山西省吕梁市2020届高三数学（理）10月阶段性试卷（附解析Word版）

吕梁市 2019 年 10 月高三阶段性测试（理科）数学 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的 1.已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求解出 的解集作为集合 ，求解出 的解集作为集合 ，然后再求解 的结果. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ； 因为 ，所以 ，所以 ； 所以 . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.注意解对数不等式时，对数的真数要大于零. 2.已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据指数函数 的单调性判断 的大小，再根据对数函数 的单调性判断 的正 负，即可确定 之间的大小关系. 【详解】因为 在 上递增，所以 ，即 ； 又因为 在 上递增，所以 ； 又因为 ， ，所以 ， 故选：B. 【点睛】利用指、对数函数的单调性比较数的大小时，经常会用到“中间值比较法”：对数式经常会与 作比较，指数式经常会与 作比较. 3.已知函数 ，则 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 分别考虑 是否是 的充分条件或者必要条件，然后结合前面得到的结论确定 是 的何种条件. 【详解】当 时， ，所以 是 成立的充分条件； 当 时， 或 ，所以 是 成立的不必要条件， 所以 是 成立的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】充分、必要条件对应的推出情况（常见两种）： （1）若 是 的充分不必要条件： ； （2）若 是 的必要不充分条件： . 4.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如 借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬 币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币 为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定 能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法，考虑将硬币分为 组，然后将有问题的一组再分为 组，再将其中有问题的 一组分为 ，此时每组仅为 枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】第一步将 27 枚硬币分为三组，每组 9 枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天 平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的 9 枚金币再分成三组，每组 3 枚，任取 2 组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币 在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组 1 枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡， 则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用 3 次天平. 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示 信息，由此入手会方便很多. 5.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式先将 变形为 ，然后再利用二倍角公式结合已知条件 计算 的值即可. 【 详 解 】 因 为 ， 所以 ， 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式、二倍角余弦公式求值，难度一般.常见的二倍角公式有： . 6.已知函数 有三个零点 ，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 作出图象，将 有三个零点转化为方程 有 个根的问题，根据 计算出 的值，根据韦达定理计算出 的值，由此计算出 的值. 【详解】画出 与 的图象如下图所示： 且 ， 由 有三个零点， 当 时方程 在区间 内有两个相等 实根， 所以 得 或 ， 若 时， ，舍去；若 时， 满足条件，所以 ； 当 时， 的两根之积为 ，所以 ， 所以 ， 故选：C. 【点睛】在函数与方程的综合应用中，例如 的零点，即为方程 的根，同时也是 图象与 图象交点的横坐标，注意此三者之间的转化. 7.已知 关于 x 的方程 没有正数根，使 为真命 题的实数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先考虑 均为真命题时 的范围，再考虑 为假的情况时 的范围，对此范围在实数集内 取补集即为 为真命题时 的范围. 