ED C
BA
开封市第五中学 2019-2020 学年高一下学期 3 月月考
数学试题
一、 选择题（每小题 5 分共 60 分）
1. ．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn 不全相等）的散点
图中，若所有样本点（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直线 y=
1
2x+1 上，则这组样本数据的样本相关
系数为 （ ）
A－1 B 0 C
1
2 D 1
2． 某中学有高中生 3500 人，初中生 1500 人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法
从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本，已知从高中生中抽取 70 人，则 n 为( )
A．100 B．150 C．200 D．250
3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图
（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A ． 46 ， 45 ， 56 B ． 46 ， 45 ， 53
C．47，45，56 D．45，47，53
4 如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为 （ ）
A． B ．
C ．
D．
5．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点。若
在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取
自△ABE 内部的概率等于（ ）
A．1
4 B．1
3 C．1
2 D．
2
3
6．有一个容量为 200 的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，
样本数据落在区间 内的频数为 （ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
7 ．若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y=1 相切,则圆 C 的方程是_________.
)10,12
3
4
1
6
11
12
25
24A． B． C．
D．
8.从 1，2，3，4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是（ ）
A． B． C． D．
9. 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
广告费用 （万元） 4 2 3 5
销售额 （万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 中的 为 9.4，据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额
为
A 63.6 万元 B 65.5 万元 C 67.7 万元 D 72.0
万元
10.如右框图，当 时， 等于（ ）
A 7 B 8 C 10 D 11
11 ．已知过点 P(2,2) 的直线与圆 相切,
且与直线 垂直, 则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
12 ．已知圆的方程为 ，直线
上存在点 P，过点 P 做圆的切线互相垂直，实数 k 的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
二、填空题（每小题 5 分共 20 分）
13．利用计算机产生 之间的均匀随机数 ,则事件“ ”发生的概率为_______
14．盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，黄色球 2 个。若从中随机取
出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于_______。
15．由正整数组成的一组数据 ，其平均数和中位数都是 ，且标准差等于 ，则这
组数据为 .（从小到大排列）
16.过直线 x+y- =0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线，若两条切线的夹角是 60°，则点 P 的
坐标是__________。
三、解答题（写出简要的文字说明及推理计算过程）
17．（本小题满分 10 分）
2 23 25( 2) ( )2 4x y− + + =
x
y
ˆˆ ˆy bx a= + ˆb
1 26, 9,x x= = 8.5p = 3x
2 2 5( 1)x y+ =−
1 0ax y− + = a =
1
2
− 1
2
1~0 a
1 2 3 4, , ,x x x x 2 1
2 2( 2) 4x y− + = 2 2 25( 2) 4x y− + = 2 23( 2) ( ) 42x y− + + =
3
4
1
2
2
3
1
3
2 2 4 0x y x+ − = ( 1)y k x= +
( , 2 2−∞ − ( ), 2 2 2 2, −∞ − +∞ 2 2,2 2 −
2 5 2 5,5 5
−
3 1 0a − >某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1、2、3、4、5。现从一
批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
（Ⅰ）若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件；
求 a、b、c 的值。
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为 4 的 3 件记为 x1、x2、x3，等级系数为 5 的 2 件
记为 y1、y2。现从这五件日用品中任取 2 件（假定每件日用品被取出的可能性相
同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。
18．（本小题满分 12 分）
一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表
(单位:辆):
轿车 A 轿车 B 轿车 C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆．
（1） 求 z 的值．
（2） 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本．将该样本看成一个总体,从
中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9．4, 8．6,
9．2, 9．6, 8．7, 9．3, 9．0, 8．2．把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任
取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0．5 的概率．
19．（本小题满分 12 分）
某工厂有工人 1000 名，其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工
人参加过长期培训（称为 B 类工人）．现用分层抽样方法（按 A 类，B 类分二层）从该工厂的
工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．
（Ⅰ）A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人？．
（Ⅱ）从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2
表 1：
生产能力分组 [ )100,110 [ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ )140,150人数 4 8 5 3
表 2：
生产能力分组
人数 6 y 36 18
（1） 先确定 ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A 类工人中
个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观
察直方图直接回答结论）
(ii)分别估计 类工人和 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人和生产能力的平均数
（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）。
20.某种产品的广告支出 x 与销售额 y（单位：百万元）之间有如下的对应关系
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
(1) 假定 y 与 x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程。
(2) 若实际销售额不少于 60 百万元，则广告支出应该不少于多少？
参考数据： 参考公式：
21. （本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 在 轴上截得线段长为 ，在 轴上截得线段长为
.
（Ⅰ）求圆心 的轨迹方程；（Ⅱ）若 点到直线 的距离为 ，求圆 的方程.
