宁夏2020届高三数学（文）第五次月考试题（Word版带解析）

2020 届高三年级第五次月考 文科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据集合交集和补集的定义求解即可． 【详解】解： ， ， ， 故选： 【点睛】本题主要考查集合的基本运算定义，属于基础题． 2.已知 是 的共轭复数，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先利用复数的除法运算法则求出 的值，再利用共轭复数的定义求出 ，从而确定 ． {0,1,2,3,4,5,6,7,8}U = {1,3,4,6}A = {0,1,2,5,7,8}B = ( )UA C B = { }3 4 6，， { }1 3 6，， { }3 4 5，， { }1 4 6，， {0,1,2,3,4,5,6,7,8}U = {1,3,4,6}A = {0,1,2,5,7,8}B = { }3,4,6UC B∴ = ( ) { }3,4,6UA C B∴ = A ( , )a bi a b+ ∈R 1 i i+ | |a bi+ = 1 2 2 2 2 1 i i+ a bi+ | i |a b+【详解】解： 又 是 的共轭复数， 故选： 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，以及复数模的 计算，属于基础题． 3.下列说法中，正确的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题 B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ” C. 命题“ 且 ”为假命题，则命题“ ”和命题“ ”均为假命题 D. 已知 ，则“ 是 ”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 写出命题的逆命题，判断真假即可；利用特称命题的否定是全称命题写出结果判断真假即可； 利用且命题判断真假即可；利用充要条件的判定方法判断即可． 【 详 解 】 解 ： 对 于 ， 命 题 “ 若 ， 则 ” 的 逆 命 题 是 “ 若 ， 则 ”由于当 时， ；故 是假命题； 对于 ，命题“ ， ”的否定是：“ ， ”符合命题的否定 性质， 正确； 对于 ， 命题“ 且 ”为假命题，则命题“ ”和命题“ ”至少有一个是假命题， 不正确； 对于 ， ，则“ ”不能推出“ ”，但是“ ”可以得到“ ”， 不正确； ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 i ii ii i i −= = ++ + − ( , )a bi a b+ ∈R 1 i i+ 1 1 2 2a bi i∴ + = − 2 21 1 2| | 2 2 2a bi    ∴ + = + − =       D 2 2am bm< a b< 0x R∃ ∈ 2 0 0 0x x− > x R∀ ∈ 2 0x x− ≤ p q p q x∈R 2x > 4x > A 2 2am bm< a b< a b< 2 2am bm< 0m = 2 2am bm= A B 0x R∃ ∈ 2 0 0 0x x− > x R∀ ∈ 2 0x x−  B∴ C p q p q C∴ D x∈R 2x > 4x > 4x > 2x > D∴故选： ． 【点睛】本题考查四种命题的逆否关系，命题的否定即命题的对立面．“全称量词”与“存 在量词”正好构成了意义相反的表述．如“对所有的 都成立”与“至少有一个 不成立”； “都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“特称命题”，“特称命题”的否 定一定是“全称命题”．考查充要条件的判断，属于基础题． 4.已知双曲线 的一个焦点与圆 的圆心重合，且双曲线的离心率等 于 ，则该双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵圆 化成标准方程，得 ，∴圆 的圆心 为 ， ∵ 双 曲 线 的 一 个 焦 点 为 ， 且 的 离 心 率 等 于 ， ∴ ，且 ，因此 ， ，可得该双曲线的标准方程 为 ，故选 A. 点睛：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着 重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题；将圆化成 标准方程得圆 的圆心为 ，可得 ，结合双曲线的离 心率算出 ，由平方关系得到 ，由此即可得出该双曲线的标准方程. 5.若 ，则 （ ） A. B. C. D. B … … 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 10 0x y x+ − = 5 2 2 15 20 x y− = 2 2 125 20 x y− = 2 2 120 5 x y− = 2 2 120 25 x y− = 2 2 10 0x y x+ − = 2 25 25x y− + =（ ） 2 2 10 0x y x+ − = 5 0F（ ，） 2 2 2 2 1x y a b − ＝ F 5 0（ ，） 5 2 2 5c a b= + = 5c a = 5a = 2 2 2 20b c a= − = 2 2 15 20 x y− = 2 2 10 0x y x+ − = F 5 0（ ，） 2 2 5c a b= + = a 2 20b = 3sin 2 3 πα + =   cos2 =α 1 3 2 3 1 3 − 2 3 −【答案】C 【解析】 分析】 由题意利用诱导公式求得 的值，再利用二倍角公式求得 的值． