河南省2020届高三数学（理）上学期阶段性考试（四）试卷（附解析Word版）

2019～2020 年度河南省高三阶段性考试（四） 数学（理科） 考生注意： 1.本试卷共 150 分. 考试时间 120 分钟。 2.请将各题答案填写在答题卡上。 3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选修 4 一 4，4—5）。 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 解出集合 、 ，然后利用交集的定义可得出集合 . 【详解】解不等式 ，得 ，则 . 解不等式 ，得 ，解得 ，则 . 因此， . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，同时也考查了一元二次不等式与指数不等式的解法，考 查运算求解能力，属于基础题. 2.欧拉公式 （ 是自然对数的底数， 是虚数单位）是数学里令人着迷的 公式之一，根据欧拉公式可知， （ ） A. B. C. D. 【答案】D { }2 5 6 0A x x x= − + < { }12 2 2xB x −= < A B = 52, 2      52, 2  −   ( )2, 2 1+ ( )2, 2 1− + A B A B 2 5 6 0x x− + < 2 3x< < ( )2,3A = 3 1 22 2 2 2x− < = 31 2x − < 5 2x < 5, 2B  = −∞   52, 2A B  =    cos sinixe x i x= + e i 62 i ie π− = 3 i− 1 3i− 3 i+ 1 3i+【解析】 【分析】 根据欧拉公式和复数的乘法法则可计算出 . 【 详 解 】 根 据 欧 拉 公 式 和 复 数 的 乘 法 法 则 得 . 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本运算，解题的关键就是利用欧拉公式将复数化为一般形式，考 查计算能力，属于基础题. 3.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 比较 、 、 三个数与 和 的大小关系，从而可得出 、 、 三个数的大小关系. 【详解】对数函数 是增函数，则 ； 对数函数 是减函数，则 ； 指数函数 为增函数，则 ，且 . 因此， . 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂、对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结 合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题. 4.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判 断框中应填入的是（ ） 62 i ie π− 6 3 12 2 cos sin 2 1 36 6 2 2 i ie i i i i i π π π−      = − + − = ⋅ − = +              2loga e= 1 2 logb e= 1c e−= a b c> > b a c> > a c b> > c b a> > a b c 0 1 a b c 2logy x= 2 2log log 2 1a e= > = 1 2 logy x= 1 1 2 2 log log 1 0b e= < = xy e= 1 0 1c e e−= < = 1 0c e−= > b c a< 94m = 35m = 35m ≤ i j m i j m 94 94m = ( ) 3 ln xf x x =【答案】D 【解析】 【分析】 分析函数 的定义域、奇偶性以及函数 在 和 上的函数值符号， 可得出正确选项. 【详解】自变量 满足 ，解得 且 ， 则函数 定义域为 . ，则函数 为奇函数， 当 时， ， ，当 时， ， . 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点和函数值 符号来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6.临近学期结束，某中学要对本校高中部一线科任教师进行“评教评学”调查，经调查，高 一年级 名一线科任教师好评率为 ，高二年级 名一线科任教师好评率为 ，高三 年级 名一线科任教师好评率为 .依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 计算出高中三个年级好评率的教师总数，再除以高中部一线科任教师总数即可得出结果. 【 详 解 】 由 题 意 可 知 ， 该 中 学 高 中 部 一 线 科 任 教 师 好 评 率 为 ， 因此，该中学高中部一线科任教师的好评率为 . 故选：A. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题. 7.已知平面上两个力 的合力 的大小为 ，其中 的大小为 ，若 与 垂直， 的 ( )y f x= ( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞ x 0 ln 0 x x  > ≠ 0x ≠ 1x ≠ ± ( )y f x= ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1,0 0,1 1,−∞ − − +∞   ( ) ( ) ( ) 3 3 ln ln x xf x f xx x −− = = − = −− ( )y f x= 0 1x< < ln 0x < ( ) 0f x∴ < 1x > ln 0x > ( ) 0f x∴ > 80 90% 75 92% 80 95% 92% 93% 94% 95% 80 0.9 75 0.92 80 0.95 217 0.9280 75 80 235 × + × + × = ≈+ + 92% 1 2,F F  F 8N 1F 10N F 2F则 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意 ，利用模与垂直的条件建立 与 cos 的方程，解出即可. 