2019—2020 学年上期中考
21 届高二理科数学试题
说明：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.将第Ⅰ卷的答案代表字母和第Ⅱ卷的答案填在答题表（答题卡）中.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ， ，则 b=
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选 D.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再
通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2.已知等差数列 前 9 项的和为 27， ，则
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知， 所以 故选
C.
【考点】等差数列及其运算
5a = 2c = 2cos 3A =
2 3
{ }na 10 =8a 100 =a
1
1
9 36 27{ ,9 8
a d
a d
+ =
+ = 1 100 11, 1, 99 1 99 98,a d a a d= − = = + = − + =【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,
利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以
说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有
效的方法.
3.命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析：直接根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”，写出结果即可.
详解： “全称命题”的否定一定是“特称命题”，
命题“ ”的否定是
，故选 B.
点睛：本题考查命题的否定，“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表达，如“对
所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”：“都是”与“不都是”等，
所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命
题”.
4.椭圆的焦距为 8，且椭圆的长轴长为 10，则该椭圆的标准方程是（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得 、 的值，计算可得 的值，分析椭圆的焦点位置，即可得答案．
【详解】解：根据题意，椭圆的焦距为 8，长轴长为 10，则 ， ，
即 ， ，
2
0 (0,1), 0x x x∀ ∈ − <
2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∉ − ≥ 2
0 0 0(0,1), 0x x x∃ ∈ − ≥
2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∉ − < 2
0 0 0(0,1), 0x x x∀ ∈ − ≥
∴ ( ) 2
0 0,1 , 0x x x∀ ∈ − <
( ) 2
0 0 00,1 , 0x x x∃ ∈ − ≥
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
2 2
1100 36
x y+ =
2 2
1100 36
x y+ =
2 2
1100 36
y x+ =
a c b
2 8c = 2 10a =
4c = 5a =则 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
若椭圆的焦点在 轴上，则其标准方程为 ，
故要求椭圆的标准方程为 或 ，
故选： ．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
5.已知 ，函数 的最小值是（ ）
A. 5 B. 4 C. 8 D. 6
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 该 函 数 的 单 调 性 较 难 求 ， 所 以 可 以 考 虑 用 不 等 式 来 求 最 小 值 ，
， 因 为 ， 由 重 要 不 等 式 可 知
，所以 ，本题正确选项为 D.
考点：重要不等式的运用.
6.在 中， 则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：先利用三角形的面积公式求得 的值，进而利用余弦定理求得 ，再利用正弦定理求解
即可.
详解：由题意，在 中，
利用三角形的面积公式可得 ，
解得 ，
2 2 3b a c= − =
x
2 2
125 9
x y+ =
y
2 2
125 9
y x+ =
2 2
125 9
x y+ =
2 2
125 9
y x+ =
B
2x > 4
2y xx
= +−
ABC∆ 60 1 3ABCA b S∆∠ = ° = =， ， ， 2
sin 2sin sin
a b c
A B C
− +
− +
2 39
3
26 33
8 33 2 3
c a
ABC∆
01 1sin 1 sin 60 32 2ABCS bc A c∆ = = × × × =
4c =又由余弦定理得 ，解得 ，
由正弦定理得 ，故选 A.
点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形
问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利
用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦
定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、
余弦定理解题.
