湖南省五市十校2019-2020高二数学上学期期中试题（Word版带解析）

湖南省五市十校 2019 年下学期高二期中考试试题 数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 ，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求 ，再求 ． 【详解】由已知得 ，所以 ，故选 C． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式 ，然后根据充分不必要条件即可判断. 【详解】由 ，则 ， 可知“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3.在等差数列 中, ，则 （ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 { } { } { }1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B= = =， ， CUB A { }1,6 { }1,7 { }6,7 { }1,6,7 U A UB A { }1,6,7UC A = UB C A∩ = {6,7} x∈R 0 2x< < 2 2 3 0x x− − < 2 2 3 0 1 3x x x− − < ⇒ − < < 2 2 3 0x x− − < 1 3x- < < 0 2x< < 2 2 3 0x x− − < { }na 1 3 52, 10a a a= + = 7a =试题分析：设等差数列 的公差为 ，由题设知， ，所以， 所以， 故选 B. 考点：等差数列通项公式. 4.已知向量 ＝(1，0)， ＝(-3，4)的夹角为 ，则 sin2 等于 (　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据向量夹角公式求出 的值，然后求出 ，最后根据二倍角正弦公式即可得出 结果. 【详解】 ， ∵ ， ∴ ， ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5.已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在半径为 的同一个球的球面上.则球的体积与圆 柱的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出圆柱的底面半 径为 ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. { }na d 12 6 10a d+ = 110 2 16 ad −= = 7 1 6 2 6 8a a d= + = + = a b θ θ 7 25 − 7 25 24 25 − 24 25 cosθ sinθ 3 3cos 1 5 5 a b a b θ ⋅= = − = −×⋅    0 θ π≤ ≤ 2 4sin 1 cos 5 θ θ= − = 24sin 2 2sin cos 25 θ θ θ= = − 2 2 4 3 9 16 3 4 16 9 r【详解】设圆柱的底面半径为 ，则 ， 所以圆柱的体积为 ， 又球的体积为 所以球的体积与圆柱的体积的比 故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6.以下四个命题： ①“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 ②“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 ③若 为假命题，则 ， 均为假命题 ④对于命题 ： ， ，则 为： ， 其中真命题的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】C 【解析】 【分析】 ①由原命题与逆否命题同真同假即可判断； ②由函数 在区间 上为增函数”，则 ，即可判断； ③由若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由 的定义即可判断出正误； 【详解】对于①，由于原命题“若 ，则 ” 真命题，即逆否命题也为真命题， 故①对； 对于②，“ ”是“函数 在区间 上为增函数”为真命题，但“函数 在区间 上为增函数”，则 ，故②对； 对于③，若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题即可，故③错； 为 r 2 22 1 3r = − = 2 1 ( 3) 2 6V π π= ⋅ × = 3 2 4 3223 3V = π× = π 2 1 32 163 6 9 V V π π= = x y= 2 2x y= 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ p q∧ p q p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > p q∧ p q p¬ x y= 2 2x y= 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > p q∧ p q对于④， 对于命题 ： ， ，由 的定义可知 ： ， ，故④对； 故选：C 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 7.已知椭圆 中心在原点，焦点 ， 在 轴上， 上的点到左焦点 的距离的最大值 为 ，过 的直线交 于 , 两点，且 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 依题意设椭圆 的方程为： ，由 ， 的周长为 ， 求得 、 ，即可得到所求的椭圆方程. 【详解】依题意设椭圆 的方程为： ， 上的点到左焦点 的距离的最大值为 ， ， 的周长为 ， ， ， 椭圆 方程为 故选：A 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，需掌握椭圆的定义，求出 ，属于中档题. 8.