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角公式，属于基础题. 6.设 是公差不为 0 的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 = （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设公差为 d 则 解得 ，故选 A. 7.已知椭圆 ： 的离心率为 ，双曲线 的渐近线与椭圆 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【 cosα cos2α 3sin 2 3 πα + =   3cos 3 α∴ = 2 2 3 1cos2 2cos 1 2 13 3 α α  ∴ = − = × − = −    C { }na 1 2a = 1 3 6, ,a a a { }na n nS 2 7 4 4 n n+ 2 5 3 3 n n+ 2 3 2 4 n n+ 2n n+ C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 2 2 2x y− = C C 2 2 112 8 x y+ = 2 2 112 6 x y+ = 2 2 116 4 x y+ =【答案】D 【解析】 【分析】 确定双曲线 的渐近线方程为 ，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为 ，可得 在椭圆上，再结合椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程． 【详解】解：由题意，双曲线 的渐近线方程为 ， 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 ， 边长为 ， 在椭圆 上， ，① 椭圆的离心率为 ， ，则 ，② 联立①②解得： ， ． 椭圆方程为： ． 故选： ． 【点睛】本题考查椭圆及双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，考查学生的计算能力， 正确运用双曲线的性质是关键，属于中档题． 8.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 S 的值是 2 2 120 5 x y+ = 2 2 2x y− = y x= ± 16 ( )2,2 2 2 2x y− = y x= ±  16 ∴ 4 ( )2,2∴ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ∴ 2 2 4 4 1a b + =  3 2 ∴ 22 2 2 3 3 42 a b a  − = =    2 24a b= 2 20a = 2 5b = ∴ 2 2 120 5 x y+ = D 10n =A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序 框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果． 【详解】由程序框图可知，输入 ， ， ， 第一次运算： ， ； 第二次运算： ， ； 第三次运算： ， ； 第四次运算： ， ； 第五次运算： ， ； 第六次运算： ， ； 第七次运算： ， ； 第八次运算： ， ； 第九次运算： ， ； 第十次运算： ， ， 综上所述，输出的结果为 ，故选 B． 9 10 10 11 11 12 9 22 0S = 1i = 10n = 1 1 1 2 20 =S ´= + 2i = 1 1 2 1 2 2 3 3=S ´ ´= + 3i = 31 1 1 1 2 2 3 3 4 4+ =S ´ ´ ´= + 4i = 1 1 1 1 4 1 2 2 3 3 4 4 5 5+ + =S ´ ´ ´ ´= + 5i = 51 1 1 1 2 2 3 5 6 6+ + =S ´ ´ ´= +  6i = 61 1 1 1 2 2 3 6 7 7+ + =S ´ ´ ´= +  7i = 71 1 1 1 2 2 3 7 8 8+ + =S ´ ´ ´= +  8i = 81 1 1 1 2 2 3 8 9 9+ + =S ´ ´ ´= +  9i = 91 1 1 1 2 2 3 9 10 10+ + =S ´ ´ ´= +  10i = 101 1 1 1 2 2 3 10 11 11+ + =S ´ ´ ´= +  11=i 10 11【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使 用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻 辑推理、数学运算等核心素养，是中档题． 9.已知向量 在向量 方向上的投影为 3，则 与 的夹角为( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 用向量的投影计算公式表示出 在 方向上的投影,根据投影为 即可计算出 与 的夹角. 详解】设 ，由已知得 ，且 ， 所以 ， ． 故选 A. 【点睛】本题考查根据向量投影的计算公式求解向量的夹角，难度较易.一个向量 在另一个 向量 上的投影计算公式为： ，根据公式可知投影有正负之分. 10.已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ， 则 的外接圆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由余弦定理化简已知等式可求 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，进而利 用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 的值，利用圆的面积公式即可计算得解． 