江苏省 2019-2020 学年高三（上）第一次月考数学试卷（理）
一、填空题。
1.已知命题 ，则 为_____
【答案】
【解析】
【分析】
根据全称命题“ ”的否定为特称命题“ ”即可得结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在
量 词 ， 二 是 否 定 结 论 ， 所 以 ， 命 题 的 否 定 为
，故答案为： .
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否
定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、
存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
2.函数 的定义域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由二次根式有意义，得： ,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.
【详解】由二次根式有意义，得： ，即 ，
因为 在 R 上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法，要求熟练掌握常见函数成
立的条件，比较基础．
3.已知复数 （ 为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于第____象限.
【答案】四
【解析】
【分析】
2: (1, ),log 0p x x∀ ∈ +∞ > p¬
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤
( ),x M p x∀ ∈ ( )0 0,x M p x∃ ∈ ¬
:p 2(1, ),log 0x x∀ ∈ +∞ > p¬
2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤ 2(1, ),log 0x x∃ ∈ +∞ ≤
4 2xy = −
( ,2]−∞
4 2 0x− ≥
4 2 0x− ≥ 22 4 2x ≤ =
2xy = ( ,2]−∞
5
1 2
iz i
= − + i z根据复数的除法运算计算求解 ，从而由复数的几何意义求得结果.
【详解】由题意得， .
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为(2,-1)，位于第四象限.
所以本题答案为：四.
【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，熟记复数的运算法则是关键，属基础题.
4.实数 满足 ，则 的最大值为_____
【答案】－5
【解析】
【分析】
先画出可行域，用虚线表示目标函数，分析可知函数 的纵截距取得最大值时
取得最大值，则平移虚线使其截距最大即可求得结果.
【详解】由题意可知实数 满足 ，
如图所示，可行域对应图中的阴影部分，
虚线表示目标函数 ，
当虚线平移至点 A 时，
函数 的纵截距取得最大值，
z
5 5 (2 1) 5( 2 ) 22 1 (2 1)(2 1) 5
i i i iz ii i i
+ − += = = = −− − + −
z
,x y
3 9 0
3 0
3
x y
x y
y
− − ≥
− − ≤
≤
2z y x= −
2y x z= +
2z y x= −
,x y
3 9 0
3 0
3
x y
x y
y
− − ≥
− − ≤
≤
2z y x= −
2y x z= +即 取得最大值，
联立方程 和 可得点 A 的坐标为 ，
此时 .
故本题正确答案为 .
【点睛】本题考查线性规划问题，准确作出可行域的图象是解题的关键，属基础题.
5.已知 ，则 ＝_____________．
【答案】﹣
【解析】
【分析】
利用 sin2x= cos（2x+ ）=2sin2（x+ ） 即可得到结果.
【详解】∵ ，
∴sin2x= cos（2x+ ）=2sin2（x+ ） = ﹣1= ，
故答案为：﹣
【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题
的关键．
6.已知直线 被双曲线 的两条渐近线所截得的线段的长度恰好等于
其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为_____
【答案】2
【解析】
【分析】
利用双曲线 标准方程及其渐近线方程，以及点到直线的距离公式即可求得结果.
【详解】将 代入双曲线的渐近线方程 中，得到 ，
故直线被两条渐近线截得的线段长度为 ，
的
2z y x= −
3y = 3 9 0x y− − = (4,3)
2 3 2 4 5z y x= − = − × = −
5−
3sin 4 5x
π + = sin2x
7
25
-
2
π
4
π
1−
3sin 4 5x
π + =
-
2
π
4
π
1− 18
25
7
25
−
7
25
2
2 2
ax
a b
=
+
2 2
2 2 1x y
a b
− =
2
2 2
ax
a b
=
+
by xa
= aby c
=
2ab
c焦点 到渐近线 的距离 .
由题意， ，即 ，
所以本题答案为 2.
【点睛】本题考查双曲线的基本知识，熟练掌握双曲线的标准方程及其渐近线方程，以及点
到直线的距离公式等是解题的关键，属基础题.
7.已知 ，则“ ”是“ ”的____条件.（填“充要”、“充分不必要”、“必
要不充分”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
“ ” “ ”，“ ” “ 或 ”，由此能求出结果.
