2019---2020 学年度上学期期中考试
高二年级文科数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题)
一、单选题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1.直线 经过点 和 ，则直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
算出直线的斜率后可得其倾斜角.
【详解】设直线的斜率为 ，且倾斜角为 ，则 ，
根据 ，而 ，故 ，故选 D.
【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，属于基础题.
2.点 是抛物线 ： 上一点，若 到 的焦点的距离为 8，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义， 到 的焦点的距离等于 到抛物线准线的距离，列式求解。
【详解】解： ，则 .
故选：C
l ( )0, 1− ( )1,0 l
2
3
π 3
4
π
3
π
4
π
k α 1 0 10 1k
− −= =−
tan 1α = [ )0,α π∈
4
πα =
( )0 0,P x y C 2 8y x= P C
0 8x = 0 8y =
0 6x = 0 6y =
P C P
0 2 8PF x= + = 0 6x =【点睛】本题考查抛物线 的定义以及焦半径公式 ，是基础题。
3.直线 与直线 平行，则 （ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两直线平行的等价条件得出关于 的方程，即可求出 的值.
【详解】 直线 与直线 平行， ，解得
或 ，故选：B.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，解题时要熟悉两直线平行的等价条件，考查计算
能力，属于基础题.
4.已知圆 上两点 ， 关于直线 对称，则圆的半径为
（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意知，圆心 在直线 2x＋y＝0 上，∴2－ m＝0，解得 m＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆的半径为 3.
5.椭圆 的焦距为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. 2 或 C. D. 1 或
【答案】B
【解析】
【分析】
首先将方程化为椭圆的标准方程，分情况讨论焦点的位置，然后根据 求 的值.
2 2y px= 0 2
pPF x= +
( )1 2 0x m y+ + + = 2 1 0mx y+ − = m =
2− 1 2− 1 2 1−
m m
( )1 2 0x m y+ + + = 2 1 0mx y+ − = ( )1 2
2 1
m m
m
+ =∴ ≠ −
1m = 2−
2 2 2 4 0x y x my+ − + − = M N 2 0x y+ =
9 3 2 3 2
(1, )2
m− 1
2
2 2 1x ky+ = 2 k
2
3
2
3
2
3
2 2 2c a b= − k【详解】椭圆化为标准方程： ，
当焦点在 轴时， ， ，那么
；
当焦点在 轴时， ， ，那么 ，
，
或 .
故选 B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，本题易错点是忽略椭圆焦点的位置，
造成丢解情况，属于基础题型.
6.经过点 作圆 的弦 ,使点 为弦 的中点，则弦 所在
直线的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题知 为弦 AB 的中点，可得直线 与过圆心和点 的直线垂直，可求 的斜率，然后
用点斜式求出 的方程。
【详解】由题意知圆的圆心为 ， ，由 ，得 ，
∴弦 所在直线的方程为 ，整理得 .选 A.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线的斜率，直线的点斜式方程，属于基础题。
7. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若
，则 的面积为 ( )
2
2 11
yx
k
+ = 2 12 2 2c c= ⇒ =
x 2 1a = 2 1b k
= 2 1 11 2c k
= − =
2k∴ =
y 2 1a k
= 2 1b = 2 1 11 2c k
= − =
2
3k∴ =
2k∴ = 2
3
( )2, 3P − ( )2 21 25:C x y+ + = AB P AB AB
5 0x y− − = 5 0x y− + = 5 0x y+ + =
5 0x y+ − =
P AB P AB
AB
( )1,0C − ( )
3 0 12 1CPk
− −= = −− − AB CP⊥ 1ABk =
AB 3 2y x+ = − 5 0x y− − =
O F 2: 4 2C y x= P C
4 2PF = POFA. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】设 P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+ =4 ,
∴xP=3 ,yP= =2 ,
因此 S△POF= ×2 × =2 .故选 C.
8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 ，与双曲线的左支交于
两点，若 ，且双曲线的实轴长为 ，则 的周长是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义得到 ， ，再由题中条件，即可求出结果.
【详解】因为直线 过 ，与双曲线的左支交于 两点， ，且双曲线的实轴长为
，
由双曲线的定义可得， ， ，
所以 的周长 .