【详解】设 的夹角为 ， 因为 ，所以 ，所以 . 又因 为 ， 所以 ，解得 ， . 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的物理意义，考查了垂直的向量表示，向量模及夹角的基本运算， 属于基础题. 8.斜率为 的直线 过双曲线 的右焦点 ，且与双曲线的渐近线 交于 两点，若 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意得 为 的中点，过 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，由平面几何知 识得到三角形相似，通过相似可以建立 a，b 的等量关系，由此求得结果. 【详解】如图，过 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， . 因为 ，所以 为 的中点. 因为 ，所以 ，所 1 2,F F  4 5 − 4 5 3 5- 3 5 1 2F F F= +   1 2F F ， θ 1 2,F F  θ 1 2F F F= +   ( )22 2 1 2 1 2F F F F F= + = +     2 2 220cos 36F Fθ+ ⋅ = −  2 0F F⋅ =  2 2 2 1 2 2 2 210cos 0F F F F F F Fθ⋅ = ⋅ + = + ⋅ =       2 6F = 3cos 5 θ = − 1 2 − l ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > F ,A B 2FA FB=  13 2 2 13 3 B AF A B x 1A 1B A B x 1A 1B 2FA FB=  B AF 1 1AOA BOB∠ = ∠ 1 1AOA BOB∆ ∆以 . 设 ，因为 的斜率为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，即 ，所以离心率 . 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的性质的应用，涉及平面几何知识，属于基础题. 9.已知点 ，如图放置的边长为 1 的正方形 沿 轴顺时针滚动至 点落到 轴上停止，设顶点 的运动轨迹与 轴及直线 所围成的区域为 ，若在平面区域 内任意取一点 ，则点 恰好落在区域 内部的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出 P 点运动的轨迹，找出区域 M，利用几何概型求解概率即可. 1 1 1 1 2OA AA OB BB = = 1BB x= l 1 2 − 1 2B F x= 1 1 2A B x= 1 2 3 xOB = 1 3tan 2BOB∠ = 3 2 b a = 13 2e = 02 2 ,A       PABC x P x P x 2 2x y+ = M 0 4( , ) 0 2 xN x y y  ≤ ≤ =   ≤ ≤   Q Q M 16 π 1 8 π + 7 64 π 7 8 64 π +【详解】P 点首先围绕 点运动 个圆到达 ，该圆的半径为 1， 然后以点 为圆心，以 的长为半径运动 个圆到达 ，此时 点落地， 再以 为圆心，半径为 1，运动 个圆， 点落到 轴的 ， 最终区域 如图： 其面积为 ， 则所求概率 ， 故选：D. 【点睛】本题以动点运动轨迹为载体，考查了几何概型，作出区域 M 是关键，属于中档题. 10.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ， ，点 是 的重心，且 ，则 （ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 分析】 利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出 ，可得出 或 ，然后由点 是 的重心，得出 ，两边平方后化简得出 ，然 后分 或 两种情况讨论，求出 的值，由余弦定理可求出 的值. 【 A 1 8 1P B ( )1 1 2BP BP = 1 4 2P C C 1 4 P x 3P M ( )21 1 1 1 7 82 2 1 18 4 4 2 8S ππ π π += × + × × + × + × × × = 7 1 7 88 2 4 64P π π+ += =× ABC∆ A B C a b c 2b = ( ) ( )cos2 4 3 sin 2 3 1A B C+ + + = + P ABC∆ 2 7 3AP = a = 2 3 2 5 2 13 2 3 2 13 2 7 3sin 2A = 3A π= 2 3 π P ABC∆ ( )1 3AP AB AC= +   2 4 cos 24 0c c A+ − = 3A π= 2 3 π c a【 详 解 】 ， ， 整理得 ，解得 或 （舍去）. 或 . 又 点 是 的重心，则 ， 等式两边平方得 ， ， ， ，整理得 . ①当 时，则有 ，解得 ， 由余弦定理得 ，则 ； ②当 时，则有 ，解得 ， 由余弦定理得 ，则 . 因此， 或 . 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题， 在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 11.