【详解】“ ” “ ”，即充分性成立，
“ ” “ 或 ”，即必要性不成立，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要.
【点睛】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，仔细
解答，属基础题.
8.将函数 的图象向右平移 个单位（ ），可得函数
的图象，则 的最小值为_____。
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意求出 向右平移 个单位后的函数表达式，由已知条件可得 的表达式，从而可
求得结果.
(c,0)F by xa
=
2 2
bcd b
a b
= =
+
2ab bc
= 2ce a
= =
a R∈ 2a > 2 2a a>
2a > ⇒ 2 2a a> 2 2a a> ⇒ 2a > 0a <
2a > ⇒ 2 2a a>
2 2a a> ⇒ 2a > 0a <
2a > 2 2a a>
( ) sin 2 cos2f x x x= + φ 0φ >
( ) sin 2 cos2g x x x= − φ
4
π
( )f x φ φ【详解】 ，将 向右平移 个单位可得
，
又 ，
则 ，解得 ，
由 ，故当 时， 有最小值 ，
所以本题答案为 .
【点睛】本题考查三角函数的图象变换和性质，以及辅助角公式的应用，注意图象左右平移
需提出 x 的系数，属基础题.
9.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若 ，则实数 的
值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
计算出向量 的坐标，由题意得出 ，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求
出实数 的值.
【详解】若 ，即 ， ，
，解得 ，故答案为： .
【点睛】本题考查垂直向量的坐标运算，解题的关键就是题中的直角转化为向量数量积为零
来处理，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于基础题.
10.已知函数 是定义域为 R 的偶函数，且 ，若 在[－1，0]上是减
函数，记三个数 ，则这三个数的大小关系为_____
【答案】
【解析】
【分析】
( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4f x x x x
π= + = + ( )f x φ
( ) 2 sin[2( ) ] 2 sin(2 2 )4 4g x x x
π πφ φ= − + = − +
( ) sin 2 cos2 2 sin(2 )4g x x x x
π= − = −
2 2 ,4 4 k k Z
π πφ π− = − + ∈ ,4 k k Z
πφ π= + ∈
0φ > 0k = φ min 4
πφ =
4
π
( 1, )OA t= − (2,2)OB = ABO 90∠ = t
5
BA 0BA OB⋅ =
t
ABO 90∠ = OB BA ⊥ ( )3, 2BA OA OB t= − = − −
( )6 2 2 0BA OB t∴ ⋅ = − + − = 5t = 5
( )f x ( ) ( )
11f x f x
+ = ( )f x
( ) ( ) ( )0.5
0.5 2log 2 , log 4 , 2a f b f c f= = =
a c b> >根 据 题 意 ， 由 函 数 为 偶 函 数 ， 结 合 对 数 的 运 算 的 性 质 可 得 ， ，
，结合 分析可得函数 为周期为 2 的函数，分析可
得 ， ， 结 合 函 数 在
上的单调性，分析可得答案.
【详解】根据题意，函数 是定义域为 R 的偶函数，
则 ， ， ，
又由 ，则 ，
则函数 是周期为 2 的函数，
， ，
又由 在 上是减函数，且 ，则 ，
所以本题答案为 .
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和周期性的应用，也考查对数的运算，解题的关键
在于利用周期性和偶函数的性质将函数值限制在一个单调区间中进行比较大小，属中档题.
11.设当 时,函数 取得最大值,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式，结合三角函数的性质以及诱导公式求解.
详 解 】 利 用 辅 助 角 公 式
，
其中
【
( 1)a f= − (2)b f=
( 2) ( 2)c f f= = − 1( 1) ( )f x f x
+ = ( )f x
( )2log 4 (2) (0)b f f f= = = ( 2) (2 2) ( 2 2)c f f f= − = − = −
[ 1,0]−
( )f x
( )0.5log 2 ( 1)a f f= = − ( )2log 4 (2)b f f= = ( )0.52 ( 2) ( 2)c f f f= = = −
1( 1) ( )f x f x
+ =
1( 2) [( 1) 1] ( )1
( )
f x f x f x
f x
+ = + + = =
( )f x
( )2log 4 (2) (0)b f f f= = = ( 2) (2 2) ( 2 2)c f f f= − = − = −
( )f x [ 1,0]− 1 2 2 0− < − < a c b> >
a c b> >
θx = ( ) cos 2sinf x x x= − cosθ =
5
5
( )2 12 5 sin cos 5 sin
5 5
f x sinx cosx x x x α = − + = − − = − +
（ ）
2 1cos ,sin
5 5
α α= = −已知当 时,函数 取得最大值， ，
故 ，则 ，
故
故填：
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了正弦函数的最值，考查了三角函数的诱导公
式的应用. 辅助角公式： 其中
.
