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十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学
专题 19 不等式选讲
1.(2019·全国 1·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲]
已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明:
(1)1
a + 1
b + 1
c≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
【解析】(1)因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又 abc=1,故有 a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab + bc + ca
abc = 1
a + 1
b
+ 1
c.
所以1
a + 1
b + 1
c≤a2+b2+c2.
(2)因为 a,b,c 为正数且 abc=1,
故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3
≥33 (a + b)3(b + c)3(a + c)3
=3(a+b)(b+c)(a+c)
≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)=24.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
2.(2019·全国 2·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲]
已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集.
【解析】(1)f(x)={x - 4,x ≤ -1,
3x - 2, - 1 < 푥 ≤ 3
2,
-x + 4,x > 3
2,
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)=1 时,
可得 x=1 或 x=3;
当 f(x)=-1 时,可得 x=1
3或 x=5,
故 f(x)>1 的解集为{x|1 5}.
11.(2016·全国 3·理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|2x-a|+a.
(1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集;
(2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2.6
解不等式|2x-2|+2≤6 得-1≤x≤3.
因此 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当 x∈R 时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
当 x=1
2时等号成立,所以当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3 等价于|1-a|+a≥3.①
(分类讨论)
当 a≤1 时,①等价于 1-a+a≥3,无解.
当 a>1 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2.
所以 a 的取值范围是[2,+∞).
12.(2016·全国 2·理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x - 1
2| + |x + 1
2|,M 为不等式 f(x)