2019 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”
高三 10 月联考
理科数学试题
本试卷共 4 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1.设集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
集合 表示函数 的值域，集合 表示函数 的定义域，由函数的定义
域、值域的求法，求出集合 、 ，再求 即可.
【详解】解：因为 ，则 ，即 ，
又 ， ,由 ，解得 ，即 ，
即 ，
故选 D.
【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.
2.函数 的零点之和为（）
{ }| 3 ,xA y y x R= = ∈ { }| 1 2 ,B x y x x R= = − ∈ A B =
1
2
( )0,1 10, 2
10, 2
A 3 ,xy x R= ∈ B 1 2y x= −
A B A B
3 ,xy x R= ∈ 0y > ( )0,A = +∞
1 2y x= − x∈R 1 2 0x− ≥ 1
2x ≤ 1, 2B = −∞
A B =
10, 2
( )
3
3 2, 0
log 6, 0
x xf x
x x
− >= + ≤A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数零点与方程的根的关系可得函数 的零点即方程 ，
的根，解方程后再将两根相加即可得解.
【详解】解：令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
则函数 的零点之和为 ，
故选 A.
【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.
3.若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由定积分的运算可得 | = ，
再由以 为底的对数函数的单调性可得 ，再由以 的单调性可得
，比较即可得解.
【详解】解： = | = ，
又 ， ，
即 ，
故选 D.
( )
3
3 2, 0
log 6, 0
x xf x
x x
− >= + ≤ 3 2 0x − =
3log 6 0x + =
3 2 0x − = 3log 2x =
3log 6 0x + = 3log 6x = −
( )f x 3 3 3
1log 2 log 6 log 13
− = = −
ln 2a = 1
25b
−= 2
0
1 cos2c xdx
π
= ∫ a b c
a b c< < b a c< < c b a< < b c a< <
c = 1 sin2 x 2
0
π 1 1(sin sin 0)2 2 2
π − =
e 1ln 2 ln 2a e= > = 1
2y x
−=
1 1
2 2 15 4 2b
− −= < =
2
0
1 cos2c xdx
π
= ∫ 1 sin2 x 2
0
π 1 1(sin sin 0)2 2 2
π − =
1 1
2 2 15 4 2b
− −= < = 1ln 2 ln 2a e= > =
b c a< x∈R 2 0x x− ≤
( )f x ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ <
log 0a b > 0a > 1a ≠ 1a > 1b >
0a > 0a <
( )2019,2020
0a > 2 2
2 2 2sin 555(2 )
a a
aa a
α = = =
+
0a < 2 2
2 2 2sin 555(2 )
a a
aa a
α = = = −
+
0x R∈ 2
0 0 0x x− > x∈R 2 0x x− ≤
( )f x ( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ <
( )2019,2020 ( ) ( )2019 2020 0f f⋅ < ( )2019,2020
( ) ( )2019 2020 0f f⋅ <
1a > 1b > log 0a b > 0a > 1a ≠当“ （ 且 ）”时，则“ ， ”或“ ， ”，
即④正确，
故选 C.
【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重
点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型.
5.已知 ，且 ，则 的值为（）
A. -7 B. 7 C. 1 D. -1
【答案】B
【解析】
【分析】
由了诱导公式得 ，由同角三角函数的关系可得 ，
再由两角和的正切公式 ，将 代入运算即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，
又 ，
则 ，
解得 = 7，
故选 B.
【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.
6.已知 ，则函数 的图象大致为（）
A. B.
log 0a b > 0a > 1a ≠ 1a > 1b > 0 1a< < 0 1b< <
( )cos 2cos2
π α π α − = +
( ) 1tan 3
α β+ = tan β
sin 2cosα α= − tan 2α =-
( )tan α β+ = tan tan
1 tan tan
α β
α β
+
− tan 2α =-
( )cos 2cos2
π α π α − = +
sin 2cosα α= − tan 2α =-
( ) 1tan 3
α β+ =
tan tan 1
1 tan tan 3
α β
α β
+ =−
tan β
( ) 1 2 1sin2 2 1
x
xf x x x
− = − ⋅ +
( )y f x=C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数解析式可得 ，则函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，再取
特殊变量 得 ，即可得在 存在变量使得 ，再观察图像即可.