12.在锐角三角形 ABC 中，已知 ，则 的取值范围是_____。
【答案】(0,12)
【解析】
【分析】
依题意可得 BC=2，以 B 为原点，BA 所在的直线为 x 轴建立坐标系，所以 C(1, )，设点
A(x,0)，分析图象可得 x 的取值范围，则根据数量积的公式可得 的表达式，然后根
据二次函数的性质求出值域即可.
【详解】| |=| |=2，即 BC=2，如图，
以 B 为原点，BA 所在的直线为 x 轴建立坐标系，
θx = ( )f x ( )5 sinf（ ）θ θ α= − +
2 ,2k k Z
πθ α π+ = − ∈ 2 2k
πθ π α= − −
1 5cos cos 2 cos sin2 2 55
k
π πθ π α α α = − − = + = − = =
5
5
( ) ( )2 2 2 2sin cos sin , 0 ,a x b x a b x a bϕ+ = + + + ≠
2 2 2 2
sin ,cosb a
a b a b
ϕ ϕ= =
+ +
, 23B AB AC
π= − = AB AC⋅
3
AB AC⋅
AB AC− CB因为 ，BC=2，
所以 C(1, )，设点 A(x,0)，
因为 是锐角三角形，且∠A+∠C= ，
所以 0 且 x>0，y>0 可得 2y−x>0，
∵z⩽3x，∴ ，
整理可得， ，
∴ ，
∵2y−x>0，∴(3x−2y)(x−y)⩽0，∴ ，
令 ，则 ，
则 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时，P 有最小值 ，当 t=1 或 t= 时，P 有最大值 ，
P 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查函数的综合运用，考查学生的逻辑推理能力和计算求解能力，解题的关键
在于得出 的范围，属难题.
xt y
= 2 2
2
3 2 2 3
3 3
x y x yP txy y x t
+= = + × = +
( )( )2 4x y y z yz+ + = ( 2 )
2
x y yz y x
+= −
( 2 )
2
x y yz y x
+= −
( 2 ) 32
x y y xy x
+
−
2 23 5 2 02
x xy y
y x
− + ≤−
(3 2 )( ) 02
x y x y
y x
− −
−
2 1 03
x x
y y
− −
xt y
= 2 13 t
2 2
2
3 2 2 3
3 3
x y x yP txy y x t
+= = + × = +
2 6,3 3
6 ,13
6
3t = 2 6
3
2
3
5
3
2 6 5,3 3
2 6 5,3 3
xt y
=二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15.已知集合 .
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求实数 取值范围.
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分式不等式的解法求出集合 A，二次不等式的解法求出集合 B，即可求解 ；
（2）通过 ，得到不等式组，求出 m 的范围即可.
【详解】（1）由 得 ，即 ，
当 时，由 得 或 ，
或 ，
或 .
（2）由 得 或 ，
即 或 ，因为 ，
所以 ，即 .
【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集与并集的求解，考查
转化思想以及计算能力，属中档题.
16.函数 f(x)＝cos(πx＋φ) 的部分图象如图所示．
(1)求 φ 及图中 x0 的值；
的
( )( ){ }4| 1 , | 4 1 01A x B x x m x mx
= > = − − − + > +
2m = A B
A B = ∅ m
{ | 3A B x x= 1 0m− ≤ ≤
A B
A B = ∅
4 11x
>+ 1 3x- < < { | 1 3}A x x= − < <
2m = ( 6)( 1) 0x x− − > 6x > 1x <
{ | 6B x x∴ = > 1}x <
{ | 3A B x x∴ =
( 4)( 1) 0x m x m− − − + > 4x m> + 1x m< −
{ | 4B x x m= > + 1}x m< − A B = ∅
3 4
1 1
m
m
≤ +
− ≥ − 1 0m− ≤ ≤
0 2
πϕ < ( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
2
2（1）求 的值和椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 的直线 交圆 O 和椭圆 C 分别于 A，B 两点.
