黑龙江省哈尔滨市第四十七中学
2019 届毕业学年区一模跟踪测试数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．下列实数中，是无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝1 B．20＝﹣2
C．a3•a2＝a6 D．（1﹣2a）2＝1﹣4a2
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数 y＝ 的图象经过点（1，﹣2），则 k 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1
5．如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全
一致的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．三视图
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝ ，则 tanA 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（ ）A． B． ＝ C． ＝ D． ＝
8．下列命题中错误的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
C．圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴
D．直线与圆最多有两个公共点
9．如图，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点 C 在⊙O 上，且∠ABD＝52°，则∠
BCD 等于（ ）
A．32° B．38° C．52° D．66°
10．笔直的海岸线上依次有 A、B、C 三个港口，甲船从 A 港口出发，沿海岸线匀速驶向 C
港，1 小时后乙船从 B 港口出发，沿海岸线匀速驶向 A 港，两船同时到达目的地．甲船
的速度是乙船的 1.25 倍，甲、乙两船与 B 港的距离 y（km）与甲船行驶时间 x（h）之间
的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B 港口相距 400km；
②甲船的速度为 100km/h；
③B、C 港口相距 200km；
④乙出发 4h 时两船相距 220km．
其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．l 个
二．填空题（共 10 小题）
11．2019 年中央预算用于教育、医疗卫生、社会保障、就业等方面的民生支出达到 7600 亿
元，用科学记数法表示为 元．12．函数 y＝ 中，则自变量 x 的取值范围为 ．
13． ＝ ．
14．把多项式 x2﹣8x+16 分解因式的结果为 ．
15．不等式组 的最大整数解是 ．
16．某扇形的半径为 24cm，弧长为 l6πcm，则该扇形的圆心角的度数为 ．
17．在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，
红球 2 个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
18．抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+3 与 y 轴交点坐标为 ．
19．在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，点 E 在直线 AD 上，且满足 AE＝CD＝
3，CE、BD 交于点 M，则 DM＝ ．
20．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC
上，且满足∠AEF＝2∠FDC，若 EF＝5，AC＝6，则 DF＝ ．
三．解答题（共 7 小题）
21．先化简，再求代数式 ÷（a﹣1﹣ ）的值，其中 a＝2sin60°﹣2tan45°．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4），
请解答下列问题：
（1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1（点 A 的对应点为 A1，点 B 的对应点为 B1，
点 C 的对应点为 C1），并写出点 A1 的坐标；
（2）画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180°后得到的△A2B2C2（点 A1 的对应点为 A2，点 B1
的对应点为 B2，点 C1 的对应点为 C2）．23．为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取
了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根
据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）该校九年级共有 1000 人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数
学成绩达到优秀？
24．已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别是线段 OB、OC 上的动
点
（1）如果动点 E、F 满足 BE＝OF（如图），且 AE⊥BF 时，问点 E 在什么位置？并证明
你的结论；