【详解】解：因为 ，
则 = ，
即 ，
则函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，
不妨取 ，则 ，
即在 存在变量使得 ，
故选 D.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题.
7.若函数 是幂函数，且其图像过点 ，则函数
的单调递增区间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
( ) ( )f x f x= − ( )y f x= y
4
π
04f
π
( ) ( ) ( )3 ,af x m x m a R= + ∈
3 1m + = 2m = −
( )2, 2
2 2α = 1
2
α =
( ) ( )2
1
2
log 2 3g x x x= − −
( ) ( )2
1
2
log 2 3g x x x= − −
2 2 3,( 0)t x x t= − − >
2 2 3,( 0)t x x t= − − > ( ), 1−∞ −
( ) sin 2 6f x x
π +
= 6
π
( )g x
( )g x ,03
π−
( )g x
2
π
( )g x
6x
π= ( )g x 2,6 3
π π
由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得 ，
再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可.
【详解】解：将函数 的图象向右平移 ，所得图像的解析式为
，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）
得到函数 的图象，则 ，
令 ，则 ，即函数 的图象关于点 ， 对称,即 A
错误；
令 ，则 ，即函数 的图象关于直线 ，
对称,及 C 错误；
由 ，即 C 错误；
令 ，得 ，即函数 的单调递增区
间为 ， ，故 D 正确，
故选 D.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，
属中档题.
9.已知定义在 上 函数 满足对任意 都有 成立，且函数
的图像关于直线 对称，则 （）
A. 0 B. 2 C. -2 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，可得 ，
的
( ) sin( )6g x x
π= −
( ) sin 2 6f x x
π +
= 6
π
sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6y x x
π π π= − + = −
( )g x ( ) sin( )6g x x
π= −
6x k
π π− =
6x k
ππ= + ( )g x ,06k
ππ +
k Z∈
6 2x k
π ππ− = + 2
3x k
ππ= + ( )g x 2
3x k
ππ= + k Z∈
2 21T
π π= =
2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ + 22 23 3k x k
π ππ π− ≤ ≤ + ( )g x
22 ,23 3k k
π ππ π − + k Z∈
R ( )f x x∈R ( ) ( )1 1 0f x f x+ + − =
( )1f x+ 1x = − ( )2019f =
( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( ) ( )2 0f x f x+ + − =又由函数 的图像关于直线 对称，可得函数 的图像关于 轴对称，即
，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为 4，再运算即可.
【详解】由 ，则 ，①
又函数 的图像关于直线 对称，则函数 的图像关于 轴对称，即
，②
联立①②可得 ，即函数 的周期为 ，
即 ，
又因为 ，
令 得 ，又函数 的图像关于 轴对称，则 ，
即 ，
故选 A.
【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题.
10.已知函数 有极值，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数 有极值，等价于 =0 有变号根，即 ，
均有解，又 ，即 ，运算即可得解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
令 ，
( )1f x+ 1x = − ( )f x y
( ) ( )f x f x= −
( ) ( )1 1 0f x f x+ + − = ( ) ( )2 0f x f x+ + − =
( )1f x+ 1x = − ( )f x y
( ) ( )f x f x= −
( ) ( )4f x f x= + ( )f x 4
( )2019f = (505 4 1) ( 1)f f× − = −
( ) ( )1 1 0f x f x+ + − =
0x = (1) 0f = ( )f x y ( 1) 0f − =
( )2019f = 0
( ) ( )sinxf x e x a= − a
( )1,1− [ ]1,1− 2, 2 −
( )2, 2−
( ) ( )sinxf x e x a= − sin cosx x a+ − ( ) 0>g x
( ) 0
( ) 2 2cosf x x x= + [ ]1,1x∈ −
( ) 2( ) 2cos( )f x x x− = − + − = 2 2cos ( )x x f x+ =
( )f x
( )' 2( sin ) 0f x x x= − ≥ [ ]0,1x∈
( )f x [ ]0,1又 ，
则 ，解得 ，
即不等式 的解集为
故选 B.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应
用，属中档题.
