射洪中学入学考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．
A． B． C． D．
3．函数 的定义域是
A．（-1，2] B．[-1,2] C．（-1 ，2） D．[-1,2)
4．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的是
A． B． C． D．
5．函数 f（x）=log2x- -1 的零点所在的区间为
A． B． C． D．
6．函数 的图象大致是
{1,2,3,4,5}A = { | 2 , }B x x n n N= = ∈ A B =
{2,3} {2,4} {3,4} {2,3,4,5}
tan300 sin 270° °+ =
3 1+ 3 1− 3 1− + 3 1− −
12
1
y x
x
= − +
+
y x 1= + 2y x 1= − + y lgx= xy 2−=
3
x
( )1,2 ( )2,3 ( )3,4 ( )4,5
2 1( ) cos2 1
x
xf x x
+= ⋅−A． B．
C． D．
7．为了得到函数 的图像，只需将 的图像上每一个点
A．横坐标向左平移了 个单位长度； B．横坐标向右平移了 个单位长度；
C．横坐标向左平移了 个单位长度； D．横坐标向右平移了 个单位长度；
8．已知 ，则
A． B． C． D．
9．已知函数， 下面结论错误的是
A．函数 的最小正周期为 B．函数 是奇函数
C．函数 的图象关于直线 ＝0 对称 D．函数 在区间 上是增函数
10．若 ，则有
A． B． C． D．
11．已知 是偶函数，它在 上是增函数.若 ，则 的取值范围是
A． B． C. D．
12．已知函数 的定义域为 R，当 时， ，当 时，
x
1sin 2 3y x
π = −
1sin 2y x=
3
π
3
π
3
2π
3
2π
2sin 5 m
π = 3cos 5
π =
m m− 21 m− 21 m− −
))(2sin()( Rxxxf ∈−= π
)(xf π2 )(xf
)(xf x )(xf
2,0
π
1
2 12 , ln 2, lg 2a b c= = =
a b c> > b a c> > c b a> > b c a> >
( )f x [ )0,+∞ ( ) ( )lg 1f x f> x
）（ 1,10
1 ），（），（ ∞+∞ 1010
1- ）（ 10,10
1 ），（），（ ∞+∞ 101- ，当 时， ，则
A． B． C．1 D．2
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知幂函数 是偶函数，且在 上是增函数，则 。
14．______．
15．函数 (A＞0,0＜ ＜ )在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为
______ 。
16．已知 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ， 为取整函
数， 是函数 的零点，则 __________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知函数 f（x）= + 的定义域为集合 A，集合 B={x|log2x≥1}．
（1）求 A∩B，A∪B；
（2）若集合 C={y|a＜y＜a+1}，且 C⊆（A∩B），求实数 a 的取值范围．
18．（12 分）已知函数 （ 为常数）是奇函数．
（1）求 的值；
)()( 223 Zmxxf mm ∈= −+ ),0( +∞ =m
=)2019(f
)sin( ϕω += xAy ϕ π
[ ]x x [ ]1.1 1= [ ]1.1 2− = − [ ]( )g x x=
0x 2( ) lnf x x x
= − 0( )g x =
4 x− x 1−
2
1( ) log 1
axf x x
+= − a
a（2）判断函数 在 上的单调性，并予以证明．
19．（12 分）已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，- ＜φ＜ ）的最小正周期为 π，且 x=
时 f（x）取得最小值．
（1）求 f（x）的解析式；
（2）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，求不等式 g（x）≥1
的解集．
20．（12 分）为弘扬中华传统文化，学校课外阅读兴趣小组进行每日一小时的“经典名著”和“古
诗词”的阅读活动. 根据调查，小明同学阅读两类读物的阅读量统计如下：
小明阅读“经典名著”的阅读量 （单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足二次函数关系，
部分数据如下表所示；
t 0 10 20 30
0 2700 5200 7500
阅读“古诗词”的阅读量 （单位：字）与时间 t（单位：分钟）满足如图 1 所示的关系.
（1）请分别写出函数 和 的解析式；
（2）在每天的一小时课外阅读活动中，小明如何分配“经典名著”和“古诗词”的阅读时间，使
每天的阅读量最大，最大值是多少？
21．（12 分）已知函数 在闭区间 （ ）上的最小值为 ．
（1）求 的函数表达式；
( )f x (1,3)
π
2
π
2
2π
3
π
6
( )f t
( )f t
( )g t
( )f t ( )g t
2( ) 2 2f x x x= − + [ ], 1t t + t R∈ ( )g t
( )g t（2）画出 的简图，并写出 的最小值．
22．（12 分）设函数 定义域为 ，对于区间 ，如果存在 ， ，使
得 ，则称区间 为函数 的ℱ区间.
