豫西名校 2019——2020 学年上期第一次联考
高一数学试题
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.满足关系 的集合 B 的个数（ ）
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得，B 是{1，2，3，4}的一个包含元素 1 子集，一共有 8 个．
【详解】满足关系式{1}⊆B⊆{1，2，3，4}的集合 B 有{1}，{1，3}，{1，2}，{1，4}，{1，2，
3}，{1，2，4}，
{1，3，4}，{1，2，3，4}一共有 8 个．
故选：D．
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断和子集的应用，属于基本题．
2.设集合 ，若 ,则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据交集知， 是方程 的根，代入求出 m，解一元二次方程即可.
【详解】因为 ，
所以 代入 ，
解得 ，
由 解得 ，
所以
{ }1 {1,2,3,4}B⊆ ⊆
{ } { }20,2, |4 2 0A B x x x m= = − + =， { }4A B∩ = B =
{ }2,4− { }2,4
{ }2, 4− − { }2, 4−
4 2x 2x m 0− + =
{ }4A B∩ =
4x = 2x 2x m 0− + =
8m = −
2 2 8 0x x− − = 4, 2x = −
{ }2,4B = −【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，一元二次方程的根，属于容易题.
3.已知幂函数 的图像过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义可知 k 的取值，再根据过点 可求 m.
【详解】因为幂函数 ，
所以 ，则 ，
又 的图像过点 ，
所以 ，则 .
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，属于容易题.
4.若 ，则 ，就称 是和美集合，集合 的所有非空子集中是
和美集合的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出集合 的非空子集，根据和美集合的定义验证即可.
【详解】先考虑含一个元素 子集，并且其倒数是其本身，有
再考虑 含有两个元素的和美集合，有 ，
含有三个元素的子集且为和美集合的是
的
( ) 2 mf x kx= ( 2,4) k m+ =
4 9
2 5 11
2
( 2,4)
( ) 2 mf x kx=
2 1k = 1
2k =
( ) 2 mf x kx= ( 2,4)
( )2 4, 4
m
m= = 9
2k m+ =
x A∈ 1 Ax
∈ A 1 11,0, , ,1,32 3M =
−
4 5 6 7
1 11,0, , ,1,32 3M =
−
{ } { }1 , 1 ,−
{ } 11,1 , ,33
−
1 11, ,3 , 1, ,3 ,3 3
− 含有四个元素的子集且为和美集合的是 .
【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.
5.函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，可得到函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则需
解得 ，
所以函数定义域为 .
【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.
6.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的的解析式，由内向外求解即可.
【详解】由 知
11,1, ,33
−
( ) ( )2
12 1 1f x log x x
= − + −
1 ,2
+∞
( )1,+∞
( )1 ,1 2,2
∪ +∞
( )1 ,1 1,2
+∞
2 1 0,1
x
x
− >
≠
1 12x x> ≠且
( )1 ,1 1,2x ∈ ∪ +∞
( )
2 2 2, 2
20 , 2
x x x
f x
xx
+ + ≤= >
( )( )1f f =
3 4 5 6
( )
2 2 2, 2
20 , 2
x x x
f x
xx
+ + ≤= >
( )1 5f = ，所以 .
【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
7.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ,则
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据奇函数定义可知 ，即可求解.
【详解】因为 时， ，且函数 是定义在 上的奇函数，
所以 .
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，求函数值，属于中档题.
8.已知函数 是定义在 上 偶函数，对任意的 ，有
，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据任意的 ，有 ，确定函数的增减性，再结合
函数为偶函数即可比较函数值的大小.
