松江二中高二期中数学卷
一.填空题
1.行列式 中，元素 的代数余子式的值为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据行列式的展开 A21 [2×（﹣2）﹣1×1]＝5 计算可得结果．
【详解】行列式 中元素 3 的代数余子式的 A21 [2×（﹣2）﹣1×1]
＝5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查行列式的展开，考查行列式的展开式，考查计算能力，属于基础题．
2.已知线性方程组的增广矩阵为 ，若该线性方程组的解为 ，则实数
________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得 ，把 x＝﹣1，y＝2，能求出 a 的值．
【详解】∵线性方程组的增广矩阵为 ，该线性方程组的解为 ，
∴ ，
把 x＝﹣1，y＝2，代入得﹣a+6＝4，解得 a＝2．
故答案为：2．
4 2 1
3 5 4
1 1 2
−
− −
3−
5
2 1
1 2
= − = −−
1 4 3
3 0 9
2 1 2
−
−
2 1
1 2
= − = −−
1 1 3
3 4a
− −
1
2
−
a =
2
3
3 4
x y
ax y
− = −
+ =
1 1 3
3 4a
− −
1
2
−
3
3 4
x y
ax y
− = −
+ =【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的
合理运用．
3.若实数 , 满足 ，则目标函数 的最大值为_____________.
【答案】10
【解析】
由线性约束条件 ，得可行域如图：
联立 ，得
由图象知：当函数 的图象过点 时， 取得最大值为 10
故答案为 10
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的
一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）
找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通
过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4.已知定点 和曲线 上的动点 ，则线段 中点 的轨迹方程是________
【答案】
【解析】
【分析】
设出 P，B 的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用动点 B 在圆 x2+y2＝1 上运动，可得轨迹方
程．
x y
1 0
3 0
4
x y
x y
y
− + ≤
+ − ≥
≤
2z x y= +
1 0
3 0
4
x y
x y
y
− + ≤
+ − ≥
≤
4{ 1 0
y
x y
=
− + = (3,4)A
2z x y= + (3,4)A 2z x y= +
(4,0)A 2 2 1x y+ = B AB P
2 2 1( 2) 4x y− + =【详解】设线段 AB 中点为 P（x，y），B（m，n），则 m＝2x﹣4，n＝2y
∵动点 B 在圆 x2+y2＝1 上运动，
∴m2+n2＝1，
∴（2x﹣4）2+（2y）2＝1，
∴（x﹣2）2+y2＝ ．
故答案为：（x﹣2）2+y2＝ ．
【点睛】本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键．
5.执行下图的程序框图，如果输入 ，则输出的 值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意， ．
考点：程序框图．
6.已知点 是直线 上的任意一点，则 的最小值为
________
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得 的最小值是点（1，﹣2）到直线 2x+y+5＝0 的距离，由此能求
出结果．
1
4
1
4
6i = S
21
0 1 2 3 4 5 6 21S = + + + + + + =
( , )P m n 2 5 0x y+ + = 2 2( 1) ( 2)m n− + +
5
( ) ( )2 21 2m n− + +【详解】∵点 P（m，n）是直线 2x+y+5＝0 上的任意一点，
∴ 的最小值是点（1，﹣2）到直线 2x+y+5＝0 的距离，
∴ 的最小值 d ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式的最小值的求法，是基础题，考查了点到直线的距离公式的应用．
7.已知点 在直线 上，且点 到 、 两点的距离相等，则点
的坐标是__________.
【答案】（1,2）
【解析】
【分析】
由二项展开式性质得点 P 在直线 4x+y﹣6＝0，设 P（a，﹣4a+6），由点 P 到 A（2，5）、B（4，
3）两点的距离相等，能求出点 P 的坐标．
【详解】解：∵点 P 在直线 =0 上，
∴点 P 在直线 4x+y﹣6＝0，
设 P（a，﹣4a+6），
∵点 P 到 A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，
∴ ，
解得 a＝1，
∴点 P 的坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
8.若直线 过点 ，且与直线 的夹角为 ，则直线 的方程是
______．
【答案】 ，或
( ) ( )2 21 2m n− + +
( ) ( )2 21 2m n− + + 2 2 5 5
4 1
− += =
+
5
P
6 01 4
x y − =− P ( )2,5A ( )4,3B P
6
1 4
x y −
−
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a-2 + -4a+1 = a-4 + -4a+3
l ( )2, 3P − : 3 2 0− + =m x y 3
π
l
2x = − 3 1 0x y+ − =【解析】
【分析】
先求出直线 的倾斜角，再根据直线 和直线 夹角为 ，可得直线 的倾斜角，进而得到直
线 的斜率，从而求得直线 的方程．
【详解】 直线 过点 ，且与直线 的夹角为 ，
且直线 的斜率为 ，即直线 的倾斜角为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，或 ，
故直线 的斜率不存在，或直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 ，
故答案 ： 或
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，用点斜式求直线的方程，熟记两直线的夹角公
式即可，属于基础题型．
9.直线 与连接 A（4，5），B（-1，2）的线段相交，则 的取值范围是___．
【答案】 或
【解析】
【分析】
判断直线 恒过定点 P（0，-1），计算 PA、PB 斜率，再利用数形结合求 a 的取
值范围．
【详解】解：由直线 ax+y+1=0 的方程，判断直线恒过定点 P（0，-1），如图所示，
为
的
m l m 3
π
l
l l
l ( )2, 3P − 3 2 0m x y− + =： 3
π
m 1 3
33
= m
6
π
l θ
6 3 2
π π πθ = + = 5
6 3 6
π π πθ π = + − =
m m 5 3
6 6 3tan tan
π π= − = −
l 2x = − ( )33 23y x− = − +
l 2x = − 3 1 0x y+ − =
2x = − 3 1 0x y+ − =
1 0ax y+ + = a
3
2a ≤ − 3a ≥
0ax by c+ + =计算 ，
且 或 ，
则 或 ，
即实数 a 的取值范围是： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题．
10.如图，已知半圆 的直径 ， 是等边三角形，若点 是边 （包含端点
）上的动点，点 在弧 上，且满足 ，则 的最小值为
__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
将 向 量 转 化 为 ， 代 入 ， 将 所 求 向 量 的 数 量 积 转 化 为
, 表示 在 上的投影，由此可求得最小值.