12.已知函数 在 上可导，其导函数为 ，若函数 满足：
， ，则下列判断一定正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设函数 ，求导可得函数 在 为增函数， 在 为减函数，
再由 ，得 ，即函数 的图像关于直线 对称，再结
合函数 的性质逐一判断即可.
【详解】解：令 ，则
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，即函数 在 为增函数， 在 为减函数，
又 ，所以 ，
则 ，即函数 的图像关于直线 对称，
( ) ( )1 2f x f x− >
1 1 1
1 2 1
1 2
x
x
x x
− ≤ − ≤
− ≤ ≤
− >
10 3x≤ <
( ) ( )1 2f x f x− > 10, 3
( )f x R ( )'f x ( )f x
( ) ( ) ( )1 ' 0x f x f x− −
( ) ( )5 1 4e f f− <
( )( ) x
f xg x e
= ( )g x ( ,1)−∞ ( )g x (1, )+∞
2
(2 ) ( )
x x
f x f x
e e−
− = ( ) (2 )g x g x= − ( )g x 1x =
( )g x
( )( ) x
f xg x e
= '
' ( ) ( )( ) x
f x f xg x e
−=
( ) ( ) ( )1 ' 0x f x f x− − ' ( ) 0g x <
1x < ' ( ) 0g x > ( )g x ( ,1)−∞ ( )g x (1, )+∞
( ) ( ) 2 22 xf x f x e −− =
2
(2 ) ( )
x x
f x f x
e e−
− =
( ) (2 )g x g x= − ( )g x 1x =则 ，即 即 A 错误； ，即 即 B 错误；
，即 ，即 ，即 C 正确； ，即
，即 D 错误.
故选 C.
【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调
性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.设函数 ，则曲线 在点 处的切线方程是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求函数 的导函数 ，再由导数的几何意义，求 ，则曲线 在点
处的切线的斜率为 7，再由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
则 ，
即曲线 在点 处的切线方程是 ，即 ，
故答案为 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能
力，属基础题.
14.已知函数 且 ，则
__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
(0) (1)g g< ( ) ( )1 0f ef> (1) (2)g g> ( ) ( )1 2ef f>
(0) (3)g g>
0 3
(0) (3)f f
e e
> ( ) ( )3 0 3e f f> ( 1) (4)g g− >
( ) ( )5 1 4e f f− >
( ) 3ln 2f x x x x= + ( )y f x= ( )1,2
7 5 0x y− − =
( )f x ( )'f x ( )' 1 7f = ( )y f x=
( )1,2
( ) 3ln 2f x x x x= +
( )' 2ln 1 6f x x x= + +
( )' 21 ln1 1 6 1 7f = + + × =
( )y f x= ( )1,2 2 7( 1)y x− = − 7 5 0x y− − =
7 5 0x y− − =
( ) ( ) ( )3 2
2log 1 1f x ax x x a R= + + + + ∈ ( )1 3f = − ( )1f − =先观察函数 的结构，再证明 ，再利用函数的性质求解即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
又 ，则 ，
故答案为 5.
【点睛】本题考查了对数的运算及函数 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能
力，属中档题.
15.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 且满足 ，
，则 ___________．
【答案】-3
【解析】
【分析】
由余弦定理可得 ， ，
再由正弦定理可得 ，
再结合运算即可得解.
【详解】解：因为 ，
则 ，则 ，
又因为 ，则 ，
则 ，
将 ， 代入得， ,
即 ，
故答案为-3.