故选 D
【点睛】本题主要考查双曲线中焦点三角形的周长问题，熟记双曲线的定义即可，属于常考
题型.
9.如图，过抛物线 （ ）的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 于点
C，若 ，且 ，则此抛物线的方程为（ ）
2 2 2 2 3 4
2 2
2 4 2 3 2× 6
1
2 6 2 3
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1 2F F、 l 1F A B、
5AB = 8 2ABF∆
16 18 21 26
2 1 2AF AF a− = 2 1 2BF BF a− =
l 1F ,A B 5AB =
8
2 1 2 8− = =AF AF a 2 1 2 8− = =BF BF a
2ABF∆ 2 2 1 1 16 2 16 26+ + = + + + = + =AF BF AB AF BF AB AB
2 2y px= 0p > l
2BC BF= 3AF =A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
作 垂 直 于 准 线 于 点 ， 则 ， 根 据 ， 可 得
，得 ，再根据抛物线的定义和性质，得到 ，
即可求解.
【详解】设 ，作 垂直于准线于点 ，则 ，
又 ，可得 ，所以 ，则 ,
设 ，则 ，解得 ，
又由 ，且 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 .
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题
设条件和抛物线的几何性质，得出关于 的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，
属于基础题.
2 9y x= 2 6y x=
2 3y x= 2y x=
,AM BN ,M N BN BF= 2BC BF=
2BC BN= 2 6AC AM= = 2
(3 )(1 )2 2 4
p p p− − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,AM BN ,M N BN BF=
2BC BF= 2BC BN= 30ACB∠ = 2 6AC AM= =
BF x= 2 3 6x x+ + = 1x =
1 23, 12 2
p pAF x BF x= + = = + = 2
1 2 4
px x =
2
(3 )(1 )2 2 4
p p p− − = 3
2p = 2 3y x=
p10.已知椭圆 C： 的右焦点为 F，直线 l： ，点 ，线段 AF 交椭圆 C 于点
B，若 ，则 ＝( )
A. B. 2
C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
设点 ， ，易知 F(1,0)，根据 ，得 ， ，根据点 B
在椭圆上，求得 n=1，进而可求得
【详解】根据题意作图：
设点 ， ．
由椭圆 C： ，知 ， ， ，
即 ，所以右焦点 F(1,0)．
由 ，得 ．
所以 ，且 .
所以 ， .
将 x0，y0 代入 ，
2
2 12
x y+ = 2x = ∈A l
3FA FB= AF
2
3
( )2,A n ( )0 0,B x y 3FA FB=
0
4
3x = 0
1
3y n=
2AF =
( )2,A n ( )0 0,B x y
2
2 12
x y+ = 2 2a = 2 1b = 2 1c =
1c =
3FA FB= ( ) ( )0 01, 3 1,n x y= −
( )01 3 1x= − 03n y=
0
4
3x = 0
1
3y n=
2
2 12
x y+ =得 .解得 ，
所以 .
故选 A
【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的
应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
11.已知 分别为双曲线 的左，右焦点。过右焦点 的直线
在第一象限内与双曲线 E 的渐近线交于点 P，与 y 轴正半轴交于点 Q，且点 P 为
的中点， 的面积为 4，则双曲线 E 的方程为（ )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得双曲线的一条渐近线方程，联立直线 x+y＝c 可得 P，Q 的坐标，再由中点坐标公式，可
得 a＝b，由三角形的面积公式可得 c，进而得到 a，b，可得双曲线的方程．
【详解】双曲线 E： l（a＞0，b＞0） 一条渐近线方程为 y x，
代入直线 x+y＝c，可得 P（ ， ），
且 Q（0，c）， （c，0），
点 P 为 QF2 的中点，可得 c ，
可得 a＝b，
△QF1F2 的面积为 4，即 •2c•c＝4，
解得 c＝2，a＝b ，
的
2 21 4 1 12 3 3 n × + =
2 1n =
( )2 21 2 1 1 2AF n = − + = + =
1 2,F F ( )2 2
2 2 1 0, 0x yE a ba b
− = > >： 2F
:l x y c+ =
2QF 1 2QF F∆
2
2 12
x y− =
2 2
12 2
x y− =
2 2
14 4
x y− =
2 2
14 3
x y− =
2 2
2 2
x y
a b
− = b
a
=
ac
a b+
bc
a b+
2F
2 2ac bc
a b a b
= =+ +
1
2
2=则双曲线的方程为 1．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和中点坐标公式，以及化简运算能
力，属于基础题．
12.已知椭圆 ， ， 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆 上存在点
使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
中 ， 设 设 ， ， 则 根 据 余 弦 定 理 写 出
， 解 得 ， 根 据 条 件 可 知
，求离心率的范围.
