2019 年高三年级 10 月联考文科数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设 i 为虚数单位， 表示复数 z 的共轭复数，若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得 ，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.
【详解】依题意 ，故 ，故选 A.
【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.
2.已知集合 ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出集合 、 ，然后利用交集的定义可求出集合 .
【详解】当 时，由于函数 是增函数，此时 ，则 .
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查集合交集的计算，同时也考查了指数函数的值域与对数函数的定义域的求
解，考查计算能力，属于基础题.
3.已知实数 、 、 满足 ，那么“ ”是“ ”成立的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
z 1z i= + z z
z z
⋅ =−
i− i 1−
z
1z i= − ( )
2 21 - 1
2
z z i i iz z i i i i
⋅ −= = = = −− ⋅ −
{ }3 , 0xM y y x= = > ( ){ }2lg 3N x y x x= = − M N∩
[ )1,+∞ ( )1,+∞ [ )3,+∞ ( )1,3
M N M N∩
0x > 3xy = 3 1xy = > ( )1,M = +∞
( ){ } { } { } ( )2 2 2lg 3 3 0 3 0 0,3N x y x x x x x x x x= = − = − > = − < =
( )1,3M N =
a b c c b a< < 0ac < ab ac>【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可得出 ，由 可知 ，然后再根据已知条件以及逻辑性关系推
导出两者间的充分不必要条件关系.
【 详 解 】 ， 若 ， 则 必 有 ， 由 ， 可 得 出 ， 则
；
另一方面，若 ，且 ，则 ，事实上，若 ，则 .
则 .
因此，“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了不等式性质的应用，考查逻辑推理
能力，属于中等题.
4.设 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先比较 、 、 与 的大小关系，可得出 ， ， ，然后再利用对数函数的单调
性来比较 和 的大小关系，可得出 、 、 的大小关系.
【详解】 ，对数函数 为减函数，则 ，
对数函数 为增函数，则 ，且 ，
因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂与对数式比较大小，一般利用中间值法，结合指数函数与对数函数
单调性来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
的
0ac < 0c a< < ab ac> 0a >
c b a< ab ac>
0ac ab ac< ⇒ >
ab ac> c b a< < 0a > 0c b a< < < ab ac<
0ab ac ac> ⇒
1
24a
−= 1
2
1log 3b =
9log 4c = a b c
a b c< < c a b< < a c b< < c b a< <
a b c 1 1a < 1b > 1c <
a c a b c
1
2 14 2a
−= = 1
2
logy x=
1 1
2 2
1 1log log 13 2b = > =
9logy x= 9 9log 4 log 9 1c = < = 9 9
1log 4 log 3 2c = > =
a c b<
+ ≠ 2x > − 1x ≠ −
( ) ( )2, 1 1,− − − +∞
1 0x− < < sin 0x < 1 2 2x< + < ( )ln 2 0x + > ( ) ( )
sin 0ln 2
xf x x
= ( ) 0f x′ > 2 2x− < < ( ) 0f x′ <
( )y f x= 2− 2
1 2 1k k− < − < + 1 2 1k k− < < + 3 1k− < < − 1 3k< <
( )2
2
2 1 0yx bb
− = > F A B BF AF⊥
M 2AM MB=
2y x= ± 1
2y x= ±
4
3y x= ± 3
4y x=±
,A B AB M
( )2B c b， ( )1 0A − ，
2
11
bAB y xc
= ++： （ ） y bx=
1M
bx c b
= + − 2AM MB= 1 21 1
b bcc b c b
+ = − + − + −
1
2c b− =
2 2 1c b− = 3
4b = 3
4y x=±
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
by xa
= ±
2 2
2 2 1( 0, 0)y x a ba b
− = > > ay xb
= ±12.已知函数 ，存在 、 、 、 ，使得
成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数求出函数 在区间 上的最大值 和最小值 ，由此可得
出 ，由此可得出 的最大值.
【详解】 ，定义域为 ，则 ，
令 ，得 ，当 时， ；当 时， .
所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
故函数 在 处取得最小值，即 ，
又 ， ，且 ，所以， .
由于存在 、 、 、 ，使得 成立，
则 ，得 ， ，则 .