( )f x ( ) ( ) 2f x f x+ − =
( ) ( )3 2
2log 1 1f x ax x x= + + + +
( ) ( )3 2 3 2
2( ) log 1 ( ) log( ( ) 1) 2 2f x f x ax x x a x x x+ − = + + + + − + − + − + + =
( )1 3f = − ( )1f − = 2 (1) 2 3 5f− = + =
( )f x
ABC∆ A B C a b c sinb C a=
2 2 2 8
5a c b ac+ − = tanC =
cos 4
5B = 3sin 5B =
sin sin sin cos cos sinB C B C B C= +
2 2 2 8
5a c b ac+ − =
2 2 2 4cos 2 5
a c bB ac
+ −= = 3sin 5B =
sinb C a= sin sin sinB C A=
sin sin sin sin( ) sin cos cos sinB C A B C B C B C= = + = +
cos 4
5B = 3sin 5B = sin 3cosC C= −
sintan 3cos
CC C
= = −【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式
及运算能力，属中档题.
16.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 ，利用导数再分情况讨论当 ，当 ，当 时，当
时函数 的最小值，即可求得实数 的取值范围.
【详解】解：由 ，
则 ，
由函数 在 上单调递增，
则 在 恒成立，
设 ，
①当 时， ， 为增函数，
要使 ，则只需 ，求得 ，
②由 ，
当 时， ，即函数 为减函数，即 ，
要使 ，则只需 ，即 ，
当 时，有 ，即函数 为增函数，
要使 ，则只需 ，即 ，
当 时，有当 时， ，当 时， ，
即函数 在 为减函数，在 为增函数，即
( ) 2
2
x kf x e x kx= − + [ ]0,2 k
21,e −
( )' xf x e kx k= − + 0k ≤ 2k e≥ 0 1k< ≤
21 k e< < ( ) xg x e kx k= − + k
( ) 2
2
x kf x e x kx= − +
( )' xf x e kx k= − +
( )f x [ ]0,2
( )' 0xf x e kx k= − + ≥ [ ]0,2
( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈
0k ≤ ( ) xg x e kx k= − + [ ]0,2x∈
( ) 0g x ≥ ( )0 0g ≥ 1 0k− ≤ ≤
( )' xg x e k= −
1 2k e≥ ( )' 0g x ≤ ( )g x ( ) 2
min (2)g x g e k= = −
( ) 0g x ≥ ( ) 2
min 0g x e k= − ≥ 2k e=
2 0 1k< ≤ ( )' 0xg x e k= − ≥ ( )g x
( ) 0g x ≥ ( )min (0) 1 0g x g k= = − ≥ 0 1k< ≤
3 21 k e< < 0 lnx k< < ( )' 0g x < 2ln k x e< < ( )' 0g x >
( )g x (0,ln )k 2(ln , )k e，要使 ，则只需 ，
即 ，
综上可得实数 的取值范围是 ，
故答案 .
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学
思想方法，属综合性较强的题型.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在 中，设内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 正 弦 定 理 化 边 为 角 可 得 ， 再 由 两 角 和 的 正 弦 可 得
，即得 ，得解；
（2）由三角恒等变换结合倍角公式可得 ，再
结合 求解即可.
【详解】解：（1）由 得到 ，
即 ，即 ，
又∵ 为三角形内角，∴ ，所以 ，从而 .
（2）
为
( )min (ln ) 2 lng x g k k k k= = − ( ) 0g x ≥ ( )min 2 ln 0g x k k k= − ≥
2k e<
k 21,e −
21,e −
ABC∆ A B C a b c 2 cos
cos
a c C
b B
− =
B
23cos sin cos2 2 2
C A A−
3B
π= 3 3 3,4 4
2sin sin cos
sin cos
A C C
B B
− =
2sin cos sinA B A= 1cos 2B =
23 cos sin cos2 2 2
C A A− = 1 3cos2 6 2C
π + +
20 3C
π< <
2 cos
cos
a c C
b B
− = 2sin sin cos
sin cos
A C C
B B
− =
( )2sin cos sinA B B C= + 2sin cos sinA B A=
A sin 0A ≠ 1cos 2B =
3B
π=
( )2 3 13 cos sin cos cos 1 sin2 2 2 2 2
C A A C A− = + −，
∵ ，∴ ，
∴ ，所以 .