（2）如果动点 E、F 满足 BE＝CF（如图），写出所有以点 E 或 F 为顶点的全等三角形
（不得添加辅助线）．
25．某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成，若单独完成此项工程，甲工程队所用天数是乙工程队的 2 倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含 a 的代数式表
示）可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天 1 万元，乙工程队每天施工费 2.5 万元，
求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工
程费不超过 64 万元．
26．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦且与 AB 交于点 E（E 不与 O 重
合），CE＝DE，点 F 在弧 AD 上，连接 AD、CF、DF，CF 交 AB 于点 H，交 AD 于点
G．
（1）如图 1，求证：∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图 2，过点 B 作 BN⊥CF 于点 N，交⊙O 于点 M，求证：FN＝CN+DF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 CF 至点 Q，连接 QA 并延长交 BM 的延长线于点
P，若∠Q＝∠ADF，HE＝ BE，AQ＝2DG＝10，求线段 PN 的长．
27．如图，二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x＝﹣ ，
线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D，在 y 轴上取一点 C（0，2），直线 AC 交抛物线
于点 B，连结 OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，将△BPF 沿边 PF 翻折，得到△
B′PF，使△B′PF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 ，若点 B′在 OD 上
方，求线段 PD 的长度；
（3）在（2）的条件下，过 B′作 B′H⊥PF 于 H，点 Q 在 OD 下方的抛物线上，连接 AQ与 B′H 交于点 M，点 G 在线段 AM 上，使∠HPN+∠DAQ＝135°，延长 PG 交 AD 于
N．若 AN+B′M＝ ，求点 Q 的坐标．参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．下列实数中，是无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概
念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环
小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、 是分数，是有理数，故选项不符合题意；
B、3.14 是有限小数，是有理数，故选项不符合题意；
C、 是无理数，选项符合题意；
D、 ＝2 是整数，是有理数，选项不符合题意．
故选：C．
2．下列计算中，正确的是（ ）
A．（﹣2）0＝1 B．20＝﹣2
C．a3•a2＝a6 D．（1﹣2a）2＝1﹣4a2
【分析】分别根据任何非零数的零次幂等于 1，同底数幂的乘法法则以及完全平方公式逐
一判断即可．
【解答】解：（﹣2）0＝1，正确，故选项 A 符合题意；
20＝1，故选项 B 不合题意；
a3•a2＝a5，故选项 C 不合题意；
（1﹣2a）2＝1﹣4a+4a2，故选项 D 不合题意．
故选：A．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．反比例函数 y＝ 的图象经过点（1，﹣2），则 k 的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．1 D．﹣1
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（1，﹣2）代入已知反比例函数的解
析式，列出关于系数 k 的方程，通过解方程即可求得 k 的值．
【解答】解：根据题意，得
﹣2＝k+3，
解得，k＝﹣5．
故选：A．
5．如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全
一致的是（ ）
A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．三视图
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图
形进行判断即可．
【解答】解：从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，2，1，乙从左往右 2
列小正方形的个数为：2，1，1，不符合题意；
从左面可看到甲从左往右 2 列小正方形的个数为：1，2，1，乙从左往右 2 列小正方形的
个数为：1，2，1，符合题意；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：2，1，2，乙从左往右 2 列小正方形的
个数为：2，2，1，不符合题意；
故选：C．
6．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝ ，则 tanA 的值为（ ）