已知 是边长为 4 的正三角形，点 是 的中点，沿 将 折起使得二面 角 为 ，则三棱锥 外接球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意知底面 是直角三角形，且球心 在 中点 的正上方，利用题中数据及垂径 定理建立关于 R 与 D 的方程组，即可得出结果. 的 ( ) ( )cos2 4 3 sin 2 3 1A B C+ + + = + ( )2 4 3 sin1 n 2si 32 1A A+ + =∴ +− ( )22sin 4 3 sin 2 3 0A A− + + = 3sin 2A = sin 2A = 3A π∴ = 2 3 π  P ABC∆ ( )1 3AP AB AC= +   ( )2 2 21 2 cos9AP AB AC AB AC A= + + ⋅     2 7 3AP = 2b = ( )228 1 4 4 cos9 9 c c A∴ = × + + 2 4 cos 24 0c c A+ − = 3A π= 2 2 24 0c c+ − = 4c = 2 2 2 12 cos 4 16 2 2 4 122a b c bc A= + − = + − × × × = 2 3a = 2 3A π= 2 2 24 0c c− − = 6c = 2 2 2 12 cos 4 36 2 2 6 522a b c bc A  = + − = + − × × × − =   2 13a = 2 3a = 2 13 ABC∆ D AC BD BCD∆ A BD C− − 3 π C ABD− 26π 52 3 π 53 2 π 53 3 π ABD O AB O′【详解】如图将 沿 将 折起得到三棱锥 ， 在三棱锥 中，底面 是以 为斜边的直角三角形，设底面 外接圆的圆心 为 ，可知 在 的中点处，其半径 . 设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，则球心 在 的中点 的正上方，由 题意及二面角的定义可知二面角 的平面角即为 ，所以点 到底面的 距离为 ，且点 在底面的射影为 的中点 ，所以 . 设 = ，则 ，且 ，解得 ， ， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体问题，找到球心并利用垂径定理是解题的关键，属 于中档题. 12.已知函数 ， 为 的一个零点， 为 图象的一条对称轴，且 在 上有且仅有 7 个零点，下述四个结论： ① ；② 在 上有且仅有 4 个极大值点； ③ ；④ 在 上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 ABC∆ BD BCD∆ C ABD− C ABD− ABD AB ABD O′ O′ AB 2r = C ABD− O R O AB O′ A BD C− − CDA∠ = 3 π C 3 C AD E 3O E′ = O′ O d 2 2 2r d R+ = ( )22 23O E d R′ + − = 2 1 3d = 2 13 3R = 2 524 3S Rπ π= = ( ) sin( )( 0,0 )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < < 3 π− ( )f x 6x π= ( )y f x= ( )f x (0, )π 3 πϕ = ( )f x (0, )π 5ω = ( )f x 0, 42 π    【分析】 由题意得到 与 ，利用两式可求解 ，再由 在 上有且仅有 7 个零点求解 ，作出简图，依次看选项得出结论. 【详解】由题意得到 与 ， 可得 由①+2×②，得 ， ， 由②-①，得 . ∵ ，∴ ， ，即 ， . ∵ 在 上有且仅有 7 个零点，∴ ， ，故③错误； 所以 . 作出 的图象，如图所示， 可知 在 上有且仅有 3 个极小值点，4 个极大值点. ∵当 时， ，∴ 在 上单调递增. 故选：D. 【点睛】本题考查了正弦函数的对称性与图像的应用，考查了正弦函数的单调性、极值，考 查分析、转化与运用三角知识解决问题的能力，属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上. 1( )3f k π π− = 2 1 2( ) ( , )6 2f k k k Z π π π= + ∈ ϕ ( )f x (0, )π ω 1( )3f k π π− = 2 1 2( ) ( , )6 2f k k k Z π π π= + ∈ 1 1 2 1 ,3 , ,6 2 k k Z k k Z π ω ϕ π π πω ϕ π  − + = ∈  + = + ∈ ① ② ( )1 2 1 23 2 , ,k k k k Zϕ π π= + + ∈ ( )1 2 1 2 2 , ,3 3 k k k k Z πϕ π+= + ∈ ( )2 11 2 k kω = + − 0 2 πϕ< < 1 22 0k k+ = 3 πϕ = 21 6kω = + 2k Z∈ ( )f x ( )0,π 7 83 ππ ωπ π< + ≤ 7ω = ( ) sin 7 3f x x π = +   ( )f x ( )f x ( )0,π 0, 42x π ∈   7 ,3 3 2x π π π + ∈   ( )f x 0, 42 π    13.若 ，则 __________（用数字作答）. 【答案】16 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 7，求出 a7． 【详解】∵（x +2）8 展开式的通项为 Tr+1＝C8r2rx8﹣r， 令 8-r＝7 得 r＝1，∴a7＝C8121＝16， 故答案为：16. 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的系数问题，属于基础题. 14.