2010-2019十年高考数学真题分类汇编19不等式选讲(附解析)
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2010-2019十年高考数学真题分类汇编19不等式选讲(附解析)

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资料简介
1 十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学 专题 19 不等式选讲 1.(2019·全国 1·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲] 已知 a,b,c 为正数,且满足 abc=1.证明: (1)1 a + 1 b + 1 c≤a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 【解析】(1)因为 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又 abc=1,故有 a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab + bc + ca abc = 1 a + 1 b + 1 c. 所以1 a + 1 b + 1 c≤a2+b2+c2. (2)因为 a,b,c 为正数且 abc=1, 故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3 ≥33 (a + b)3(b + c)3(a + c)3 =3(a+b)(b+c)(a+c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)=24. 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 2.(2019·全国 2·理 T23 文 T23)[选修 4—5:不等式选讲] 已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)1 的解集. 【解析】(1)f(x)={x - 4,x ≤ -1, 3x - 2, - 1 < 푥 ≤ 3 2, -x + 4,x > 3 2, y=f(x)的图象如图所示. (2)由 f(x)的表达式及图象,当 f(x)=1 时, 可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=1 3或 x=5, 故 f(x)>1 的解集为{x|1 5}. 11.(2016·全国 3·理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2.6 解不等式|2x-2|+2≤6 得-1≤x≤3. 因此 f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当 x∈R 时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 当 x=1 2时等号成立,所以当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3 等价于|1-a|+a≥3.① (分类讨论) 当 a≤1 时,①等价于 1-a+a≥3,无解. 当 a>1 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2. 所以 a 的取值范围是[2,+∞). 12.(2016·全国 2·理 T24 文 T24)已知函数 f(x)=|x - 1 2| + |x + 1 2|,M 为不等式 f(x)

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