A． B． C． D．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A 的余弦，根据同角三角函数的
关系，可得∠A 的正弦，∠A 的正切．
【解答】解：由 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝ ，得
cosA＝sinB＝ ．
由 sin2A+cos2A＝1，得 sinA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ ＝ ．
故选：D．
7．如图，DE∥AB，下列比例式中不成立的是（ ）
A． B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】由△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB 可依次判断各个选项．
【解答】解：∵DE∥AB
∴△CDO∽△CAF，△COE∽△CFB，△CDE∽△CAB，
∴ ， ＝ ，
∴ ，
∴
故选：D．
8．下列命题中错误的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
B．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
C．圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴
D．直线与圆最多有两个公共点【分析】利用垂径定理、圆周角定理、圆的对称性等圆的知识分别判断后即可确定正确
的选项．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错
误；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
C、圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，正确；
D、直线与圆最多有两个公共点，正确，
故选：A．
9．如图，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点 C 在⊙O 上，且∠ABD＝52°，则∠
BCD 等于（ ）
A．32° B．38° C．52° D．66°
【分析】由 AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB 的度数，
继而求得∠A 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝52°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝38°；
∴∠BCD＝∠A＝38°．
故选：B．
10．笔直的海岸线上依次有 A、B、C 三个港口，甲船从 A 港口出发，沿海岸线匀速驶向 C
港，1 小时后乙船从 B 港口出发，沿海岸线匀速驶向 A 港，两船同时到达目的地．甲船
的速度是乙船的 1.25 倍，甲、乙两船与 B 港的距离 y（km）与甲船行驶时间 x（h）之间
的函数关系如图所示，下列说法：
①A、B 港口相距 400km；
②甲船的速度为 100km/h；
③B、C 港口相距 200km；④乙出发 4h 时两船相距 220km．
其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．l 个
【分析】根据右图的图象可知 A、B 港口相距 400km，从而可以判断①；
根据图象可知甲船 4 个小时行驶了 400km，可以求得甲船的速度，从而可以判断②；
根据甲船从 A 港口出发，沿海岸线匀速驶向 C 港，1 小时后乙船从 B 港口出发，沿海岸
线匀速驶向 A 港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的 1.25 倍，可以计算出 B、C
港口间的距离，从而可以判断③；
根据题意和图象可以计算出乙出发 4h 时两船相距的距离，从而可以判断④．
【解答】解：由题意和图象可知，
A、B 港口相距 400km，故①正确；
甲船 4 个小时行驶了 400km，故甲船的速度为：400÷4＝100km/h，故②正确；
乙船的速度为：100÷1.25＝80km/h，则 400÷80＝（400+s BC）÷100﹣1，得 s BC＝
200km，故③正确；
乙出发 4h 时两船相距的距离是：4×80+（4+1﹣4）×100＝420km，故④错误；
由上可得，正确的个数为 3 个．
故选：B．
二．填空题（共 10 小题）
11．2019 年中央预算用于教育、医疗卫生、社会保障、就业等方面的民生支出达到 7600 亿
元，用科学记数法表示为 7.6×1011 元．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：7600 亿＝760000000000，
760000000000＝7.6×1011．
故答案为：7.6×101112．函数 y＝ 中，则自变量 x 的取值范围为 x≠﹣2 ．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；分析原函数式可得关系式 x+2≠0，解可
得自变量 x 的取值范围．
【解答】解：根据题意，有 x+2≠0，
解可得 x≠﹣2；
故自变量 x 的取值范围是 x≠﹣2．
故答案为 x≠﹣2．
13． ＝ ．
【分析】直接利用二次根式的除法运算法则化简求出即可．
【解答】解： ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
