甘肃2020届高三数学（理）上学期期末试题（Word版含答案）

天水市一中 2020 届 2019—2020 学年度第一学期第五次（期末） 考试 理科数学试卷 一、单选题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数 的定义域和值域相同的是（ ） A． B． C． D． 4．已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A．2 B．-2 C． D． 5．在区间 上随机取一个数 ，则直线 与圆 有两个不同 公共点的概率为（ ） A． B． C． D． 6．函数 的图象大致为（ ） A． B． (1 i) 2iz + = z = 1 i− − 1+i− 1 i− 1+i 1| 2 2 xA x = >   1| 02 xB x x + = ≤ −  A B = ( )1,2− [ )1,2− ( ]1,2− [ ]1,2− lg10 xy = xy = xy lg= xy 2= x y 1= ( )4, 7a = − ( )3, 4b = − 2a b−  b 2 5− 2 5 [ 1,1]− k ( 2)y k x= − 2 2 1x y+ = 2 9 3 6 1 3 3 3 ln | |( ) xf x x x = +C． D． 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8. 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数 和为（ ） A． B． C． D． 9．△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c．已知 ，a=2，c= ，则 C=（ ） A． B． C． D． 10．在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成 角的正切值为（ ） A． B． C． D． 11．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上，且 ，若 ，则 的值（ ） A． B．2 C． D．3 12．设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且 其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.) (1 )nx+ 122 112 102 92 sin sin (sin cos ) 0B A C C+ − = 2 π 12 π 6 π 4 π 3 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC AE CD 2 2 3 2 5 2 7 2 2: 12C y x= F l M C N l ( )0FN FMλ λ= >  4MF = λ 3 2 5 2 A B C D， ， ， ABC△ 9 3 D ABC− 12 3 18 3 24 3 54 3A B C P H M 13．已知 l，m 是平面 外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥ ； ③l⊥ ． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________．（用序号作答） 14．设 为锐角，若 ，则 的值为_______. 15．设函数 ，若 ， ，则 等于 ______． 16．已知函数 ，其中 为自然对数的底数，若函数 与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是______． 三、解答题:(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17．已知数列 满足 ， ，其中 为 的前 项和， . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若数列 满足 ,求 的值. 18．如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 为 的中点， 为 的中点， ， . （Ⅰ）求 与平面 成角的正弦值； （Ⅱ）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 . 若存在，请说明点 N 的位置，若不存在，请说明理由. 19．经过多年的努力，天水市秦安县白凤桃在国内乃至国际 上逐渐打开了销路，成为部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售，现从某村 的白凤桃树上随机摘下了 100 个白凤桃进行测重，其质量分布在区间 内 （单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示： α α α α π 3cos( )6 5 α + = sin 2 12 α π +   2( ) ( 0)f x ax b a= + ≠ 2 00 ( ) 2 ( )f x dx f x=∫ 0 0x > 0x ( ) ( )2ln , mf x x x g xe x = + − = e ( )f x { }na 1 1a = 1 2 1n na S+ = + nS { }na n *n N∈ na { }nb 31 logn nb a= + 1 2 2 3 2017 2018 1 1 1 b b b b b b + + + ABCP − PA ⊥ ABC AC BC⊥ H PC M AH 2PA AC= = 1BC = PM AHB PB N //MN ABC [200,500]（Ⅰ）按分层抽样的方法从质量落在 ， 的白凤桃中随机抽取 5 个，再从这 5 个白凤桃中随机抽 2 个，记这 2 个白凤桃质量落在 间的个 数为随机变量 X，求 X 的分布列； （Ⅱ）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知 该村的白凤桃树上大约还有 100000 个白凤桃待出售，某电商提出两种收购方案： A．所有白凤桃均以 20 元/千克收购； B．低于 350 克的白凤桃以 5 元/个收购，高于或等于 350 克的以 9 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案. （参考数据： ） 20．