①若 ，求直线 的方程；
②设直线 NA 的斜率为 ，直线 NB 的斜率为 ，问: 是否为定值? 如果是，求出定值；如
果不是，说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②
【解析】
【分析】
（1）由交点 M（0，1）可求 b，由离心率可求 a，从而得到椭圆方程；（2）①设出直线 l 的
方程，分别联立椭圆方程和圆的方程，解出 A，B 两点的坐标，由 得到关于 k 的
方程，求解即可得到结果；②结合①中 A，B 两点的坐标，利用斜率公式直接用 k 表示 和
，由此可求得结果.
【详解】（1）因为圆 与椭圆 相交于点 M（0，
1）所以 b=r=1.又离心率为 ，所以 ，所以椭圆 .
（2）①因为过点 M 的直线 l 另交圆 O 和椭圆 C 分别于 A，B 两点，所以设直线 l 的方程为
，由 ，得 ，
r
l
2 3MB MA= l
1k 2k 2
1
k
k
2
2 12
x y+ = 2 12y x= ± + 2
1
1
2
k
k
=
2 3MB MA=
1k
2k
( )2 2 2: 0O x y r r+ = > ( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > >
2
2
ce a
= = 2a =
2
2: 12
xC y+ =
1( 0)y kx k= + ≠ 2
2
1
12
y kx
x y
= + + =
( )2 22 1 4 0k x kx+ + =则 ，同理 ，解得 ，
因为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即直线 l 的方程为 .
②根据①， ， ，
， ，
所以 为定值.
【点睛】本题考查圆的方程和椭圆的方程，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，计算
量较大，尤其是化简过程比较多，注意仔细审题，认真计算，属难题.
20.已知函数 ，函数 的图象在 处的切线与直线
平行.
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 ( )是函数 的两个极值点，若 ，试求 的最
小值.
【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ） ； （Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用导数的几何意义，结合平行线的斜率相等，得f′（1）=2，即可求得实数 a 的值；
（Ⅱ）由题意知 g′（x）＜0 在（0，+∞）上有解，结合二次函数的图象和性质，求解 b 的
取值范围；
2
2 2
4 2 1,2 1 2 1
k kB k k
− − +
+ + 2 2
1
1
y kx
x y
= +
+ =
2
2 2
2 1,1 1
k kA k k
− − +
+ +
2 3MB MA=
2 2
4 22 32 1 1
k k
k k
− −=+ +
0k ≠ 2
2k = ± 2 12y x= ± +
2
2 2
2 1,1 1
k kA k k
− − +
+ +
2
2 2
4 2 1,2 1 2 1
k kB k k
− − +
+ +
2
2
1
2
1 1 11
2
1
A N
NA
A N
k
y y kk k kx x k
k
− + +− += = = = −−−
+
2
2
2
2
2 1 1 12 1
4 2
2 1
B N
NB
B N
k
y y kk k kx x k
k
− + +− += = = = −−−
+
2
1
1
2
k
k
=
( ) ( ) 21g 2x f x x bx= + − ( ) lnf x x a x= + 1x =
2 3 0x y− + =
a
( )g x b
1 2, x x 1 2x x< ( )g x 7
2b ≥ ( ) ( )1 2g gx x−
( )3, ∞+ 15 2ln28
−（Ⅲ）结合（Ⅱ），可知两个极值点 ， ，求出
，令 t ，构造出函数 ；再根据 ，求得函
数 的定义域，进而利用导数求 的最小值即可.
【详解】（Ⅰ）∵ ，∴ .
∵切线与直线 平行，
∴ ，∴ .
（Ⅱ）易得 ( )，
∴ ( ).
由题意，知函数 存在单调递减区间,等价于 在 上有解，
∵ ，则故可设 .
而 ，所以，要使 在 上有解，
则只须 ， 即 ，
故所求实数 的取值范围是 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ，
令 ，得 .
∵ ( )是函数 的两个极值点，
∴ ( )是方程 的两个根，
∴ ， .