14．把多项式 x2﹣8x+16 分解因式的结果为 （x﹣4）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣8x+16＝（x﹣4）2．
故答案为：（x﹣4）2．
15．不等式组 的最大整数解是 3 ．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：
由①得：x＜4，
由②得：x≥3，
∴不等式组的解集是 3≤x＜4，
∴不等式组的最大整数解是 3．
16．某扇形的半径为 24cm，弧长为 l6πcm，则该扇形的圆心角的度数为 120° ．
【分析】弧长的公式为 l＝ ，将弧长 l＝16πcm，r＝24cm 代入计算即可求出 n 的
值．
【解答】解：由题意得，l＝16πcm，r＝24cm，
故可得：16π＝ ，解得：n＝120．
故答案为：120°．
17．在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，
红球 2 个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：
∴一共有 12 种情况，有 2 种情况两次都摸到红球，
∴两次都摸到红球的概率是 ＝ ．
故答案为 ．
18．抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+3 与 y 轴交点坐标为 （0，2） ．
【分析】当抛物线与 y 轴有交点时，交点的横坐标为 0，把 x＝0 代入函数式可求 y 值，
则交点坐标可求．
【解答】解：抛物线与 y 轴有交点时，交点的横坐标为 0，
所以当 x＝0 时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣1+3＝2，
所以抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+3 与 y 轴交点坐标为（0，2）．
故答案为（0，2）．
19．在▱ABCD 中，AB＝3，BC＝5，∠ABC＝60°，点 E 在直线 AD 上，且满足 AE＝CD＝
3，CE、BD 交于点 M，则 DM＝ 或 2 ．
【分析】过点 B 作 BF⊥AD 于 F，由勾股定理可求 BD 的长，分两种情况讨论，由相似
三角形的性质可求解．
【解答】解：如图，过点 B 作 BF⊥AD 于 F，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC＝5，AD∥BC，
∴∠FAB＝∠ABC＝60°，且 BF⊥AD，AB＝3
∴AF＝ AB＝ ，BF＝ AF＝ ，
∴DF＝
∴BD＝ ＝ ＝7，
当点 E 在点 A 左侧，
∵AD∥BC，
∴△EDM∽△CBM，
∴ ＝
∴设 DM＝8x，BM＝5x，
∵DB＝8x+5x＝7
∴x＝
∴DM＝8x＝
当点 E 在点 A 右侧，
∵AD∥BC，
∴△EDM∽△CBM，
∴ ＝ ，
∴设 DM＝2x，BM＝5x，
∴DB＝2x+5x＝7
∴x＝1
∴DM＝2x＝2，
故答案为： 或 2
20．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点，点 E、F 分别在 AB、AC
上，且满足∠AEF＝2∠FDC，若 EF＝5，AC＝6，则 DF＝ ．【分析】延长 BA 至点 G，使 EG＝EF，连接 GF，作 FH⊥CD 于 H．导角可推出△AGF
与△HFD 相似，设 FH 为 x，将 EA、AF 均用 x 表示，再用勾股定理列方程求解．
【解答】解：如图，延长 BA 至点 G，使 EG＝EF，连接 GF，作 FH⊥CD 于 H．
设∠FDC＝α，则∠GEF＝2∠FDC＝2α，
∴∠EGF＝∠EFG＝ ＝90°﹣α，
∵∠EAF＝90°，所以∠AFE＝90°﹣∠AEF＝90°﹣2α，
∴∠AFG＝∠EFG﹣∠AFE＝α，
∴∠AFG＝∠HDF，
∴△AGF∼△HFD，
∴ ，
∵AB＝AC＝6，
∴∠C＝∠A＝45°，AC＝6 ，
∴FH＝HC＝x，
则 CF＝ x，AF＝AC﹣FC＝6﹣ x
∵D 为 BC 中点，
∴CD＝ BC＝3 ，
∴DH＝3 ﹣x
∴ ＝ ＝ ，所以 AG＝ HF＝ x，∴AE＝EG﹣AG＝EF﹣AG＝5﹣ x，
在 Rt△AEF 中：AE2+AF2＝EF2，
∴（5﹣ x）2+（6﹣ x）2）＝25，解得：x＝ ，
∴DH＝3 ﹣x＝2 ，
∴DF＝ ＝ ．
三．解答题（共 7 小题）
21．先化简，再求代数式 ÷（a﹣1﹣ ）的值，其中 a＝2sin60°﹣2tan45°．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解： ÷（a﹣1﹣ ）
＝
＝
＝
＝ ，
当 a＝2sin60°﹣2tan45°＝2× ﹣2×1＝ ﹣2 时，原式＝ ．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，4），
请解答下列问题：
（1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1（点 A 的对应点为 A1，点 B 的对应点为 B1，
点 C 的对应点为 C1），并写出点 A1 的坐标；
（2）画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180°后得到的△A2B2C2（点 A1 的对应点为 A2，点 B1
的对应点为 B2，点 C1 的对应点为 C2）．【分析】（1）分别作出 A，B，C 的对应点 A1，B1，C1 即可．
