2019—2020学年度第二学期高一数学四月调研试卷（宿豫中学）

1 宿豫中学高一第二学期开学摸底测试 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请在答题卡上用 2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑. 1. 采用简单随机抽样 方法，从含有 6 个个体的总体中抽取 1 个容量为 2 的样本，则某个个体 被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 2.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人，为 了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本， 则高三年级应抽取的学生人数为（ ） A. 25 B. 35 C.30 D.40 3. 过点 且垂直于直线 的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4.在 中，如果 ，那么 等于（ ） A. B. C. D. 5.已知圆 的圆心坐标为(－2,3)，D，E 分别为（ ） A. 4，－6 B. －4，－6 C. －4,6 D. 4,6 6. 圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值为（ ） A. 或 B. 或 3 C. 1 或 D. 1 或 3 7. 若三角形 的面积为 ，且 为钝角， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 的 1 2 1 3 1 5 1 6 ( )1,3− 2 3 0x y− + = 2 7 0x y− + = 2 1 0x y+ − = 2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − = ΔABC : : 2:3: 4a b c = cos B 11 16 5 16 11 16 − 7 11 2 2 0x y Dx Ey F＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ( )2 21 1x y− + = 0x y a− + = 2 a 1− 3− 1− 3− ABC )(4 3 222 bca −+ C∠ a c ),2[ +∞ ),2( +∞ )2,0( ),3[ +∞2 8.若方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.设两直线 ， 与 轴构成三角形，则 可能取值是（ ） A.-1 B. 1 C. 2 D. -2 10. 在△ABC 中，下列判断中正确的是________．(填相应命题的序号即可) A. a＝7，b＝14，A＝30°，有两解；B. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解； C. a＝6，b＝9，A＝45°，有两解；D. b＝9，c＝10，B＝60°，有两解． 11．在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置不可能是（ ） A． B． C． D． 12.下列命题中其中正确的命题是：（ ） A.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； B.不经过原点的直线都可以用方程 表示； C.若两直线 和 平行， 则它们之间的距离为 ； D.若直线 ： 与直线 ： 的交点位于第一象限，则直线 的倾斜角 的取值范围是 . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 13. 已知一组数据 1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为______. 14. 点 到直线 的距离的最大值为________. 15. 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 已 知 ，则 ________. 16.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 . 若圆 上 的 2)(-1 2 +=+ xax a )22,22( +− )22,22( +−−− ]1,22( − )2-2,1[− ( )2 2 0m x y m+ − − + = 0x y+ = x m 2y ax a= + 2 2 2( )x a y a+ + = 1x y a b + = 2 6 0x y+ − = 2 1 0x my− − = 5 l 3y kx= − 1l 2 3 6 0x y+ − = l α ,6 2 π π     (5,2) ( )1 (2 1) 5m x m y m− + − = − ABC∆ CBA ,, cba ,, 2,20)cos(sinsinsin ===−+ caCCAB ， =C xOy 4: 22 =+ yxO )4(: += xkyl O3 存在点 ，使得以点 为圆心、1 为半径的圆与直线 有公共点，则实数 的取值范 围是___________. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）设三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=13, (1)若 b=24，求 的值; (2)若三角形 ABC 的面积为 30，求 b,c 的值 18. （本小题满分 12 分）在 中， 的平分线所在直线 的方程为 ，若点 ， . （1）求点 关于直线 的对称点 的坐标； （2）求 边上的高所在的直线方程. 19．（本小题满分 12 分） 某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况 如下表： 年 级 性 别 高一年级 高二年级 高三年级 男 520 y 400 女 x 610 600 (1) 若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人，其中高二年级 22 人，高三年级 20 人，再从这 n 个人中随机抽取出 1 人，此人为高三年级的概率为 ，求 x、y 的值. (2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本，从这 5 人中任取 2 人， 求至少有 1 人是男生的概率. 20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 ， 圆 C： （1）求过点 P 且与圆 C 相切于原点的圆的标准方程。 （2）过点 P 的直线 L 与圆 C 依次相交于 A,B 两点， ①若 ，求直线 L 的方程 ②当三角形 ABC 面积最大时，求直线 L 的方程 21. （本小题满分 12 分）某地有一企业 2007 年建厂并开始投资生产，年份代号为 7，2008 年年份代号为 8，依次类推．经连续统计 9 年的收入情况如下表（经数据分析可用线性回归模型 P P l k 5cos 13B = sin A ABC∆ C∠ l 2y x= ( )4,2A − ( )3,1B A l D AC 10 33 (0,6)P 2 2 10 10 0x y x y+ + + = AO PB⊥4 拟合 与 的关系）： 年份代号（ ） 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当年收入（ 千万元） 13 14 18 20 21 22 24 28 29 （1）求 关于 的线性回归方程 ； （2）试预测 2020 年该企业的收入． （参考公式： ， ） 22．