，
由题意知，∠ACD＝60°，CA＝CD，第 24 页（共 28 页）
∴△ACD 是等边三角形，
∴CD＝AD，
又∵AB＝CB，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD 平分∠ABC；
（2）解：①连接 AD，作等边三角形 ACD 的外接圆⊙O，
∵∠ADC＝60°，∠ABC＝120°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴点 B 在⊙O 上，
∵AD＝CD，
∴ ，
∴∠CBD＝∠CAD＝60°，
在 BD 上截取 BM，使 BM＝BC，
则△BCM 为等边三角形，
∴∠CMB＝60°，
∴∠CMD＝120°＝∠CBA，
又∵CB＝CM，∠BAC＝∠BDC，
∴△CBA≌△CMD（AAS），
∴MD＝AB，
设 BC＝BM＝1，则 AB＝MD＝2，
∴BD＝3，
过点 C 作 CN⊥BD 于 N，
在 Rt△BCN 中，∠CBN＝60°，
∴∠BCN＝30°，
∴BN＝ BC＝ ，CN＝ BC＝ ，
∴ND＝BD﹣BN＝ ，
在 Rt△CND 中，第 25 页（共 28 页）
CD＝ ＝ ＝ ，
∴AC＝ ，
∴ ＝ ＝ ；
②如图 3，分别过点 B，D 作 AC 的垂线，垂足分别为 H，Q，
设 CB＝1，AB＝2，CH＝x，
则由①知，AC＝ ，AH＝ ﹣x，
在 Rt△BCH 与 Rt△BAH 中，
BC2﹣CH2＝AB2﹣AH2，
即 1﹣x2＝22﹣（ ﹣x）2，
解得，x＝ ，
∴BH＝ ＝ ，
在 Rt△ADQ 中，DQ＝ AD＝ × ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵AC 为△ABC 与△ACD 的公共底，
∴ ＝ ＝ ，
∵S△ABC＝ ，
∴S△ACD＝ ，
∴S 四边形 ABCD＝ + ＝ ，
故答案为： ．第 26 页（共 28 页）
【点评】本题是一道几何综合题，考查了等边三角形的性质，圆的有关性质，勾股定理，
三角形的面积等，解题关键是能够构造 ACD 的外接圆．
24．（12 分）已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+3 与 x 轴交于点 A、B（A 左 B 右），且 AB＝4，与
y 轴交于 C 点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，证明：对于任意给定的一点 P（0，b）（b＞3），存在过点 P 的一条直线交
抛物线于 M、N 两点，使得 PM＝MN 成立；
（3）将该抛物线在 0≤x≤4 间的部分记为图象 G，将图象 G 在直线 y＝t 上方的部分沿 y第 27 页（共 28 页）
＝t 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 m，最
小值为 n，若 m﹣n≤6，求 t 的取值范围．
【分析】（1）抛物线 y＝ax2﹣2ax+3 的对称轴为 x＝1，又 AB＝4，由对称性得 A（﹣1，
0）、B（3，0），即可求解；
（2）证明△PMG≌△NMH（AAS），yG+yH＝2yM，即可求解；
（3）分当 D′在点 H（4，﹣5）上方、点 D′在点 H（4，﹣5）下方两种情况，分别求
解即可．
【解答】解：（1）抛物线 y＝ax2﹣2ax+3 的对称轴为 x＝1，又 AB＝4，由对称性得 A（﹣
1，0）、B（3，0）．
把 A（﹣1，0）代入 y＝ax2﹣2ax+3，得 a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过 M 作 GH⊥x 轴，PG∥x 轴，NH∥x 轴，
由 PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），
∴PG＝NH，MG＝MH．
设 M（m，﹣m2+2m+3），则 N（2m，﹣4m2+4m+3），
∵P（0，b），GM＝MH，第 28 页（共 28 页）
∴yG+yH＝2yM，
即 b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，
∵b＞3，
∴关于 m 的方程总有两个不相等的实数根，
此即说明了点 M、N 存在，并使得 PM＝MN．证毕；
（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为 D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．
①当 D′在点 H（4，﹣5）上方时，
2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣ ，
此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，
∴﹣ ≤t≤1；
②当点 D′在点 H（4，﹣5）下方时，
同理可得：t＜﹣ ，m＝t，n＝2t﹣4，
由 m﹣n≤6，得 t﹣（2t﹣4）≤6，
∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣ ．
综上所述，t 的取值范围为：﹣2≤t≤1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的折叠、三角形全
等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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