四川省广元市2020年初中学业水平考试数学模拟试题（含答案）.doc

2020 年四川省广元市初中学业水平考试数学模拟试题 考试时间 100 分钟 试卷满分 120 分 考试注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效 3．本试题分为两卷：选择题和非选择题，请根据要求规范作答 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．（3 分）π 的相反数是（　　） A．π B．一 π C． D．﹣ 2．（3 分）下列计算中正确的是（　　） A．b3•b2＝b6 B．x3+x3＝x6 C．a2÷a2＝0 D．（﹣a3）2＝a6 3．（3 分）函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围（　　） A．x≠0 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠1 4．（3 分）某班七个兴趣小组人数如下：5，6，6，x，7，8，9，已知这组数据的平均数是 7，则这组数据的中位数是（　　） A．6 B．6.5 C．7 D．8 5．（3 分）我国古代数学家利用“牟合方盖“找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖” 是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如 图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（　　） A． B． C． D．6．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，若∠ABC＝30°，OE＝ ，则 OD 长为（　　） A．3 B． C．2 D．2 7．（3 分）不等式组 的所有非负整数解的和是（　　） A．10 B．7 C．6 D．0 8．（3 分）如图，点 M 为▱ABCD 的边 AB 上一动点，过点 M 作直线 l 垂直于 AB，且直线 l 与▱ABCD 的另一边交于点 N．当点 M 从 A→B 匀速运动时，设点 M 的运动时间为 t，△ AMN 的面积为 S，能大致反映 S 与 t 函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 的对角线上取点 E，使得∠BAE＝15°，连接 AE，CE． 延长 CE 到 F，连接 BF，使得 BC＝BF．若 AB＝1，则下列结论：①AE＝CE；②F 到 BC 的距离为 ； ③BE+EC＝EF；④ ；⑤ ． 其中正确的个数是（　　）A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 10．（3 分）如图，直线 y＝ x，点 A1 坐标为（1，0），过点 A1 作 x 轴的垂线交直线于 点 B1，以原点 O 为圆心，OB1 长为半径画弧交 x 轴于点 A2；再过点 A2 作 x 轴的垂线交 直线于点 B2，以原点 O 为圆心，OB2 长为半径画弧交 x 轴于点 A3，…，按此做法进行下 去，点 A2019 的坐标为（　　） A．（22017，0） B．（22018，0） C．（22020，0） D．（24034，0） 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．（3 分）分解因式：2x3﹣x＝　 　． 12．（3 分）若关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣ ＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 点 P（a+1，﹣a﹣3）在第　 　象限． 13．（3 分）如图，将等腰直角三角形 ABC 绕点 A 时针旋转 15 度得到△AEF，若 AC＝ ， 则阴影部分的面积为　 　． 14．（3 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD 为⊙O 的直径，CD＝ 6，OA 交 BC 于点 E，则 AE 的长度是　 　．15．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，对称轴为 x＝ ，且经 过点（2，0）．下列结论：①ac＜0；②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＝0；④若（﹣2，y1）， （﹣3，y2）是抛物线上的两点，则 y1＜y2．其中正确结论的个数是　 　个． 三．解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．（6 分）计算：（﹣ ）﹣2+2cos30°﹣|1﹣ |+（π﹣2019）0． 17．（7 分）先化简，再求值： ，其中 x＝﹣1． 18．（7 分）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，延长 BA 到点 D，使 AD＝ AB， 点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点．求证：DF＝BE． 19．（8 分）某报社为了解温州市民对大范围雾霾天气的成因、影响以及应对措施的看法， 做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解 C．基本了 解 D．不了解．根据调查统计结果，回执了不完整的三种统计图表．请结合统计图表， 回答下列问题： （1）本次参与调查的市民共有　 　人，m＝　 　，n＝　 　． （2）统计图中扇形 D 的圆心角是　 　度．