首项为 的等差数列 中， 、 、 成等比数列，则 的前 项和为 _________. 【答案】 【解析】 【分析】 设等差数列 的公差为 ，根据题中条件求出 的值，然后利用等差数列的求和公式可求 出数列 的前 项的和. 【详解】设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ， 所以 ， ， ， 整理得 ，解得 或 . 当 时， ，舍去； 所以， ，因此，数列 的前 项的和为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查等差数列求和公式的应用，一般要结合已知条件列出有关首项和公差的方 程（组），求出等差数列的首项和公差，考查计算能力，属于中等题. 15.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围 8 7 8 0 1 7 8( 2) ...x a a x a x a x+ = + + + + 7a = 3− { }na 2a 4a 8 4a − { }na 8 192− { }na d d { }na 8 { }na d ( )2 4 2 8 4a a a= − ( ) ( )( )2 1 1 13 7 4a d a d a d+ = + + − 1 3a = − ( ) ( )( )23 3 3 7 7d d d∴ − = − − ( )( )1 6 0d d− + = 1d = 6d = − 1d = 4 1 3 3 3 1 0a a d= + = − + × = 6d = − { }na 8 ( ) ( )1 8 78 8 3 28 6 1922a d ×+ = × − + × − = − 192− 21( ) 2 24ln2f x x x x= − − [ ]3 1,5a a− + a是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 先由题意求得 的定义域，得到 ，再求导求得 在 上单调递减，利用 ，列出不等式，求解 a 即可. 【详解】 的定义域为 ，所以 ，解得 . 依题意知 ，若 ，解得 . 所以 在 上单调递减. 所以 ， 即 ，且 ，解得 . 综上， . 故答案为： . 【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调性问题，考查了集合的包含关系，属于中档题. 16.已知点 是椭圆 上的动点， 分别是椭圆长轴的两个端点，直线 分别与直线 交于 ，那么 的最小值为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】 设 ，利用 在椭圆上，求得直线 、 的斜率之积 为定值，即 为定 值，得到 ，再利用基本不等式求得最小值. 【详解】如图，设 ，则直线 的斜率 ， 的斜率 ， 1 ,13      ( )f x 3 1 0a − > ( )f x (0,6] [ ]3 1,5 (0,6]a a ⊆− + ( )f x ( )0, ∞+ 3 1 0a − > 1 3a > ( ) ( )( )6 4242 x xf x x x x − +′ = − − = ( ) 0f x′ < 0 6x< < ( )f x (0,6] [ ]3 1,5 (0,6]a a ⊆− + 3 1 5a a− < + 5 6a+ ≤ 1a ≤ 1 13 a< ≤ 1 ,13      P 2 2 14 3 x y+ = 1 2,A A 1 2,PA PA 4x = 1 2,B B 1 2B B ( ),P x y P 1PA 2PA 1 2k k 1 2PB PBk k 1 2 9y y = − ( ),P x y 1PA 1 2 yk x = + 2PA 2 2 yk x = −故 . 将 代入上式， 得 . 设 ， ，则 ，所以 . 不妨设 ， ，所以 . 故答案为：6. 【点睛】本题考查了椭圆的性质的应用，考查了计算能力，找到定值是关键，属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知首项为 的等比数列 的前 项和为 . （1）求 的通项公式； （2）若 ， ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设等比数列 的公比为 ，根据题中条件求出 的值，然后利用等比数列的通项公式 可求出数列 的通项公式； （2）由（1）可得 ，求出 ，可得出 ，然 后利用裂项求和法可求出数列 的前 项和 . 2 1 2 22 2 4 y y yk k x x x = ⋅ =+ − − 2 2 14 3 x y+ = ( ) 1 2 2 2 1 2 2 2 3 4 34 4 4 4 PB PB xyk k k kx x − = = = − =− − ( )1 14,B y ( )2 24,B y 1 2 1 2 3 6 2 4 y y k k⋅ = = − 1 2 9y y = − 1 0y > 2 0y < ( )1 2 1 2 1 22 6B B y y y y= − ≥ ⋅ − = 1 { }na 3 3 { }na 2 1a ≠ 2logn nb a= 1 2 1 n nb b+ +       n nT 1na = ( ) 12 n na −= − 1n nT n = + { }na q q { }na ( ) 12 n na −= − 1nb n= − ( )1 2 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ + = = −+ + 1 2 1 n nb b+ +       n nT【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由题意可得 ，整理得 ， 解得 或 ，因此， 或 ； （2） ， ， ， ， 因此， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能 力，属于基础题. 