甘肃2020届高三数学（文）上学期期末试题（Word版含答案）

天水市一中 2020 届 2019—2020 学年度第一学期第五次（期末） 考试 文科数学试卷 一、单选题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A．2 B．-2 C． D． 5．在区间 上随机取一个数 ，则直线 与圆 有两个不同 公共点的概率为（ ） A． B． C． D． 6．函数 的图象大致为（ ） A． B． (1 i) 2iz + = z = 1 i− − 1+i− 1 i− 1+i 1| 2 2 xA x = >   1| 02 xB x x + = ≤ −  A B = ( )1,2− [ )1,2− ( ]1,2− [ ]1,2− lg10 xy = xy = xy lg= xy 2= x y 1= ( )4, 7a = − ( )3, 4b = − 2a b−  b 2 5− 2 5 [ 1,1]− k ( 2)y k x= − 2 2 1x y+ = 2 9 3 6 1 3 3 3 ln | |( ) xf x x x = +C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8．设实数 满足 ，则 的最大值是（ ） A．-1 B． C．1 D． 9．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，a=2，c= ，则 C=（ ） A． B． C． D． 10．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成 角的正切值为（ ） A． B． C． D． 11．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且 ，若 ，则 的值（ ） A． B．2 C． D．3 12．设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且 其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) 13．已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥ ,x y 2 4 2 2 1 0 x y x y x − ≤  + ≤  − ≥ 1y x + 1 2 3 2 sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = 2 π 12 π 6 π 4 π 3 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC AE CD 2 2 3 2 5 2 7 2 2: 12C y x= F l M C N l ( )0FN FMλ λ= >  4MF = λ 3 2 5 2 A B C D， ， ， ABC△ 9 3 D ABC− 12 3 18 3 24 3 54 3 α；③l⊥ ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________．（用序号作答） 14．设 为锐角，若 ，则 的值为_______. 15．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为 .现采用随机模拟 试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生 到 之间取整 数值的随机数, 用 表示下雨，用 表示不下雨，再以每三个随机数 作为一组, 代表这三天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下 组随机数: 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 16．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若函数 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______． 三、解答题:(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17．已知数列 满足 ， ，其中 为 的前 项和， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若数列 满足 ,求 的值. 18．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ， 、 分别为 、 的中点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证：平面 平面 ； （Ⅲ）求证： 平面 . 19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路， α α α π 3cos( )6 5 α + = sin 2 12 α π +   0 040 0 9 1,2,3,4 5,6,7,8,9,0 20 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966 191 925 271 ( ) ( )2ln , mf x x x g xe x = + − = e ( )f x { }na 1 1a = 1 2 1n na S+ = + nS { }na n *n N∈ na { }nb 31 logn nb a= + 1 2 2 3 2017 2018 1 1 1 b b b b b b + + + P ABCD− ABCD PAD ⊥ ABCD PA PD⊥ PA PD= E F AD PB PE BC⊥ PAB ⊥ PCD //EF PCD成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村的白凤桃树上随机摘 下了 100 个白凤桃进行测重，其质量分布在区间 内（单位：克），统计质 量的数据作出其频率分布直方图如图所示： （Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在 ， 的白凤桃中随机抽取 5 个，再从这 5 个白凤桃中随机抽 2 个，求这 2 个白凤桃质量至少有一个不小于 400 克的概率； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知 该村的白凤桃树上大约还有 100000 个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有白凤桃均以 20 元/千克收购； B．