（1）判断 是否是函数 的ℱ区间;
（2）若 是函数 （其中 ）的ℱ区间，求 的取值范围;
（3）设 为正实数，若 是函数 的ℱ区间，求 的取值范围.
( )g t ( )g t
( )f x I D I⊆ 1 2,x x D∈ 1 2x x≠
1 2( ) ( ) 2f x f x+ = D ( )f x
( , )−∞ +∞ 3 1xy = +
1[ ,2]2 logay x= 0, 1a a> ≠ a
ω [π,2π] cosy xω= ω射洪中学入学考试数学试题参考答案
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A
11．B 12．A
13．1 14．2 15． 16．2
17．（1）由 得，1≤x≤4；
∴A={x|1≤x≤4}，且 B={x|x≥2}；
∴A∩B={x|2≤x≤4}，A∪B={x|x≥1}；
（2）∵C⊆（A∩B）；
∴ ；解得 2≤a≤3；
∴a 的取值范围是[2，3]．
18．（1）∵ 是奇函数，∴ ，
即 ，即 ，解得 或 （舍去），
故 的值为 1．
（2）函数 在 上是减函数．
证明：由（1）知 ，设 ，
任取 ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ 在 上为减函数，
又∵函数 在 上为增函数，
∴函数 在 上为减函数．
19．（1）∵f（x）的周期为 π，∴ω= =2，
∵当 x= 时，函数 f（x）取得最小值，
)3
22sin(2
π+= xy
{ 4 x 0
x 1 0
− ≥
− ≥
{ a 2
a 1 4
≥
+ ≤
( ) 2
1log 1
axf x x
+= −
( ) ( )f x f x− = −
2 2
1 1log log1 1
ax ax
x x
− += −− − − 2 2
1 1log log1 1
ax x
x ax
− −=+ + 1a = 1a = −
a
( )f x ( )1,3
( ) 2
1log 1
xf x x
+= − ( ) 1
1
xg x x
+= −
1 21 3x x< < < ( ) ( ) ( )
( )( )2 11 2
1 2
1 2 1 2
21 1
1 1 1 1
x xx xg x g x x x x x
−+ +− = − =− − − −
2 1 0x x− > 1 1 0x − > 2 1 0x − > ( ) ( )1 2 0g x g x− >
( )g x ( )1,3
2logy x= ( )1,+∞
( )f x ( )1,3
2π
π
2
3
π∴sin（ ×2+φ）=-1，∴ ×2+φ=- +2kπ，即 φ=- +2kπ，
∵φ 是锐角，∴φ= ．
∴f（x）=2sin（2x+ ）.
（2）由（1）及题意可得：g（x）=2sin[2（x- ）+ ]=2sin（2x- ），
g（x）≥1，可化为 sin（2x- ） ，
∴ +2kπ≤2x ≤ +2kπ，k∈Z，
解得： +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
∴不等式的解集为：[ +kπ， +kπ]，k∈Z．
20.（1）因为 f（0）=0，所以可设 f（t）= 代入（10，2700）与（30，7500），解得
a=-1,b=280.所以 ,又令 ＝kt， ,代入（40，8000），解得 k=200,
令 ＝mt+b， ,代入（40，8000），（60，11000），解得 m=150,b=2000，所以
.
（2）设小明对“经典名著”的阅读时间为 ，则对“古诗词”的阅读时间为 ，
① 当 ，即 时，
=
= ，
所以当 时， 有最大值 13600．
当 ，即 时，
h
= ，
因为 的对称轴方程为 ，
所以 当 时， 是增函数，
2
3
π 2
3
π
2
π 11
6
π
6
π
6
π
6
π
6
π
6
π
6
π 1
2
≥
6
π
6
π− 5
6
π
6
π
2
π
6
π
2
π
2a t bt+ ，
( ) 2 280f t t t= − + ( )g t (0 40)t≤ <
( )g t ( )40 60t≤ ≤
( ) ( )
200 (0 40)
150 2000 40 60
t tg t t t
≤ 13200，
所以阅读总字数 的最大值为 13600，此时对“经典名著”的阅读时间为 40 分钟，对“古诗词”
的阅读时间为 20 分钟．
21．（1）依题意知，函数 是开口向上的抛物线，
∴函数 有最小值，且当 时， ．
下面分情况讨论函数 在闭区间 （ ）上的取值情况：
①当闭区间 ，即 时， 在 处取到最小值，
此时 ；
②当 ，即 时， 在 处取到最小值，此时 ；
③当闭区间 ，即 时， 在 处取到最小值，
此时 ．
综上， 的函数表达式为
（2）由（1）可知， 为分段函数，作出其图象如图：
由图像可知 ．
22．（Ⅰ） 不是函数 的ℱ区间，理由如下：
因为 对 ， ，
所以 .
