湖北省武汉市部分重点中学2020届高三数学10月月考试卷（附解析Word版）

湖北省武汉 49 中等部分重点中学 2020 届高三起点考试 数学文试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1.已知全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由全集 U＝R，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的公共部分，即可确定出所求的集合． 【详解】∵ 又由全集 U＝R，∴ ＝{y|y≤0 }， 则 A∩（∁UB）＝{x| ≤0 }= ． 故选：B． 【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合 B 的补集是关键，属于基础题． 2.在复平面内，复数 对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 ， ∴复数 对应的点位于第二象限 故选：B 点睛：复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 的幂写 成最简形式． 3.下列关于命题的说法错误的是（ ） U = R { | 1 1}A x x= − < < { | 0}B y y= > ( )A C B∩ =R ( 1 0)− ， ( 1 0]− ， (0 )1， [01)， { }0B y y= RC B 1 x− < ( ]1 0− ， 2 1 iz i = − ( ) ( )( ) 2 12 2 2i 1 i1 1 1 2 i iiz i i i + − += = = = − +− − + 2 1 iz i = − iA. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ” B. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 C. 若命题 ： ， ，则 ， D. 命题“ ， ”是真命题 【答案】D 【解析】 【分析】 利用原命题与逆否命题的关系可判断出 A 选项的正误；根据充分必要性判断出 B 选项的正误； 利用特称命题的否定可判断出 C 选项的正误；利用作商法和指数函数的单调性可判断出 D 选 项的正误. 【详解】对于 A 选项，命题的逆否命题，只需把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论 即可，A 选项正确； 对于 B 选项，若函数 在区间 上为增函数，则 ，所以，“ ” 是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件，B 选项正确； 对于 C 选项，特称命题的否定为全称，C 选项正确； 对于 D 选项，当 时，由于函数 为增函数，则 ， ，D 选项错误.故选：D. 【点睛】本题考查四种命题的关系、充分不必要条件的判断、特称命题的否定以及特称命题 真假的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题. 4.已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 【 详 解 】 , 故 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ p n N∃ ∈ 2 1000n > :p n¬ ∀ ∈N 2 1000n ≤ ( ),0x∃ ∈ −∞ 2 3x x< ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 0x < 3 2 x y  =    03 3 3 12 2 2 xx x    = < =       2 3x x∴ > 0.21.1a = 0.2log 1.1b = 1.10.2c = a b c> > b c a> > a c b> > c a b> > 0.2 0 1.1 0 0.2 0.2a 1.1 1.1 1, b log 1.1 log 1 0, 0 c 0.2 0.2 1= > = = < = < = < =故选：C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关 键，属于基础题． 5.已知等差数列 满足 ，则 中一定为 0 的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等差数列通项公式即可得到结果. 【详解】由 得， ，解得： ， 所以， ， 故选 A 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查计算能力，属于基础题. 6.已知 ，sin4x 的值为( ) A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合诱导公式和二倍角的余弦公式即可求得 sin4x 的值. 【详解】因为 ， 所以 sin4x＝cos（ 4x）＝1–2 ，故选 A． 【点睛】本题主要考查二倍角余弦公式的应用，属于中等题. 7.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 时，f(x)= ， ， 则实数 （ ） a c b> > { }na 3 24 3a = a { }na 6a 8a 10a 12a 3 24 =3a a ( )1 14( +2d)=3a a d+ 1 5 0a d+ = 6 1 5 0a a d= + = π 3sin 24 5x − =   7 25 7 25 ± π 3sin 24 5x − =   π 2 − 2 πsin 24 x −   7 25 = 0x < ( )2log x m− + 1( ) 22f = m =A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由奇函数得 ，代入 f(x)= 即可求解 m. 【 详 解 】 函 数 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , , 则 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性，对数的运算，是基础题. 8.函数 ， 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象，已 知 是偶函数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析：由图象变换得到 的表达式，再由 是偶函数，得到 值，代入 求值即可. 详解：函数 ， 的图象向左平移 个单位 得到函数 ，又 是偶函数， ∴ ，又 ，∴ ， 2 2 2 2 − 2 1+ 2 1− + 1 22f  − = −   ( )2log x m− + 1 1 22 2f f   ∴ − = − = −       2 1 1 2, m 2 1,2 2f log m   − = + = − = − +       解 ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈ 12 π ( )g x ( )g x tan 6 πϕ − =   3− 3 3 3 − 3 3 ( )g x ( )g x ϕ tan 6 πϕ −   ( ) ( )sin 2f x x ϕ= + ( )0,ϕ π∈ 12 π ( ) sin 2 12g x x π ϕ  = + +     ( )g x sin 16 π ϕ + = ±   ( )0,ϕ π∈ 3 πϕ =∴ . 