2020届高一数学下学期质检试题及答案（福建省福州市一中）

3.21 数学在线自测自评质检 班级_________姓名______________座号_____ 一、单项选择题（共 8 题，每题 3 分） 1.设 3log 2 1a ， 3 1 2b ， 1.0 3 1    c ，则有（ ） A． a b c  B． c b a  C． c a b  D． bca  网 2.定义在 R 上的偶函数 )(xf 在 ]5,0[ 上是增函数，且 3)5( f ，则 )(xf 在 ]0,5[ 上是（ ） A．增函数，且最大值是 3 B．减函数，且最大值是 3 C．增函数，且最小值是 3 D．减函数，且最小值是 3 3.已知向量 )0,3(),1,2(  ba ，则 ba在 方向上的投影为 （ ） A． 5 B． 5 C． 2 D． 2 4.若 x A，则 1  Ax ，就称 A 是伙伴关系集合，集合 11, 0 , , 2 , 52M      的所有非空 子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A．1 B．3 C．7 D．31 5.在直角坐标系中，函数 a ax ay (22 3   为大于 0 的常数）所表示的曲线叫箕舌线. 则箕舌 线可能是下列图形中的（ ） 6.已知函数  siny x    0, 0 2         ，且此函数的图象如图所示，则点  ,  的坐 标是（ ） A． 2, 4      B． 2, 2      C． 4, 4      D． 4, 2      y xO 3 8  7 8  1 -7.甲船在岛 B 的正南方 A 处，AB＝10 千米，甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行，同时 乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时， 它们所航行的时间是（ ） A． 7 150 分钟 B． 7 15 分钟 C．21.5 分钟 D．2.15 分钟 8.函数   xxxf 3cos3 2sin  的最小正周期为（ ） A． 15 B. 12 C. 6 D. 3 二、多项选择题（共 2 题，每题 3 分，错选不得分，漏选得 1 分） 9.将函数 5sin 2y x 的图象向右平移 π 6 个单位后，其图象的对称轴方程有 ( ) A． π 12x   B． π 6x   C． 5π 12x  D． 7π 12x  10.定义：若存在常数 k ，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 1x ， 2x ，均有 |||)()(| 2121 xfxf  成立，则称函数 )(xf 在定义域 D 上满足利普希茨条 件．已知函数 )1()(  xxxf 满足利普希茨条件，则以下哪些是常数 k 的可能取值 （ ） A．2 B．1 C． 2 1 D． 3 1 三、填空题（共 4 题，每题 4 分，有 2 个小空的每小空 2 分） 11. 如图， ABCD 中， ,E F 分别是 ,BC DC 的中点， G 为交点，若 AB  = a  ， AD =b  ，则 CG __ a __b 12.已知  xf 是奇函数，当 0x  时，   )2( xxxf  ，则 0x  时，  xf __________ 13.在△ABC 中，A＝60°，B＝45°， 12 ba ，则 a＝ ；b＝ 14.已知 ,A B 是函数   3 63  xxf 图像上纵坐标相等的两点，线段 AB 的中点 C 在函数   xxg 3 的图像上，则点C 的横坐标的值为__________. A G E F C B D四、解答题（共 5 题，15、16、17 每题 10 分，18、19 每题 12 分） 15.已知向量 .1,4 3),1,1(  nmmnm 且的夹角为与向量向量  （1）求向量 n ； （2）设向量 )sin,,(cos),0,1( xxba  向量 ，其中 Rx  ，若 0 an ，试求 || bn  的取值范围. 16. ABC 的内角 CBA ,, 所对的边分别为 .,, cba 已知 .cos)(coscos BacBcAb  （1）求 B 的大小 （2）若 D 在 BC 边上， 22  DCBD ， ABC 的面积为 33 ，求 .sin CAD17．已知幂函数 )(xfy  的图像经过点 )2,2( ， （I）求函数 ( )f x 的解析式； （II）定义：若函数自变量的取值区间为  ba, ，其值域区间为  ba 2,2 ，则称区间 A 为该函 数的倍值区间． （1）试求函数 )(xf 的形如 )(,0 Rcc ）（ 的倍值区间； （2）设函数 |3)(|)( xxfxg  ，试求函数 )(xg 的所有倍值区间． 18. 求证三角恒等式： xx xxx cos4cos sin2 2 3tan2 5tan 19. 