18.在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 . （1）求 ； （2）若 ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 正 弦 定 理 边 角 互 化 思 想 得 出 ， ， 再 由 ，利用两角和的正切公式结合已知条件求出 ，再对 的值进行分类讨论，可得出角 的值； （2）由 、 的值可求出 、 的值，并利用正弦定理求出 、 的值，然 后利用三角形的面积公式可求出 的面积. 【详解】（1） ，由正弦定理得 ， ， ， . 在 中， ， { }na q 21 3q q+ + = 2 2 0q q+ − = 1q = 2q = − 1na = ( ) ( )1 11 2 2n n na − −= × − = − 2 1a ≠ ( ) 12 n na −∴ = − 1 2 2log log 2 1n n nb a n−∴ = = = − ( )1 2 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ + ∴ = = −+ + 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n nT n n n n      = − + − + + − = − =     + + +      ABC∆ A B C a b c 2 cos 3cos cos a b c A B C = = A 3a = ABC∆ 3 π 27 3 14 tan 3tanB A= 1tan tan2C A= ( )tan tanA B C= − + tan 3A = ± tan A A tan B tanC sin B sinC b c ABC∆ 2 cos 3cos cos a b c A B C = = sin sin 2sin cos 3cos cos A B C A B C = = 1tan tan 2tan3A B C∴ = = tan 3tanB A∴ = 1tan tan2C A= ABC∆ ( ) 2 13tan tantan tan 2tan tan 31 tan tan 1 tan2 A AB CA B C B C A ++= − + = − = −− −，可得 ， . 当 时， ， ， 则角 、 、 均为钝角，不合乎题意，舍去. ，因此， ； （2）由（1）知， ， ， ，同理可得 ， ， ，所以， ， . 由正弦定理得 ，解得 ， ， 因此， 的面积为 . 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，解 题时要结合三角形元素类型合理选择正弦、余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题. 19.大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实 自己. 甲同学调査了自己班上的 50 名同学学习选修课的情况，并作出如下表格： 每人选择选修课科数 0 1 2 3 4 5 6 频数 1 5 9 15 13 5 2 （1）求甲同学班上人均学习选修课科数； （2）现从学习选修课科数为 5，6 的同学中抽出三名同学，求这三名同学中恰有一名是学习 选修课科数为 6 的概率； （3）甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上 8:00， tan 0A ≠ 2tan 3A = tan 3A∴ = ± tan 3A = − tan 3 3B = − 3tan 2C = − A B C tan 3A∴ = 3A π= tan 3 3B = 3tan 2C = 2 2 222 2 22 2 2 2 2 sin sin tan 27cossin sin cossin cos tan 1 28 cos cos B B BBB B BB B B B B = = = =+ ++  2 3sin 7C = sin 0B > sin 0C > 2 21sin 14B = 21sin 7C = 3 3 21 21sin 3 14 7 b c π = = 9 7 7b = 6 7 7c = ABC∆ 1 1 9 7 6 7 3 27 3sin2 2 7 7 2 14ABCS bc A∆ = = × × × =已知甲同学每次上课都会在 7:00 到 7:40 之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在 7:20 到 8:00 之间的任意时刻到达教室，求连续 3 天内，甲同学比乙同学早到教室的天数 的分布列和数学期望. 【答案】(1)3.14. (2) ；(3)分布列见解析，数学期望 【解析】 【分析】 （1）直接由平均数公式计算即可. （2）利用古典概型概率公式求解. （3）由题意列出关于 x，y 的不等式组，利用几何概型求得在一天中甲同学比乙同学早到教 室的概率，由题意知 ，由此求得分布列和数学期望. 【详解】（1）设甲同学班上人均学习选修课科数为，根据表格可得 ， 即甲同学的班上平均每人学习选修课科数是 3.14. （2）根据表格可知，学习选修课科数为 5 的同学有 5 人，为 6 的同学有 2 人，共有 7 人， 即 . （3）设甲同学和乙同学到达教室的时间分别为 ， ， 可以看成平面中的点， 则全部结果所构成的区域为 ，所以 . 用 表示事件“甲同学比乙同学早到教室”，该事件所构成的平面区域为 ，即 . 故 . 