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，且圆 与 轴交于 ， 两点， 设直线 的方程为 ． （1）当直线 与圆 相切时，求直线 的方程； （2）已知直线 与圆 相交于 ， 两点． （ⅰ）若 ，求实数 的取值范围； （ⅱ）直线 与直线 相交于点 ，直线 ，直线 ，直线 的斜率分别为 ， ， ， 是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理 由． 参考答案 1. B 2.B 3. B 4.A 5. A 6. C 7. B 8. C 9. AB 10. BD 11.ABD 12. AD 13.2 14. 15. 16 17.解：（1）由 得 ……2 分 y x x y y x ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x = = − − = − ∑ ∑ 1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy x nx = = − = − ∑ ∑ ˆˆa y bx= − xOy C 2 2( 4) 1x y− + = C x M N l ( 0)y kx k= > l C l l C A B 2 17 17AB ≤ k AM BN P AM BN OP 1k 2k 3k a 1 2 3k k ak+ = a 2 13 6 π ]7 73,7 73[− 5cos 13B = 13 12cos1sin 2 =−= BB5 由正弦定理 ,得 ……5 分 （2）由三角形面积公式 ,得 ……7 分 由余弦定理 ,得 ……10 分 18. 解：（1）设点 关于 的对称点 ，则 .∴ . ……6 分 （2）∵ 点在直线 上， ∴直线 的方程为 ，即 因为 在直线 上 所以 ，所以 ； ∴ ，即 边上的高所在直线斜率为 所以 边上 高所在的直线方程的方程为 ，即 …12 分 19. ⑴依题意得： ，解得 . ……2 分 所以高一年级被抽取的人数为 66−22−20 = 24. 所以 ，解得 ， . ……5 分 ⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本， 设抽取男生的人数为 m，则 ，解得 ， 所以应抽取男生 2 人，女生 3 人，分别记作 、 ； 、 、 . ……7 分 方法一：记“从中任取 2 人，至少有 1 人是男生”为事件 A. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个： （A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）. 所以从中从中任取 2 人，至少有 1 人是男生的概率为 . ……11 分 方法二：记“从中任取 2 人，至少有 1 人是男生”为事件 A，则 表示“从中任取 2 人， 全是女生”，全是女生的基本事件有 3 个：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 的 B b A a sinsin = 2 1sinsin == b BaA Bacs sin2 1= 5=c Baccab cos2222 −+= 12=b A l ( ),D m n 2 1 44 2 22 422 2 n mm nn m − = − = + ⇒  = −+ −  = × ( )4, 2D − D BC 1 2 33 4DBk += = −− BC 1 3( 3)y x− = − − 3 10 0x y+ − = C 2y x= 3 10 0 2 2 4 x y x y x y  + − = =⇒ = = ( )2,4C 1 3ACk = AC 3− AC 1 3( 3)y x− = − − 3 10 0x y+ − = 20 10 33n = 66n = 20 24 22 1000 520 610x y = =+ + 680x = 490y = 400 5 600 400 m = + 2m = 1A 2A 1B 2B 3B 7 10 A6 所以 . 答：至少有 1 人是男生的概率 . ……12 分 21. 【解析】（1）由已知数据得： ， ． ……2 分 ，…4 分 ， ……6 分 ， ， ．故所求回归方程为： ． ……8 分 （2） 年的年份代号为 ，由（1）知，当 时， ，……10 分 故预测 年该企业的收入为 千万元． ……12 分 22. 解：（1）解：由题意， ，∴圆心 到直线 的距离 ，……1 分 ∵直线 与圆 相切，∴ ，∴ ，∴直线 ．……3 分 （2）解：由题意得： ，∴ ， 由（1）可知： ，∴ ，∴ ． ……6 分 （3）证明： ，与圆 联立，得： ， ∴ ， ，∴ ， 3 7( ) 1 ( ) 1 10 10P A P A= − = − = 7 10 11x = 21y = ( )( )9 1 i i i x x y y = − −∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 8 3 7 2 3 1 1 0 0 1 1 2 3 3 7 4 8= − × − + − × − + − × − + − × − + × + × + × + × + × 120= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 60i i x x = − = − + − + − + − + + + + + =∑ 120 2ˆ 60b∴ = = 21 2 1 1ˆ 1a∴ = − × = − ∴ ˆ 2 1y x= − ˆ 2 1y x= − 2020 20 20x = 2 20 1 39ˆy = × − = 2020 39 0k > C l 2 4 1 kd k = + l C 2 4 1 1 kd k = = + 15 15k = 15: 15l y x= 2 2 170 2 1 17AB d< = − ≤ 4 17 117 d≤ < 2 4 1 kd k = + 2 4 17 4 117 1 k k ≤ < + 1 15 4 15k≤ < ( )1: 3AMl y k x= − C ( )2 2: 4 1x y− + = ( ) ( ) ( )2 2 1 13 1 3 5 0x k x k − + − + =  3Mx = 2 1 2 1 3 5 1A kx k += + 2 1 1 2 2 1 1 3 5 2,1 1 k kA k k  +  + + 7 同理可得： ， ……8 分 ∵ ， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， 设 ， ∴ ，∴ ， ∴ ，即 ， ……10 分 ∴ ，∴ ， ∴存在常数 ，使得 恒成立． ……12 分 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2,1 1 k kB k k  + −  + +  OA OBk k= 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 5 5 3 1 1 k k k k k k k k − + +=+ + + + ( )( )1 2 1 21 3 5 0k k k k+ + = 1 2 1k k ≠ − 2 1 3 5k k= − ( )0 0,P x y ( ) ( )0 1 0 0 2 0 3 5 y k x y k x  = − = − 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 3 5 2 k kx k k k ky k k − = − − = − 1 2 1 2 1 2 1 2 3 5 2,k k k kP k k k k  − −  − −  1315 ,4 4 kP     1 3 1 3 14 15 5 4 k k k= = 1 2 1 3 2 25k k k k+ = = 2a = 1 2 32k k k+ =