数学试题
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 集合 A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则 A∩B＝________．
2. 已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，且满足 iz＝9＋i(其中 i 为虚数单位)，则 a＋b＝
________．
3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用
时为 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二(4)班全体同学中午用
餐平均用时为________分钟．
4. 函数 f(x)＝(a－1)x－3(a＞1，a≠2)过定点________．
5.已知等差数列{an}(公差不为 0)，其中 a1，a2，a6 成等比数列，则这个等比数列的公比
为________．
6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道做答，小李会做
其中的 3 道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为________．
7. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，点 E 为 BC 的中点，则点 A 到平面
A1DE 的距离是________．
(第 7 题)
(第 8 题)
8. 如图所示的流程图中，输出 n 的值为________．
9. 圆 C ： (x ＋ 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 关 于 直 线 y ＝ 2x － 1 对 称 的 圆 的 方 程 为
________________．
10.已知正方形 ABCD 的边长为 2，圆 O 内切于正方形 ABCD，MN 为圆 O 的一条动直径，点
P 为正方形 ABCD 边界上任一点， 则PM→
·PN→
的取值范围是________．
11. 双曲线 C：
x2
4 －
y2
3 ＝1 的左右顶点为 A，B，以 AB 为直径作圆 O，P 为双曲线右支上不
同于顶点 B 的任一点，连结 PA 交圆 O 于点 Q，设直线 PB，QB 的斜率分别为 k 1，k2.若 k1＝
λk2，则 λ＝________．12. 若对于任意的正数 a，b，不等式(2ab＋a2)k≤4b2＋4ab＋3a2 恒成立，则 k 的最大值
为________．
13. 在直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠BAC＞45°，点 D 在线段 BC 上，且 CD＝
1
3 CB.
若 tan∠DAB＝
1
2，则∠BAC 的正切值为________．
14.已知函数 f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx＋9 在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数 k 的
取值范围是________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量m＝(2a－ 3b， 3c)，向量 n＝
(cos B，cos C)，且 m∥n.
(1) 求角 C 的大小；
(2) 求 y＝sin A＋ 3sin(B－
π
3 )的最大值．
16. (本小题满分 14 分)
在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，O 为其中心，△PAD 为锐角三角形，且平
面 PAD⊥底面 ABCD，点 E 为 PD 的中点，CD⊥DP.求证：
(1) OE∥平面 PAB；
(2) CD⊥PA.17. (本小题满分 14 分)
已知椭圆 C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，焦距为 4，且椭圆过点(2，
5
3)，过点 F2 且不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R，直
线 PR 交 x 轴于点 M.
(1) 求△PF1Q 的周长；
(2) 求△PF1M 面积的最大值．
18. (本小题满分 16 分)
一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一
个无盖长方体发酵池，其底面为长方形 ABCD(如图所示)，其中 AD≥AB.结合现有的生产规模，
设定修建的发酵池容积为 450 m3，深 2 m．若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150
元，发酵池造价总费用不超过 65 400 元．
(1) 求发酵池 AD 边长的范围；
(2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 m 和 b m 的走道(b 为常数)．问：
发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19. (本小题满分 16 分)
已知{an}，{bn}均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a1＝
1
2，b1＝1，b2＝2，当
n≥2，n∈N*时，Sn－1＝1－2an，bn＝
2（T－T）
bn＋1＋bn－1－2Tn－1.
(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2) 设 cn＝
（bn＋2）an
b＋bn ，求数列{cn}的前 n 项和 Pn.
20. (本小题满分 16 分)
设函数 f(x)＝ln x－ax，a∈R，a≠0.
(1) 求函数 f(x)的单调区间；
(2) 若函数 f(x)＝0 有两个零点 x1，x2(x1＜x2)．
(Ⅰ) 求 a 的取值范围；
(Ⅱ) 求证：x1·x2 随着
x2
x1的增大而增大．
数学附加题
(满分 40 分，考试时间 30 分钟)
21. (本小题满分 10 分)
已知 a，b∈R，矩阵 A＝[a b
c d ].若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为[1
1 ]，点
P(－2，1)在 A 对应的变换作用下得到点 P′(－1，2)，求矩阵 A.
22.(本小题满分 10 分)
已知曲线 C1：{x＝4cos θ，
y＝4sin θ (其中 θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρcos(θ－
π
3 )＝2 3.设曲线 C1 与曲线 C2 交于
A，B 两点，求 AB 的长．23. (本小题满分 10 分)
如图，矩形 ABCD 所在的平面垂直于平面 AEB，点 O 为 AB 的中点， ∠AEB＝90°，∠EAB＝
30°，AB＝2 3，AD＝3.