【详解】若 为真命题，则 ； 若 为真命题，则 或 ，所以 ， 的若 为假命题，所以 假 假，所以 或 ，解得： ， 所以当 为真命题时， ， 故选：C. 【点睛】本题考查根据含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围，难度一般.对于复合命 题的判断要注意是否需要进行分类，同时注意“正难则反”的使用. 8.在 中， ，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 解法一：利用余弦定理完成角化边，然后再进行边的化简即可判断结果； 解法二：利用正弦定理完成边化角，进行利用两角和的正弦展开式进行化简即可判断结果. 【详解】解法一：由余弦定理得， 所以 ，所以 直角三角形. 解法二：由正弦定理得， 所以 ，所以 . 故选：B. 【点睛】利用正弦定理进行边角互化时，要注意到“齐次”的问题，也就是每一项对应的边 或者角的正弦的次数要相同，如： 、 . 9.已知函数 ，则 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 解法一：通过导数判断单调性，利用特殊值确定 的范围，从而计算出 的范围，通过 选项对 进行取值； 为解法二：根据三次函数的对称性，计算出对称中心，根据 的特殊性计算 的 值； 解法三：根据条件将 进行化简，然后通过正负判断计算出 的值. 【详解】解法一： ，所以 为增函数， 又 ，所以 即 ，所以 ，可得 解法二： ， ，所以 的对称中心为 ，又 ，所以 解法三：由 得， ， 即 因 所以 . 故选：C. 【点睛】本题考查三次函数的综合运用，难度一般.对于形如 的三次函数的对称中心是 . 10.关于函数 有下述四个结论：① 是奇函数；② 在区间 单调递减；③ 在 有 3 个零点； ④ 的最大值为 .其中所有正确 结论的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 将 写成分段函数形式，并作出 在 的图象，即可判断出①②③的正误，根据 周期性并利用图象即可判断出④的正误.【详解】当 时， ，当 时， ， 所以 ， 画出函数 的在区间 上的图象如下图所示， 显然 不是奇函数，所以①错误； 在 上单调递减，所以②正确； 图象在 上与 轴有 个交点，所以有 个零点，所以③错误； 时， ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质综合，难度一般.处理这类问题关键是使用数形结合 的思想，通过图象去分析函数性质. 11.已知 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解法一：考虑特殊值，通过排除法得到结果； 解法二：将等式交叉相乘并化简，根据 的单调性得到 与 的关系，从而 得到结果；解法三：对等式两边分别化简，然后根据 的单调性得到 与 的关系，从而得到结 果. 【详解】解法一：（排除法）当 时， ，可排除 B，C； 当 时， ，可排除 A，可知 D 正确； 解法二：由已知得 又 函数 在 上为增函数， 所以 .即 ； 解法三： 所以 又 ， 上增函数 所以 ，即 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用三角函数单调性对等式进行化简，难度较难. （1）在化简过程中注意诱导公式、二倍角公式、三角恒等变换中的公式的灵活运用. （2）函数值相等时，利用函数单调性，可得到对应自变量之间的关系. 12.函数 与 的公共点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件分析出 的公切线 ，然后分析区间 上 的交点 在数，再根据 对应的草图分析 和 时的交点个数，从而 得到结果. 【详解】 ， ，所以 ， 所以 有公切线 ，且当 时， 证明如下： 设 ，则 ， 所以 为增函数，又 ，所以 ，所以 在 上单调递减，又 ，所以 即 所以当 时， 当 时， 所以当 时， 与 只有一个公共点 画出函数 ， 的草图如下图，可知 时，两函数图象有一个交点，当 时，必 有一个公共点，所以共有三个公共点， 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数方法分析函数图象的交点个数，难度较难. （1）函数 图象的交点个数可认为是函数 的零点个数，也可认为是方程 的根的数目. （2）利用导数解答函数零点个数问题时，注意结合单调性和图象进行分析. 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.曲线 在点（1，0）处的切线方程为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求解 时的导数值即为切线斜率，根据切点和斜率即可得到直线方程. 【详解】因为 ，所以 ， 所以切线方程为 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查函数上某一点的切线方程的求解，难度较易.求解函数上某点处的切线方程 步骤：（1）对函数进行求导；（2）求出导函数在该点处的导数值作为直线的斜率；（3）根 据直线的点斜式方程求解出切线方程. 