20t = ( )h t
( )h t
( )f x
( )f x 2 12 2
bx a
−= − = − = ( )min 1f x =
( )f x [ ], 1t t + t R∈
[ ], 1t t + ( ),1⊂ −∞ 0t < ( )f x 1x t= +
( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1g t t t t= + − + + = +
[ ]1 , 1t t∈ + 0 1t≤ ≤ ( )f x 1x = ( ) 1g t =
[ ] ( ), 1 1,t t + ⊂ +∞ 1t > ( )f x x t=
( ) 2 2 2g t t t= − +
( )g t ( )
2
2
1, 0,
1,0 1,
2 2, 1.
t t
g t t
t t t
+ <
= ≤ ≤
− + >
( )g t
( )min 1g t =
( ),−∞ +∞ 3 1xy = +
( ),x∀ ∈ −∞ +∞ 3 0x >
3 1 1x + >所以 均有 ，
即不存在 ， ，使得 .
所以 不是函数 的ℱ区间
（Ⅱ）由 是函数 （其中 ）的ℱ区间，可知
存在 ， ，使得 .
所以 .
因为
所以 ，即 .
又因为 且 ，
所以 .
（Ⅲ）因为 是函数 的ℱ区间，
所以 存在 ， ，使得 .
所以
所以 存在 ，使得
不妨设 . 又因为 ，
所以 .
所以 .
即在区间 内存在两个不同的偶数.
( )1 2, ,x x∀ ∈ −∞ +∞ ( ) ( )1 23 1 3 1 2x x+ + + >
( )1 2, ,x x ∈ −∞ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 2f x f x+ =
( ),−∞ +∞ 3 1xy = +
1 ,22
logay x= 0, 1a a> ≠
1 2
1, ,22x x ∈ 1 2x x≠ 1 2log log 2a ax x+ =
2
1 2x x a=
1
2
1 2
1 2,2
1 2,2
,
x
x
x x
≤ ≤
≤ ≤
≠
1 2
1 44 x x< < 21 44 a< <
0a > 1a ≠
( )1 ,1 1,22a ∈ ∪
[ ]π,2π cosy xω=
[ ]1 2, ,2x x π π∈ 1 2x x≠ 1 2cos cos 2x xω ω+ =
1
2
1,
1.
cos x
cos x
ω
ω
=
=
,k l Z∈ 1
2
2 ,
2 .
x k
x l
ω π
ω π
=
=
1 2 2x xπ π≤ < ≤ 0ω >
1 2 2x xωπ ω ω ωπ≤ < ≤
2 2 2k lω ω≤ < ≤
[ ],2ω ω①当 时，区间 的长度 ，
所以 区间 内必存在两个相邻的偶数，故 符合题意.
②当 时，有 ，
所以 .
（i）当 时，有 即 .
所以 也符合题意.
（ii）当 时，有 即 .
所以 符合题意.
（iii）当 时，有 即 此式无解.
综上所述， 的取值范围是 .
4ω ≥ [ ],2ω ω 2 4ω ω− ≥
[ ],2ω ω 4ω ≥
0 4ω< < 0 2 2 2 8k lω ω< ≤ < ≤ <
{ }2 ,2 2,4,6k l ∈
2 4,
2 6
k
l
=
=
4,
6 2 ,
ω
ω
≤
≤ 3 4ω≤ ≤
3 4ω≤ <
2 2,
2 4
k
l
=
=
2,
4 2 ,
ω
ω
≤
≤ 2ω =
2ω =
2 2,
2 6
k
l
=
=
2,
6 2 ,
ω
ω
≤
≤
2,
3.
ω
ω
≤
≥
ω { } [ )2 3,∪ +∞
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