（3）某校准备开展关于雾霾的知识竞赛，九（3）班郑老师欲从 2 名男生和一名女生中 任选 2 人参加比赛，求恰好选中“1 男 1 女”的概率（要求列表或画树状图）． 对雾霾的了解程度 百分比 A 非常了解 5% B 比较了解 m% C 基本了解 45% D 不了解 n% 20．（8 分）随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求 代理 A，B 两种型号的净水器，每台 A 型净水器比每台 B 型净水器进价多 200 元，用 5 万元购进 A 型净水器与用 4.5 万元购进 B 型净水器的数量相等 （1）求每台 A 型、B 型净水器的进价各是多少元？ （2）该公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 50 台进行试销，其中 A 型净水器为 x 台，购买资金不超过 9.8 万元，试销时 A 型净水器每台售价 2500 元，B 型净水器每台售 价 2180 元，公司决定从销售 A 型净水器的利润中按每台捐献 a 元作为公司帮扶贫困村饮 水改造资金．若公司售完 50 台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于 20200 元 但不超过 23000 元，求 a 的取值范围． 21．（8 分）如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 ，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60°的方向上．该货船航行 30 分钟后到达 B 处，此时 再测得该岛在北偏东 30°的方向上， （1）求 B 到 C 的距离； （2）如果在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁 危险？试说明理由（ ≈1.732）．22．（9 分）如图，一次函数 y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数 y＝ （k≠0）的图象 交于第二、四象限内的点 A（a，4）和点 B（8，b）．过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为点 C ，△AOC 的面积为 4． （1）分别求出 a 和 b 的值； （2）结合图象直接写出 mx+n＜ 的解集； （3）在 x 轴上取点 P，使 PA﹣PB 取得最大值时，求出点 P 的坐标． 23．（10 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 P 是 BA 延长线上一点，过点 P 作⊙O 的切线 PC ，切点是 C，过点 C 作弦 CD⊥AB 于 E，连接 CO，CB． （1）求证：PD 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝10，tanB＝ ，求 PA 的长； （3）试探究线段 AB，OE，OP 之间的数量关系，并说明理由．24．（12 分）如图，直线 y＝ x+c 与 x 轴交于点 B（4，0），与 y 轴交于点 C，抛物线 y＝ x2+bx+c 经过点 B，C，与 x 轴的另一个交点为点 A． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，求四边形 ACPB 的面积最大时点 P 的坐标 ； （3）若点 M 是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝ ∠ABC 的点 M 的坐标．参考答案 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．解：π 的相反数是：﹣π． 故选：B． 2．解：b3•b2＝b5，故选项 A 不合题意； x3+x3＝2x3，故选项 B 不合题意； a2÷a2＝1，故选项 C 不合题意； （﹣a3）2＝a6，正确，故选项 D 符合题意． 故选：D． 3．解：由题意知 x﹣1≠0， 则 x≠1， 故选：D． 4．解：∵5，6，6，x，7，8，9，这组数据的平均数是 7， ∴x＝7×7﹣（5+6+6+7+8+9）＝8， ∴这组数据从小到大排列为：5，6，6，7，8，8，9 则最中间为 7，即这组数据的中位数是 7． 故选：C． 5．解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱左视图是正方形， 得出圆柱以及正方体的摆放的左视图为 1 列，上边一个矩形，下边是正方形与圆的组合 体． 故选：A． 6．解：∵CD⊥AB， ∴ ＝ ， ∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°， 在 Rt△ODE 中，OD＝2OE＝2× ＝2 ． 故选：C．7．解： ， 解不等式①得：x＞﹣2.5， 解不等式②得：x≤4， ∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4， ∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4， ∴不等式组的所有非负整数解的和是 0+1+2+3+4＝10， 故选：A． 8．解：设∠A＝α，点 M 运动的速度为 a，则 AM＝at， 当点 N 在 AD 上时，MN＝tanα×AM＝tanα•at， 此时 S＝ ×at×tanα•at＝ tanα×a2t2， ∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分， 当点 N 在 DC 上时，MN 长度不变， 此时 S＝ ×at×MN＝ a×MN×t， ∴后半段函数图象为一条线段， 故选：C． 