因此， 的最大值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，解题
的关键就是将题意转化为函数的最值来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.曲线 在 处的切线方程是__________．
( ) 2 2lnf x x x= − 1x 2x
1 ,nx ee
∈
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤ n
4 5 6 7
( ) 2 2lnf x x x= − 1 ,ee
2 2e − 1
21 2n e− ≤ − n
( ) 2 2lnf x x x= −
1 ,ee
( ) ( )22 122
x
f x x x x
−′ = − =
( ) 0f x′ = 11 ,x ee
= ∈
1 1xe
≤ < ( ) 0f x′ < 1 x e< ≤ ( ) 0f x′ >
( )y f x= 1 ,1e
( ]1,e
( )y f x= 1x = ( ) ( )min 1 1f x f= =
2
1 1 2f e e
= +
( ) 2 2f e e= − ( ) 1f e f e
>
( ) ( ) 2
max 2f x f e e= = −
1x 2x
1 ,nx ee
∈
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤
21 2n e− ≤ − 2 1n e≤ − 27 8e∴ < < 26 1 7e< − <
n 6
2 lny x x= − 1x =【答案】
【解析】
分析：先求导，再求切线的斜率，再写出切线的方程.
详解：由题得 因为切点为（1,2），
所以切线方程 即切线方程为 .故答案为： .
点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌
握水平.(2) 函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线
的斜率，相应的切线方程是
14.设函数 ，使得 成立的 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数分析出函数 在 上是增函数，由 可得 ，
解出该不等式即可.
【详解】 ，当 时， ， ，
则函数 在 上为增函数；
当 时， ， ，则函数 在 上为增函
数.
又函数 在 上连续，由 可得 ，解得 .
因此，使得 成立的 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数不等式的求解，利用导数分析函数的单调性是解题的关键，考查分析
问题和解决问题的能力，属于中等题.
为
1y x= +
1 2 1 2 1 12 , 1.1
xy kx x
− × −= − = ∴ = =′
2 1,y x− = − 1y x= + 1y x= +
( )y f x= 0x 0( )f x′ ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x
0 0 0( )( )y y f x x x′− = −
( ) 2
2
, 0
2 , 0
xx e xf x
x x x
≥= − +
( )2,0A ( ),B x y
a OA= b OB= 2 4a b x⋅ = = 2x =
OC c= 3 1 12,4 4 4OC c a b y = = + =
C 12, 4 y
OB OC y
2 8
y
( ) tan tantan tan 1 tan tan
xOB xOCBOC xOB xOC xOB xOC
∠ − ∠∠ = ∠ − ∠ = + ∠ ∠
2 2
6 6 6 32 8
1616 4161 216
y y
y
y y y yy y
−
= = = ≤ =+ ++ ⋅
16 yy
= 4y = ( )2,4b = ( )4,4a b∴ + =
2 24 4 4 2a b+ = + =
4 217.若关于 的不等式 的解集为 ,记实数 的最大值为 .
(1)求 的值；
(2)若正实数 满足 ,求 的最小值.
【答案】（1）3；（2）3
【解析】
分析：（1）将问题转化为 ，只需求出 的
最小值即可．（2）结合 ，利用基本不等式求解即可．
详解：（1）由题意得
．
（2）由（1）得 ，且 ，
∴
．
当且仅当 且 ，即 时等号成立．
，
即 的最小值为 3．
点睛：绝对值三角不等式和基本不等式都是求最值的常用方法，解题时要根据题意选择合适
的方法进行求解，同时也要注意这两种方法的使用条件．
18.设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，向量 ，
，且存在实数 ，使得 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
x 3 2 3 1 0x x t+ + − − ≥ R t a
a
,m n 4 5m n a+ = 1 4
2 3 3y m n m n
= ++ +
3 2 3 1x x t x R+ + − ≥ ∈对 恒成立 3 2 3 1x x+ + −
4 5 3m n+ =
3 2 3 1x x t x R+ + − ≥ ∈对 恒成立，
3 2 3 1 3 2 1 3 3x x x x+ + − = + + − ≥又 ，
3t∴ ≤ ，
3a∴ =
4 5 3m n+ = , 0m n >
( ) ( ) ( )1 4 1 43 4 5 = 2 + 3 32 3 3 2 3 3y m n m n m nm n m n m n m n
= + + + + + + + + +
( ) ( )4 2 4 23 3 3 35 5 2 92 3 3 2 3 3
m n m nm n m n
m n m n m n m n
+ ++ += + + ≥ + + = + + + +
( )4 23 3
2 3 3
m nm n
m n m n
++ =+ + 4 5 3m n+ = 1
3m n= =
3y∴ ≥
1 4
2 3 3y m n m n
= ++ +
ABC∆ A B C a b c ( )sin ,m A b c= +
( )sin sin ,n C B a b= − − λ λ= m n
C
a b kc+ = k【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意得出 ，然后共线向量的坐标表示，结合边角互化思想以及余弦定理可求出
的值，即可求得角 的大小；
（2）利用正弦定理得出 ，求出角 的取值范围，可得出 的取值范围，
结合正弦函数的性质可得出 的取值范围.