低于 350 克的白凤桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据： ） 20．已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经 过定点. 21．设函数 ， ． [200,500] [350,400) [400,450) 225 0.05 275 0.16 325 0.24 375 0.3 425 0.2 475 0.05 354.5× + × + × + × + × + × = 2 2 2 2: 1x yC a b + = (1,0) (0,1)A : ( 1)l y kx t t= + ≠ ± ( ) e 2 x af x ax= − + 0a >（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ； （Ⅱ）当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则 按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的 方框涂黑. 22．在平面直角坐标 系中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数， 且 ），在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位 长度相同）中，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）求直线 与曲线 的公共点 的极坐标. 23．已知 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；（Ⅱ）若 时不等式 成 立，求 的取值范围. 天水市一中 2020 届 2019—2020 学年度第一学期第五次（期末） 考试 文科数学试卷（答案） 一、选择题（12*5=60 分） 1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．D 12．B 11.详解：过 M 向准线 l 作垂线，垂足为 M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得 = ( )y f x= (1, (1))f x a 1x < ( )f x x a xOy C 1 1 x t t y t t  = +  = − t 0t > O x l sin 23 πρ θ − =   C l C P ( ) 1 1f x x ax= + − − 1a = ( ) 1f x > ( )0,1x∈ ( )f x x> a ' ' MM FF MN NF= ，又 ∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴ = = ， . 12．详解：如图所示， 点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点，当 平面 时，三棱锥 体积 最大此时， , 点 M 为三角形 ABC 的中心 中，有 二、填空题（4*5=20 分） 13．答案 1：若②③，则①；答案 2：若①③，则② （写出一个即为满分） 14． 15． 16． 或 1λ λ − 4MF = ， ' ' MM FF 4 6 1λ λ − 3λ∴ = DM ⊥ ABC D ABC− OD OB R 4= = = 23 9 34ABCS AB= =  AB 6∴ =  2BM 2 33 BE∴ = = Rt OMB∴  2 2OM 2OB BM= − = DM OD OM 4 2 6∴ = + = + = ( )max 1 9 3 6 18 33D ABCV −∴ = × × = 31 2 50 0.3 0m ≥ 2 1em e += −详解：因为 ，所以函数在 上为增函数且 ，所以 当 时，与 有一个公共点，当 时， 令 有一解即可，设 ，令 得 ，因为当 时， ，当 时， ，所以当 时， 有唯一极小值 ，即 有最小值 ，故当 时有一公共点，故填 或 . 三、简答题 17．（Ⅰ）因为 ， ， ， 两式相减得 注意到 ， ， 于是 ，所以 .（6 分） （Ⅱ）因为 ，于是 所以 .（12 分） 18．（Ⅰ）∵ ，且 为 的中点，∴ . ∵底面 为矩形，∴ ，∴ （4 分） （Ⅱ）∵底面 为矩形，∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ . 又 ， ， 、 平面 ， 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 （8 分） （Ⅲ）如图，取 中点 ，连接 . ( ) 11 0f x x = + >′ ( )0,+∞ 1 11 0f e e   = − − 1x e = (h x） 2 1e e +− ( )h x 2 1e e +− 2 1em e += − 0m ≥ 2 1em e += − 1 2 1n na S+ = + 12 1n na S −= + 2n ≥ 1 12 , 3 , 2n n n n na a a a a n+ +− = = ≥ 1 1a = 2 1 12 1 3 3a S a= + = = 11, 3n nn a a+∀ ≥ = 13n na −= nb n= ( )1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 2 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 20171 2 2 3 2017 2018 2018b b b b b b + + + = − + − + + − =  PA PD= E AD PE AD⊥ ABCD //BC AD PE BC⊥ ABCD AB AD⊥ PAD ⊥ ABCD PAD  ABCD AD= AB Ì ABCD AB ⊥ PAD PD ⊂ PAD AB PD⊥ PA PD⊥ PA AB A= PA AB Ì PAB PD∴ ⊥ PAB PD ⊂ PCD PAB ⊥ PCD PC G ,FG GD∵ 分别为 和 的中点，∴ ，且 . ∵四边形 为矩形，且 为 的中点，∴ ， ∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形， ∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .（12 分） 19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在 和 的比例为 ， ∴应分别在质量为 和 的白凤桃中各抽取 3 个和 2 个. 