（2）分别作出点 A1，B1，C1 的对应点 A2，B2，C2 即可．
【解答】解：（1）△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 如图所示．
（2）△A2B2C2 即为所求．
23．为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取
了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根
据图中提供的信息解答下列问题：
（1）求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）该校九年级共有 1000 人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数
学成绩达到优秀？
【分析】（1）先根据成绩类别为“差”的人数和所占的百分比计算出样本容量为 50，然
后用成绩类别为“中”的人数所占百分比乘以 50 即可，再将条形统计图补充完整；
（2）先计算出成绩类别为“中”的人数所占的百分比，然后乘以 2000 即可．
【解答】解：（1）样本容量为 8÷16%＝50，
所以成绩类别为“中”的人数等于 50×20%＝10（人）；
如图；
（2）1000× ×100%＝200，所以估计该校九年级共有 200 名学生的数学成绩可以达到优秀．
24．已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E、F 分别是线段 OB、OC 上的动
点
（1）如果动点 E、F 满足 BE＝OF（如图），且 AE⊥BF 时，问点 E 在什么位置？并证明
你的结论；
（2）如果动点 E、F 满足 BE＝CF（如图），写出所有以点 E 或 F 为顶点的全等三角形
（不得添加辅助线）．
【分析】（1）根据正方形性质及已知条件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根
据三角形相似的性质即可得出答案；
（2）根据正方形性质及 BE＝CF 即可得出全等的三角形．
【解答】解：（1）当 AE⊥BF 时，点 E 在 BO 中点．证明如下：
延长 AE 交 BF 于点 M，如图所示：
∵∠BME＝∠AOE，∠BEM＝∠AEO，
∴△BEM∽△AEO，
∴ ，
∵∠MBE＝∠OBF，∠BME＝∠BOF，
∴△BEM∽△BFO，
∴ ，∵AO＝BO，
∴EO＝OF，
∵BE＝OF，
∴BE＝EO，
故当 AE⊥BF 时，点 E 在 BO 中点．
（2）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝CD，∠ACB＝∠ABD＝∠ADE＝∠BAC
＝45°
∵BE＝CF，
∴OE＝OF，AF＝DE，
∵BE＝CF，∠ABD＝∠ACB，AB＝BC
∴△ABE≌△BCF（SAS）
同理可得△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；
∴以点 E 或 F 为顶点的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△
BAF；
25．某市一项民生改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成，若单独完成此项工程，
甲工程队所用天数是乙工程队的 2 倍．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队单独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含 a 的代数式
表示）可完成此项工程．已知甲工程队施工费每天 1 万元，乙工程队每天施工费 2.5 万元，
求甲工程队要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工
程费不超过 64 万元．
【分析】（1）根据题意结合总工作量为 1，进而表示出两队每天完成的工作情况，进而得
出答案；
（2）首先表示出甲、乙两工程队合作的天数，进而利用两队施工费用得出不等式求出即可．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成此项工程需要 x 天，
由题意得： + ＝ ，
解得：x＝30，
经检验：x＝30 是原分式方程的解，
2x＝60．
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天，30 天；
（2）甲工程队单独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作：（1﹣a× ）÷（ + ）＝
（天），
由题意可得：1•a+（1+2.5）• ≤64，
解得：a≥36，
答：甲工程队要单独施工 36 天后，再由甲、乙两工程队合作完成剩下的工程，才能使工
程费不超过 64 万元．
26．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦且与 AB 交于点 E（E 不与 O 重
合），CE＝DE，点 F 在弧 AD 上，连接 AD、CF、DF，CF 交 AB 于点 H，交 AD 于点
G．
（1）如图 1，求证：∠CFD＝2∠BAD；
（2）如图 2，过点 B 作 BN⊥CF 于点 N，交⊙O 于点 M，求证：FN＝CN+DF；
（3）如图 3，在（2）的条件下，延长 CF 至点 Q，连接 QA 并延长交 BM 的延长线于点
P，若∠Q＝∠ADF，HE＝ BE，AQ＝2DG＝10，求线段 PN 的长．【分析】（1）利用垂径定理证明 ，推出∠BAC＝∠BAD，再根据圆周角定理即可