(1) 求异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值；
(2) 求二面角 ADEC 的正弦值．
24.(本小题满分 10 分)
对于任意的 x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：ex－1>
xn
n！.数学参考答案及评分标准
1. {1，3} 2. －8 3.
15
2 4. (0，－2) 5. 4 6.
1
2 7.
6
3 8. 4 9. (x－3)2＋y2
＝4 10. [0，1]
11. －
3
4 12. 2 2 13. 3 14. (－
26
3 ，－8)
15. 解：(1) ∵ m∥n，
∴ (2a－ 3b)cos C－ 3ccos B＝0.(2 分)
由正弦定理可得 2sin Acos C－ 3sin Bcos C－ 3sin Ccos B＝0，(4 分)
即 2sin Acos C＝ 3sin(B＋C)＝ 3sin A．(6 分)
又 A 为△ABC 的内角，∴ sin A≠0，∴ cos C＝
3
2 .
又 C 为△ABC 的内角，故 C＝
π
6 .(8 分)
(2) y＝sin A＋ 3sin(B－
π
3 )＝sin(B＋
π
6 )＋ 3sin(B－
π
3 )(10 分)
＝
1
2cos B＋
3
2 sin B＋
3
2 sin B－
3
2cos B＝ 3sin B－cos B＝2sin(B－
π
6 )，(12 分)
当 B＝
2π
3 时，y 的最大值为 2.(14 分)
16. 证明：(1) 连结 BD，因为底面是平行四边形，故 BD 经过 O 点，且点 O 为 BD 的中
点．
又点 E 为 PD 的中点，所以 OE∥PB.(4 分)
因为 OE⊄平面 PAB，PB⊂平面 PAB，
所以 OE∥平面 PAB.(6 分)
(2) 在平面 PAD 内作 PH⊥AD，由于△PAD 为锐角三角形，
设 PH∩AD＝H.
因为平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面 PAD，
所以 PH⊥平面 ABCD.(8 分)
又 CD⊂平面 ABCD，所以 PH⊥CD.(10 分)
而 CD⊥DP，PH∩PD＝P，PH，PD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD.(12 分)
而 PA⊂平面 PAD，则 CD⊥PA.(14 分)
17. 解：(1) 由椭圆的焦距为 4，则 c＝2，从而 a2－b2＝4.
又椭圆过点(2，
5
3)，所以
4
a2＋
25
9b2＝1，即 36b2＋25a2＝9a2b2，
消去 b，得 9a4－97a2＋144＝0，解得 a2＝9 或 a2＝
16
9 (舍去)，所以 a＝3.(4 分)
则△PF1Q 的周长为 4a＝12.(6 分)
(2) 由(1)得椭圆方程为
x2
9 ＋
y2
5 ＝1，F2(2，0)．
设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则 R(x2，－y2)，
直线 PR 的方程为 y－y1＝
y1＋y2
x1－x2(x－x1)，
令 y＝0，则－y1＝
y1＋y2
x1－x2(x－x1)，x＝
y1（x2－x1）
y1＋y2 ＋x1，
所以 m＝
y1（x2－x1）
y1＋y2 ＋x1＝
y1x2＋y2x1
y1＋y2 ＝
2x1x2－2（x1＋x2）
x1＋x2－4 .(8 分)
将直线 l 的方程与椭圆方程联立，并消去 y，得(5＋9k2)x2－36k2x＋36k2－45＝0，
则 x1＋x2＝
36k2
5＋9k2，x1x2＝
36k2－45
5＋9k2 ，(10 分)
从而 m＝
2 ×
36k2－45
5＋9k2 －2 ×
36k2
5＋9k2
36k2
5＋9k2－4
＝
－90
－20＝
9
2，(12 分)
S△PF1M＝
1
2F1M·|y1|＝
1
2×|9
2＋2 |·|y1|＝
13
4 |y1|≤
13 5
4 ，
所以△PF1M 面积的最大值为
13 5
4 .(14 分)
18. 解：设发酵池 AD 边长为 x m，则另一边长为
225
x m，且 x≥
225
x ，即 x≥15.(2 分)
(1) 225×200＋4(x＋
225
x )×150≤65 400，(4 分)
化简得 x2－34x＋225≤0，解得 9≤x≤25，(6 分)
所以发酵池 AD 边长的范围是[15，25]．(8 分)
(2)发酵馆占地面积 S＝(x＋8)(
225
x ＋2b)＝225＋16b＋2bx＋
1 800
x ，15≤x≤25，(10 分)
令 S′＝2b－
1 800
x2 ＝
2bx2－1 800
x2 ＝0，解得 x＝