【详解】设 ， ，
若椭圆 上存在点 使得 ，
，
，
即 ，
，
2 2
2 2
x y− =
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = 0a b> > 1 2,F F C
( )( )0 0 0, 0P x y x ≥ 1 2 60PF F ∠ =
2 ,12
20, 2
1 ,12
10, 2
1 2PF F∆ 1PF m= 2 2PF a m= −
( )2 2 22 4 2 2 cos60a m m c m c− = + − ⋅ ⋅
2 24 4
4 2
a cm a c
−= −
1a PF a c≤ < +
1PF m= 2 2PF a m= −
C ( )( )0 0 0, 0P x y x ≥ 1 2 60PF F ∠ =
m a∴ ≥
( )2 2 22 4 2 2 cos60a m m c m c∴ − = + − ⋅ ⋅
2 2 2 24 4 4 2a am m m c mc∴ − + = + −
2 24 4
4 2
a cm a c
−= −
2 2
2 2
4 4
4 2
4 4
4 2
a c a ca c
a c aa c
− < + −∴ − ≥ −
1
2
c
a
⇒ ≤即 ，
.
故选：D
【点睛】本题考查椭圆的几何性质与应用，涉及余弦定理，以及不等式关系的建立，意在考
查转化思想和计算能力.
第 II 卷（非选择题)
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知经过椭圆 的右焦点 作垂直于 轴的直线 ，交椭圆于 ， 两点，
是椭圆的左焦点，则 的周长为______.
【答案】32
【解析】
【分析】
为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出 的周长.
【详解】 为椭圆 的两个焦点
由椭圆的定义可得
的周长为 ，
故答案为 32.
【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程，推理计算能力，属于中档题.
14.已知双曲线 C： 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则双
曲线 C 的焦距为_____________．
【答案】4.
【解析】
分析】
利用双曲线的性质及条件列 a,b,c 的方程组，求出 c 可得.
【
1
2e ≤
0 1e< > ） 3【详解】因为双曲线的离心率为 2 ，焦点 到渐近线 的距离为 ，所以
,解得 ，所以双曲线的焦距为 4.故答案为 4.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，注意隐含条件 ，考查运算求解能力，属于
基础题.
15.圆 与圆 的公共弦的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由两圆相减得公共弦的方程为 ，再选定其中一个圆与公共弦的方程，利用弦长
公式 求得公共弦长为 。
【详解】圆 与圆 相减得：
，圆 ，所以圆心为 ，
半径为 ，圆心到直线 距离 ，
所以公共弦长 ，故填： 。
【点睛】本题考查两圆的位置关系、弦长公式的应用，考查数形结合思想与运算求解能力。
16.已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 与抛物线交于 ， 两点，
与其准线交于点 （点 在点 ， 之间），若 ，且 ，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
的
( ,0)c 0bx ay− = 3
2 2
2 2 2
2
3
c
a
bc
a b
c a b
=
=
+
= +
3, 1, 2b a c= = =
2 2 2c a b= +
2 2 2 6 1 0x y x y+ + − + = 2 2 4 2 11 0x y x y+ − + − =
24
5
3 4 6 0x y− + =
2 22 r d− 24
5
2 2 2 6 1 0x y x y+ + − + = 2 2 4 2 11 0x y x y+ − + − =
3 4 6 0x y− + = 2 2 2 6 1 0x y x y+ + − + = ( ) ( )2 21 3 9x y⇔ + + − = ( )1,3−
3 2 2
| 3 12 6 | 9
53 ( 4)
d
− − += =
+ −
2
2 2 9 242 2 9 5 5r d = − = − =
24
5
( )2: 2 0E y px p= > F l F A B
C B A C 3BC = BF 9AB = p =
4设直线 的倾斜角为 ，利用抛物线的定义并结合条件 可求出 ，利用同角
三角函数的基本关系求出直线 的斜率 ，于此得出直线 的方程，将直线 的方程与
抛物线的方程联立，利用韦达定理与抛物线的定义，结合弦长可求出 的值。
【详解】如下图所示：
过点 作 ，垂足为点 ，设直线 的倾斜角为锐角 ，则 ，
与抛物线的定义得 ，
所以， ， ， ，
又知抛物线 的焦点为 ，所以，直线 的方程为 ，
设点 、 ，将直线 的方程与抛物线 的方程联立 ，
消去 并整理得 ，由韦达定理得 ，
由抛物线的定义可得 ，解得 ，故答案为： .