【详解】解： ， 由余弦定理可得： ，整理解得： ， 【 ( 3,3)a = ( ,1)b m= a b 30 60 30 150 60 120 a b 3 a b ,a b θ< >=  cos 3a θ = 9 3 2 3a = + = 3cos 2 θ = 30θ °= a b cos ,a a b< >   ABC , ,A B C , ,a b c 2 2cos 3C = cos cos 2b A a B+ ＝ ABC 3π 6π 9π 12π c sinC R cos cos 2b A a B+ = ∴ 2 2 2 2 2 2 22 2 b c a a c bb abc ac + − + −× + × = 2c =又 ，可得： ， 设三角形的外接圆的半径为 ，则 ，可得： ， 的外接圆的面积 ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在 解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11.已知直线 与抛物线 相交于 A、B 两点，F 为 C 的焦点，若 ,则 k=( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 将 y=k(x+2)代入 y2=8x,得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0. 设交点的横坐标分别为 xA,xB, 则 xA+xB= -4,① xA·xB=4. 又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2, |FA|=2|FB|, ∴2xB+4=xA+2. ∴xA=2xB+2.② ∴将②代入①得 xB= -2, xA= -4+2= -2. 故 xA·xB= =4.  2 2cos 3C = 2 1sin 1 3C cos C= − = ∴ R 22 61sin 3 cR C = = = 3R = ABC∆∴ 2 9S Rπ π= = C ( 2)( 0)y k x k= + ＞ 2: 8C y x= 2FA FB= 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2 8 k 2 8 3k 2 8 3k 2 8 3k 2 2 8 162 23 3k k   − −    解之得 k2= . 而 k>0,∴k= ,满足 Δ>0.故选 D. 【此处有视频，请去附件查看】 12.已知 为自然对数的底数，若对任意 ，总存在唯一的 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数 和 ，分别求出单调性和值域，即可得到关于 的不等式 ，解出即可． 【详解】等式可化为， ， 构造函数 在 单调递减，最小值为 ，最大值为 ， 构造函数 ，求导 ， 当 时， ，此时 单调递减，当 时， ，此时 单调递增，则 ， ， 的最小值为 ， 因为对任意 ，总存在唯一的 ，使得 成立， 则 ，即 . 故答案为 B. 8 9 2 2 3 e [ ]1,x e∈ [ ]1,1y∈ − 2ln 0yx y e a+ − = a [ ]1,e 11 ,ee  +   1 ,1 ee  +   11 , 1ee  + +   lny a x= − ( ) 2eyf y y= a 11 ea a e − − >  ≤ 2e lnyy a x= − lny a x= − [ ]1,e lne 1a a− = − ln1a a− = ( ) 2eyf y y= ( ) ( )2 2' 2 e e e 2y y yf y y y y y= + = + [ ]1,0y∈ − ( )' 0f y < ( )f y ( ]0,1y∈ ( )' 0f y > ( )f y ( ) 11 ef −− = ( )1 ef = ( )f y ( )0 0f = [ ]1,ex∈ [ ]1,1y∈ − 2ln e 0yx y a+ − = 11 ea a e − − >  ≤ 1e 1 ea− + < ≤【点睛】本题考查了函数与方程的综合问题，考查了函数的单调性在解决综合题目的运用， 考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知 是定义在 上的周期为 2 的偶函数，当 时， ，则 ______． 【答案】 . 【解析】 【分析】 利用函数的周期性和奇偶性得 ，由此能求出结果． 【详解】解： 是定义在 上的周期为 2 的偶函数， 当 时， ， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数的周期性和奇偶性等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题． 14.实数 满足 ，则 的最大值是_____________． 【答案】25. 【解析】 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 及其内部，再将目标函数 对应 的直线进行平移，可得当 ， 时， 取得最大值 25． 