30
b，
(0，
30
b)
30
b (
30
b，＋∞)
S′ － 0 ＋
S 递减 递增
当
30
b＜15，即 b＞4 时，AD 边为 15 m，S 最小；(12 分)
当 15≤
30
b≤25，即
36
25≤b≤4 时，AD 边长为
30
b m，S 最小；(14 分)
当
30
b＞25 时，即 0＜b＜
36
25时，AD 边长为 25 m，S 最小．(16 分)
答：(1) 发酵池 AD 边长的范围是[15，25]．(2) 当 b＞4 时，AD 边长为 15 m，S 最小；当
36
25≤b≤4 时，AD 边长为
30
b m，S 最小；
当 0＜b＜
36
25时，AD 边长为 25 m，S 最小．
(注：答不写扣 2 分)
19. 解：(1) 因为当 n≥2，n∈N*时 Sn－1＝1－2an，所以 Sn＝1－2an＋1，
两式相减得 an＝2an－2an＋1，即 an＝2an＋1，所以
an＋1
an ＝
1
2.(2 分)
当 n＝2 时，a1＝1－2a2，所以 a2＝
1
4，所以
a2
a1＝
1
2，
所以数列{an}为等比数列，其通项公式为 an＝
1
2n.(4 分)
当 n≥2，n∈N*，bn＝
2（T－T）
bn＋1＋bn－1－2Tn－1，所以(bn＋2Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T2n－T 2n－1)，
所以(Tn＋Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T2n－T 2n－1)．
因为 Tn＋Tn－1＞0，所以 bn＋1＋bn－1＝2(Tn－Tn－1)＝2bn，(6 分)
所以数列{bn}为等差数列，且 b1＝1，b2＝2，所以数列{bn}的通项公式为 bn＝n.(8 分)
(2) 因为 cn＝
bn＋2
b＋bnan＝
n＋2
（n2＋n）·2n＝
1
n·2n－1－
1
（n＋1）·2n，(12 分)
所以 Pn＝(
1
1 × 1－
1
2 × 2)＋(
1
2 × 2－
1
3 × 22)＋…＋[ 1
n·2n－1－
1
（n＋1）·2n]＝1－
1
（n＋1）·2n，
即 Pn＝1－
1
（n＋1）·2n.(16 分)
20. (1) 解：因为 f′(x)＝
1
x－a＝
1－ax
x ，x＞0，
当 a＜0 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2 分)
当 a＞0 时，x∈(0，
1
a)，f′(x)＞0，x∈(
1
a，＋∞)，f′(x)＜0，
所以 f(x)在(0，
1
a)上单调递增，在(
1
a，＋∞)上单调递减．
综上，当 a＜0 时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间；
当 a＞0 时，f(x)的单调递增区间为(0，
1
a)，单调递减区间为(
1
a，＋∞)．(4 分)
(2) (Ⅰ) 解：由(1)可知：
当 a＜0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数 f(x)至多有一个零点，不符合；(5 分)
当 a＞0 时，f(
1
a)＝－ln a－1，
①若 f(
1
a)＝－lna－1＜0，即 a＞
1
e时，f(x)＜0 恒成立，所以函数 f(x)无零点，不符合；
② 若 f(
1
a)＝－ln a－1＝0，即 a＝
1
e时，f(x)只有一个零点，不符合；③ 若 f(
1
a)＝－ln a－1＞0，即 0＜a＜
1
e时，此时
1
a＞e.
f(1)＝－a＜0，所以 f(x)在(0，
1
a)上只有一个零点，(8 分)
f(
1
a2)＝2ln
1
a－
1
a，设
1
a＝t＞e，则 g(t)＝2ln t－t，
因为 g′(t)＝
2
t－1＝
2－t
t ＜0，g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e＜0，
即 f(
1
a2)＜0，
所以 f(x)在(
1
a，
1
a2)上只有一个零点，(9 分)
即 0＜a＜
1
e时，f(x)有两个零点，函数有两个零点．
综上，0＜a＜
1
e时，函数有两个零点．(10 分)
(Ⅱ) 证明： 因为函数 f(x)有两个零点 x1，x2，
所以{ln x1＝ax1，
ln x2＝ax2 ⇒{ln（x1x2）＝a（x1＋x2），
ln
x2
x1＝a（x2－x1），
两式相比可得 ln(x1x2)＝
（x2＋x1）ln
x2
x1
（x2－x1） .(12 分)
令
x2
x1＝t(t＞1)，则设 ln(x1x2)＝
（t＋1）ln t
（t－1） ＝m(t)，m′(t)＝
t－
1
t－2ln t
（t－1）2 .