所以 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查
了运算能力，属中档题.
18.湖北省第二届（荆州）园林博览会于 2019 年 9 月 28 日至 11 月 28 日在荆州园博园举办，
本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更
多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智
能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为 50 万
元，每生产一台需另投入 80 元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每万台的销
售收入 （万元）与年产量 （万台）满足如下关系式：
.
（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成
本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.
【答案】（1） （2）当年产量为 29 万台时，该公司获
得的利润最大为 1360 万元
【解析】
【分析】
3 1 2 3cos sin2 2 3 2C C = − − +
π
3 1 3 1 3cos sin cos4 4 2 2 6 2C C C
π = − + = + +
20 3C
π< < 5
6 6 6C< + +
0 20x< ≤ ( ) ( )222 100 50 2 25 1200W x x x x= − + − = − − +
( ) ( )max 20 1150W x W= =
20x > ( ) 90010 1 19601W x x x
= − + + + + ( ) 90010 2 1 1960 13601x x
≤ − × + × + =+
9001 1x x
+ = + 29x = ( ) ( )max 29 1360W x W= =
1360 1150>
ABCDE DE AB∥ AC BC⊥ 2 4BC AC= = 2AB DE=
DA DC= DAC ⊥ ABC
F BC EF ⊥ ABC
BE ABC 60 B AD C− −【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由四边形 为平行四边形.∴ ，再结合 平面 ，即可证明
平面 ；
（2）由空间向量的应用，建立以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线
为 轴， 所在直线为 轴的空间直角坐标系，再求出平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，再利用向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，
∵在 中 ，∴ .
∴由平面 平面 ，且交线为 得 平面 .
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ ，且 .
又 ， ，∴ ，且 .
∴四边形 为平行四边形.∴ ，
∴ 平面 .
（2）∵ 平面 ， ，
∴以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系.则 ， ， .
∵ 平面 ，∴直线 与平面 所成的角为 .
∴ .∴ .
可取平面 的法向量 ，
设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，则 ， .∴ ，
3
4
DEFO EF DO DO ⊥ ABC
EF ⊥ ABC
O OA x O CB
y OD z ADC ( )0,1,0m =
ADB ( )2 3, 3,1n =
AC O EF OF
DAC∆ DA DC= DO AC⊥
DAC ⊥ ABC AC DO ⊥ ABC
O F AC BC OF AB 2AB OF=
DE AB∥ 2AB DE= OF DE OF DE=
DEFO EF DO
EF ⊥ ABC
DO ⊥ ABC AC BC⊥
O OA x O CB y OD z
( )1,0,0A ( )1,0,0C − ( )1,4,0B −
EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ =
tan 60 2 3DO EF BF= = = ( )0,0,2 3D
ADC ( )0,1,0m =
ADB ( ), ,n x y z= ( )2,4,0AB = − ( )1,0,2 3AD = −
2 4 0
2 3 0
x y
x z
− + =− + = 1z = 2 3x = 3y = ( )2 3, 3,1n =∴ ，
∴二面角 余弦值为 .
【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想
象能力，属中档题.
20.如图，过点 作两条直线 和 ： 分别交抛物线 于
， 和 ， （其中 ， 位于 轴上方），直线 ， 交于点 .
（1）试求 ， 两点的纵坐标之积，并证明：点 在定直线 上；
（2）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程与抛物线方程求得 ，从而可得 ，
再由点斜式方程求得直线 的方程为 ，直线 的方程为
，消去 求出 ，得解；
的
3cos , 4
m nm n
m n
⋅< >= =
B AD C− − 3
4
( )2,0P 2x = l ( )2 0x my m= + > 2 2y x=
A B C D A C x AC BD Q
C D Q 2x = −
PQC
PBD
S
S
λ ∆
∆
= λ
2 2 3+
2 2 4 0y my− − = 1 2 4y y = −
AC ( )
1
22 22y xy
− = −+ BD
( )
2
22 22y xy
+ = −− y 2x =（2）由题意有 ，再令 ，则 ，再由重要
不等式求最小值即可得解.