∴
1 2 1x x b+ = − 1 2 1x x =
( ) ( ) 1 1 2
1 2
2 2 1
1g g ln 2
x x xx x x x x
− = − −
1
2
x
x
= ( )h t 7
2b ≥
( )h t ( )h t
( ) lnf x x a x= + ( )' 1 af x x
= +
2 3 0x y− + =
( )' 1 1 2k f a= = + = 1a =
( ) ( )21g ln 12x x x b x= + − − ( )0,x∈ +∞
( ) ( ) ( )2 1 11g' 1 x b xx x bx x
− − += + − − = ( )0,x∈ +∞
( )g x ( )g' 0x < ( )0, ∞+
0x > ( ) ( )2φ 1 1x x b x= − − +
( )φ 0 1 0= > ( )g' 0x < ( )0, ∞+
( )2
1 0,2
1 4 0
b
b
− >
= − − >
1,
3 1
b
b b
>
> < − 或
b ( )3, ∞+
( ) ( )2 1 1g' x b xx x
− − +=
( )g' 0x = ( )2 1 1 0x b x− − + =
1 2,x x 1 2x x< ( )g x
1 2,x x 1 2x x< ( )2 1 1 0x b x− − + =
1 2 1x x b+ = − 1 2 1x x =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 1g g ln 1 ln 12 2x x x x b x x x b x − = + − − − + − −
令 ，∵ ，∴ ，
且 .
∵ ，∴ ，
∴
化简整理，得 ,解得 或 .
而 ，∴ .
，∴函数 在 单调递减，
∴ .
故 的最小值为 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了导数与函数单调性的关系，考查了函数的
极值和利用导数求最值；在求最值过程中，要注意定义域优先的原则，即求函数的单调性和
最值必须在函数的定义域内进行.
三、附加题。
21.[选修 4－2：矩阵与变换]
( ) ( )( )2 21
1 2 1 2
2
1ln 12
x x x b x xx
= + − − − −
( ) ( )( )2 21
1 2 1 2 1 2
2
1ln 2
x x x x x x xx
= + − − + −
( ) 2 2
2 21 1 1 2
1 2
2 2 1 2
1 1ln ln2 2
x x x xx xx x x x
−= − − = −
1 1 2
2 2 1
1ln 2
x x x
x x x
= − −
1
2
xt x
=
1 10 x x< < ( )1
2
0,1xt x
= ∈
( ) ( ) ( )1 2
1 1g g ln 2x x h t t t t
− = = − −
7
2b ≥ 51 02b − ≥ >
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
21 x x x x x xb x x x x x x
+ + +− = + = =
1 252 4t t
= + + ≥
24 17 4 0t t− + ≥ 1
4t ≤ 4t ≥
( )0,1t ∈ 10 4t< ≤
( )'h t ( )2
2 2
11 1 11 02 2
t
t t t
− = − + = − >
( )2, 3M
3
πφ = x
( )1 2, , , 2A B
πρ θ ρ θ + 2 2
1 2
1 1
ρ ρ+
2 2
116 4
x y+ = 5
16
2 cos 3
3 sin 3
a
b
π
π
=
=
( )1,A ρ θ 2 , 2B
πρ θ +
2 2
2
1
cos sin 116 4
θ θρ + =
2 2
2
2
sin cos 116 4
θ θρ + =
2 cos 3
3 sin 3
a
b
π
π
=
=
4a = 2b =
∴
2 2
116 4
x y+ =
( )1,A ρ θ 2 , 2B
πρ θ +
( )1 1cos , sinρ θ ρ θ ( )2 2sin , cosρ θ ρ θ−
2 2
2
1
cos sin 116 4
θ θρ + =
2 2
2
2
sin cos 116 4
θ θρ + = .
【点睛】本题考查椭圆的参数方程与标准方程的转化，考查极坐标系的应用，注意仔细审题，
认真计算，属中档题.
23.如图，在直三棱柱 中，已知 ， ， ， .
是线段 的中点.
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的大小的余弦值.
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，
利用方程组求面 的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的
正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用
方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角
的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.