证明．
（2）如图 2 中，连接 BC，BD，在 FC 上截取 FK＝FD，连接 BK．证明△BFD≌△BFK
（SAS）即可解决问题．
（3）如图 3 中，由 HE＝ BE 可设 HE＝16a，EB＝27a，由 H 是△ACD 重心知 AH＝
32a，AE＝48a，再连接 BD，由射影定理求得 DE＝36a，在 Rt△ADE 中，由勾股定理求
得 a＝ ，知 DE＝6，EB＝ ，AE＝8，CE＝6，CB＝ ，HE＝ ，从而得 tan∠QCD＝
＝ ，由 EB＝ 知 CR＝4，tan∠QCD＝ ，CN＝ ，再由 tan∠ACE＝ ＝
知 tan∠ACQ＝ ＝ ，得 AK＝10× ＝ ，CQ＝2CK＝
，在 Rt△PNQ 中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝ ＝ 可得 NP＝NQ× ，从而得
出答案．
【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 AC．
∵AB 是⊙O 直径，CE＝DE，
∴AB⊥CD，
∴ ，
∴∠BAC＝∠BAD，
∵∠CFD＝∠CAD，
∴∠CFD＝2∠BAD．（2）如图 2 中，连接 BC，BD，在 FC 上截取 FK＝FD，连接 BK．
∵ ，
∴BC＝BD，∠BFD＝∠BFK，
∵FK＝FD，FB＝FB，
∴△BFD≌△BFK（SAS），
∴BK＝BD，
∴BC＝BK，
∵BN⊥CK，
∴CN＝NK，
∴FN＝FK+KN＝DF+CN．
（3）如图 3 中，连接 AC，AF．
∵HE＝ BE，
∴设 HE＝16a，EB＝27a，
由题意知点 H 是△ACD 重心，
∴AH＝32a，AE＝48a，
连接 BD，由射影定理知 DE2＝AE•EB，
解得 DE＝36a，
∵AD＝10，DE＝36a，AE＝48a，
在 Rt△ADE 中，由勾股定理可求得 a＝ ，
∴DE＝6，EB＝ ，AE＝8，CE＝6，CB＝ ，HE＝ ，∴tan∠QCD＝ ＝ ，
∵EB＝ ，
∴CR＝4，
∴tan∠QCD＝ ，
∴CN＝ ，
∵tan∠ACE＝ ＝ ，
∴tan∠ACQ＝ ＝ ，
∴AK＝10× ＝ ，
则 CQ＝2CK＝ ，
∵CN＝ ，
∴NQ＝ ，
在 Rt△PNQ 中，∠PNQ＝90°，tan∠Q＝ ＝ ，
∴NP＝NQ× ＝ ．
27．如图，二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x＝﹣ ，
线段 AD 平行于 x 轴，交抛物线于点 D，在 y 轴上取一点 C（0，2），直线 AC 交抛物线
于点 B，连结 OA，OB，OD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设点 F 是 BD 的中点，点 P 是线段 DO 上的动点，将△BPF 沿边 PF 翻折，得到△
B′PF，使△B′PF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的 ，若点 B′在 OD 上
方，求线段 PD 的长度；
（3）在（2）的条件下，过 B′作 B′H⊥PF 于 H，点 Q 在 OD 下方的抛物线上，连接 AQ
与 B′H 交于点 M，点 G 在线段 AM 上，使∠HPN+∠DAQ＝135°，延长 PG 交 AD 于N．若 AN+B′M＝ ，求点 Q 的坐标．
【分析】（1）根据二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点 A（1，4），对称轴是直线 x
＝﹣ ，列出方程组即可解决问题．
（2）如图 1 中，首先求出直线 AC 与抛物线的交点 B 坐标，再证明 DP′＝PP′，推出
四边形 BFB′P 是菱形，在 RT△POB 中求出 OP 即可解决问题．
（3）如图 2 中，过 A 作 AI⊥HP，可得四边形 AB′HI 是正方形，过 A 作 AL∥PN，连接
ML，在 Rt△MHL 中，由 ML2＝MH2+HL2 列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 y＝x2+3x．
（2）如图 1 中，∵A（1，4），C（0，2），
设直线 AC 解析式为 y＝kx+b，则 ，
解得 ．∴直线 AC 解析式为 y＝2x+2，
由 解得 或 ，
∴B（﹣2，﹣2），
∵D（﹣4，4）
∴BD＝2 ，
∵DF＝FB，
∴S△DFP＝S△BFP，
∴S△PFP′＝ S△PBD，
∴S△DP′F＝S△PP′F
∴PP′＝DP′，
∴PB∥P′F，
∴∠B′FP＝∠PFB＝∠FPB，
∴PB＝BF＝FB′，
∴四边形 BFB′P 是平行四边形，
∵BF＝BP
∴四边形 BFB′P 是菱形，
∴PB＝ ，
∵P 在 y＝﹣x 上，OB＝2 ，
在 Rt△OPB 中，OP＝ ＝ ，
∴P（﹣1，1）
∴PD＝3 ；
（3）如图 2 中，由（2）得 F（﹣3，1），P（﹣1，1）B’（﹣2，4）．
过 A 作 AI⊥HP，可得四边形 AB′HI 是正方形，过 A 作 AL∥PN，连接 ML．由∠HPN+∠DAQ＝135°得∠MGP＝45°，
∴∠MAL＝45°，
设 B′M＝m，则 AN＝ ﹣m，
∴PL＝ ﹣m，
∴LI＝m﹣ ，
∴ML＝B′M+LI＝2m﹣ ，
在 Rt△MHL 中，∵ML2＝MH2+HL2，（2m﹣ ）2＝（ ﹣m）2+（3﹣m）2，
解得 m＝ ，
∴M（﹣2， ），
∴直线 AM 解析式为：y＝ x+ ，
由 解得 或 ，
∴Q（﹣ ， ）．
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