将连续 3 天内甲同学比乙同学早到教室的天数记为 ，则 可能的取值为 0，1，2，3 ， X 4 7 21 8 73, 8X B     0 1 1 5 2 9 3 15 4 13 5 5 6 2 157 3.1450 50x × + × + × + × + × + × + ×= = = 2 1 5 2 3 7 4 7 C CP C = = x y ( ),x y ( ) 23 22, 7 , 83 3A x y x y  = ≤ ≤ ≤ ≤    4 9AS = B ( ) 23 22, ,7 , 83 3B x y x y x y  = < ≤ ≤ ≤ ≤    4 1 1 1 7 9 2 3 3 18BS = − × × = ( ) 7 8 B A SP B S = = X X ( ) 0 3 0 3 7 1 10 8 8 512P X C    = = × × =       ( ) 1 2 1 3 7 1 211 8 8 512P X C    = = × × =      ， ， 故 的分布列为 0 1 2 3 因为 ， 所以数学期望 . 【点睛】本题考查了古典概型、几何概型的实际应用，考查了离散型随机变量的分布列及期 望问题，考查了知识综合运用能力与逻辑推理能力，属于中档题. 20.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，点 为 的中点. （1）证明: 平面 . （2）若平面 与平面 所成锐二面角为 ，求 . 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】 【分析】 （1）延长 ， 交于点 ，连接 ，利用余弦定理可得 为 的中点，由中位线可 得 ,利用线面平行的判定定理可得 平面 . （2）以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，设 ，写出各 ( ) 2 1 2 3 7 1 1472 8 8 512P X C    = = × × =       ( ) 3 0 3 3 7 1 3433 8 8 512P X C    = = × × =       X X P 1 512 21 512 147 512 343 512 73, 8X B     7 213 8 8EX = × = P ABCD− PC ⊥ ABCD 3 , 2 , 19AB BC AD= = = 120BCD∠ = ° 90ABC∠ = ° E PD / /CE PAB PAB PCD 4 π PC 2 2=PC AB DC F PF C DF / /CE PF / /CE PAB C C xyz− ( )0PC t t= >个点的坐标，求得两个平面的法向量，利用二面角为 列出 ， 求解 t 即可. 【详解】（1）如图，延长 ， 交于点 ，连接 . 因为 ， ， ， 所以在 中， ， ， . 在 中， ， ， . 由余弦定理可得 解得 或 （舍去）， 所以 为 的中点. 又因为点 为 的中点， 所以 为 的中位线，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）以 为坐标原点， 所在直线为 轴，在平面 内过 作垂直于 的直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ， ，得 . 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ， ，得 . 所以 ，得 ，即 . 4 π 2 3 2cos , 22 4 tm n t = = + AB DC F PF 2BC = 120BCD∠ = ° 90ABC∠ = ° BCF∆ 30BFC∠ = ° 4FC = 2 3FB = AFD∆ 30AFD∠ = ° 3 3AF = 19AD = 2 2 2 2 cosAD AF FD AF FD AFD= + − ⋅ ⋅ ∠ 8FD = 1FD = C DF E PD CE PDF∆ / /CE PF CE ⊄ PAB PF ⊂ PAB / /CE PAB C BC x ABCD C BC y CP z C xyz− ( )0PC t t= > ( )0,0,0C ( )0,0,P t ( )2, 3,0A − ( )2,0,0B − ( )2,2 3,0D ( )2, 3,PA t= − − ( )2,0,PB t= − − ( )2,2 3,PD t= − ( )0,0,CP t= PAB ( ), ,x y z=m 2 3 0, 2 0, x y tz x tz − + − = − − = x t= 0y = 2z = − ( ),0, 2m t= − PCD ( )1 1 1, ,n x y z= 1 1 1 1 2 2 3 0, 0, x y tz tz  + − = = 1 3x = 1 1y = − 1 0z = ( )3, 1,0n = − 2 3 2cos , 22 4 tm n t = = + 2 2t = 2 2=PC【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了向量法求解二面角的应用，属于中档题. 21. 是圆 外一动点， 到圆 上点的最短距离等于 到直线 的距 离. （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）点 是直线 上的动点，过点 引曲线 的两条切线，两条切线分别与 轴交于 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点. 【答案】(1) .(2) 证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设 ，由题意得到 ，去绝对值整理得到 的轨迹 的 方程. （2）设直线为 ，与抛物线联立，求得 ， ， 写出以 为直径的圆，令 ，解得 ，得到定点坐标. 【详解】（1）设 ， 到圆 的最短距离 ， 则有 ，整理得 . 当 时， 不满足 在圆外，舍去； 当 时， . 