2017级高三二诊数学(文)答案.pdf

数学(文科)“二诊”考试题参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ５ 页) 成都市 ２０１７ 级高中毕业班第二次诊断性检测 数学(文科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷 　(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．C ; ２．A ; ３．B ; ４．D ; ５．C ; ６．B ; ７．B ; ８．C ; ９．B ; １０．A ; １１．D ; １２．D ． 第 Ⅱ 卷 　(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．２;　 　 １４．３ ２ ; １５．１;　 　 １６．３６． 　 　 三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)设数列 a n{ } 的公比为q ． 由题意及a １ ＝１,知q ＞１． ∵２a ２,３ ２ a ３,a ４ 成等差数列, ∴３a ３ ＝a ４ ＋２a ２． ∴３q ２ ＝q ３ ＋２q ,即q ２ －３q ＋２＝０． ƺƺ２ 分 解得q ＝２ 或q ＝１(舍去)． ƺƺ４ 分 ∴q ＝２． ƺƺ５ 分 ∴ 数列 a n{ } 的通项公式为a n ＝２ n －１ ． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)∵b n ＝ １ log ２a n ＋１Űlog ２a n ＋２ ＝ １n (n ＋１) ＝１n － １n ＋１ , ƺƺ９ 分 ∴S n ＝(１－ １ ２ ) ＋ (１ ２ － １ ３ ) ＋ŰŰŰ＋ (１n － １n ＋１ ) ＝１－ １n ＋１ ƺƺ１１ 分 ＝ n n ＋１． ƺƺ１２ 分 １８． 解:(Ⅰ)∵A B C D 是正方形, ∴A C ⊥B D ．　 ƺƺ１ 分 ∵P O ⊥ 平面 A B C D ,A C ⊂ 平面 A B C D , ∴P O ⊥ A C ． ƺƺ２ 分 ∵O P ,B D ⊂ 平面P B D ,且O P ∩B D ＝ O , ∴A C ⊥ 平面P B D ． ƺƺ５ 分 又 A C ⊂ 平面P A C , ∴ 平面P A C ⊥ 平面P B D ．　　　ƺƺ７ 分数学(文科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ５ 页) (Ⅱ)设三棱锥P －B E M 的高为h ． ∴V B －P E M ＝V P －B E M ＝１ ３ S ΔB E M ×h ． ƺƺ８ 分 连接O E ．∵P O ⊥ 平面 A B C D ,O E ⊂ 平面 A B C D , ∴P O ⊥O E ． ∵O E ＝２,P E ＝３, ∴h ＝O P ＝ ５ ． ƺƺ１０ 分 ∴V P －B E M ＝１ ３ S ΔB E M Űh ＝１ ３ × １ ２ ×２×２× ５＝２ ５ ３ ． ƺƺ１２ 分 １９． 解:(Ⅰ)根据表中数据,计算可得x－ ＝４,y－ ＝４３, ∑ ７ i ＝１ (x i －x－ )(y i －y－ ) ＝１４０． ƺƺ３ 分 又 ∑ ７ i ＝１ (x i －x－ )２ ＝２８, ∴b^ ＝ ∑ ７ i ＝１ (x i －x－ )(y i －y－ ) ∑ ７ i ＝１ (x i －x－ )２ ＝５． ƺƺ５ 分 ∵a^ ＝y－ －b^x－ , ∴a^ ＝４３－５×４＝２３． ƺƺ６ 分 ∴y 关于x 的线性回归方程为y^ ＝５x ＋２３． ƺƺ７ 分 将x ＝８ 代入, ∴y^ ＝５×８＋２３＝６３(亿元)． ∴ 该公司 ２０２０ 年的年利润的预测值为 ６３ 亿元 ． ƺƺ８ 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ２０１５ 年至 ２０２０ 年的年利润的估计值分别为 ３８,４３,４８,５３,５８,６３(单 位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有 ２ 年 ．