吉林省吉林市五十五中2019-2020高二数学上学期期中试卷（附解析Word版）

2019-2020 学年度第一学期期中考试试题 高二（数学） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。） 1.在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC 的面积 为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用三角形面积公式求解其面积即可. 【详解】由三角形面积公式得 得面积 . 本题选择 A 选项. 【点睛】在解决三角形问题中，面积公式 最常用，因 为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 2.下列四个数中，哪一个是数列{ }中的一项 （ ） A. 380 B. 39 C. 35 D. 23 【答案】A 【解析】 【详解】因为数列{ }，那么将四个选项代入,可知 ,其他选项 中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选 A. 3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式 ，则这个动点的运动区域(用阴 影表示)是（ ） A. B. 1 2 3 2 3 ABC 1 1 11 2 302 2 2ABCS acsinB sin= = × × × ° =  1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C ac B bc A= = = ( 1)n n + ( 1)n n + 19 20 380 19n× = ⇒ = x y c R∈ 2 2a b> ac bc> 2 2ac bc> a c b c− > − a b> 0b a< < { }na 1a 1 2n na a+ − = 51a 1 2n na a+ − = { }na 51a 0x > 4y xx = + ABC∆ sin :sin :sin 5:11:13A B C = ABC∆【解析】 【分析】 由 ，得出 ，可得出角 为最大角，并利用余 弦定理计算出 ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由 ，可得出 ， 设 ，则 ， ，则角 为最大角， 由余弦定理得 ，则角 钝角， 因此， 为钝角三角形，故选：C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合 大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10.一个等比数列 的前 项和为 48，前 项和为 60，则前 项和为（ ） A. 63 B. 108 C. 75 D. 83 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 在 等 比 数 列 中 ， 连 续 相 同 项 的 和 依 然 成 等 比 数 列 ， 即 成等比数列，题中 ，根 据等比中项性质有 ，则 ，故本题正确 选项为 A. 考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项. 11.在 中， ，则此三角形解的情况是( ) A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解 【答案】B 【解析】 由题意知， ， ， ，∴ ，如图： 为 sin :sin :sin 5:11:13A B C = : : 5:11:13a b c = C cosC sin :sin :sin 5:11:13A B C = : : 5:11:13a b c = ( )5 0a t t= > 11b t= 13c t= C 2 2 2 2 2 225 121 169 23cos 02 2 5 11 110 a b c t t tC ab t t + − + −= = = − + = 1 4y a b = + 7 2 9 2 1 4y a b = + 1 4y a b = + ( )1 1 4 1 452 2 b aa b a b a b    = × + + = × + +       1 45 22 b a a b  ≥ × + ×    9 2 = 2 4,3 3a b= = 1 4y a b = + 9 2【分析】 根据题意，设等比数列{an}的公比为 q，由等比数列的性质可得 q+q2＝6，解可得 q＝2 或﹣3， 分析可得 q 的值，结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为 q， 若 a1＝1，a2+a3＝6，则 q+q2＝6， 解可得 q＝2 或﹣3， 又由{an}是各项为正数的等比数列，则 q＝2， 则 S10 1023； 故该数列前 10 项的和 S10＝1023． 【点睛】本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，关键求出等比数列的公比． 14.不等式 解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】 首先将所给 不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可. 【详解】题中所给的不等式即： ， ， 该不等式等价于： ， 求解二次不等式可得： ，则不等式的解集为 . 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15.设 满足约束条件 ,则 的最大值为___ 【答案】7 【解析】 此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区 的 的 ( )10 1 1 1 a q q − = =− 2 1 13 1 x x − >+ 1| 2 3x x − < < −   2 1 1 03 1 x x − − >+ 2 03 1 x x − − >+ ( )( )2 3 1 0x x− − + > 12 3x− < < − 1| 2 3x x − < < −   1| 2 3x x − < < −   ,x y 1 { 2 x y y x y + ≤ ≤ ≥ − 3z x y= +域，然后找出直线 ，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后 把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的 就是最小值；此不等式组所表示的平面区域如图阴影所示， 把 分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大 且 7； 16.在一幢 10 米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 ，塔基的俯角为 ，那么这座塔吊 的高是 . 【答案】 米. 【解析】 【分析】 由题意，AB＝10 米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可先在直角三角形 ABC 中求出 BC，再由 AD⊥CE， 得出 DC，AD 的长度，再求出 DE 即可得出塔吊的高度． 【详解】解：由题意，AB＝10 米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可知 ABCD 是正方形，由此易 得 CD＝AD＝10 米 再由，∠DAE＝60°，在直角三角形 ADE 中可求得 DE AD＝10 ∴塔高为 DE+CD＝10+10 故答案为： 米 【点睛】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型， 然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问 为 1 1(3, 2), ( 2, 2), ( , )2 2A B C− − − 60 45 10( 3 1)+ 3= 3 ( )3 10 3 1= + ( )10 3 1+题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角． 三、解答题：（写出必要的解题步骤） 17.在△ABC 中，∠A=600，∠C=450，b=2, 解这个三角形. 【答案】 ， ， . 【解析】 【分析】 由题意首先求得∠B 的大小，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意可得： ， 结合正弦定理 可得： ， . 【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等 题. 18.（1）在△ABC 中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2； （2）比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) . 【解析】 【分析】 (1)由题意利用余弦定理角化边，然后整理变形即可证得题中的等式即可； (2)由题意利用作差法比较两个代数式的大小即可. 【详解】(1)由余弦定理： ， 则等式左侧 =等式右侧， 75B∠ =  3 2 6a = − 2 3 2c = − 180 75B A C∠ = − ∠ − ∠ =  sin sin sin a b c A B C = = 32sin 2 3 2 6sin 6 2 4 b Aa B × = = = − + 22sin 2 2 3 2sin 6 2 4 b Cc B × = = = − + ( 3)( 5) ( 2)( 4)a a a a+ − < + − 2 2 2 2 2 2 cos ,cos2 2 b c a a c bA Bbc ac + − + −= = 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b b c aac bcac bc + − + −= ⋅ − ⋅ ( )2 2 2 2 2 21 2 a c b b c a= + − − − + 2 2a b= −题中的等式得证. (2)利用作差法： ， . 【点睛】本题主要考查余弦定理证明三角恒等式的方法，作差法比较大小的方法等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.已知数列 的通项公式 ，数列 的前 项和为 . （1）求 ， ； （2）求 的最小值以及取得最小值时 n 的值. 【答案】（1） ，4；（2）最小值为 ，此时 或 3 【解析】 【分析】 (1)由数列 通项公式求解 ， 的值即可； (2)由题意首先求得前 n 项和，然后结合前 n 项和公式即可确定 的最小值以及取得最小值时 n 的值. 【详解】(1)由数列的通项公式可得： ； (2)由通项公式可得： ， 由数列的前 n 项和可得： , 关于 的函数 开口向上，对称轴为 ， 据此可得，当 或 时前 n 项和取得最小值，其最小值为： . 【点睛】本题主要考查由通项公式确定数列中的项的方法，等差数列前 n 项和公式及其应用， 前 n 项和的最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知数列 的前 项和为 （1）求数列 的通项公式； 的 ( ) ( )2 2( 3)( 5) ( 2)( 4) 2 15 2 8 7 0a a a a a a a a+ − − + − = − − − − − = − 0， (1) 若不等式的解集是{x|-4