定义在 D 上的函数 )(xf ，如果满足：对任意 Dx ，存在常数 0M ，都有 Mxf )( 成立，则称 )(xf 是 D 上的有界函数，其中 M 称为函数 )(xf 的一个上界。已知函数 xx axf          4 1 2 11)( ， 1 1log)( 2 1   x axxg 。 （1）若函数 )(xg 为奇函数，求实数 a 的值； （2）在（1）的 条件下，求函数 )(xg 在区间     3,7 9 上的所有上界构成的集合； （3）若函数 )(xf 在 ,0 上是以5 为上界的有界函数，求实数 a 的取值范围。3.21 数学在线自测自评质检参考答案 一、单项选择 1.D 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.C 二、多项选择 9.AC 10.ABC 三、填空题 11. 3 1 , 3 1 12. )2()( xxxf  13. 61236  , 24612  14. 2 1 四、解答题 15.解：（1）令                 1 0 0 1 14 3cos2 1 ),( 22 y x y x yx yx yxn 或则  )1,0()0,1(  nn 或 3 分 （2） )1,0(0),0,1(  nana 4 分 )1sin,,(cos  xxbn 6 分 bn = 222 )1(sincos  xx = xsin22  = )sin1(2 x ； 8 分 ∵ ―1≤sinx≤1, ∴ 0≤ bn ≤2, 10 分 16.(1)因为 .cos)(coscos BacBcAb  所以 BACBCAB cos)sin(sincossincossin  ………………2 分 化简得： BCBA cossin2)sin(  ………………4 分 因为 CBA   ，所以 BCC cossin2sin  ，且 0sin C ， 所以 2 1cos B ，因为  ,0B ，所以 3 B ………………5 分 （2）因为 22  DCBD ，所以 ,3,1,2  BCCDBD 333sin32 1  c ，解得 4c ……………………6 分 323cos222  BDABBDABAD ……………………7 分所以 222 ABBDAD  ，即 BDAD  ，……………………8 分 所以 1322  BDADAC ，所以 13 13sin CAD ……………………10 分 17.（I）显然， 2)( xxf  ……………………1 分 （II）(1) bb 22  ，解得 20或b ，所以所求区间为  2,0 ……………………2 分 (2)显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负。 若所求区间为 )(,0 Rcc ）（ 型区间，则 ccc 232  ，解得 51或c ………4 分 经检验，    5,01,0 ， 均符合条件。 若 c2 为抛物线顶点纵坐标，则 8 9c ，但 2 3 8 9  ，不合题意………6 分 若所求区间不是  c，0 型区间，显然区间右端点不能超过 3，且左端点应大于 2 3 …7 分 在该单调减区间内，则      abb baa 23 23 2 2 该方程组无解。 ……………………9 分 故所求区间为    5,01,0 ， ………………10 分 18.证明：右边 )2 3 2 5cos()2 3 2 5cos( sin xxxx x   xx x xx x 2 3cos2 5cos sin 2 3cos2 5cos2 sin2  ……………………6 分 左边 xx x xx xxxx x x x x 2 3cos2 5cos sin 2 3cos2 5cos 2 3sin2 5cos2 3cos2 5sin 2 3cos 2 3sin 2 5cos 2 5sin    =右边 ……………………12 分 19 答案：解：（1）因为函数 g（x）为奇函数， 所以 g（﹣x）=﹣g（x），即 ， （可用特殊值代入） 即 ，得 a=±1，而当 a=1 时不合题意，故 a=﹣1．……………4 分 （2）由（1）得： ，而 ，易知 g（x）在区间（1，+∞）上单调递增， 所以函数 在区间 上单调递增，……………6 分 所以函数 在区间 上的值域为[﹣3，﹣1]， 所以|g（x）|≤3， 故函数 g（x）在区间 上的所有上界构成集合为[3，+∞）．………8 分 （3）由题意知，|f（x）|≤5 在[0，+∞）上恒成立，﹣5≤f（x）≤5， ． ∴ 在[0，+∞）上恒成立． ∴ 设 2x=t， ， ，由 x ∈ [0，+∞），得 t≥1． 易知 P（t）在[1，+∞）上递增， ………10 分 设 1≤t1＜t2，   0)16()()( 21 2112 21  tt ttttthth ， 所以 h（t）在[1，+∞）上递减，h（t）在[1，+∞）上的最大值为 h（1）=﹣7， p（t）在[1，+∞）上的最小值为 p（1）=3， 所以实数 a 的取值范围为[﹣7，3]． ……………12 分