14.定义在 上的奇函数 在区间 上单调递增，且 .若 ， 则 在区间 内的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据对称性和奇偶性得到周期，然后分析 在 上的单调性，考虑 且 时 的取值，再根据单调性即可求解出 在 内的解集. 【详解】因为 为奇函数，所以 ， ，即 的周期为 8，又因为 在区间 上单调 递增， ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调 递增. 又 ， ，所以 在区间 内的 解集为 ， 故答案为： . 【点睛】函数 对称性和周期性的认识：（1）若 或 ，则 的一条对称轴为 ； （2）若 或 或 （ ），则 的周期 . 15.将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上每一点的横坐标伸长为原来 的 倍，纵坐标不变得到 的图象，当 时，方程 有三个实数根 ，且 ，则 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据图象变换得到 解析式并画出 在 上的图象，考虑 这条直线与 有三个交点时 的对称情况，根据对称性计算出 的值. 【详解】由已知得 ， ，函数 与 的交点分别为 ，由图可知 关于直线 对称， 关于直线 对称，所以 ，所以 故答案为： . 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合运用，难度一般.通过数形结合方法，将方程 根数目问题转化为函数图象交点个数问题. 16.已知实数 ，满足 ，那么 的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式 ，将点 看成函数 上一点，将点 看成直线 上一点，问题转化为：直线 上一点到 上点的距离平方的最 小值，利用平移切线法完成求解即可. 【详解】由 可知，点 在函数 上，由 知，点 在直线 上，则 ，所以当点 处的切线与直线 平行 时，点 到直线 的距离的平方就是 的最小值. 由 得， ，所以 ， 所以 ，所以 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查转化思想的应用，难度较难.求解直线上一点到曲线上某一点的最小距离的 处理方法：将直线平移至与曲线相切，过对应的切点向直线作垂线，此时垂足与切点相连所 形成的线段长度即为直线上的点到曲线上点的距离最小值. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 的内角 的对边分别为 ， 的面积 . （1）求 C； （2）若 ，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用面积公式和余弦定理对等式化简，得到 的值，计算出 ； （2）解法一：利用正弦定理以及 的结果得到 的等式，根据同角的正弦与余弦 的平方和为 ，计算出 的值. 解法二：利用余弦定理，通过化简得到 之间的关系，再根据正弦定理即可得到 之间的关系，从而计算出 . 【详解】（1）由余弦定理以及三角形面积公式得 , 所以 ，又 ，所以 . （2）由（1）得， , 因为 ，由正弦定理得 , 所以 , 所以 , ，所以 （负根舍去）. 解二：由余弦定理得， ， 又 两式消去 得， ， 即 , ，由正弦定理得 . 【点睛】本题考查解三角形的综合应用，难度一般. （1）利用面积公式化简时，注意根据等式选择合适的面积公式去化简； （2）考虑用正弦定理完成边角互化时，一定要注意等式的两边是否都是“齐次”的情况. 18.已知定义域为 的函数 是奇函数． （1）求实数 的值； （2）若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范 围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）先根据 计算出 的值，然后再带回检验是否为奇函数，由此确定出 的值； （2）将不等式变形，根据奇偶性将不等式变形为函数值之间的大小关系，再根据单调性将不 等会变形为自变量之间的关系，问题转化为：给定区间上的恒成立问题求解参数范围. 【详解】（1）因为 是奇函数，所以 ,所以 ,此时 ， ，所以 是 奇函数， 所以 满足条件. （2）因函数 为奇函数，所以 ， 又因函数 为增函数，所以 , 即对任意的 有 ， 所以 对任意的 ， 所以 ，解之得 . 【点睛】（1）定义域满足的情况下，通过 求解奇函数中的参数值，一定要将结果带 回原函数中检验； （2）若 在区间 上恒有 ，只需要 ，若 在区间 上恒有 ，只需要 . 19.已知函数 . （1）若函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围； （2）若对任意的 ，总存在 使得 成立，求实数 的取值范 围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据 对称轴 分析零点存在时对应的 的范围； （2）根据条件分析可得： 的值域应为 的值域的子集，此时注意对 与 的关系进行 分类讨论，由此得到满足条件的 的取值范围. 【详解】（1）因函数 的对称轴是 ， 所以 在区间 上是减函数， 因函数 在区间 上存在零点，则必有 ， 即 解得 . 