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及抛物线的焦点弦长的计
算，在抛物线的焦点弦长的计算，常用办法就是将直线与抛物线的方程联立，结合韦达定理
与抛物线的定义求解，在求解时，适当分析抛物线的几何性质，寻找边与角的关系，可以简
化计算。
l α 3BC BF= cosα
l tank α= l l
p
B BD l⊥ D AB α CBD α∠ =
BF BD=
1cos 3
BD BF
BC BD
α = = = 2 2 2sin 1 cos 3
α α∴ = − = sintan 2 2cos
αα α= =
E ,02
pF
AB 2 2 2
py x = −
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB E
2
2 2 2
2
py x
y px
= −
=
y 2 24 5 0x px p− + = 1 2
5
4
px x+ =
1 2
9 94
pAB x x p= + + = = 4p = 4三、解答题（本大题共 6 个小题，17 题 10 分，18---22 题每小题 12 分，共 70 分）
17.已知直线 经过点 （－2，5），且斜率为
（1）求直线 的方程；
（2）若直线 与 平行，且点 到直线 的距离为 3，求直线 的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0 或 3x＋4y－29＝0.
【解析】
【分析】
（1）代入点斜式方程求直线 的方程；（2）根据（1）设 的方程为 ，将点
到直线的距离转化为平行线的距离求 .
【详解】（1）由点斜式方程得， ，∴ .
（2）设 的方程为 ，则由平线间的距离公式得， ，
解得： 或 .
∴ 或
【点睛】本题考查求直线方程，意在考查基础知识，属于简单题型.
18.已知圆 外有一点 ，过点 作直线 .
(1)当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
(2)当直线 的倾斜角为 时，求直线 被圆 所截得的弦长.
【答案】(1) 或 (2) .
【解析】
【详解】试题分析：(1)当斜率不存在时，直线 的方程为 ，当斜率存在时，设直线 的
方程为 ，由直线 与圆 相切，可求得 ，则直线方程可求；(2)由直线的倾
斜角求得斜率，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出弦心距，再由垂径定理求得直
线 被圆 所截得的弦长.
试题解析：(1)当斜率不存在时，直线 的方程为 ；
当斜率存在时，设直线 的方程为 ，
l P 3- 4
l
m l P m m
l m 3 4 0x y c+ + =
c
( )35 24y x− = − + 3 4 14 0x y+ − =
m 3 4 0x y c+ + = 14 35
c + =
1c = 29−
3 4 1 0x y+ + = 3 4 29 0x y+ − =
2 2:( 2) ( 3) 4C x y− + − = (4, )1− P l
l C l
l 135° l C
4x = 3 4 8 0x y+ − = 2 2
l 4x = l
1 0kx y k− − − = l C k
l C
l 4x =
l 4 1 0kx y k− − − =则 ，解得 ，所以 方程为 ，
所以直线 的方程为 或 .
(2)当直线 的倾斜角为 时，直线 的方程为 ，
，所求弦长为 .
19.已知抛物线 ： 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，
弦 的中点的横坐标为 ， .