【详解】解：作出不等式组 表示的平面区域， 得到如图的 及其内部，其中 ， ， ( )f x R [ 2,0]x∈ − ( ) 2xf x = − (5)f = 1 2 − ( ) ( ) ( ) ( )5 3 1 1f f f f= = = − ( )f x R [ 2,0]x∈ − ( ) 2xf x = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 15 3 1 1 2 2f f f f −∴ = = = − = − = − 1 2 − ,x y 2 0 2 5 0 4 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + − ≥ 2z x y= + FGH∆ 2z x y= + 7x = 9y = z 2 0 2 5 0 4 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  + − ≥ FGH∆ (7,9)F (1,3)G (3,1)H设 ，将直线 进行平移， 当 经过点 时，目标函数 达到最大值 故答案为：25． 【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 的最大值，着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 15.过点 A(6,1)作直线与双曲线 x2-4y2=16 相交于两点 B,C,且 A 为线段 BC 的中点,则直线的方 程（表示为一般式）为_________. 【答案】3x-2y-16=0 【解析】 【分析】 解决圆锥曲线弦中点问题常采用设而不求的方法进行求解． 【详解】设 B、C 两点坐标分别是： 、 ,则直线 BC 的斜率 , 由线段中点坐标公式得： ， 把 B、C 两点坐标 、 分别代入方程 得： 相减得： ，把 代入化简得： ， ( , ) 2z F x y x y= = + : 2l z x y= + l F z ( )7,9 7 2 9 25z F∴ = = + × =最大值 2z x y= + ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 1 2 y y x x −= − 1 2 1 212 2x x y y+ = + = ( )1 1,x y ( )2 2,x y 2 24 16x y− = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 1 2 24 16, 4 16x y x y− = − = ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 24x x x x y y y y+ − = + − 1 2 1 212 2x x y y+ = + = 1 2 1 2 3 2 y y x x − =−因为所求直线过点 ，且斜率是 ，所以：其方程是： ， 化简得： 【点睛】圆锥曲线中的中点坐标问题是常考点，考生应加强此种题型训练 16.表面积为 的球面上有四点， 且 是边长为 的等边三角形，若平面 平面 ，则三棱锥 体积的最大值是__________． 【答案】 【解析】 ∵ ，故当 到面 的距离最大时，三棱锥 的体积最大，由图可知即当 ， 为 中点时，三棱锥 的体积最大，作 ， 面 ，连接 ，由 ，得 ，由于 ， 得 ，故 ， ，故 ， ， ， ，故答案为 . 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共 60 分） 17.已知函数 ． （1）求 的最大值并求取得最大值时 的集合； （2）记 的内角 、 、 的对边长分别为 ，若 ， ， ，求 的值． (6,1)A 3 2 31 ( 6)2y x− = − 3 2 16 0x y− − = 20π , , ,S A B C ABC∆ 2 3 SAB ⊥ ABC S ABC− 3 3 1 2 3 2 3 sin 60 3 32ABCS = × × × =  S ABC S ABC− SE AB⊥ E AB S ABC− OH SE⊥ OD ⊥ ABC DE 20S球 π= 5OS R= = 2 3AB = 3CE = 2 23CD CE= = 1OH DE= = 2 2 2SH SO OH= − = 1HE OD= = 3SE = 1 3 3 3 3 33S ABCV − = × × = 3 3 2( ) cos 2cos 13 2 xf x x π = − + −   ( )f x x ABC A B C , ,a b c ( ) 3f B = 1b = 3c = a【答案】（1）最大值为 ， ；（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）把 的解析式利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用 二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由 为任意实数，可得余弦函数的值域为 ， ，进而确定出 的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得到此时 的取值集合； （2）把 ， 代入第一问化简得到的解析式中，根据 为三角形的内角，利用 特殊角的三角函数值求出 的度数，再由 与 ，以及 的值，利用余弦定理即可求出 的值． 详解】解：（1） 当 ，即 时 ， 故取得最大值时 的集合为 （2）因为 ，所以 由 得 又因为 【 3 | 2 ,6x x k k z π π = + ∈   1a = 2a = ( )f x x [ 1− 1] ( )f x x x B= ( ) 3f B = B B b c cos B a 2( ) cos 2cos 13 2 xf x x π = − + −   2( ) cos cos sin sin 2cos 13 3 2 xf x x x π π∴ = + + − 1 3( ) cos sin cos2 2f x x x x∴ = + + 3 3( ) cos sin2 2f x x x∴ = + ( ) 3sin 3f x x π ∴ = +   2 ,3 2x k k Z π π π+ = + ∈ 6 2 ,x k k Z π π= + ∈ max( ) 3f x = x | 2 ,6x x k k Z π π = + ∈   ( ) 3f B = sin 13B π + =   0 B π< < 6B π= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + −所以 所以 或 【点睛】此题考查了余弦定理，两角差的余弦函数公式、二倍角公式，正弦函数的最值，以 及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题． 