【详解】不妨设 ，由 知 ，
【
的
( )( ) ( )5 41f f f= =
( )f x R (0, )x∈ +∞ ( ) ( )2 2 2xf x ln x= + −
( )1f − =
ln 4 2− − ln 4 1− −
ln 4 2− ln 4 2− +
( ) ( )1 1f f− = −
(0, )x∈ +∞ ( ) ( )2 2 2xf x ln x= + − ( )f x R
( ) ( )1 1 4 2f f ln− = − = − +
( )f x R 1 2 1 2,( ]0x x x x−∈ ∞ ≠， ，
( ) ( )2 1
2 1
0f x f x
x x
−
( ) ( ) ( )2
2019 2019 2019 1x xg x h x log x x−= − = + +， ( ) ( ),g x h x
R ( ) ( ) ( )m x g x h x= + ( )m x R
( ) ( ) 2 3 4f x f x+ − > ( ) ( )2 2 3 2 0f x f x− + − − > ( ) ( )2 3 0m x m x+ − >
( ) ( )2 3m x m x> − −
( ) ( ) 2 3m x m x> − + 2 3x x> − + 1x <
( ),1x∈ −∞
( ) 2 3xf x a −= − P P
( )2, 2−
2 0x − = ( ) 2f x = −
( ) 2 3xf x a −= −
2 0x − = 2x = (2) 2f = −
(2, 2)P −【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，属于中档题.
14.已知 表示 两个数中的最大者，若 ,则 的最
小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，把 写成分段函数，即可求其最小值.
【详解】当 时， ，
所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 。
当 时， ，所以 ，
综上可知 ，
所以 的最小值为 .
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，分段函数求最值，属于难题.
15.若实数 满足 ，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式及对数函数的性质，可求出 m 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
{ },max a b ,a b ( ) { }2 2 ,x xf x max e e+ −= ( )f x
2e
( ) { }2 2 ,x xf x max e e+ −=
2x −≤ | 2| 2 | 2| 2( ) , ( )x x x xg x e e h x e e+ − − − − += = = =
( ) ( )h x g x>
2 0x− < ≤ | 2| 2 | 2| 2( ) , ( )x x x xg x e e h x e e+ + − − += = = = ( ) ( )h x g x>
0 2x< ≤ | 2| 2 | 2| 2( ) , ( )x x x xg x e e h x e e+ + − − += = = = ( ) ( )h x g x<
2 x< | 2| 2 | 2| 2( ) , ( )x x x xg x e e h x e e+ + − −= = = = ( ) ( )h x g x<
( ) 2
2
, 0
, 0
x
x
e xf x
e x
−
+
≤=
>
( )f x ( ) 20f e=
m 1
5
1 1 3mlog log m> > m
1 13 m< <
1 13mlog >
1
3
1 1
3 3
1log 31 1log 13 log logm m m
= = > 1
3
0 log 1m< < 1 13 m<
1 1
5 5
1log 5log m < 1
5m >
1 13 m< <
( ) 2 6 4, 0
2 4, 0
x x xf x
x x
− + ≥= + + 1
3m <
A ≠ ∅
3 2 2
3 2 1
2 3
m m
m
m
− ≤ +
− >
+ >， ( ) ( )1,8 3,32A B，(1)求 的解析式:
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围，
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）代入点 解出 ，即可求出解析式（2）分离参数得 ，
换元法求 的最小值即可.
【详解】（1）由题得 ，则
所以 ，
（2）由（1）知不等式为 ，即 ,
令 ,
即 ,
因为 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，指数函数的单调性，换元法，二次函数的最
值，属于中档题.
20.已知函数 的图像过 有且只有一根:
(1)求 的解析式:.
(2)在(1)的条件下，当 ,求 的最大值.
( )f x
1 1 2 0
x x
am n
+ −
≥
( ,2]x∈ −∞ a
( ) 22xf x += 5
32a ≤
( ) ( )1,8 3,32A B， ,m n 1 12 2 4
x x
a ≤ +
1 1
2 4
x x +
3
8
32
m n
n m
⋅ =
⋅ =
2
4
m
n
=
=
( ) 22xf x +=
1 1 2 02 4
x x
a + − ≥
1 12 2 4
x x
a ≤ +
1 1,2 4
x
t t = ≥
22a t t≤ +
2 21 1( ) ,2 4y t t t= + = + − 1
4t ≥
2 5
16t t+ ≤
5
32a ≤
( ) 2 ( )0f x x bx a a= + + ≠， ( ) ( )2,4 0A f x− =，
( )f x
[ ]2,1x∈ − ( ) ( ) 2g x f x kx= −【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）代入点 再根据判别式为 0，联立方程组即可求解（2）写出函数的对称轴，根
据 分 ， 两类讨论即可.