【详解】解：（1）将直线 的方程 代入抛物线 得： ，
设点 ， ，则 .
由题得 ， ，直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，消去 得 ，
将 代入上式得 ，故点 在直线 上.
（2）∵ ， ，
又 ，∴ .
令 ，则 ，
当且仅当 即 时， 取到最小值 .
【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题，
属中档题.
21.已知函数 ， （ 是 的导
函数）， 在 上的最大值为 .
（1）求实数 的值；
（2）判断函数 在 内的极值点个数，并加以证明.
【答案】（1） （2） 在 上共有两个极值点，详见解析
【解析】
( )
( )1 1
1
2
2 2
PQC
PBD
S x x
S x
λ ∆
∆
+= = − ( )1 2 0t x t= − > 4 32
t
t
λ = + +
l 2x my= + 2 2y x= 2 2 4 0y my− − =
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 1 2 4y y = −
( )2,2A ( )2, 2B − AC ( )
1
22 22y xy
− = −+
BD ( )
2
22 22y xy
+ = −− y ( )1 2 1 2
1 2
2
4
y y y yx y y
− += − +
1 2 4y y = − 2x = − Q 2x = −
( )1 1
1 2 22PQCS AP x x∆ = + = + ( )2 2
1 2 22PBDS BP x x∆ = − = −
2 2
1 2
1 2
16 42 2 4
y yx x = ⋅ = =
( )
( )1 11 1
2 1
1
22 2
42 2 22
PQC
PBD
S x xx x
S x x
x
λ ∆
∆
++ += = = =− −−
( )1 2 0t x t= − > ( )( )2 4 4 3 2 2 32 2
t t t
t t
λ + += = + + ≥ +
2 2t = 1 2 2 2x = + λ 2 2 3+
( ) ( ) ( )1sin cos 2f x a x x x x a R= − − ∈ ( ) ( )'g x f x= ( )'f x ( )f x
( )g x 0, 2
π
1
2
π −
a
( )f x ( )0,π
1a = ( )f x ( )0,π【分析】
（1）先求得 ，再求得 ，再讨论 的符
号，判断函数 的单调性，再求最值即可得解；
（2）利用（1）的结论，结合 ， ，由零点定理可 在
上有且仅有一个变号零点；再当 时，由导数的应用可 使
，即 在 上单调递增，在 上单调递减，再结合特殊变量所对应
的函数值的符号可得 在 上有且仅有一个变号零点，综合即可得解.
【详解】解：（1）由
则 ，
则 ，
①当 时 ，不合题意，舍去.
②当 时 ，∴ 在 上单调递减，∴ ，
不合题意，舍去.
③当 时 ，∴ 在 上单调递增，∴
，解得 ，
∴综上： .
（2）由（Ⅰ）知 ， ，
( ) ( ) 1' sin 2g x f x ax x= = − ( ) ( )' sin cosg x a x x x= + a
( )g x
( ) 10 02g = − < 1 02 2 2g
π π = − >
( )g x
0, 2
π
,2x
π π ∈ 0 ,2x
π π ∃ ∈
( )0' 0g x = ( )g x 0,2 x
π
( )0 ,x π
( )g x ,2
π π
( ) ( ) ( )1sin cos 2f x a x x x x a R= − − ∈
( ) ( ) 1' sin 2g x f x ax x= = −
( ) ( )' sin cosg x a x x x= +
0a = ( ) 1
2g x = −
0a < ( )' 0g x < ( )g x 0, 2
π
( ) ( )max
1 10 2 2g x g
π −= = − ≠
0a > ( )' 0g x > ( )g x 0, 2
π
( )max
1 1
2 2 2 2
ag x g
π π π − = = − = 1a =
1a =
( ) 1sin 2g x x x= − ( )' sin cosg x x x x= +当 时， 在 上单调递增， ， ，
∴ 在 上有且仅有一个变号零点；
当 时， ，∴ 在 上单调递减.