【详解】（1）由于存在实数 ，使得 ， ，
，由正弦定理得 ，
，由余弦定理得 ，又 ， ；
（2）由题意知，
.
由于存在实数 ，使得 ， ， ，
又 ， ， ，
，因此，实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想、余弦定理解三角形，同时也考查了解三角形
中的参数问题，一般利用正弦定理转化为三角函数的值域问题求解，考查计算能力，属于中
等题.
19.垃圾种类可分为可回收垃圾，干垃圾，湿垃圾，有害垃圾，为调查中学生对垃圾分类的了
解程度某调查小组随机抽取了某市的 名高中生，请他们指出生活中若干项常见垃圾的种类，
把能准确分类不少于 项的称为“比较了解”少于三项的称为“不太了解”调查结果如下：
3
π ( )1,2
//m n
cosC C
2sin 6k A
π = + A 6A
π+
k
λ λ= m n //m n∴
( ) ( )( )sin sin sinA a b b c C B∴ − = + − ( ) ( )( )a a b b c c b− = + −
2 2 2a b c ab∴ + − = 1cos 2C = ( )0,C π∈
3C
π∴ =
sin sin 2 sin sinsin 33
a b A Bk A Ac C
π + + = = = + +
2 1 3 2 3 3 2sin sin cos sin cos 3sin2 2 2 2 63 3 3
A A A A A A
π = + + = + = ⋅ +
2sin 6A
π = +
λ λ= m n 0n∴ ≠
3B
π≠
2
3A B C B
ππ= − − = − 20, ,3 3 3A
π π π ∴ ∈
1sin ,16 2A
π ∴ + ∈
( )1,2k∴ ∈ k ( )1,2
100
3项 项 项 项 项 项 项以上
男生（人）
女生（人）
（1）完成如下 列联表并判断是否有 的把握认为了解垃圾分类与性别有关？
比较了解 不太了解 合计
男生 ________ ________ ________
女生 ________ ________ ________
合计 ________ ________ ________
（2）抽取的 名高中生中按照男、女生采用分层抽样的方法抽取 人的样本.
（i）求抽取的女生和男生的人数；
（ii）从 人的样本中随机抽取两人，求两人都是女生的概率.
参考数据：
， .
【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）（i）女生 人，男生 人；（ii） .
【解析】
【分析】
0 1 2 3 4 5 5
1 10 17 14 14 10 4
0 8 10 6 3 2 1
2 2× 99%
100 10
10
( )2
0p k k≥ 0.100 0.050 0.010 0.001
0k 2.706 3.841 6.635 10.828
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bck a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
3 7 1
15（1）根据题中数据完善题中的列联表，并计算出 的观测值，利用临界值表得出犯错误的概
率，即可对题中结论的正误进行判断；
（2）利用分层抽样思想得出所抽取的男生人数为 ，女生人数为 ，将样本中的 名女生为
、 、 ， 名男生为 、 、 、 、 、 、 ，列出所有的基本事件，然后利用古
典概型的概率公式可求出所求事件的概率.
【详解】（1）根据题意填得列联表如下，
比较了解 不太了解 合计
男生
女生
合计
计算 ，
所以没有 的把握认为了解垃圾分类与性别有关；
（2）（i）抽取的女生人数是 （人），男生人数是 （人）；
（ii）记两人都是女生为事件 ，记样本中的 名女生为 、 、 ， 名男生为 、 、
、 、 、 、 .