已知变量 、 之间的线性回归方程为 ，且变量 、 之间的一-组相关 的 的 p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ C 1F 2F x C 1F 6 1F C A B 2ABF∆ 16 C 2 2 116 12 x y+ = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 112 4 x y+ = 2 2 14 2 x y+ = C 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > 6a c+ = 2ABF∆ 4 16a = a b C 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > >  C 1F 6 6a c∴ + =  2ABF∆ 16 4 16a∴ = 4, 2, 2 3a c b∴ = = = ∴ C 2 2 116 12 x y+ = a x y 0.7 10.3y x= − + x y数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） A. 可以预测，当 时， B. C. 变量 、 之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点 【答案】B 【解析】 【分析】 将 的值代入回归直线方程可判断出 A 选项的正误；将 的坐标代入回归直线方程 可计算出实数 的值，可判断出 B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出 C 选项的正误；根据回归直线过点 可判断出 D 选项的正误. 【详解】对于 A 选项，当 时， ，A 选项正确； 对于 B 选项， ， ，将点 的坐标代入回 归直线方程得 ，解得 ，B 选项错误； 对于 C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量 、 之间呈负相关关系，C 选项正确； 对于 D 选项，由 B 选项可知，回归直线 必过点 ，D 选项正确.故选：B. 【点睛】本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考 查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 9.若命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 20x = 3.7y = − 4m = x y ( )9,4 20x = ( ),x y m ( ),x y 20x = 0.7 20 10.3 3.7y = − × + = − 6 8 10+12 92x + += = 6 3 2 11 4 4 m my + + + += = ( ),x y 11 0.7 9 10.3 44 m + = − × + = 5m = x y 0.7 10.3y x= − + ( )9,4 0x R∃ ∈ 2 0 02 1 0ax x+ + < a ( ]0,1 ( ),1−∞ [ )1,+∞ ( ],1−∞由一次函数和二次函数的图像和性质，可知 时，命题为真命题； 当 时，若命题“ ， ”是真命题，则 ， 最后综合结论即可得出选项. 【详解】当 时，命题“ ， ”是真命题； 当 时，命题“ ， ”是真命题； 当 时，若命题“ ， ”是真命题， 则 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围是 故选：B 【点睛】本题考查特称命题的真假，解题的关键是掌握一次函数与二次函数的图像和性质， 属于基础题. 10.古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前 262～公元前 190 年）的著作《圆锥曲线论》是古 代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k（k＞0， k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设 A（﹣3， 0），B（3，0），动点 M 满足 ＝2，则动点 M 的轨迹方程为（） A. （x﹣5）2+y2＝16 B. x2+（y﹣5）2＝9 C. （x+5）2+y2＝16 D. x2+（y+5）2＝9 【答案】A 【解析】 【分析】 首先设 ，代入两点间的距离求 和 ，最后整理方程. 【详解】解析：设 ，由 ，得 ， 可得：（x+3）2+y2＝4（x﹣3）2+4y2， 即 x2﹣10x+y2+9＝0 整理得 ，故动点 的轨迹方程为 .选 A. 0a ≤ 0a > 0x R∃ ∈ 2 0 02 1 0ax x+ + < 4 4 0a∆ = − > 0a = 0x R∃ ∈ 2 0 02 1 0ax x+ + < 0a < 0x R∃ ∈ 2 0 02 1 0ax x+ + < 0a > 0x R∃ ∈ 2 0 02 1 0ax x+ + < 4 4 0a∆ = − > 1a < 0 1a∴ < < a ( ),1−∞ MA MB ｜ ｜ ｜ ｜ ( ),M x y MA MB ( ),M x y 2MA MB = ( ) ( ) 2 2 2 2 3 4 3 x y x y + + = − + ( )2 25 16x y− + = M ( )2 25 16x y− + =【点睛】本题考查了轨迹方程的求解方法，其中属于直接法，一般轨迹方程的求解有 1.直接 法，2.代入法，3.定义法，4.参数法. 11.如图， 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为 20 米的监测塔 ，若某科研小组 在坝底 点测得 ，沿着坡面前进 40 米到达 点，测得 ，则大坝的 坡角（ ）的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ， ， 可 得 ， 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 在 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， 进 而 由 可得结果. 【详解】因为 ， ，所以 . 在 中，由正弦定理得 ，解得 . 在 中，由正弦定理得 ， 所以 . 又 ，所以 ， 所以 . 