9．解：∵正方形 ABCD， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE， ∴AE＝CE，∴①正确； ∵过 F 作 FH⊥BC 于 H， ∵BF＝BC＝1， ∴∠BFC＝∠FCB＝15°， ∴FH＝ BF＝ ，∴②错误； ∵Rt△BHF 中， FH＝ ，BF＝1， ∴CF＝ ＝∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴AE＝CE， 在 EF 上取一点 N，使 BN＝BE， 又∵∠NBE＝∠EBC+∠ECB＝45°+15°＝60°， ∴△NBE 为等边三角形， ∴∠ENB＝60°， 又∵∠NFB＝15°， ∴∠NBF＝45°， 又∵∠EBC＝45°， ∴∠NBF＝∠EBC， 又∵BF＝BC，∠NFB＝∠ECB＝15°， 可证△FBN≌△CBE， ∴NF＝EC， 故 BE+EC＝EN+NF＝EF， ∴③正确； 过 A 作 AM⊥BD 交于 M， 根据勾股定理求出 BD＝ ， 由面积公式得： AD×AB＝ BD×AM， AM＝ ＝ ， ∵∠ADB＝45°，∠AED＝60°， ∴DM＝ ，EM＝ ， ∴S△AED＝ DE×AM＝ + ，∴④错误；S△EBF＝S△FBC﹣S△EBC＝ ×1× ﹣ ×1×[1﹣ ]＝ ，∴⑤正确． 故选：B． 10．解：由题意可得， 点 A1 坐标为（1，0），点 B1 的坐标为（1， ）， 点 A2 坐标为（2，0），点 B2 的坐标为（2，2 ）， 点 A3 坐标为（4，0），点 B3 的坐标为（4，4 ）， …… ∴点 A2019 的坐标为（22018，0）， 故选：B． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．解：原式＝x（2x2﹣1）， 故答案为：x（2x2﹣1） 12．解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2﹣x﹣ ＝0（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得：a＞﹣1 且 a≠0． ∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0， ∴点 P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 13．解：如图，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠CAB＝45°， 又∵∠CAF＝15°， ∴∠FAD＝30°， 又∵在直角△ADF 中，AF＝AC＝ ， ∴DF＝AF•tan∠FAD＝ × ＝1， ∴S 阴影＝ AF•DF＝ ×1× ＝ ． 故答案为： 14．解：∵AB＝C， ∴ ＝ ， ∴OA⊥BC， ∴∠BAE＝∠CAE＝60°，BE＝EC， ∵OA＝OB， ∴△OAB 是等边三角形， ∵BE⊥OA， ∴OE＝AE， ∵OB＝OD，BE＝EC， ∴OE＝AE＝ CD＝3． 故答案为 3．15．解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点， ∴c＞0， ∴ac＜0． 故①正确； ②把 x＝2 代入 y＝ax2+bx+c 得：y＝4a+2b+c， ∵抛物线经过点（2，0）， ∴当 x＝2 时，y＝0，即 4a+2b+c＝0 故②错误； ③∵对称轴是直线 x＝ ，且经过点（2，0）， ∴抛物线与 x 轴另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，所以③正确； ④∵点（﹣2，y1）和（﹣3，y2）在对称轴左侧， ∴y 随 x 的增大而增大， ∵﹣2＞﹣3， ∴y1＞y2， 故④错误； 综上所述，正确的结论是①③2 个． 故答案为 2． 三．解答题（共 9 小题，满分 75 分） 16．解：原式＝4+2× ﹣ +1+1 ＝6． 17．解：原式＝ ÷ ＝ • ＝﹣ ， 当 x＝﹣1 时，原式＝﹣1． 18．证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝90°， ∵点 E，F 分别是边 BC，AC 的中点， ∴AF＝FC，BE＝EC，FE 是△ABC 的中位线，∴FE＝ AB，FE∥AB， ∴∠EFC＝∠BAC＝90°， ∴∠DAF＝∠EFC， ∵AD＝ AB， ∴AD＝FE， 在△ADF 和△FEC 中， ， ∴△ADF≌△FEC（SAS）， ∴DF＝EC， ∴DF＝BE． 19．解：（1）本次参与调查的市民共有：20÷5%＝400（人）， m%＝ ×100%＝15%，则 m＝15， n%＝1﹣5%﹣45%﹣15%＝35%，则 n＝35； 故答案为：400，15，35； （2）扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 360°×35%＝126°． 故答案为：126； （3）根据题意画图如下： 共有 6 种等可能的结果数，其中恰好选中 1 男 1 女的结果数为 4 种， 所以恰好选中 1 男 1 女的概率是 ＝ ． 20．解：（1）设每台 A 型的进价为 m 元， ， 解得，m＝2000， 经检验，m＝2000 是原分式方程的解， ∴m﹣200＝1800， 答：每台 A 型、B 型净水器的进价分别是 2000 元、1800 元；（2）2000x+1800（50﹣x）≤98000， 解得，x≤40， 设公司售完 50 台净水器并捐款后获得的利润为 w 元， w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000， 当 a≥120 时，w≤19000 不合题意， 当 a＜120 时，120﹣a＜0，当 x＝40 时，w 取得最大值， ∴20200≤40（120﹣a）+19000≤23000， 解得，20≤a≤90， 即 a 的取值范围是 20≤a≤90． 