设 φ(t)＝t－
1
t－2ln t，φ′(t)＝1＋
1
t2－
2
t＝
t2－2t＋1
t2 ＞0，
所以 φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14 分)
即 m′(t)＞0，m(t)随着 t 的增大而增大，
所以 ln(x1x2)随着
x2
x1的增大而增大．
又 e＞1，即 x1·x2 随着
x2
x1的增大而增大．(16 分)数学附加题参考答案及评分标准
21. 解：由题意得[ a b
c d ][1
1 ]＝5[1
1 ]，可得{a＋b＝5，
c＋d＝5. (2 分)
又[a b
c d ][－2
1 ]＝[－1
2 ]，可得{－2a＋b＝－1，
－2c＋d＝2， (4 分)
解得 a＝2，b＝3，c＝1，d＝4，(8 分)
∴ A＝[ 2 3
1 4 ].(10 分)
22. 解：由 ρcos(θ－
π
3 )＝2 3可得 ρ(cos θcos
π
3 ＋sin θsin
π
3 )＝2 3，
即曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋ 3y－4 3＝0；(4 分)
曲线 C1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝16，(6 分)
所以圆心到直线的距离为 d＝
4 3
2 ＝2 3，(8 分)
所以 AB＝2 16－12＝4.(10 分)
23. 解：∵ AB＝2 3，∠EAB＝30°，∠AEB＝90°，
∴ EB＝ 3，AE＝3.
以点 E 为坐标原点，EB 所在直线为 x 轴，EA 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，
则 E(0，0，0)，A(0，3，0)，B( 3，0，0)，C( 3，0，3)，D(0，3，3)，O(
3
2 ，
3
2，0)，
(1) OC→
＝(
3
2 ，－
3
2，3)，DE→
＝(0，－3，－3)，
∴ |OC→
|＝2 3，|DE→
|＝3 2，
∴ OC→
·DE→
＝
9
2－9＝－
9
2，
∴ cos〈OC→
，DE→
〉＝
OC→
·DE→
|OC→
||DE→
|
＝
－
9
2
2 3 × 3 2＝－
6
8 ，(2 分)
∴ 异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值
6
8 .(4 分)
(2) 设平面 DCE 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，CE→
＝(－ 3，0，－3)，则{m·DC→
＝ 3x－3y＝0，
m·CE→
＝－ 3x－3z＝0，
取 x＝ 3，得 m＝( 3，1，－1)．(6 分)
平面 EAD 的一个法向量 n＝(1，0，0)，(8 分)
∴ cos〈m，n〉＝
m·n
|m||n|＝
3
5 × 1＝
15
5 ，
∴ sin〈m，n〉＝
10
5 ，
∴ 二面角 ADEC 的正弦值为
10
5 .(10 分)
24. 证明：① 当 n＝1 时，只需证 ex－1＞x，设 f(x)＝ex－1－x(x＞1)，则 f(1)＝0.
而 x＞1 时，f′(x)＝ex－1－1＞0，故 f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2 分)
因此 x＞1 时，f(x)＞0，即 ex－1＞x.(4 分)
② 假设 n＝k 时不等式成立，即 ex－1＞
xk
k！，
则当 n＝k＋1 时，设 h(x)＝ex－1－
xk＋1
（k＋1）！，(6 分)
所以 h′(x)＝ex－1－
（k＋1）xk
（k＋1）！＝ex－1－
xk
k！＞0，
故 h(x)＝ex－1－
xk＋1
（k＋1）！在(1，＋∞)上单调递增．
又 h(1)＝1－
1
（k＋1）！＞0，
则 h(x)＝ex－1－
xk＋1
（k＋1）！＞0，即 ex－1＞
xk＋1
（k＋1）！，n＝k＋1 时也成立．
综上，对任意的 x＞1，n∈N*，都有 ex－1＞
xn
n！.(10 分)
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