故所求实数 的取值范围 .（2）若对任意的 ，总存在 使得 成立，只需函数 的值域为函数 的值域的子集. 在区间 的值域为 , ①当 时， 为常数，不符合题意舍去； ②当 时， 在区间 的值域为 ， 所以 ，解得 . ③当 时， 在区间 的值域为 ， 所以 ，无解. 综上所述实数 的取值范围 . 【点睛】任意、存在问题对应的函数相等和不等关系的处理方法： （1） ，使得 ，则有： 在 上的值域为 在 上的 值域的子集； （2） ，使得 ，则有： ； ，使得 ，则有： ； ， 使得 ，则有： . 20.如图有一景区的平面图是一半圆形，其中直径长为 两点在半圆弧上满足 ， 设 ，现要在景区内铺设一条观光通道，由 和 组成. （1）用 表示观光通道的长 ，并求观光通道 的最大值； （2）现要在景区内绿化，其中在 中种植鲜花，在 中种植果树，在扇形 内种植 草坪，已知单位面积内种植鲜花和种植果树的利润均是种植草坪利润的 倍，则当 为何值时 总利润最大？ 【答案】（1） ， ；（2）当 时，总利润取最大值. 【解析】 【分析】 （1）根据直径的长度和角度 计算出 的长度，写出 的函数解析式，注意定义域，判断 取何值的时候 有最大值并计算出最大值； （2）设出单位面积的利润，将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计 算函数的最值，确定取等号时 的取值. 【详解】（1）作 ，垂足为 ，在直角三角形 中， ， 所以 ， 同理作 ，垂足为 ， ，所以 ，如图： 所以 , 当 时，取最大值 . （2）设种植草坪单位面积的利润为 ， , 则总利润 , , 因为 ，所以当 时， ，所以 在 递增， 递减， 所以当 时总利润取最大值，最大值为 . 【点睛】本题考查三角函数在实际问题中的应用，难度一般. （1）求解实际问题中的函数解析式时，要注意不要漏写定义域； （2）求解三角函数的有关最值，要注意也可通过导数的方法来先确定单调性然后再确定最值. 21.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，函数 的图象恒在 轴上方，求 的最大值. 【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单 调递减，在 单调递增；（2） ．【解析】 【分析】 （1）先对 求导，然后对 进行分类，分别讨论 的单调性； （2）方法一：对于 取值进行分类： ，考虑每种情况下对应 时 的取值，由此确定 的最大值； 方法二：对 进行分类，采用参变分离并分析新函数的最小值，由此得到 的最大值. 【详解】（1） ， 当 时， 恒成立， 在 上单调递增, 当 时，令 ，即 ，则 , 当 时， ， 在 单调递减， 当 时， ， 在 单调递增， 综上所述：当 时， 在 上单调递增. 当 时 ， 在 单调递减，在 单调递增. （2）方法一：由已知得，当 时， 恒成立， 由（1）得，当 时， 在 上单调递增， ，不合题意； 当 时， 对于任意 有 ，故 在 单调递减； 对于任意 有 ，故 在 单调递增， 因此当 时， 有最小值为 成立． 当 时， 对于任意 有 ，故 在 单调递减， 因为 恒成立，所以只需 ，即 ， 综上， 的最大值为 ． 方法二：由题设知，当 时， ， （1）当 时， ． 设 ，则 ，故 在 单调递减， 因此， 的最小值大于 ，所以 ． （2）当 时， 成立． 的（3）当 时， ，因为 ， 所以当 时， 成立． 综上， 的最大值为 ． 【点睛】本题考查导数的综合应用，难度较难.利用导数去确定参数的范围或者最值的方法如 下： （1）分类讨论法：根据已知条件对参数范围分类讨论，注意借助参数的临界值讨论； （2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，构造新函数，分析函数最值与参数的关系从 而求解出参数范围或最值. 22.已知函数 . 证明：（1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 1 个零点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先确定函数定义域，根据函数 的正负先判断出 的单调性，然后确定 的 零点分布，由此得到 的单调性即可完成证明； （2）对区间进行分段： ，分别考虑每一段区间上的零点情况，由 此证明 的零点仅有 个. 【详解】函数 的定义域为 , （1） ， ， 当 时， 所以 在区间 上单调递减, ， 所以 在区间 内有唯一零点 ， 当 时， ，当 时 ， 所以 在区间 存在唯一极大值点. （2）当 时， ， 在区间 上单调递增因 ，所以存在零点 , 当 时， 当 时， , 所以 有且仅有 1 个零点． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的极大值点和零点个数问题，难度较难. （1）判断函数 的极值点个数：可通过函数的单调性也就是 的取值正负来判断，若 的取值正负不易直接判断，可先通过判断 的正负来确定 的单调性，由此来 确定 的取值正负； （2）利用导数研究函数的零点个数：先分析给定区间的单调性，然后结合零点的存在性定理 说明零点存在情况，注意有时需要对定义域进行分类. ,