故这 ６ 年中,被评为A 级利润年的有 ２ 年,分别记为A １,A ２;评为B 级利润年的有 ４ 年,分别记为B １,B ２,B ３,B ４． ƺƺ９ 分 从 ２０１５ 至 ２０２０ 年中随机抽取 ２ 年,总的情况分别为: A １A ２,A １B １,A １B ２,A １B ３,A １B ４,A ２B １,A ２B ２,A ２B ３,A ２B ４,B １B ２,B １B ３,B １B ４, B ２B ３,B ２B ４,B ３B ４． 共计 １５ 种情况 ． ƺƺ１０ 分 其中 恰 有 一 年 为 A 级 利 润 年 的 情 况 分 别 为: A １B １,A １B ２,A １B ３,A １B ４,A ２B １, A ２B ２,A ２B ３,A ２B ４．共有 ８ 种情况 ． ƺƺ１１ 分 记“从 ２０１５ 至 ２０２０ 年这 ６ 年的年利润中随机抽取 ２ 年,恰有一年为 A 级利润年” 的概率为P ． 故所求概率P ＝ ８ １５． ƺƺ１２ 分 ２０． 解:(Ⅰ)∵P (１, ２ ２ ) 在椭圆上,∴| P F １| ＋| P F ２| ＝２a ． 又 P F １ ＝ ４＋ １ ２ ＝３ ２ ２ , P F ２ ＝ ２ ２ , ƺƺ２ 分 ∴ P F １ ＋ P F ２ ＝２ ２ ,则a ＝ ２ ． ƺƺ３ 分 ∵c ＝１,b ２ ＝a ２ －c ２,∴b ＝１． 故所求椭圆E 的标准方程为x ２ ２ ＋y ２ ＝１． ƺƺ４ 分数学(文科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ５ 页) (Ⅱ)设 A (x １,y １) ,B (x ２,y ２) ． 联立 x ＝m y ＋１ x ２ ＋２y ２ ＝２ { ,消去x ,得 (m ２ ＋２)y ２ ＋２m y －１＝０． ∴Δ＝８m ２ ＋８＞０,y １ ＋y ２ ＝－ ２m m ２ ＋２ ,y １y ２ ＝－ １m ２ ＋２ ． ƺƺ６ 分 ∴ A B ＝ １＋m ２ y １ －y ２ ＝２ ２(m ２ ＋１) m ２ ＋２ ． ƺƺ７ 分 设圆x ２ ＋y ２ ＝２ 的圆心O 到直线l 的距离为d ,则d ＝ １ m ２ ＋１ ． ∴ C D ＝２ ２－d ２ ＝２ ２m ２ ＋１m ２ ＋１ ． ƺƺ８ 分 ∴ A B Ű C D ２ ＝４Ű２m ２ ＋１m ２ ＋１ Ű２ ２(m ２ ＋１) m ２ ＋２ ＝８ ２(２m ２ ＋１) m ２ ＋２ ． ƺƺ９ 分 ∵ A B Ű C D ２ ＝８ ２ ． ∴８ ２(２m ２ ＋１) m ２ ＋２ ＝８ ２ ． ƺƺ１０ 分 解得 m ＝±１． 经验证 m ＝±１ 符合题意 ． ƺƺ１１ 分 故所求直线l 的方程为x －y －１＝０ 或x ＋y －１＝０． ƺƺ１２ 分 ２１． 解:(Ⅰ)当 m ＝１ 时,f (x ) ＝x ２ －x －lnx ． 则f′(x ) ＝２x －１－ １x ＝２x ２ －x －１x ,x ＞０． ƺƺ１ 分 令f′(x ) ＝０,解得x １ ＝－１ ２ (舍去),x ２ ＝１． 当x ∈ (０,１) 时,f′(x ) ＜０．∴f (x ) 在 (０,１) 上单调递减; 当x ∈ (１, ＋ ¥) 时,f′(x ) ＞０．∴f (x ) 在 (１, ＋ ¥) 上单调递增 ． ƺƺ３ 分 ∴f (x )极小值 ＝f (１) ＝０,无极大值 ． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)g (x ) ＝x ２ －m lnx ． 若g (x ) ＞ １x 在 (１,＋¥) 上恒成立,即x ２ －m lnx －１x ＞０ 在 (１,＋¥) 上恒成立 ． 构造函数G (x ) ＝ x ２ －m lnx － １x ,x ＞１． 则G′(x ) ＝２x －m x ＋ １x ２ ＝２x ３ －m x ＋１x ２ ． ƺƺ６ 分 令 H (x ) ＝２x ３ －m x ＋１,x ＞１．∴ H′(x ) ＝６x ２ －m ． (i)若 m ≤６,可知 H′(x ) ＞０ 恒成立 ．