18.已知数列 满足 且 ． （1）证明数列 是等比数列； （2）设数列 满足 ， ，求数列 通项公式． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）要证数列 是等比数列，即证 等于同一个非零常数，根据递 推公式即可凑出. （2）由（1）可得 ，再利用累加法可求数列 的通项公式． 【详解】（1）∵ ∴ 所以 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 （2）由（1）可知 所以 因为 ，所以 的 2 3 2 0a a- + = 1a = 2a = { }na 1 1 2a = 1 3 1n na a+ = + 1 2na +   { }nb 1 1b = 1 1 2n n nb b a+ − = + { }nb 13 1 2 n nb − += 1 2na +   1 1 2 1 2 n n a a + + + ( )n N +Î 1 1 3n n nb b − + − = { }nb 1 3 1n na a+ = + 1 1 132 2n na a+  + = +   1 2na +   11 32 n na −+ = 1 13 2 n na −= − 1 1 2n n nb b a+ − = + 1 1 3n n nb b − + − =…… ， 所以 【点睛】本题考查待定系数法、累加法求数列的通项公式以及等比数列的前 项和公式，属于 基础题． 19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为正方形，△ 为等边三角形， 是 中点，平面 与棱 交于点 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求证： 平面 ； （III）记四棱锥 的体积为 ，四棱锥 的体积为 ，直接写出 的值. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 为正方形，可得 ．再由线面平行的判定可得 平面 .．再 0 2 1 3b b∴ − = 1 3 2 3b b− = 2 1 3n n nb b − −− = 2n ≥ 1 2 21 1 3 3 3n nb −− = + + + + 11 31 1 3 n nb −−∴ − = − 13 1 2 n nb − +∴ = n P ABCD− PAB ⊥ ABCD ABCD PAB E PB AED PC F / /AD EF PB ⊥ AEFD P AEFD− 1V P ABCD− 2V 1 2 V V 1 2 3 8 V V = ABCD / /AD BC / /AD PBC由面面平行的性质可得 ； （Ⅱ）由 为正方形，可得 ．结合面面垂直的性质可得 平面 ．从 而得到 .．再由已知证得 ．由线面垂直的判定可得 平面 ； （Ⅲ）由（Ⅰ）知， ，利用等积法把 用 表示，则 的值可求． 【详解】 （I）证明：因为正方形 ，所以 . 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ，平面 平面 ， 所以 . （II）证明：因为正方形 ，所以 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 因为 为等边三角形， 是 中点， 所以 . 因为 平面 ， 平面 ， ， 所以 平面 . （III）解：由（Ⅰ）知， 则 / /AD EF ABCD AD AB⊥ AD ⊥ PAB AD PB⊥ PB AE⊥ PB ⊥ AEFD 1 C AEFDV V −= 2V 1V 1 2 V V ABCD / /AD BC AD ⊄ PBC BC ⊂ PBC / /AD PBC AD ⊂ AEFD AEFD ∩ PBC EF= / /AD EF ABCD AD AB⊥ PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= AD ⊂ ABCD AD ⊥ PAB PB ⊂ PAB AD PB⊥ PAB∆ E PB PB AE⊥ AE ⊂ AEFD AD ⊂ AEFD AE AD A∩ = PB ⊥ AEFD 1 2 2 13 3C AEFD E ABC F ADC C AEFDV V V V V V， ＝ ，− − − −= = = 5 13BC AEFDV V−∴ ＝ ， 1 1 5 8 13 3P ABCDV V V V− +＝ ＝ ， ． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定和性质，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力 与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20.