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）若直线 的倾斜角为锐角，求与直线 平行且与抛物线 相切的直线方程.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题得 ，再利用抛物线的定义求 p 的值，即得抛物线 的方程；（Ⅱ）设
直线 的方程为 ， .根据已知求出 k=2, 设与直线 平行的直线的方程为
，根据直线和抛物线相切求出 b 的值得解.
【详解】（Ⅰ）设 ， ，
因为 的中点的横坐标为 ，所以 .
根据抛物线定义知 .
所以 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（Ⅱ）设直线 的方程为 ， .
则由 得 .
的
2
2 3 4 1 2
1
k k
k
− − − =
+
3
4k = − l 3 4 8 0x y+ − =
l 4x = 3 4 8 0x y+ − =
l 135° l 3 0x y+ − =
2 3 3 2
2
d
+ −= = 2 22 2 4 2 2 2l r d= − = − =
C 2 2 ( 0)y px p= > F F l C A B
AB 3
2
5AB =
C
l l C
2 4y x= 12 2y x= +
1 2 3
2 2
x x+ = C
l ( 1)y k x= − 0k > l
2y x b= +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
AB 3
2
1 2 3
2 2
x x+ =
1 2 5AB AF BF p x x= + = + + =
3 5p + = 2p =
C 2 4y x=
l ( 1)y k x= − 0k >
2 4
( 1)
y x
y k x
=
= −
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =所以 ，即 ，解得 .
设与直线 平行的直线的方程为 ，
由 得 .
依题知 ，解得 .
故所求的切线方程为 .
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程的求法，考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的
位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
20.已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为 ，离心率为 ，过点 的直线 交
椭圆于 两点，
（l）求椭圆 的方程：
（2）若直线 的倾斜角为 度，求 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，得到 ，再由离心率求出 ，进而得到 值，从而可求出椭圆
方程；
（2）由题中条件，得到直线 的方程为 ，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理，
以及弦长公式，即可求出结果.
【详解】（1）由条件知， ，又由离心率 知 ，
，
椭圆的方程为 .
（2）由条件知，直线 的方程为 ，
的
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
2
2
2 4 3k
k
+ = 2k =
l 2y x b= +
2 4
2
y x
y x b
=
= +
2 24 (4 4) 0x b x b+ − + =
2 2(4 4) 16 0b b∆ = − − = 1
2b =
12 2y x= +
( )1 1,0F − 1
2e = 1F l
,A B
E
AB 135 AB
2 2
14 3
x y+ = 24
7
1c = 2a = b
l 1y x= − +
1c = 1
2e = 2a =
2 2 3b a c∴ = − =
∴ 2 2
14 3
x y+ =
l 1y x= − +联立椭圆方程 ，
得到 ，
易知 ，设 ， ，
则由韦达定理， ，
故 .
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆的弦长，熟记椭圆的标准方程，以及
弦长公式即可，属于常考题型.
21.已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为 .
（1）求 与 的值；
（2）若斜率为 的直线 与抛物线 交于 、 两点，点 为抛物线 上一点，其横坐标
为 1，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试问： 是否为定值？并证明你
的结论.
【答案】（1） ， ；（2） 为定值，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义可得 ，解出 将 代入到抛物线方程即可得 的值；
（2）设直线 的方程为 ，设 ， ，联立直线与抛物线运用韦达
定理可得 ，根据斜率的定义化简可得 ，进而可得结果.
【详解】（1）根据抛物线定义，点 到焦点的距离等于它到准线的距离，
即 ，解得 ，
∴抛物线方程为 ，
点 在抛物线上，得 ，∴ 。
2 23 4 12 0x y+ − =
27 8 8 0x x+ − =
> 0∆ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2
8
7x x+ = − 1 2
8
7x x = −
2
1 21AB k x x= + − = ( )2
1 2 1 22 4x x x x⋅ + − = 64 32 242 49 7 7
⋅ + =
( )2: 2 0G x py p= > ( ),4R m 17
4
p m
2− l G P Q M G
PM 1k QM 2k 1 2k k+
1
2p = 2m = ± 1 2k k+
174 2 4
p+ = p ( ),4R m m
l 2y x b= − + 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
1 2 2x x+ = − 1 2k k+ 1 2( ) 2x x= + +
( ,4)R m
174 2 4
p+ = 1
2p =
2x y=
( ,4)A m 2 12 42m = ⋅ ⋅ 2m = ±（2）设直线 的方程为 ，设 ， ，
消元化简得 ，
当 即 即 时，直线 与抛物线有两交点，
∴ 。
点 坐标为(1，1)， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
所以 为定值。
【点睛】本题考查了抛物线的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，根的
判别式、韦达定理，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．
22.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆 与椭圆
是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆 的长轴长是
4，椭圆 长轴长是 2，点 ， 分别是椭圆 的左焦点与右焦点.