综上所述， 的轨迹 的方程为 . （2）设 ，将过点 且与曲线 相切的直线设为 ， P 2 2( 2) 1x y− + = P M P 1x = − P C Q 2x = − Q C y ,A B AB 2 8y x= ( ),P x y ( )2 22 1 1x y x− + − = + P C ( )( )2 0y m k x k− = + ≠ ( )10,2A k m+ ( )20,2B k m+ AB 0y = 2x = ± ( ),P x y P M ( )2 22 1d x y= − + − ( )2 22 1 1x y x− + − = + 2 6 2 2 1y x x= − + + 1x ≤ − 2 4 4y x= − P 1x > − 2 8y x= P C 2 8y x= ( )2,Q m− Q C ( )( )2 0y m k x k− = + ≠联立方程得 整理得 ，则 . 记关于 的方程的两个解为 ， ，则 ， . 将 代入 ，得 ， ， 则以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 . 将方程 化简得 ， 令 ，解得 ，故以 为直径的圆恒过定点 和 . 【点睛】本题考查了动点的轨迹问题，考查了韦达定理的应用，考查了运算能力与逻辑推理 能力，属于中档题. 22.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若曲线 在点 处的切线斜率为 ，证明: . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导函数，分当 和 ，求解 和 的 x 的范围，得到 的 单调性； （2）先证明 ，再构造函数 证明 ，从而可 证明结论. 【详解】（1） . 当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增； 当 时，令 ，则 或 ， 令 ，则 . ( ) 2 2 , 8 , y m k x y x  − = +  = 2 8 16 8 0ky y k m− + + = 22 2 0k mk∆ = + − = k 1k 2k 1 2 2 mk k+ = − 1 2 1k k× = - 0x = ( )2y m k x− = + ( )10,2A k m+ ( )20,2B k m+ AB 0, 2 m     1 2k k− ( )2 22 1 22 mx y k k + − = −   2 2 4x y my+ − = 0y = 2x = ± AB ( )2,0 ( )2,0− 2( ) ( )xf x e x a= + ( )f x ( )y f x= (1, (1))f 2e ( ) 2 lnf x e x≥ 1a ≥ 1a < ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )f x 1 lnx x− ≥ ( ) ( ) ( )2 1 2 1xh x e x e x= − − − ( ) 0h x > ( ) ( )2 2xf x e x x a′ = + + 1a ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R 1a < ( ) 0f x′ > 1 1x a> − + − 1 1x a< − − − ( ) 0f x′ < 1 1 1 1a x a− − − < < − + −所以 在 和 上单调递增， 在 上单调递减. 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减. （2）由 ，解得 ，所以 . 令 ， ，则 . 令 ，得 ；令 ，得 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以 恒成立，即 . 设 ，令 ， 则 . 当 时， 恒成立，所以 ， 所以 ，即 ；当 时， ； 当 时， 恒成立，所以 ，所以 ， 即 综上， ，即 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不 等式的证明方法，是一道中档题． . . ( )f x ( ), 1 1 a−∞ − − − ( )1 1 ,a− + − +∞ ( )1 1 , 1 1a a− − − − + − 1a ≥ ( )f x R 1a < ( )f x ( ), 1 1 a−∞ − − − ( )1 1 ,a− + − +∞ ( )1 1 , 1 1a a− − − − + − ( ) ( )1 1 2 2f e a e′ = + + = 1a = − ( ) ( )2 1xf x e x= − ( ) 1 lng x x x= − − ( )0,x∈ +∞ ( ) 1 11 xg x x x −′ = − = ( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< < ( )g x ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 0g x ≥ 1 lnx x− ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 2x xh x e x e x x e x e = − − − = − + −  ( ) ( )1 2xF x e x e= + − ( ) ( )2xF x e x′ = + 0 1x< < ( ) 0F x′ > ( ) ( )1 0F x F< = ( ) 0h x > ( ) ( )2 1 2 1xe x e x− > − 1x = ( ) ( ) ( )21 1 2 1 0xh e x e x= − − − = 1x > ( ) 0F x′ > ( ) ( )1 0F x F> = ( ) 0h x > ( ) ( )2 1 2 1xe x e x− ≥ − ( ) ( )2 1 2 1 2 lnxe x e x e x− ≥ − ≥ ( ) 2 lnf x e x≥