从这 人中随机抽取两人，基本事件分别为：
、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、
、 、 、 、
、 、 、 、 、 共 种；
2k
7 3 3
A B C 7 a b c d e f g
42 28 70
12 18 30
54 46 100
( )2
2 100 42 18 12 28 3.382 6.63554 46 70 30k
× × − ×= ≈ ( ) 2
1f x ae
≥ −
( )y f x= ( ) 1axf x x
−′ = 0a ≤ 0a >
( )f x′ ( )0,x∈ +∞ ( )y f x=（2）由（1）得出函数 的最小值为 ，于是问题转化为证
明不等式 ，即证 ，构造函数 ，利
用导数求出 即可.
【详解】（1） ，定义域为 ，且 .
若 ，则 ，所以，函数 在 上单调递减；
若 ，令 ，得 ；令 ，得 .
此时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）由（1）知， ，要证 ，
只需证 ，即证 ，
令 ，则 ，令 ，得
所以， ，则当 时， ，所以 在 时单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增.
所以 ，即证.
【点睛】本题考查含参函数单调区间的求解，考查利用导数证明函数不等式，在证明时，一
般转化为函数的最值来证明，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
22.如图，过点 作两条直线 和 l 分别交抛物线 于 A，B 和 C，D（其中 A，
C 位于 x 轴上方，l 的斜率大于 0），直线 AC，BD 交于点 Q．
.
( )y f x= ( )min
1 1 lnf x f aa
= = +
2
11 ln a ae
+ ≥ − ( ) 2
11 lna a e
+ ≥ − ( ) ( )ln 0a a a a aϕ = + >
( ) 2min
1a e
ϕ ≥ −
( ) lnf x ax x= − ( )0, ∞+ ( ) 1 1axf x a x x
−′ = − =
0a ≤ ( )f x′ ( )y f x= ( )0, ∞+
0a > ( ) 0f x′ < 10 x a
< < ( ) 0f x′ > 1x a
>
( )y f x= 10, a
1 ,a
+∞
( ) 1 1 lnf x f aa
≥ = +
( ) 2
1f x ae
≥ −
2
11 ln a ae
+ ≥ − ( ) 2
11 lna a e
+ ≥ −
( ) ( )( )1 ln 0a a a aϕ = + > ( ) ( )2 ln 0a a aϕ +′ = > ( ) 0aϕ′ =
2
1a e
=
0a > 2
10,x e
∈
( ) 0aϕ′ < ( )y aϕ= 2
10,a e
∈
2
1 ,a e
∈ +∞
( ) 0aϕ′ > ( )y aϕ= 2
1 ,a e
∈ +∞
( ) 2 2
1 1a ee
ϕ ϕ ≥ = −
(1,0)P 1x = 2 4y x=（1）求证：点 Q 在定直线上；
（2）若 ，求 最小值．
【答案】(1)见证明；(2)
【解析】
【分析】
（1）设出 两点的坐标和直线 的方程，将直线 的方程代入抛物线方程，写出根于系数
关系.洗出直线 的方程，化简后求得 点在直线 上.（2）先求得 ，
，根据 以及 ，求得 的表达式，利用换元法和基本不等式求
得 的最小值.
【详解】（1）设 ， ，
代入 得 ，所以 ．
， ，
消 y 得 ，故点 Q 在 上．
（2） ， ，
的PQC
PBD
Sλ S
∆
∆
= λ
2 2 3+
,C D l l
,AC BD Q 1x = − PQC
PQA
S
S
∆
∆
PBD
PQB
S
S
∆
∆
PQA PQBS S∆ ∆= PQC
PBD
Sλ S
∆
∆
= λ
λ
2
,4
cC c
2
,4
dD d
: 1l x ty= +
2 4y x= 2 4 4 0y ty− − = 4cd = −
: 4 ( 2) 2 0AC x c y c− + + = : 4 ( 2) 2 0BD x d y d− − − =
14
cd c dx c d
− += = −− + 1x = −
2
14
2
PQC
PQA
c
S
S
∆
∆
+
=
2
1 4
2
PBD
PQB
d
S
S
∆
∆
−
=因为 ，所以 ，
令 ，
则 ，当 时取到．
【点睛】本小题主要考查抛物线中点在定直线上的问题，考查直线和直线交点的求法，考查
利用换元法和基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题.
PQA PQBS S∆ ∆=
( )
( )
2 22
2 2
44
4 4 4
c ccλ d c
++= =− −
2 4 0c t− = >
( 4)( 8) 8 3 2 2 34 4
t t tλ t t
+ += = + + ≥ + 2 4 4 2c = +
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