已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，直线 与椭圆 C 交于两个不同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线 l 经 过定点. 21．设函数 ， ． （Ⅰ）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ； [350,400) [400,450) [350,400) 225 0.05 275 0.16 325 0.24 375 0.3 425 0.2 475 0.05 354.5× + × + × + × + × + × = 2 2 2 2: 1x yC a b + = (1,0) (0,1)A : ( 1)l y kx t t= + ≠ ± ( ) e 2 x af x ax= − + 0a > ( )y f x= (1, (1))f x a（Ⅱ）当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值． 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则 按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的 方框涂黑. 22．在平面直角坐标 系中，曲线 的参数标方程为 （其中 为参数， 且 ），在以 为极点、 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位 长度相同）中，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）求直线 与曲线 的公共点 的极坐标. 23．已知 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 时不等式 成立，求 的取值范围. 天水市一中 2020 届 2019—2020 学年度第一学期第五次（期末） 考试 理科数学试卷（答案） 一、选择题（12*5=60 分） 1．D 2．A 3．D 4．B 5．D 6．A 7．D 8．D 9．B 10．C 11．D 12．B 1x < ( )f x x a xOy C 1 1 x t t y t t  = +  = − t 0t > O x l sin 23 πρ θ − =   C l C P ( ) 1 1f x x ax= + − − 1a = ( ) 1f x > ( )0,1x∈ ( )f x x> a11.详解：过 M 向准线 l 作垂线，垂足为 M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得 = = ，又 ∴|MM′|=4，又|FF′|=6，∴ = = ， . 12．详解：如图所示， 点 M 为三角形 ABC 的中心，E 为 AC 中点，当 平面 时，三棱锥 体积最大此时， , 点 M 为三角 形 ABC 的中心 中，有 二、填空题（4*5=20 分） 13．答案 1：若②③，则①；答案 2：若①③，则② （写出一个即为满分） 14． 15． ' ' MM FF MN NF 1λ λ − 4MF = ， ' ' MM FF 4 6 1λ λ − 3λ∴ = DM ⊥ ABC D ABC− OD OB R 4= = = 23 9 34ABCS AB= =  AB 6∴ =  2BM 2 33 BE∴ = = Rt OMB∴  2 2OM 2OB BM= − = DM OD OM 4 2 6∴ = + = + = ( )max 1 9 3 6 18 33D ABCV −∴ = × × = 31 2 50 2 3 316． 或 详解：因为 ，所以函数在 上为增函数且 ， 所以当 时，与 有一个公共点，当 时， 令 有一解即可，设 ，令 得 ，因为当 时， ，当 时， ，所以当 时， 有唯一极小值 ，即 有最小值 ， 故当 时有一公共点，故填 或 . 三、简答题 17．（Ⅰ）因为 ， ， ， 两式相减得 注意到 ， ， 于是 ，所以 .（6 分） （Ⅱ）因为 ，于是 所以 .（12 分） 18．（Ⅰ）解：在平面 中，过点 作 因为 平面 ，所以 平面 ， 由 底面 ，得 ， ， 两两垂直， 所以以 为原点， ， ， 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间 直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， . ABC A ，BCAD // ⊥BC PAC ⊥AD PAC PA ⊥ ABC PA AC AD A AD AC AP (0,0,0)A (0,0,2)P (1,2,0)B (0,2,0)C (0,1,1)H 1 1(0, , )2 2M 0m ≥ 2 1em e += − ( ) 11 0f x x = + >′ ( )0,+∞ 1 11 0f e e   = − − 1x e = (h x） 2 1e e +− ( )h x 2 1e e +− 2 1em e += − 0m ≥ 2 1em e += − 1 2 1n na S+ = + 12 1n na S −= + 2n ≥ 1 12 , 3 , 2n n n n na a a a a n+ +− = = ≥ 1 1a = 2 1 12 1 3 3a S a= + = = 11, 3n nn a a+∀ ≥ = 13n na −= nb n= ( )1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 2 2 3 2017 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 20171 2 2 3 2017 2018 2018b b b b b b + + + = − + − + + − = 设平面 的法向量为 ， 因为 ， ， 由 得 令 ，得 . 设 与平面 成角为 因为 所以 即 .（6 分） （Ⅱ）解：因为 ，设 ，所以 ， 又因为 ，所以 . 因为 平面 ，平面 的法向量 ， 所以 ，解得 . 即点 N 是靠近点 B 的四等分点（12 分） 19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在 和 的比例为 ， ∴应分别在质量为 和 的白凤桃中各抽取 3 个和 2 个. 