∴ H (x ) 在 (１, ＋ ¥) 上单调递增 ． ∴ H (x ) ＞ H (１) ＝３－m ． ① 当 ３－m ≥０,即 ０＜m ≤３ 时, H (x ) ＞０ 在 (１,＋ ¥) 上恒成立,即G′(x ) ＞０在 (１,＋ ¥) 上恒成立 ． ∴G (x ) ＞G (１) ＝０ 在 (１, ＋ ¥) 上恒成立 ． ∴０＜ m ≤３ 满足条件 ． ƺƺ９ 分数学(文科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ５ 页) ② 当 ３－m ＜０ 即 ３＜ m ≤６ 时, ∵H (１) ＝３－m ＜０, H (２) ＝１７－２m ＞０, ∴ 存在唯一的x ０ ∈ (１,２) ,使得 H (x ０) ＝０． 当x ∈ (１,x ０) 时, H (x ) ＜０,即G′(x ) ＜０．∴G (x ) 在 (１,x ０) 单调递减 ． ∴G (x ) ＜G (１) ＝０,这与G (x ) ＞０ 矛盾 ． ƺƺ１０ 分 (ii)若 m ＞６,由 H ′(x ) ＝０,可得x １ ＝－ m ６ (舍去),x ２ ＝ m ６ ． 易知 H (x ) 在 (１, m ６ ) 上单调递减 ． ∴H (x ) ＜ H (１) ＝３－m ＜０ 在 (１, m ６ ) 上恒成立,即G′(x ) ＜０ 在 (１, m ６ ) 上恒成立 ． ∴G (x ) 在 (１, m ６ ) 上单调递减 ． ∴G (x ) ＜G (１) ＝０ 在 (１, m ６ ) 上恒成立,这与G (x ) ＞０ 矛盾 ． ƺƺ１１ 分 综上,实数 m 的取值范围为 ０,３ ( ] ． ƺƺ１２ 分 ２２． 解:(Ⅰ)由x ＝ρcosθ,y ＝ρsinθ ,可得直线l 的直角坐标方程为x －y －１＝０． ƺƺ２ 分 由曲线C 的参数方程,消去参数 m ,可得曲线C 的普通方程为y ２ ＝４x ． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)易知点P (２,１) 在直线l 上,直线l 的参数方程为 x ＝２＋ ２ ２ t , y ＝１＋ ２ ２ t ì î í ï ïï ï ïï (t 为参数 ) ． ƺƺ６ 分 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程,并整理得t ２ －２ ２t －１４＝０．ƺƺ(∗) 设t １,t ２ 是方程(∗)的两根,则有t １ ＋t ２ ＝２ ２ ,t １t ２ ＝－１４． ƺƺ７ 分 ∴ １P M ＋ １P N ＝ １t １ ＋ １t ２ ＝ t １ ＋ t ２ t １ t ２ ＝ t １－t ２ t １t ２ ＝ (t １＋t ２)２ －４t １t ２ t １t ２ 　＝ (２ ２)２ ＋４×１４ １４ ＝４ ７ ． ƺƺ１０ 分 ２３． 解:(Ⅰ)原不等式即| x －１| ＋| x ＋３| ≥６． ① 当x ≥１ 时,化简得 ２x ＋２≥６． 解得x ≥２; ② 当 －３＜x ＜１ 时,化简得 ４≥６． 此时无解; ③ 当x ≤ －３ 时,化简得 －２x －２≥６． 解得x ≤ －４． 综上,原不等式的解集为 － ¥, －４ ( ] ∪ ２, ＋ ¥[ ) ． ƺƺ４ 分数学(文科)“二诊”考试题参考答案 　 第 ５　　　　 页(共 ５ 页) (Ⅱ)由题意f (x ) ＝ ２x ＋２,x ≥１ ４,０＜x ＜１ { ． 设方程f (x ) ＝g (x ) 两根为x １,x ２(x １ ＜x ２)． ① 当x ２ ＞x １≥１ 时,方程 －x ２ ＋２ax ＝２x ＋２ 等价于方程 ２a ＝x ＋ ２x ＋２． 易知当a ∈ ( ２＋１,５ ２ ] ,方程 ２a ＝x ＋２x ＋２ 在 (１,＋¥) 上有两个不相等的实数根 ． 此时方程 －x ２ ＋２ax ＝４ 在 (０,１) 上无解 ．∴a ∈ ( ２＋１,５ ２ ] 满足条件 ． ƺƺ６ 分 ② 当 ０＜x １ ＜x ２ ＜１ 时, 方程 －x ２ ＋２ax ＝４ 等价于方程 ２a ＝x ＋ ４x ． 此时方程 ２a ＝x ＋ ４x 在 (０,１) 上显然没有两个不相等的实数根 ． ƺƺ７ 分 ③ 当 ０＜x １ ＜１≤x ２ 时,易知当a ∈ (５ ２ ,＋ ¥) ,方程 ２a ＝x ＋４x 在 (０,１) 上有且只 有一个实数根 ． 此时方程 －x ２ ＋２ax ＝２x ＋２ 在 [１, ＋ ¥) 上也有一个实数根 ． ∴a ∈ (５ ２ , ＋ ¥) 满足条件 ． ƺƺ９ 分 综上,实数a 的取值范围为 ( ２＋１, ＋ ¥) ． ƺƺ１０ 分