记抽取质量在 的白凤桃为 ， ， ，质量在 的白凤桃为 ， ， 则从这 5 个白凤桃中随机抽取 2 个的情况共有以下 10 种： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中质量至少有一个不小于 400 克的 7 种情况，故所求概率为 .（6 分） （Ⅱ）方案 好，理由如下： 由频率分布直方图可知，白凤桃质量在 的频率为 同理，白凤桃质量在 ， ， ， ， 的频率 依次为 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案 收购： ∵白凤桃质量低于 350 克的个数为 个 白凤桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个 ∴收益为 元 若按方案 收购： ,F G PB PC //FG BC 1 2FG BC= ABCD E AD 1// , 2ED BC DE BC= //ED FG ED FG= EFGD //EF GD EF ⊄ PCD GD ⊂ PCD //EF PCD [ )350,400 [ )400,450 3: 2 [ )350,400 [ )400,450 [ )350,400 1A 2A 3A [ )400,450 1B 2B 1 2A A 1 3A A 2 3A A 1 1A B 2 1A B 3 1A B 1 2A B 2 2A B 3 2A B 1 2B B 7 10 B [ )200,250 50 0.001 0.05× = [ )250,300 [ )300,350 [ )350,400 [ )400,450 [ )450,500 B ( )0.05 0.16 0.24 100000 45000+ + × = 45000 5 55000 9 720000× + × = A根据题意各段白凤桃个数依次为 5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为 （元） ∴方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 .（12 分） 20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ； 因为椭圆过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 .（4 分） （Ⅱ）设 联立 得 ， ， ， . 直线 ，令 得 ，即 ； 同理可得 . 因为 ,所以 ； ，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 .（12 分） 21.（Ⅰ）∵ ，∴ ，∴ 由题设知 ，即 e-a=0，解得 a=e． 经验证 a=e 满足题意．（4 分） （Ⅱ）令 ，即 ex=a，则 x=lna， (225 5000 275 16000 325 24000 375 30000× + × + × + × 425 20000 475 20000 475 5000) 20 1000 709000+ × + × + × × ÷ = B A B (1,0) 1c = (0,1)A 1b = 2 2 2 2a b c= + = 2 2 12 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 12 ( 1) x y y kx t t  + =  = + ≠ 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 20, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k −∆ > + = − =+ + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 ty y k x x t k + = + + = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 2 t ky y k x x kt x x t k −= + + + = + 1 1 1: 1 yAP y xx −− = 0y = 1 1 1 xx y −= − 1 1 1 xOM y −= − 2 2 1 xON y −= − 2OM ON = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 ( ) 1 x x x x y y y y y y − − = =− − − + + 2 2 1 12 1 t t t − =− + 0t = y kx= l (0,0) ( ) 2 x af x e ax= − + ( ) xf x e a′ = − (1)f e a′ = − (1) 0f ′ = ( ) 0f x′ =①当 lna＜1 时，即 0＜a＜e 对于任意 x∈（-∞，lna）有 ，故 f（x）在（-∞，lna）单调递减； 对于任意 x∈（lna，1）有 ，故 f（x）在（lna，1）单调递增， 因此当 x=lna 时，f（x）有最小值为 成立．所以 0＜a＜e ②当 lna≥1 时，即 a≥e 对于任意 x∈（-∞，1）有 ， 故 f（x）在（-∞，1）单调递减，所以 f（x）＞f（1）． 因为 f（x）的图象恒在 x 轴上方，所以 f（1）≥0，即 a≤2e， 综上，a 的取值范围为(0,2e],所以 a 的最大值为 2e．（12 分） 22. （Ⅰ）消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 . 将 ， 代入 ，得 . 所以曲线 的极坐标方程为 .（5 分） （Ⅱ）将 与 的极坐标方程联立，消去 得 . 展开得 . 因为 ，所以 . 于是方程的解为 ，即 . 代入 可得 ，所以点 的极坐标为 .（5 分） 23．（Ⅰ）当 时， ，即 故不等式 的解集为 ．（5 分） （Ⅱ）当 时 成立等价于当 时 成立． ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > a 3a alna a lna 02 2  − + = −  ＞ ( ) 0f x′ < t C ( )2 2 4 2x y x− = ≥ cosx ρ θ= y sinρ θ= 2 2 4x y− = ( )2 2 2cos 4sinρ θ θ− = C 2cos2 4 4 4 π πρ θ θ = − <    ( )0,1x∈ 1 1x ax x+ − − > ( )0,1x∈ 1 1ax − 1 1ax − < 20 x a < < 2 1a ≥ 0 2a< ≤ a ( ]0,2