22. （本小题满分 12 分）
x
[ )110,120 [ )120,130 [ )130,140 [ )140,150
,x y
A B
P x 2 2 y
2 3
P P y x= 2
2
P
5 5
2
1 1
145, 1380i i i
i i
x x y
= =
= =∑ ∑ 1
2
1
( )( )
ˆ
( )
ˆˆ
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b
x x
a y bx
=
=
− −
= −
= −
∑
∑已知圆 M： ，点 P 是直线 L： 上的一动点，过点 P 做圆 M 的
切线 PA、PB，切点为 A、B.
（1）当 时，求 P 点的坐标；（2）若 的外接圆 N，试问：当 P 运动时，
圆 N 是否过定点？若过定点，求出所有定点坐标，若不过定点，请说明理由；（3）求线
段 AB 长度的最小值.
2 2( 4) 4x y+ − = 2 0x y− =
2 3PA = PAM高一年级数学月考试题参考答案
1【答案】D
2．【答案】A.
3【答案】A.
4【答案】C
5【答案】C
6 【答案 B
7 【答案】D
8 答案 D
9 答案】B
10 选 B．
11【答案】C
12【答案】C
13【答案】
14 答案
15【答案】
16【答案】
17．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，
考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分 12 分。
解：（I）由频率分布表得 ，
因为抽取的 20 件日用品中，等级系数为 4 的恰有 3 件，所以
等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 ，从而
所以
（II）从日用品 中任取两件，所有可能的结果为：
，
设事件 A 表示“从日用品 中任取两件，其等级系数相等”，则 A 包含的基
3
5
1,1,3,3
)2,2(
0.2 0.45 1,a b c+ + + + = 即a+b+c=0. 35
3 0.15,20b = =
2 0.120c = = 0.35 0.1a b c= − − =
0.1, 0.15, 0.1.a b c= = =
1 2 1 2, , ,x x y y
1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }x x x x x y x y x x x y x y x y x y y y
1 2 3 1 2, , , ,x x x y y
2
3本事件为：
共 4 个 ， 又 基 本 事 件 的 总 数 为 10 ， 故 所 求 的 概 率
18. 解 : (1) ． 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , , 所 以
n=2000． z=2000-100-300-150-450-600=400
(2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5
的样本,所以 ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作
S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S 1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2),
(S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7
个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至
少有 1 辆舒适型轿车的概率为 ．
(3)样本的平均数为 ,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0．5 的数为 9．4, 8．6, 9．2, 8．7, 9．3,
9．0 这 6 个数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0．5 的概率为
．
19.解：
（Ⅰ） 类工人中和 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 ．．．．．．4 分
（Ⅱ）(ⅰ)由 ，得 ，
，得 。
频率分布直方图如下
．．．．．．8 分
从直方图可以判断： 类工人中个体间的差异程度更小。 ．．．．．．9 分
1 2 1 3 2 3 1 2{ , },{ , },{ , },{ , }x x x x x x y y
4( ) 0.4.10P A = =
50 10
100 300n
= +
400
1000 5
m=
7
10
1 (9.4 8.6 9.2 9.6 8.7 9.3 9.0 8.2) 98x = + + + + + + + =
75.08
6 =
A B
4 8 5 3 25x+ + + + = 5x =
6 36 18 75y+ + + = 15y =
B （ii） ，
，
20. 解 ： ， ，
，
，
21. 解析：（Ⅰ）设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2，x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3.
故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1.
（ Ⅱ ） 设 P(x0 ， y0) ． 由 已 知 得 . 又 P 点 在 曲 线 y2-x2=1 上 ， 从 而 得
. 由 ，得 . 此时，圆 P 的半径 .
由 ，得 . 此时，圆 P 的半径 .
故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3.
22.（1）直接计算 ；（2）几何意义 ;（3）几何意义与解直角三
角形
4 8 5 5 3105 115 125 135 145 12325 25 25 25 25Ax = × + × + × + × + × =
6 15 36 18115 125 135 145 133.875 75 75 75Bx = × + × + × + × =
25 75123 133.8 131.1100 100x = × + × =
0 0| | 2
22
x y− =
0 0
2 2
1 0
| | 1
1
x y
y x
− =
− =
0 0
2 2
0 0
1
1
x y
y x
− =
− =
0
0
0
1
x
y
=
= − 3r =
0 0
2 2
0 0
1
1
x y
y x
− = −
− =
0
0
0
1
x
y
=
= 3r =
5, 50x y= =
5 5
1 1
5 5
2 2 2
1 1
( )( ) 5 1380 1250ˆ 6.5145 125( ) 5
i i i i
i i
i i
i i
x x y y x y xy
b
x x x x
= =
= =
− − − −= = = =−− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆˆ 50 6.5 5 17.5a y bx= − = − × =
ˆ 6.5 17.5y x= + 6.5 17.5 60, 5x x+ ≥ ≥得
16 8(0,0), ( , )5 5P P 8 4(0,4),( , )5 5
11
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