故选：D 点睛：由 y＝sin x 的图象，利用图象变换作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的 图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿 x 轴的伸缩量的区 别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换) 再平移变换，平移的量是 个单位． 9.如图， 、 分别是三棱锥 的棱 、 的中点， ， ， ，则异面直线 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 通过辅助线将 、 平移至同一个平面内，再通过长度以及余弦定理计算所成角. 【详解】如图所示：取 中点 ，连接 ， 因为 、 分别是棱 、 的中点，且 为 中点，所以 且 3tan tan6 3 6 3 π π πϕ   − = − =       ϕ ω E F P ABC− AP BC 10PC = 6AB = 7EF = AB PC 30° 60° 0° 120° AB PC AC G ,EG FG E F AP BC G AC GE PC，所以 且 ；所以异面直线 与 所成的角即为 或其补角，则 ，所以 ，所以异面直线 与 所成的角即为 的补角： . 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，难度一般.当通过余弦定理计算出的角是钝角时， 一定要注意取其补角，这里异面直线所成角的范围是： . 10.某多面体的三视图如图所示，其中正视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是 两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形，俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体中，此三棱锥和长方体的 外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，进而求得半径. 【详解】由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体 中，此三棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易 得其外接球的直径为 ，从而外接球的表面积为 . 故答案为：C. 【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、 切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的 1 52GE PC= = GF AB∥ 1 32GF AB= = AB PC EGF∠ 2 2 25 3 7 1cos 2 3 5 2EGF + −∠ = = −× × 120EGF∠ = ° AB PC EGF∠ 60° 0, 2 π     7π 8π 9π 10π 2 2 22 2 1 3+ + = 9π关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几 何体已知量的关系，列方程(组)求解. 11.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实 验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 名同学每人随机写下 一个都小于 的正实数对 ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 的个数 ，最后再根据统计数 估计 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计 的值约为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先通过条件列出不等式组，画出可行域；根据满足条件 概率 可行域面积比上总面积， 由此计算出 的值.. 【详解】由条件可知： ，作出可行域如图阴影部分所示： 所以落在阴影部分的概率： ，解得： ， 故选：B. 【点睛】本题考查几何概型的应用，难度一般.当几何概型的概率和随机数的模拟产生联系时， 可通过将概率表示成随机数的个数之间的比率关系. 12.已知抛物线 ： 的交点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与曲线 相交 于 ， 两点，若 ，则 （ ） 的 π 120 1 ( , )x y ( , )x y m m π 34m = π 94 29 47 15 51 16 53 17 120 m= = m 2 2 1 1 0 1 0 1 x y x y x y + >  + ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = a ( ) ( ) 2lng x f x x= − ( )f x m n 2ln 2 3m n+ < − (0,1)x∈ ( )g x (1, )x∈ +∞ ( )g x a ( )g x a a m n+ a【详解】（1）解：由 ，得 ， ∴ ， 又曲线 在点 处的切线与直线 垂直， ∴ ，即 . 则 ，得 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增； （2）设 ， 为方程 的两个实数根，则 ， ， 由题意得 ，解得 ， 又因为函数 的极大值和极小值分别为 ， ， 则 ， . 令 ， 则 ，当 时， ，所以 是增函数， 则 ，即 . 【点睛】本题考查导数的综合应用，难度较难.对于同时出现极大值点和极小值点的情况，可 对导函数分析，最好可以将极大值点和极小值点与韦达定理联系在一起，后面去求解范围或 者证明时可以用韦达定理形式作替换，使变量能够统一，这样即可构造新函数来解决问题. 2( ) ln ( 0)f x ax x x a= − + > 22 1( ) ax xf x x − +=′ (1) 2f a′ = ( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ = 2 2a = 1a = 2( ) lng x x x x= − − 1( ) 2 1g x x x = − −′ (2 1)( 1) ( 0)x x xx + −= > (0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (1, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x 1x 2x ( ) 0f x′ = 1 2 1 2x x a + = 1 2 1 2x x a = 1 2 1 2 1 8 0 0 0 a x x x x ∆ = − >  + >  > 10 8a< < ( )f x m n ( ) ( )1 2m n f x f x+ = + 2 2 1 1 1 2 2 2ln lnax x x ax x x= − + + +− ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2ln 2x x a x x x x x x = + + − − −  1ln ln 2 14a a = − − − 1( ) ln ln 2 14g a a a = − − − 2 4 1( ) 4 ag a a ′ −= − 10 8a< < ( ) 0g a′ > ( )g a 1( ) 2ln 2 38g a g  < = −   2ln 2 3m n+ < −