又 ， ，
∴ 使 且当 时 ，当 时 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ， ， ，∴ 在 上有且仅
有一个变号零点.
∴ 在 和 上各有一个变号零点，∴ 在 上共有两个极值点.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了
函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 的极
坐标方程为 ， 点的极坐标为 ，在平面直角坐标系中，直线 经
过点 ，且倾斜角为 .
（1）写出曲线 的直角坐标方程以及点 的直角坐标；
（2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值.
【答案】（1）曲线 的直角坐标方程为 ； 点的直角坐标为 （2）
0, 2x
π ∈
( )g x 0, 2
π
( ) 10 02g = − < 1 02 2 2g
π π = − >
( )g x 0, 2
π
,2x
π π ∈
( )'' 2cos sin 0g x x x x= − < ( )'g x ,2
π π
' 1 02g
π = >
( )' 0g π π= − <
0 ,2x
π π ∃ ∈
( )0' 0g x = 0,2x x
π ∈
( )' 0g x > ( )0 ,x x π∈ ( )' 0g x <
( )g x 0,2 x
π
( )0 ,x π
1 02 2 2g
π π = − >
( )0 02g x g
π > >
( ) 1 02g π = − < ( )g x ,2
π π
( )g x 0, 2
π
,2
π π
( )f x ( )0,π
xOy O x C
2cos 4sin 0ρ θ θ− = P 3, 2
π
l
P 60
C P
l C A B
1 1
PA PB
+
C 2 4x y= P ( )0,3 6
6【解析】
【分析】
（1）由极坐标与直角坐标的互化可得 的直角坐标方程为 ， 点的直角坐标为
；
（2）将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中 的几何意义
，再求解即可.
【详解】解：（1）曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，
点的极坐标为： ，化为直角坐标为 .
（2）直线 的参数方程为 ，即 （ 为参数），
将 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 ，
整理得： ，
显然有 ，则 ， ，
， ，
所以 .
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中 的几
何意义，属中档题.
23.已知函数 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
C 2 4x y= P
( )0,3P
l C t
1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = −
C 2 4x y=
P 3, 2P
π
( )0,3P
l
cos 3
3 sin 3
x t
y t
π
π
=
= +
1
2
33 2
x t
y t
=
= +
t
l C 21 12 2 34 t t= +
2 8 3 48 0t t− − =
> 0∆ 1 2 48t t⋅ = − 1 2 8 3t t+ =
1 2 1 2 48PA PB t t t t⋅ = ⋅ = ⋅ = 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = − ( )2
1 2 1 24 8 6t t t t= + − =
1 1 6
6
PA PB
PA PB PA PB
++ = =⋅
t
( ) 5f x x= − ( ) 5 2 3g x x= − −
( ) ( )f x g x<
x∈R ( ) ( )2 f x g x a− ≤ a
( )1,3 2a ≥【分析】
（1）由绝对值的意义，分别讨论 ， ， 即可；
（2）原命题等价于 的最小值小于或等于 ，
再利用绝对值不等式的性质可得
.
即 的最小值为 2，即可得解.
【详解】解：（1）原不等式即 ，
∴ 或 或 ，
所以 无解或 或 ，即 ,
∴原不等式的解集为 .
（2）若存在 使不等式 成立，则 的最小值小于或等于
.
.
当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 2.
∴
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数
学思想方法，属中档题.
.
5x≥ 3 52 x≤ < 3
2x <
( ) ( )2 f x g x− a
( ) ( )2 f x g x− =
( )2 10 2 3 5 2 10 2 3 5 2x x x x= − + − − ≥ − − − − =
( ) ( )2 f x g x−
5 2 3 5x x− + − <
5
5 2 3 5
x
x x
≥
− + −
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