试题解析：因为在直三棱柱 中， ，所以分别以 、 、 所
在的直线为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
则 ,
因为 是 的中点，所以 ，
2 2 2 2
2 2
1 2
1 1 cos sin sin cos 1 1 5
16 4 16 4 16
θ θ θ θ
ρ ρ
+ +∴ + = + = + =
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D
BC
1DB 1 1AC D
1 1 1B A D C− −
3 35
35
130
65
1 1AC D
1 1 1B A D C− −
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ AB AC 1AA
x y z
1 1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,3), (2,0,3), (0,4,3)A B C A B C
D BC (1,2,0)D（1）因为 ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，
所以平面 的法向量 ，而 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（2） ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，取 ，平面 的法向量 ，
所以 ，
二面角 的大小的余弦值 ．
考点：利用空间向量研究线面角、二面角
24.设 ， 是正整数，
.
（1）证明: ；
（2）比较 和 的大小，并给出证明.
【答案】（1）证明见解析；（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直接做差 ，化简即可证明结论；（2）先考虑当 n=1 和 n=2 时的情况，然后当
时， ，令 ，则 ，且可以得到
1 1 1(0,4,0), (1,2, 3)AC A D= = −
1 1AC D 1 1 1 1( , , )n x y z=
1 1 1
1 1
0{
0
n AC
n A D
⋅ =
⋅ =
1
1 1 1
4 0{ 2 3 0
y
x y z
=
+ − =
1
1
1
3
{ 0
1
x
y
z
=
=
=
1 1AC D 1 (3,0,1)n =
1 (1, 2,3)DB = −
1 1
1 1
1 1
3 35cos , 35
n DBn DB
n DB
⋅= =
⋅
1DB 1 1AC D 3 35
35
1 1 (2,0,0)A B =
1 (1, 2,3)DB = −
1 1B A D 2 2 2 2( , , )n x y z=
2 1 1
2 1
0{
0
n A B
n DB
⋅ =
⋅ =
2
2 2 2
2 0{ 2 3 0
x
x y z
=
− + =
2
2
2
0
{ 3
2
x
y
z
=
=
=
1 1B A D 2 (0,3,2)n =
1 2
1 2
1 2
130cos , 65
n nn n
n n
⋅= =
⋅
1 1 1B A D C− − 130
65
0a b> > n
( )1 2 2 2 2 11 ... ,1 2
n
n n n n n n
n n
a bA a a b a b a b ab b Bn
− − − − + = + + + + + + = +
2 2A B>
nA ( )*
nB n N∈
n nA B≥
2 2A B− 3n ≥
1 11 ,1 2
nn n
n n
a b a bA Bn a b
+ +− + = = + −
,a b x a b y+ = − = , 0x y >用 表示的 和 ，利用二项式定理对 进行放缩即可证明结论.
【详解】（1）证明：由 ， ，
所以 ；
（2）证明： ；由（1）知， ；
当 时，令 ，则有
，
，
以上两式相减可得 ，所以 ，
则 ，
令 ，则 ，
于是
，
因为 ，
所以 ．
所以 .
【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题的关键在于根据换元法令 得到
和 的表达式，然后对 适当放缩，综合性较强，属难题.
,x y nA nB nA
0a b> > ( ) 2
2 2 2
2 2
1 1 ( ) 03 2 12
a bA B a ab b a b
+ − = + + − = − >
2 2A B>
1 11,n A B= = 2 22,n A B= >
3n ≥ 1 2 2 2 2 1...n n n n n na a b a b a b abS b− − − −= + + + + + +
1 1 2 3 2 2 1...n n n n n na a b a b a b a b abaS + − − −= + + + + + +
1 2 2 3 2 1 1...n n n n n na a b a b a bb a bS bb − − − += + + + + + +
1 1( ) n na ab bS + +− −=
1 1n na bS a b
+ +−= −
1 11 ,1 2
nn n
n n
a b a bA Bn a b
+ +− + = = + −
,a b x a b y+ = − = , 0x y >
1 1
1 1
1
1 12 2 ( ) ( ) ,1 2 ( 1) 2
n n
n
n n
n nn
x y x y
xA x y x y Bn y n y
+ +
+ +
+
+ − − = = + − − = + +
( )1 1 1 3 2 3 1
1 1 1( ) ( ) 2 2 2n n n n n
n n nx y x y C x y C x y C x y+ + −
+ + + + − − = + + ≥
1
11
1 22 ( 1) 2 2
nn
n
n n nn n
x xA C x y Bn y ++
≥ ⋅ = = = +
n nA B≥
,a b x a b y+ = − =
nA nB nA
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