故选：A. AD BD A 15BAD∠ =  E 45BED∠ =  DAC∠ 3 1− 3 1 2 − 2 1− 2 1 2 − 15BAD∠ =  45BED∠ =  30ABE∠ =  ABE∆ ( )20 6 2BE = − BED∆ sin 3 1BDE∠ = − ( )sin sin 90BDE DAC∠ = ∠ +  15BAD∠ =  45BED∠ =  30ABE∠ =  ABE∆ sin30 sin15 AE BE=   ( )20 6 2BE = − BED∆ sin sin 45 BE BD BDE =∠  ( ) 220 6 2 2sin 3 120BDE − × ∠ = = − 90ACD∠ =  ( )sin sin 90BDE DAC∠ = ∠ +  cos 3 1DAC∠ = −【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力， 属于中档题. 12.已知椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，以 为圆心的圆 过椭圆 的中心，且与 在第一象限交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ，则 的 离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可. 【详解】椭圆 ： （ ）的左，右焦点分别为 ， ，以 为圆心的圆 过椭圆 的中心，且与 在第一象限交于点 ，若直线 恰好与圆 相切于点 ， 可得 ，可得 所以 解得 故选：A 【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数 ，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】 C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 2F C C P 1PF 2F P C 3 1− 3 1 2 − 2 2 5 1 2 − C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 2F C C P 1PF 2F P 2 2 2(2 ) 4a c c c− + = 2 22 2a ac c+ = 2 2 2 0, (0,1)e e e+ − = ∈ 2 12 3 12e − += = − ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ ( ) ( )2 1f f− = 2由函数 求出 ， ，由此能求出 的值. 【详解】 函数 ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 14.已知 ， 是方程 的两个实数根，则 _______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据根与系数之间的关系得到 和 的值，利用两角和的正切公式进行 计算即可. 【详解】 ， 是方程 的两个实数根， ， ， 由 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式. 15.已知 ，且 ，则 的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先求得 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意 ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ (2) 4f = (1) 1 1 2f = + = ( ) ( )2 1f f−  ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ ∴ (2) 4f = (1) 1 1 2f = + = ( ) ( )2 1 4 2 2f f∴ − = − = 2 tanα tan β 22 3 5 0x x+ − = ( )tan α β+ = 3 7 − tan tanα β+ tan tanα β  tanα tan β 22 3 5 0x x+ − = 3tan tan 2 α β∴ + = − 5tan tan 2 α β = − ( ) 3 tan tan 2 5tan t 3tan 1 7a 21n α α β α ββ+ = = = −−  −   −+ − 3 7 − , Ra b∈ 3 6 0a b− + = 12 8 a b + 1 4 3a b−等号成立的条件. 【详解】由 可知 ， 且： ，因为对于任意 ， 恒成立， 结合均值不等式的结论可得： . 当且仅当 ，即 时等号成立. 综上可得 的最小值为 . 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项 均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现 错误． 16.已知数列 满足： ， ， ，且 ，函数 ，记 ，则数列 的前 项和为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题意求出 ，再化简 ，根 据 求得 ，从而得出 ， 再有 即可求解. 【详解】由 ，则 又 ， 所以 又 ，所以 所以数列 的前 项和 ， 3 6 0a b− + = 3 6a b− = − 312 2 28 a a b b −+ = + x 2 0x > 3 3 6 12 2 2 2 2 2 2 4 a b a b− − −+ ≥ × × = × = 32 2 3 6 a b a b − =  − = − 3 1 a b = −  = 12 8 a b + 1 4 { }na m∀ n ∗∈N m n m na a a ++ = 15 2a π= ( ) 2sin 2 6cos 2 xf x x= + ( )n nb f a= { }nb 29 87 1 29a a π+ = ( ) 2sin 2 6cos sin 2 3cos 32 xf x x x x= + = + + ( )n nb f a= 1 29 6b b+ = 29 1 29 15 1514( ) 14 6T b b b b= + + = × + 15 15( ) 3b f a= = m n m na a a ++ = 1 29 30 15 15 152a a a a a a π+ = = + = = ( ) ( )2sin 2 6cos sin 2 3cos 32 xf x x f x x x= + = = + + ( )n nb f a= 1 29 1 29 1 1 29 29sin 2 3cos 3 sin( ) ( ) 2 3cos 3b b f a f a a a a a+ + + += + = ++ 1 29a a π+ = 1 29 6b b+ = { }nb 29 29 1 2 3 27 28 29 1 29 15 1514( ) 14 6T b b b b b b b b b b= + + + + + = + + = × +因为 所以 故答案为： 【点睛】本题是数列与三角函数相结合的综合性题目，解决此题需理解题干中新定义，属于 中档题. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.已知 是各项均为正数的等比数列， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由等比数列的通项公式求出 即可求解. （2）由（1）求出 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知： ， 即 ，所以 或 （舍去）， （2）由（1）知： 15 15( ) ( ) 0 0 3 32b f a f π= = = + + = 29 87T = 87 { }na 1 2a = 3 22 16a a= + { }na 2logn nb a= 1 1 n nb b +    ⋅  n nT 2 12 n na −= 2 1n nT n = + q nb 1 2a = 3 22 16a a= + ∴ 22 4 16q q= + 2 2 8 0q q− − = 4q = 2q = − ∴ 1 1 2 1 1 2 4 2n n n na a q − − −= = × = 2logn nb a= = 2 1 2log 2 2 1n n− = − ∴ ( )( )1 1 1 2 1 2 1n nb b n n+ = =⋅ − + 1 1 1 2 2 1 2 1n n  − − +  1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T b b b b b b + = + +⋅⋅⋅+⋅ ⋅ ⋅【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题. 18.2018 年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等 8 省市开始实行新高 考制度，从 2018 年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次 新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故 都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求该班数学成绩在 的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分； （3）若规定 分及其以上为优秀，现从该班分数在 分及其以上的试卷中任取 份分析学 生得分情况，求在抽取的 份试卷中至少有 份优秀的概率. 【答案】（1）频率为 ，全班人数为 .（2）73.8；（3） 【解析】 【分析】 （1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数 频率即得出全班人数. （2）根据频率分布图平均数 每个小矩形底边中点横坐标 小矩形的面积，代入数据即可求 解. （3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】（1）频率为 ，频数=2，所以全班人数为 . （2）估计平均分为： . （3）由已知得 的人数为：（0.16+0.08） . 设分数在 的试卷为 ， ， ， ，分数在 的试卷为 ， . 则从 份卷中任取 份，共有 个基本事件， 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n n  = − + − + + − = − +  1 112 2 1 2 1 n n n  − = + +  [ )50,60 90 80 2 2 1 0.08 25 3 5 ÷ = × 0.08 2 0.08 = 25 55 0.08 65 0.28 75 0.4× + × + × + 85 0.16 95 0.08 73.8× + × = [ )80,100 0.16 0.08 25+ × =（ ） 4 2 6+ = [ )80,90 A B C D [ ]90,100 a b 6 2 15分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中至少有一份优秀的事件共有 个， 分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在抽取的 份试卷中至少有 份优秀的概率为 . 【点睛】本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目. 19.在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin . (1)求 A； (2)若△ABC 的面积 S＝ c2，求 sin C 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知等式即得 A= .(2)先根据△ABC 的面积 S＝ c2 得到 b＝ c， 再利用余弦定理得到 a＝ c，再利用正弦定理求出 sin C 值． 【详解】(1)因为 asin B＝－bsin ，所以由正弦定理得 sin A＝－sin ， 即 sin A＝－ sin A－ cos A，化简得 tan A＝－ ， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ . (2)因为 A＝ ，所以 sin A＝ ，由 S＝ c2＝ bcsin A＝ bc，得 b＝ c， 所以 a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ c，由正弦定理得 sin C＝ . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这 的 AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 9 Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ∴ 2 1 9 3 15 5P = = 3A π +   3 4 5 6 π 7 14 5 6 π 3 4 3 7 )3A π+（ )3A π+（ 1 2 3 2 3 3 5 6 π 5 6 π 1 2 3 4 1 2 1 4 3 7 sin 7 14 c A a =些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 20.如图，在三棱柱 中， 底面 ， 、 、 、 分别为 ， 、 、 ， 中点，且 ， ， . （1）证明： 平面 ； （2）证明： ； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据题意由 ， ，证出 即可证出 平面 ； （2）先证出 平面 ，再有 平面 即可证出 ； （3）过 作 于点 ，连接 ，可证出 就是所求的角，在三角形中求解 即可； 【详解】（1）连接 ， ， 分别为 ， 的中点且 ， ， 的 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC D E F G 1AA AC 1 1AC 1BB 5AB BC= = 2 3AC = 1 15AA = AF  1BEC AC FG⊥ BD 1BEC 3 14 14 1FC AE 1FC AE= 1AF EC AF  1BEC AC ⊥ BEF FG ⊂ BEF AC FG⊥ D 1DO C E⊥ O BO DBO∠ AF  E F AC 1 1AC 1 1AC AC 1 1AC AC= ∴ 1FC AE 1FC AE=四边形 是平行四边形， 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （2）在三棱柱 中， 平面 ， 四边形 为矩形． 又 ， 分别为 ， 的中点， ． ． ， 平面 ． 又 是 中点， ， 在平面 内 ， . （3）过 作 于点 ，连接 ， 易证 平面 ， ， 平面 从而 就是所求的角. 由平面几何知识计算得， ， . 直线 与平面 所成的角的正弦值为 【点睛】本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证 线线平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体 几何的综合性题目. 21.已知数列 的前 项和为 ，且 ，函数 对任意的 都有 ∴ 1AEC F ∴ 1AF EC AF ⊄ 1BEC 1EC ⊂ 1BEC ∴ AF  1BEC 1 1 1ABC A B C−  1CC ⊥ ABC ∴ 1 1A ACC E F AC 1 1AC ∴ AC EF⊥  AB BC= ∴ AC BE⊥ ∴ AC ⊥ BEF G 1BB 1BB EF ∴ G BEF ∴ AC FG⊥ D 1DO C E⊥ O BO BE⊥ 1 1ACC A ∴ DO BE⊥ ∴ DO ⊥ 1BEC DBO∠ 35 2BD = 3 10 sin4DO DBO= ⇒ ∠ = 3 14 14 DO BD = ∴ BD 1BEC 3 14 14 { }na n nS 2 2 0n nS a− + = ( )f x x∈R，数列 满足 … . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若数列 满足 ， 是数列 的前 项和，是否存在正实数 ，对于任意 ，不等式 ，恒成立？若存在，请求出 的取值范围；若不存 在，请说明理由. 【答案】（1） . ；（2）存在， 【解析】 【分析】 （ 1 ） 由 求 ， 根 据 得 ， 再 有 得 即可求出 的通项公式；由 ，根据倒序相加法可求 . （2）用分离参数法，根据（1）由 得 ，令 求出 即可. 【详解】解：（1） 即 当 时， ， 当 时， ， ，即 是等比数列，首项为 ，公比为 ， . ， . … . … . ①+②，得 ， ( ) ( )1 1f x f x+ − = { }nb ( ) 1 20nb f f fn n    = + + +       ( )1 1nf fn −  +   { }na { }nb { }nc n n nc a b= ⋅ nT { }nc n k n ∗∈N ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > k 2n na = 1 2n nb += ( )2,+∞ nS na 2 2 0n nS a− + = 2 2n nS a= − 1 12 2n n n nS S a a− −− = − 12n na a −= na ( ) ( )1 1f x f x+ − = nb ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + ( )max 2g n =  2 2 0n nS a− + = 2 2n nS a= − 1n = 1 12 2S a= − ∴ 1 2a = 2n ≥ 1 12 2n nS a− −= − ∴ 1 12 2n n n nS S a a− −− = − 12n na a −= ∴{ }na 1 2a = 2 ∴ 2n na =  ( ) ( )1 1f x f x+ − = ∴ 1 1 1nf fn n −   + =        ( ) 1 20nb f f fn n    = + + +       ( )1 1nf fn − + +   ∴ ( ) 1 21n n nb f f fn n − −   = + + +       ( )01f n f + +   ∴ 2 1nb n= +（2） ， … . ① … ② ①－②得 … 即 . 要使得不等式 恒成立， 恒成立 对于一切的 恒成立， 即 ，令 ， 则 当且仅当 时等号成立，故 . 故 的取值范围为 . 