（1）求椭圆 ， 的方程；
（2）过 的直线交椭圆 于点 ， ，求 面积的最大值.
【答案】（1）椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程是 （2）
【解析】
l 2y x b= − + 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
2
2y x b
x y
= − +
=
2 2 0x x b+ − =
> 0∆ 4 4 0b+ > 1b > − l
1 2 2x x+ = −
M 2
1 1x y= 2
2 2x y=
2
1 1
1 1
1 1
1 1 11 1
y xk xx x
− −= = = +− −
2
2 2
2 2
2 2
1 1 11 1
y xk xx x
− −= = = +− −
1 2k k+ 1 2( 1) ( 1)x x= + + + 1 2( ) 2 2 2 0x x= + + = − + =
1 2k k+
1C 2C
2 2
1 2 2: 1 0)x yC a ba b
+ = > >（
2 2
2 2 2: 1 0)y xC m nm n
+ = > >（ 1F 2F 1C
1C 2C
1F 2C M N 2F MN
1C
2
2 14
x y+ = 2C
2
2 11
4
xy + = 1
2【分析】
（1）设椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ，直接利用椭圆的定义得到答案.
（2）设直线的方程为 ，联立方程得到 ，
， ， 利用均值不等
式得到答案.
【详解】解：（1）设椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ，由已知 ，
=1，
∵椭圆 与椭圆 的离心率相等，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴椭圆 的方程为 ，椭圆 的方程是 ；
（2）显然直线的斜率不为 0，故可设直线的方程为 .
联立： ，得 ，即 ，
∴ ，设 ， ，
则 ， ，∴ ，
的高即为点 到直线 ： 的距离 ，
∴ 的面积 ，
1C c 2C 'c
3x my= − ( )2 21 4 8 3 11 0m y my+ − + =
2
2
2
4 112 1 1 4
mMN m m
−= + + 2
2 3
1
h
m
=
+ 2
2
2 3
124 11
4 11
S
m
m
=
− +
−
1C c 2C 'c 2a = b m=
1C 2C 'c c
a m
=
2 2 2 2
2 2
a b m n
a m
− −=
2 2
1 1b n
a m
− = −
b n
a m
= 2 1bm b an= = = 1b m= =
1C
2
2 14
x y+ = 2C
2
2 11
4
xy + =
3x my= −
2 2
3
4 1
x my
y x
= − + =
( )22 4 3 1 0y my+ − − = ( )2 21 4 8 3 11 0m y my+ − + =
( )2 2 2192 44 1 4 16 44 0m m m∆ = − + = − > ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
1 2 2
8 3
1 4
my y m
+ = + 1 2 2
11
1 4y y m
= +
2
2
2
4 112 1 1 4
mMN m m
−= + +
2F MN 2F l 3 0x my− + =
2 2
3 0 3 2 3
1 1
m
h
m m
− +
= =
+ +
2F MN
2
2
2
2
1 4 11 2 32 3 122 1 4 4 11
4 11
mS MN h m m
m
−= = =+ − +
−∵ ，等号成立当且仅当 ，即
时成立
∴ ，即 的面积的最大值为 .
【点睛】本题考查了椭圆方程，直线和椭圆关系，面积最值，将面积用韦达定理表示出来是
解题的关键，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.
2
2
124 11 2 12 4 3
4 11
m
m
− + ≥ =
−
2
2
124 11
4 11
m
m
− =
−
23
2m = ±
2 3 1
24 3
S ≤ = 2F MN
1
2
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