随机变量 X 的分部列为： X 0 1 2 P （6 分） （Ⅱ）方案 好，理由如下： AHB ( , , )x y z=n (0,1,1)AH = (1,2,0)AB = 0, 0, AH AB  ⋅ = ⋅ =   n n 0, 2 0, y z x y + =  + = 1=z (2, 1,1)= −n PM AHB θ )2 3,2 1,0( −=PM (1,2, 2)PB = − PN PBλ=  ( ,2 , 2 )PN λ λ λ= − //MN ABC ABC (0,0,2)AP = 3 4 0MN AP λ⋅ = − =  4 3=λ 1 32 0 ( 1) 1 ( )2 2sin cos , 5 62 PMPM PM θ × + − × + × −⋅= < > = = ⋅ ⋅   nn n 2 15sin 15 θ = 1 3(0, , )2 2PM = − 1 3( ,2 , 2 )2 2MN PN PM λ λ λ= − = − −   [ )350,400 [ )400,450 3: 2 [ )350,400 [ )400,450 1 10 6 10 3 10 B A B C P H M N z x yD由频率分布直方图可知，白凤桃质量在 的频率为 同理，白凤桃质量在 ， ， ， ， 的 频率依次为 0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案 收购： ∵白凤桃质量低于 350 克的个数为 个 白凤桃质量不低于 350 克的个数为 55000 个 ∴收益为 元 若按方案 收购： 根据题意各段白凤桃个数依次为 5000，16000，24000，30000，20000，5000，于 是总收益为 （元） ∴方案 的收益比方案 的收益高，应该选择方案 .（12 分） 20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为 ，所以 ； 因为椭圆过点 ,所以 ，所以 ，故椭圆的方程为 . （4 分） （Ⅱ）设 联立 得 ， ， ， . 直线 ，令 得 ，即 ； [ )200,250 50 0.001 0.05× = [ )250,300 [ )300,350 [ )350,400 [ )400,450 [ )450,500 B ( )0.05 0.16 0.24 100000 45000+ + × = 45000 5 55000 9 720000× + × = A (225 5000 275 16000 325 24000 375 30000× + × + × + × 425 20000 475 20000 475 5000) 20 1000 709000+ × + × + × × ÷ = B A B (1,0) 1c = (0,1)A 1b = 2 2 2 2a b c= + = 2 2 12 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 12 ( 1) x y y kx t t  + =  = + ≠ 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x ktx t+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 20, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k −∆ > + = − =+ + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 ty y k x x t k + = + + = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2( ) 1 2 t ky y k x x kt x x t k −= + + + = + 1 1 1: 1 yAP y xx −− = 0y = 1 1 1 xx y −= − 1 1 1 xOM y −= −同理可得 . 因为 ,所以 ； ，解之得 ，所以直线方程为 ，所以直线 恒过定点 . （12 分） 21.（Ⅰ）∵ ，∴ ，∴ 由题设知 ，即 e-a=0，解得 a=e． 经验证 a=e 满足题意．（4 分） （Ⅱ）令 ，即 ex=a，则 x=lna， ①当 lna＜1 时，即 0＜a＜e 对于任意 x∈（-∞，lna）有 ，故 f（x）在（-∞，lna）单调递减； 对于任意 x∈（lna，1）有 ，故 f（x）在（lna，1）单调递增， 因此当 x=lna 时，f（x）有最小值为 成立．所以 0＜a＜ e ②当 lna≥1 时，即 a≥e 对于任意 x∈（-∞，1）有 ， 故 f（x）在（-∞，1）单调递减，所以 f（x）＞f（1）． 因为 f（x）的图象恒在 x 轴上方，所以 f（1）≥0，即 a≤2e， 综上，a 的取值范围为(0,2e],所以 a 的最大值为 2e．（12 分） 22. （Ⅰ）消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程 . 将 ， 代入 ，得 . 所以曲线 的极坐标方程为 .（5 分） （Ⅱ）将 与 的极坐标方程联立，消去 得 . 2 2 1 xON y −= − 2OM ON = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 1 ( ) 1 x x x x y y y y y y − − = =− − − + + 2 2 1 12 1 t t t − =− + 0t = y kx= l (0,0) ( ) 2 x af x e ax= − + ( ) xf x e a′ = − (1)f e a′ = − (1) 0f ′ = ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > a 3a alna a lna 02 2  − + = −  ＞ ( ) 0f x′ < t C ( )2 2 4 2x y x− = ≥ cosx ρ θ= y sinρ θ= 2 2 4x y− = ( )2 2 2cos 4sinρ θ θ− = C 2cos2 4 4 4 π πρ θ θ = − <    ( )0,1x∈ 1 1x ax x+ − − > ( )0,1x∈ 1 1ax − < 0a ≤ ( )0,1x∈ 1 1ax − ≥ 0a > 1 1ax − < 20 x a < < 2 1a ≥ 0 2a< ≤ a ( ]0,2