北京市海淀区 2019-2020 学年度第二学期首师附中高一数学
第二次月考考试试卷
一、单选题（共 40 分，每小题 4 分，共 10 小题）
1．函数 （ ）的图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
2．用二分法求函数 零点的近似值时，如果确定零点所处的初始
区间为 ，那么 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数 f（x）＝x2+bx+c，若对任意的 x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，
则 b 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若集合 ， ，则 （ ）
( ) 1 log1 a
xf x xx
+= + 0 1a< <
( ) 2log 2f x x a x= + −
1 1( , )4 2 a
( ),2−∞ 5( , )2
+∞ 52, 2
5( ,2) ( , )2
−∞ +∞
[ ]5,5− [ ]4,4− [ ]3,3− [ ]2 2− ,
{1,2,3,4,5}A = { | 3}B x x= < ( )RA C B =A． B． C． D．
5．函数 的定义域为（ ）
A． B． C．
D．
6．设集合 P＝{m|－1＜m≤0}，Q＝{m R|mx2＋4mx－4＜0 对任意实数 x 恒成立}，则下
列说法正确的是
A．P 是 Q 的真子集 B．Q 是 P 的真子集
C．P＝Q D．P∩Q＝
7．已知 是第二象限的角，角 终边经过点 ，则 为第几象限的角：
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，A、B 两点在双曲线 上，分别经过 A、B 两点向坐标轴作垂线段，已
知 S 阴影＝1，则 S1＋S2 等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
{4,5} { }3,4,5 {1,2,3} {1,2}
2 24 1 1 4y x x= − + −
1 1{ | }2 2x x x≥ ≤ −或 1 1,2 2
−
1 1( , )2 2
−
1{ }2
∈
∅
α β (sin ,cos )P α α β
1
3
1log 4a = 15 4
b = 1
36c =
a b c> > a c b> > c a b> > b c a> >
a b 2a b+ = 1 2
a b
+
3
2
3 2 2
2
+
3 2 2+
4y x
=二、填空题（共 25 分，每小题 5 分，共 5 小题）
11．已知向量 ，且 与 共线，则 x 的值为
12．若 a10= ，am= ，则 m=______．
13．如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）
与乘客量 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调
整的建议，如图②③所示：
给出下列说法：（1）图②的建议：提高成本，并提高票价；（2）图②的建议：降低
成本，并保持票价不变；（3）图③的建议：提高票价，并保持成本不变；（4）图③
的建议：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是______．
14．复数 的值是____________.
15．已知函数 （ 且 ）恒过定点 ，则
________________.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
16．设 为常数． （14 分）
（1）若 为奇函数，求实数 的值；
（2）判断 在 上的单调性，并用单调性的定义予以证明;
（3）求 在 上的最小值．
(2,1), ( , 1)a b x= = − a b− b
1
2
2
2
y
x
2(1+2i)
3 4i−
( ) 2 , ,2 1xf x m x R m= + ∈+
( )f x m
( )f x R
( )f x ( ],1−∞17．有一块铁皮零件，其形状是由边长为 的正方形截去一个三角形 所得的
五边形 ，其中 ，如图所示.现在需要用这块材料截取矩形
铁皮 ，使得矩形相邻两边分别落在 上，另一顶点 落在边 或
边上.设 ，矩形 的面积为 .（14 分）
30cm ABF
ABCDE 8 ,AF cm= 6BF cm=
DMPN ,CD DE P CB BA
DM xcm= DMPN 2ycm（1）试求出矩形铁皮 的面积 关于 的函数解析式，并写出定义域；
（2）试问如何截取（即 取何值时），可使得到的矩形 的面积最大？
DMPN y x
x DMPN18．已知函数 ．（14 分）
（Ⅰ）求 的值和函数 的最小正周期；
（Ⅱ）求 的单调递减区间及最大值，并指出相应的 的取值集合．19．解关于 的不等式 .（15 分）x ( )2 2 2ax x ax a R− ≥ − ∈20．已知 ，函数 ．（14 分）
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 的最大值及此时 的值．
( ) 42 log , [116]f x x x= + ∈ ， ( ) ( ) ( )2 2[ ]g x f x f x= +
( )g x
( )g x x21．设 “关于 的不等式 的解析为 ”， “函数
在区间 上有零点”.（14 分）
（1）若 为真，求 的取值范围；
（2）若 为假， 为真，求 的取值范围.