【 详 解 】
，由数量积的几何意义可知，当 与 重合时， 在
上的投影最短，
5 1 3
4 0 2PAk
+= =−
2 1 31 0PBk
+= = −− −
PAk k≥ PBk k≤
PAa k≤− PBa k≥−
3
2a ≤ − 3a ≥
3
2a ≤ − 3a ≥
O 4AB = OAC∆ P AC
A C、 Q BC ⊥OQ OP OP BQ⋅
BQ BO OQ+ OP BQ ⋅ OP OA⋅
cos 2 cosOP OA OPθ θ= ⋅ ⋅ = ⋅ cosOP θ⋅ OP OA
( )OP BQ OP BO OQ⋅ = ⋅ + OP BO OP OA= ⋅ = ⋅
cos 2 cosOP OA OPθ θ= ⋅ ⋅ = ⋅ P C OP OA此时， ,故填 2.
【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，以及几何图形中向量问
题的求解.属于中档题.
11.直线 与直线 交于一点 ，且 的斜率为 ， 的斜率为 ，直线 、 与 轴围成一
个等腰三角形，则正实数 的所有可能的取值为 ．
【答案】 或 .
【解析】
设直线 与直线 的倾斜角为 ， ，因为 ，所以 ， 均为锐角，由于直线 、 与
轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：（1） 时， ，有
， 因 为 ， 解 得 ； （ 2 ） 时 ， ， 有
，因为 ，解得 .
考点：直线与直线的位置关系.
12.已知在平面直角坐标系中，依次连接点 得到折线
，若折线 所在的直线的斜率为 ，则数列 的前 项和
为__________．
【答案】
【解析】
分析：先由题意得到数列 的递推关系 ，然后根据累加法求
得数列的通项公式，再结合通项公式的特征选择求和的方法求解即可．
( )
min
2OP OA⋅ =
1l 2l P 1l 1
k 2l 2k 1l 2l x
k
2
4 2
1l 2l α β 0k > α β 1l 2l
x 2α β= tan tan 2α β=
2
1 4
1 4
k
k k
= − 0k > 2
4k = 2β α= tan tan 2β α=
2
2
2 11
kk
k
=
−
0k > 2k =
0 1 1 2 2(0,0), ( ,1), ( ,2), , ( , )n nP P x P x P x n⋅⋅⋅
0 1 2 nP PP P⋅⋅⋅ 1i iP P− 1
1 ( 1,2, , )2i i n− = ⋅⋅⋅ { }nx n
12 2n n+ − −
{ }nx 1
1 2 ( *, 2)n
n nx x n N n−
−− = ∈ ≥详解：由题意得直线 的斜率为 ，即 ，解得 ．
当 时，直线 斜率为 ，
即 ，
∴ ．
∴
．
又 满足上式，
∴ ．
∴数列 前 项和为 ．
点睛：本题将数列与解析几何综合在一起，考查数列的递推关系、数列通项公式和前 n 项和
的求法，解题的关键是根据题意，将其中直线斜率的问题转化为数列的问题，然后再结合数
列的相关知识求解．
二.选择题
13.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1 的曲线是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
的
的
0 1P P 1
1
1 1x
=
1 1x =
2n ≥ 1n nP P− 1
1 ( *)2n n N− ∈
1
1 1
( 1) 1 1
2n
n n n n
n n
x x x x −
− −
− − = =− −
1
1 2 ( *, 2)n
n nx x n N n−
−− = ∈ ≥
1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nx x x x x x x x− − −= − + − + + − +
1 22 2 2 1n n− −= + + + +
1 2
1 2
n−= −
2 1n= − ( *, 2)n N n∈ ≥
1 1x =
2 1( *)n
nx n N= − ∈
{ }nx n 2 3 12(1 2 )2 2 2 2 2 21 2
n
n n
nS n n n+−= + + + + − = − = − −−由题意可得 ，则 可化为分段函数 ，利用反比例函数的图象可得
结果.
【详解】由 ，可知 ，
，
利用反比例函数的图象以及函数的对称性可得方程 表示的曲线是 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查分段函数的图象，以及函数图象对称性的应用，属于简单题.
14.已知向量 和 的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据数量积的运算律直接展开 ，将向量的夹角与模代入数据，得到结果．
【详解】 ＝8+3 －18＝8+3×2×3× －
18＝－1，
故选 D.
【点睛】本题考查数量积的运算，属于基础题．
15.如图， ∥ ，点 在由射线 、线段 及 的延长线围成的阴影区域内（不
含边界），且 ，则满足条件的实数对 可以是（ ）
0x ≠ 1x y⋅ =
1 , 0
1 , 0
xxy
xx
>=
− = =
−
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