【详解】（1）由题得 ，则
所以 ，
（2）
当 ，即 时，
当 ，即 时，
则
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数在给定区间上的最值，分类讨论思
想，属于中档题.
21.已知函数
(1)求 的值;
(2)当 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
( ) 2 8 16f x x x= + + ( )max
725 2 , 2
74 4, 2
k k
g x
k k
− ≤=
+ >
( )2,4A − ，
[ ]2,1x∈ − 14 2k − ≤ − 14 2k − > −
2 4 0
4 2 4
b a
a a
− =
− + =
16
8
a
b
=
=
( ) 2 8 16f x x x= + +
( ) ( ) ( )22 8 2 16g x f x kx x k x= − = + − +
14 2k − ≤ − 7
2k ≤ ( ) ( )max 1 25 2g x g k= = −
14 2k − > − 7
2k > ( ) ( )max 2 4 4g x g k= − = +
( )max
725 2 , 2
74 4, 2
k k
g x
k k
− ≤=
+ >
( ) 12 ln1
xf x x x
−= − + +
1
2020 0
1
202f f +
−
1 1,3 2x ∈ −
( )f x
1 1 02020 2020f f + − =
( )min 1 ln3,f x = − − ( )max
2 ln 23f x = +（1）根据解析式判断奇偶性，利用奇函数性质求值即可（2）判断函数的单调性，利用单调
性求最值.
【详解】（1）因为
所以 为奇函数.
则
（2）令 ，则 在 上递减.
令 上递减
所以 在 上递减
所以 ，
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，利用单调性求最值，属于中档题.
22.已知函数 ;
(1)讨论 在 上的单调性;
(2)求 在 上的值域.
【答案】（1） 在 单调递减，在 单调递增（2）
【解析】
【分析】
（1）根据单调性的定义求出函数单调区间（2）对函数进行变形可得 ，
换元后可根据（1）的单调性求解即可.
【详解】（1）设 ，
在
( ) ( ) 1 12 ln 2 ln1 1
x xf x f x x xx x
+ −− + = + − +− +
1 1ln ln 01 1
x x
x x
− −= − + =+ +
( )f x
1 1 02020 2020f f + − =
( ) 2g x x= − ( )g x 1 1,3 2x ∈ −
( ) 1 1 2
1 1
x xh x x x
− + −= = −+ +
1 1,3 2x ∈ −
( ) 12 ln1
xf x x x
−= − + +
1 1,3 2x ∈ −
( )min
1 1 ln3,2f x f = = − −
( )max
1 2 ln 23 3f x f = − = +
( ) 9f x x x
= +
( )f x (0, )x∈ +∞
24 4 10
2 1
x xy x
+ += + (0, )x∈ +∞
( )f x ( )0,3 ( )3,+∞ [6, )+∞
( ) 92 1 2 1y x x
= + + +
( )1 2 0, ,x x∀ < ∈ +∞ ( ) ( )2 1 2 1
2 1
9 9f x f x x xx x
− = + − − 2 1
2 1
9 9x x x x
= − + −
( ) ( )2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 2 1
9 9x x x xx x x xx x x x
− −= − − = −
当 时， ，则 ，
则 单调递减，
当 时, ;则 ，
则 单调递增;
（2） ，
令 ，则 ，则 ，
由(1)知 时， 取得最小值 ，则值域为 .
【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，换元法求值域，属于中档题.
( )1 2 0,3x x∀ < ∈ 2 1 2 1 2 10, 0, 9 0x x x x x x− > > − > ( ) ( )2 1 0f x f x− <
( )f x
( )1 2 3,x x∀ < ∈ +∞ 2 1 2 1 2 10, 0, 9 0x x x x x x− > > − > ( ) ( )2 1 0f x f x− <
( )f x
( ) ( )
22 2 1 94 4 10 92 12 1 2 1 2 1
xx xy xx x x
+ ++ += = = + ++ + +
2 1, 0,( )t x x= + ∈ +∞ (1, )t ∈ +∞ 9y t t
= +
3t = y 6 [6, )+∞
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