21．解：（1）由题意得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠MBC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠MBC＝∠BAC+∠ACB， ∴∠ACB＝∠MBC﹣∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠ACB， ∴BC＝AB＝24× ＝12（海里）； （2）该货船无触礁危险，理由如下： 过点 C 作 CD⊥AD 于点 D，如图所示： ∵∠EAC＝60°，∠FBC＝30°， ∴∠CAB＝30°，∠CBD＝60°． ∴在 Rt△CBD 中，CD＝ BD． 在 Rt△CAD 中，AD＝ CD＝3BD＝AB+BD＝12+BD， ∴BD＝6． ∴CD＝6 ． ∵6 ＞9， ∴货船继续向正东方向行驶无触礁危险．22．解：（1）∵点 A（a，4）， ∴AC＝4， ∵S△AOC＝4，即 ， ∴OC＝2， ∵点 A（a，4）在第二象限， ∴a＝﹣2 A（﹣2，4）， 将 A（﹣2，4）代入 y＝ 得：k＝﹣8， ∴反比例函数的关系式为：y＝ ， 把 B（8，b）代入得：b＝﹣1， ∴B（8，﹣1） 因此 a＝﹣2，b＝﹣1； （2）由图象可以看出 mx+n＜ 的解集为：﹣2＜x＜0 或 x＞8； （3）如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，直线 AB′与 x 轴交于 P， 此时 PA﹣PB 最大（PA﹣PB＝PA﹣PB′≤AB′，共线时差最大） ∵B（8，﹣1） ∴B′（8，1） 设直线 AP 的关系式为 y＝kx+b，将 A（﹣2，4），B′（8，1）代入得： 解得：k＝ ，b＝ ， ∴直线 AP 的关系式为 y＝ x+ ， 当 y＝0 时，即 x+ ＝0，解得 x＝ ，∴P（ ，0） 23．解：（1）证明：连接 OD， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°， ∵OA⊥CD ∴CE＝DE ∴PC＝PD ∴∠PDC＝∠PCD ∵OC＝OD ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°， ∴PD 是⊙O 的切线． （2）如图 2，连接 AC， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴tanB＝ ＝ 设 AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝ ， AC＝2 ，BC＝4 ， ∵CE×AB＝AC×BC，即 10CE＝2 ×4 ， ∴CE＝4，BE＝8，AE＝2 在 Rt△OCE 中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5， ∴CE＝ ＝ ＝4，∵ ∴OP×OE＝OC×OC，即 3OP＝5×5， ∴OP＝ ，PA＝OP﹣OA＝ ﹣5＝ ． （3）AB2＝4OE•OP 如图 2，∵PC 切⊙O 于 C， ∴∠OCP＝∠OEC＝90°， ∴△OCE∽△OPC ∴ ，即 OC2＝OE•OP ∵OC＝ AB ∴ 即 AB2＝4OE•OP． 24．解：（1）将点 B 坐标代入 y＝ x+c 并解得：c＝﹣3， 故抛物线的表达式为：y＝ x2+bx﹣3， 将点 B 坐标代入上式并解得：b＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝ x2﹣ x﹣3； （2）过点 P 作 PH∥y 轴交 BC 于点 H，设点 P（x， x2﹣ x﹣3），则点 H（x， x﹣3）， S 四边形 ACPB＝S△AOC+S△PCB， ∵S△AOC 是常数，故四边形面积最大，只需要 S△PCB 最大即可， S△PCB＝ ×OB×PH＝ ×2（ x﹣3﹣ x2+ x+3）＝﹣ x2+3x， ∵﹣ ＜0，∴S△PCB 有最大值，此时，点 P（2，﹣ ）； （3）过点 B 作∠ABC 的角平分线交 y 轴于点 G，设∠MBC＝ ∠ABC＝2α， 过点 B 分别在 x 轴之上和 BC 之下作角度数为 α 的两个角，分别交 y 轴于点 N 交抛物线 于点 M′，交抛物线于点 M， 过点 G 作 GK⊥BC 交 BC 于点 K，延长 GK 交 BM 于点 H，则 GH＝GN，BC 是 GH 的中 垂线， OB＝4，OC＝3，则 BC＝5， 设：OG＝GK＝m，则 CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1， 由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝ ， 则 OG＝ON＝ ，GH＝GN＝2OG＝ ，点 G（0，﹣ ）， 在 Rt△GCK 中，GK＝OG＝ ，GC＝OC﹣OG＝3﹣ ＝ ，则 cos∠CGK＝ ＝ ，sin∠CGK＝ ， 则点 K（ ，﹣ ），点 K 是点 GH 的中点，则点 H（ ，﹣ ）， 则直线 BH 的表达式为：y＝ x﹣ …②， 同理直线 BN 的表达式为：y＝﹣ x+ …③ 联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0， 解得：x＝1 或 4（舍去 4）， 则点 M（1，﹣ ）； 联立①③并解得：x＝﹣ ， 故点 M′（﹣ ， ）； 故点 M（1，﹣ ）或（﹣ ， ）．