:p x 2 5 04x ax a− + + > R :q
( ) 1
2
x
f x x a = − +
( )1,2−
q a
p q∧ p q∨ a答案第 1 页，总 14 页
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
对 x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.
【详解】
故选 C．
【点睛】
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这
一特征分析解决问题；
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决
问题．
2．C
【解析】
试 题 分 析 ： 由 零 点 存 在 性 定 理 ， 可 知 ， 即
，解得 ．
考点：函数零点存在性定理的应用．
3．C
【解析】
【分析】
由题意得，当 x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于 6，进而可得答案．
( )
( )
( )
log 1
1 log log 1 01 log 0.
a
a a
a
x x
xf x x x xx x x
− − < −
+ = = − − <
， ，
， ，
，
02
1
4
1
( ) ( )1 2 0f x f x− > ( ) ( )1 2f x f x>
m ( )f x ( ),−∞ +∞
( )f x ( ),−∞ +∞
( )f x ( ], 1−∞ −
1x = − ( ) ( )min
41 3f x f m= − = +
2
30 ,0 24
462 ,24 303
x x
y x x x
< ≤= − < ≤
(0,30]D =
93
4DM cm=
P CB BA y x答案第 9 页，总 14 页
（2）根据（1）由分段函数,结合二次函数的性质可求得面积的最大值.求得取最大值时 的
值,即可知截取矩形的方式.
【详解】
（1）依据题意并结合图形,可知：
①当点 落在线段 上
即 时, ；
②当点 在线段 上,
即 时,由 ,
得 .
于是 .
所以 ,
定义域 .
（2）由（1）知,当 时, ；
当 时,
当且仅当 时,等号成立.
因此,y 的最大值为 .
答：先在 DE 上截取线段 ,然后过点 M 作 DE 的垂线交 BA 于点 P,再过点 P 作
DE 的平行线交 DC 于点 N,最后沿 MP 与 PN 截铁皮,所得矩形面积最大,最大面积为
.
x
P CB
0 24x< ≤ 30y x=
P BA
24 30x< ≤ PQ BF
QA FA
=
440 3QA x= −
y DM PM= ⋅ DM EQ= ⋅ 2462 3x x= −
2
30 ,0 24
462 ,24 303
x x
y x x x
< ≤= − < ≤
(0,30]D =
0 24x< ≤ 0 720y< ≤
30 40x< ≤ 2462 3y x x= −
24 93 2883 2883
3 4 4 4x = − − + ≤
93
4x =
2883
4
93
4DM cm=
22883
4 cm答案第 10 页，总 14 页
【点睛】
本题考查了分段函数在实际问题中的应用,根据二次函数的性质求得最大值,属于基础题.
18．（Ⅰ） ，函数 的最小正周期
（Ⅱ）函数 的最大值为 2，相应的 的集合为
单调递减区间为 ，
【解析】
试题分析：（Ⅰ）化简可得 ，即可求出 和函数 的最小
正周期；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，函数 的最大值为 2，由
， 可得 的单调递减区间．
试题解析：解：（Ⅰ） ，
∴ ．
函数 的最小正周期 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，函数 的最大值为 2．
相应的 的集合为
∵ ，
312f
π = T π=
| ,6x x k k Z
ππ = + ∈
( ) 2sin 2 6f x x
π = + 12f
π
| ,6x x k k Z
ππ = + ∈
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π+ ≤ + ≤ +答案第 11 页，总 14 页
∴ 的单调递减区间为 ， ．
考点：1．三角恒等变换；2．函数 y=Asin（ωx+φ）的性质．
19．当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【解析】
【分析】
将原不等式因式分解化为 ，对参数 分 5 种情况讨论： ， ，
， ， ，分别解不等式．
【详解】
解：原不等式可化为 ，即 ，
①当 时，原不等式化为 ，解得 ，
②当 时，原不等式化为 ，
解得 或 ，
③当 时，原不等式化为 .