在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 ， 设动点 P 的轨迹为 E． （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设过 F 的直线交轨迹 E 的弦为 AB，过原点的直线交轨迹 E 的弦为 CD，若 ，求 证： 为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设点 ，根据动点 P 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 ， 列出等式，再化简即可得出答案. （2）设出直线 AB 与直线 CD，联立直线与椭圆，即可得出 、 的值，即可求出 . 【详解】解：（1）设点 ，由题意得 ，将两边平方，并简化得 ， 故轨迹 的方程是 ． （2）证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，易求 ， ， 1 2 3 8 V V ∴ ＝ (1,0)F 4x = 1 2 CD AB 2| | | | CD AB 2 2 14 3 x y+ = ( ),P x y (1,0)F 4x = 1 2 | |AB | |CD 2| | 4| | CD AB = ( ),P x y 2 2( 1) 1 | 4 | 2 x y x − + =− 2 2 14 3 x y+ = 1C 2 2 14 3 x y+ = | | 3AB = | | 2 3CD =则 ． ②当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的斜率为 k，依题意 ， 则直线 AB 的方程为 ，直线 CD 的方程为 ． 设 ， ， ， ， 由 得 ． 则 ， ， 由 整理得 ，则 ． ． ∴ ． 综合①②知： 为定值． 2| | 4| | CD AB = 0k ≠ ( 1)y k x= − y kx= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y 2 2 14 3 ( 1) x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k −= + 2 1 2| | 1AB k x x= + − 22 2 2 2 2 8 4 121 43 4 3 4 k kk k k    −= + ⋅ −   + +    ( )2 2 12 1 3 4 k k + = + 2 2 14 3 x y y kx  + =  = 2 2 12 3 4x k = + 3 4 2 4 3 3 4 x x k − = + ( )2 2 3 4 2 3 1 | | 1 4 3 4 k CD k x x k + = + − = + ( ) ( ) 22 2 2 2 48 1| | 3 4 4| | 3 4 12 1 kCD k AB k k + += ⋅ =+ + 2| | 4| | CD AB =【点睛】本题考查椭圆的标准方程,椭圆中的定值问题,一般关于直线与双曲线相交的定值或定 点问题，都需设出直线，联立直线与双曲线，利用韦达定理，利用参数将将所求值表示出来, 化简得即可得出答案.本类问题一般计算量较大.需要注意的是：在设直线时需考虑直线斜率不 存在的情况.属于中档题. 21.设 ，其中 ，函数 在点 处的切线方程为 ，其中 . （1）求 和 并证明函数 有且仅有一个零点； （2）当 时， 恒成立，求最小的整数 的值. 【答案】（1） ，证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导函数，根据函数 在点 处的切线方程为 ， 可得 ， 即可求得 的值，在根据函数的单调性以及特殊点的函 数值，可判断函数只有一个零点. （2）当 时， ，由此 ；猜想 最小值为 ，再证明 ，在 时恒成立，即可求得. 【详解】解：（1） 所以定义域为 的 ( ) lnx af x b xe = − ,a b∈R ( )f x ( )( )1, 1f 1 2( 1) 1y xe e = − + + + 2.7182e ≈ a b ( )f x ( )0,x∈ +∞ ( ) kf x ex < k 1a b= = 2k = ( )f x ( )( )1, 1f 1 2( 1) 1y xe e = − + + + ( ) 11 1f e  = − + ′  1(1)f e = ,a b 1x = 1(1) kf e e = < 2k ≥ k 2 2( )f x ex < (0, )x∈ +∞ ( ) lnx af x b xe = − (0, )x∈ +∞， 又因为函数 在点 处的切线方程为 所以 当 时， ，即 ，解得 ，函数 在 上单调递减 由于 ， ，则函数 有且仅有一个零点． （2）一方面，当 时， ，由此 ； 所以猜想 的最小值为 ， 下证：当 时， ，在 时恒成立， 记函数 ， ， 在 上单调递增，在 上单调递减 ； 记函数 ， ， 在 上单调减，在 上单调减 ，即 ； ，成立 又因为 和 不能同时在同一处取到最大值， 所以当 时， 恒成立 所以最小整数 ． ( ) x a bf x e x ′∴ = − − ( )f x ( )( )1, 1f 1 2( 1) 1y xe e = − + + + ' 1(1) ( 1)af be e = − − = − + 1x = 1y e = 1(1) af e e = = 1a b= = 1( ) lnxf x xe ∴ = − ' 1 1( ) 0xf x e x ∴ = − − < ( )f x (0, )x∈ +∞ 1(1) 0f e = > 1( ) 1 0ef e e = − < ( )f x 1x = 1(1) kf e e = < 2k ≥ k 2 2k = 2( )f x ex < (0, )x∈ +∞ 2( )f x ex ( ,1)−∞ 1 2x≤ < ( 1) (2 )( 1) 0x x x x− + − − < 1x 1a ≥ 1a < 2( ), 1( ) 2( )(1 ), x a a xf x x a x x a − ≤