【点睛】本题考查由 求 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取 值范围，综合性比较强. 22.已知椭圆 ： （ ）的左，右顶点分别为 ， ，长轴长为 ，且经 过点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 为椭圆 上异于 ， 的任意一点，证明：直线 ， 的斜率的乘积为定 值； ∴ 1 2n nb +=  n n nc a b= ⋅ ∴ ( ) 11 2n nc n −= + ⋅ ∴ 0 1 22 2 3 2 4 2nT = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( ) 11 2nn −+ + ⋅ 1 2 32 2 2 3 2 4 2nT = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( )12 1 2n nn n−+ ⋅ + + ⋅ 1 22 2 2nT− = + + + ( )12 1 2n nn−+ − + ⋅ 2n nT n= ⋅ ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + >  ( )2 9 26 0nn n T− + > ∴ ( )2 4 9 26 n n nck n n T > − + *n N∈ ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 11 1 36 ng n n n += = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 236 361 11 2 1 111 1 n nn n ≤ = + − + + ⋅ −+ + 5n = ( )max 2g n = k ( )2,+∞ nS na C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1A 2A 4 31, 2P     C M C 1A 2A 1MA 2MA（3）已知两条互相垂直的直线 ， 都经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆 交于 ， 和 ， 四点，求四边形 面积的取值范围. 【答案】（1） （2）定值 ，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】 （1）由长轴长为 4 可求 ，再由待定系数法把点代入椭圆方程即可求椭圆的标准方程； （2）设点 ， ，点 在椭圆上可得 代入上式化简即可. （3）当 ， 中有一条斜率不存在时， ； 当 ， 的斜率都存在时，设过点 的两条互相垂直的直线 ： ，直线 ： ，联立 求出 与 ，所以 代入整理成关于 的式子，求式子的值域即可. 【详解】解：（1）由题意知： ， 椭圆 的标准方程为 . （2）由已知 ， ，设点 ，则 ，又 在椭圆上， 即 ， （定值）. 1l 2l C F C A B M N AMBN 2 2 14 3 x y+ = 3 4 − 288 ,649      2a = ( )0 0,M x y 1 2 2 0 2 0 4MA MA yk k x ⋅ = − M 2 2 2 0 0 0413 4 4 y x x−= − = 1l 2l 1 4 3 62AMBNS = × × = 1l 2l ( )1,0F 1 1x ky= + 2 1 1x yk = − + 2 2 1 14 3 x ky x y = + + = AB MN 1 2S AB MN= ⋅ k 2 2 2 4 2 1 9 1, 34 a a ba b = = ⇒ + = = ∴ C 2 2 14 3 x y+ = ( )1 2,0A − ( )2 2,0A ( )0 0,M x y 1 2 2 0 0 0 2 0 0 02 2 4MA MA y y yk k x x x ⋅ = ⋅ =+ − − ( )0 0,M x y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 2 2 2 0 0 0413 4 4 y x x−= − = ∴ ( ) 1 2 2 2 0 0 2 2 0 0 3 4 34 4 4 4MA MA xyk k x x − ⋅ = = = −− −（3）当 ， 中有一条斜率不存在时，易求得 ； 当 ， 的斜率都存在时，设过点 的两条互相垂直的直线 ： ，直线 ： 由 得 显然 ， ， 则 . 把上式中的 换成 得： 则四边形 的面积为 令 ，则 ，且 ， ， ， 所以四边形 的面积的取值范围是 . 【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆的相关知识点，求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置 关系、弦长公式，同时考查了学生的计算能力，难度较大，综合性比较强. 1l 2l 1 4 3 62AMBNS = × × = 1l 2l ( )1,0F 1 1x ky= + 2 1 1x yk = − + 2 2 1 14 3 x ky x y = + + = ( )2 23 4 6 9 0k y ky+ + − = > 0∆ ∴ 1 2 2 6 3 4 ky y k −+ = + 1 2 2 9 3 4y y k ⋅ = − + ( )2 1 2 1 22 11 4AB y y y yk = + ⋅ + − = ( ) ( ) 22 2 2 2 12 11 12 11 3 4 3 4 kk k k k k +++ ⋅ =+ + k 1 k − ( )2 2 12 1 3 4 k k MN k + = + AMBN 1 2S AB MN= ⋅ = ( ) ( )2 2 2 2 12 1 12 11 2 3 4 3 4 k k k k + + ⋅ ⋅ =+ + ( ) ( )( ) 22 2 2 72 1 3 4 3 4 k k k + + + 21 k t+ = 1t > 23 4 4 1k t+ = − 23 4 3 1k t+ = + ( ) ( )( ) 22 2 22 2 72 1 72 12 13 4 3 4 k tS t tk k + = = =+ −+ + 2 72 1 1 49 2 4t  − − +   ( )1t > ∴ 288 649 S≤ < AMBN 288 ,649     