当 ，即 时，解得 ；
0a = { }| 1x x ≤ −
0a > 2{ |x x a
≥ 1}x ≤ −
2 0a− < < 2{ | 1}x xa
≤ ≤ −
2a = − { }1−
2a < − 2{ | 1 }x x a
− ≤ ≤
( )( )2 1 0ax x− + ≥ a 0a = 0a >
2 0a− < < 2a = − 2a < −
( )2 2 2 0ax a x+ − − ≥ ( )( )2 1 0ax x− + ≥
0a = 1 0x + ≤ 1x ≤ −
0a > ( )2 1 0x xa
− + ≥
2x a
≥ 1x ≤ −
0a < ( )2 1 0x xa
− + ≤
2 1a
> − 2a < − 21 x a
− ≤ ≤答案第 12 页，总 14 页
当 ，即 时，解得 满足题意；
当 ，即 时，解得 .
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 或 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
【点睛】
本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对 分类时要做到不重不漏
的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.
20．（1） ；（2） 时，函数有最大值 ．
【解析】
【分析】
（1）由已知 的定义域及复合函数的定义域的求解可知， ，解不等式可求
（2）由已知可求 ，结合二次函数的性质可求函数 的最值及
相应的 x．
【详解】
解：（1） ， ．
由题意可得， ，
2 1a
= − 2a = − 1x = −
2 1a
< − 2 0a− < < 2 1xa
≤ ≤ −
0a = { }| 1x x ≤ −
0a > 2{ |x x a
≥ 1}x ≤ −
2 0a− < < 2{ | 1}x xa
≤ ≤ −
2a = − { }1−
2a < − 2{ | 1 }x x a
− ≤ ≤
a
[1 ]4， 4x = 13
( )f x 2
1 16
1 16
x
x
≤ ≤
≤ ≤
( ) ( ) ( )2 2[ ]g x f x f x+＝ g x（ ）
( ) 42 log [116]f x x x= + ∈ ， ， ( ) ( ) ( )2 2[ ]g x f x f x+＝
2
1 16
1 16
x
x
≤ ≤
≤ ≤答案第 13 页，总 14 页
解可得，
即函数 的定义域 ；
（2） ，
设 ，则 ，
而 在 单调递增，
当 ，即 时，函数有最大值 ．
【点睛】
本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求
解，本题中的函数 的定义域是容易出错点．
21．(1) .(2) .
【解析】
试题分析：（1）由命题 为真，则 ，即可求解实数 的取值范围.
（2）根据 为假， 为真，得 中一真一假，分类讨论即可求解实数 的取值范
围.
试题解析：
（1）函数 是增函数，所以若 为真，则 ，解得 .
（2）若 为真，则 ，即 ，解得 ，
因为 为假， 为真，所以 中一真一假，
若 真 假，则 ；
1 4x≤ ≤
( )g x [1 ]4，
( ) 42 log , [116]f x x x= + ∈ ，
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2
4 4 4 4[ ] 2 log 2 log log 6log 6g x f x f x x x x x∴ = + = + + + = + +
4logt x= [01]t ∈ ，
( ) ( )22 6 6 3 3g t t t t= + + = + − [0 ]1，
1t = 4x = 13
( )g x
7 34 a− < < 7( , 1] [3,5)4
− − ∪
q (1 ) 0
(2) 0
f
f
−
a
p q∧ p q∨ ,p q a
( )f x q ( )
( )
1 0
2 0
f
f
−
7 34 a− < <
p 2 54 04a a − +
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