7.若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn， ，则 =（ ）
A. 3 B. 7 C. 10 D. 15
【答案】D
【解析】
【详解】若 q=1 可得据 =2≠3，故 q≠1，
∴ ，化简得 1-q8=3（1-q4），可得 q8-3q4+2=0，解得 q4=1 或 2，q≠1，
解得 q4=2，
．
故选：D．
8.设 ， 是椭圆 ： 的左右焦点， 为直线 上一点，
是底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
2 2 2 12 cos 1 16 2 1 4 132a b c bc A= + − = + − × × × = 13a =
2 13 2 39
sin 2sin sin sin 33
2
a b c a
A B C A
− + = = =− +
8
4
3S
S
= 16
4
S
S
8
4
S
S
8
4
S
S
=
8
1
8
4 4
1
(1 )
11 3(1 ) 1
1
a q
qq
a q q
q
−
−− = =− −
−
16 4
16
4
4
1 1 2 151 1 2
S q
S q
− −= = =− −
1F 2F C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > P 5
4
ax =
2 1F PF∆ 30° C
5
8
10
4
3
4
3
2【解析】
【分析】
设直线 与 轴交于点 ，由已知得 ，由此能求出椭圆 的
离心率．
【详解】解：如图，
设直线 与 轴交于点 ，
由已知得 ， ， 轴，
，
为直线 上一点， ，
，
，
椭圆 的离心率为 ．
故选： ．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和数
形结合思想的合理运用．
9.设 ， 满足约束条件 ，目标函数 的最大值为（ ）
A. 5 B. C. D. 1
【答案】C
5
4
ax = x Q 2 2
5| | 2 | | 2 22
aPF QF c c= = − = C
5
4
ax = x Q
1 2 1 2 30PF F F PF∠ = ∠ = ° 1 60PFQ∠ = ° PQ x⊥
2 1 2| | | | 2PF F F c∴ = =
P
5
4
ax = 2
5| | 4
aQF c∴ = −
2 2
5| | 2 | | 2 22
aPF QF c c∴ = = − =
5 8a c∴ =
∴ C 5
8
ce a
= =
A
x y
8 4 0
1 0
4 0
x y
x y
y x
− − ≤
+ + ≥
− ≤
3 2z x y= −
5
2
11
3【解析】
【分析】
根据已知中的约束条件，先画出满足条件的可行域，进而求出可行域的各角点的坐标，代入
目标函数求出目标函数的值，比较后可得目标函数的最大值．
【详解】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
则 ， ，
目标函数
．
．
．
故目标函数 的最大值为
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是线性规划，其中角点法是求已知约束条件，求目标函数最优
解最常用的方法，一定要熟练掌握．
10.在 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，则 的形状一定
是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角
1 4( , )3 3A − (1,4)B 1 4( , )5 5C − −
3 2z x y= −
1 4 113 23 3 3Az ∴ = × − × − =
3 1 2 4 5Bz = × − × = −
1 43 2 15 5Cz = × − − × − =
3 2z x y= − 11
3
C
ABC△ 2cos 2 2
C a b
a
+= ABC△三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简 得到 ，结合三角形
内角和定理化简得到 ，即可确定 的形状。
【详解】
化简得
即
即
是直角三角形
故选 A
【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理 边化角公式，在化简 时，将
边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略。
11.给出如下四个命题：①若“ 且 ”为假命题，则 均为假命题；②命题“若 ，则
”的否命题为“若 ，则 ”； ③“ ，则 ”的否定
是“ ，则 ”；④在 中，“ ”是“ ”的充要条件．其
中正确的命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
的
2cos 2 2
C a b
a
+= sin cos sinA C B=
cos sin 0A C = ABC△
2
2cos 2
a b
a
C +=
1 cos sin sin
2 2sin
C A B
A
+ +\ = sin cos sinA C B=
( )B A Cp= - +
sin cos sin( )A C A C\ = + cos sin 0A C =
sin 0C ≠
cos 0A∴ = 0A = 90
ABC∴
2cos 2 2
C a b
a
+=
p q ,p q a b>
2 2 1a b> − a b≤ 2 2 1a b≤ − x R∀ ∈ 2 1 1x + ≥
x R∃ ∈ 2 1 1x + < ABC∆ A B> sin sinA B>根据复合命题真假 判定即可判断①；根据否命题可判断②；根据含有量词的否定可判断③；
根据正弦定理及充分必要条件可判断④。
【详解】根据复合命题真假的判断，若“ 且 ”为假命题，则 或 至少有一个为假命题，
所以①错误；
根据否命题定义，命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”为
真命题，所以②正确；
根据含有量词的否定，“ ”的否定是“ ”，所以③正确；
根据正弦定理，“ ” “ ”且“ ” “ ”，所以④
正确。
综上，正确的有②③④
所以选 C
【点睛】本题考查了复合命题真假的判断、否命题及含有量词的否定，正弦定理和充分必要
条件的应用，属于基础题。
12.已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么
这个等差数列后三项和的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用 表示这个等差数列后三项和为 ，进而设 ，
利用三角函数的性质能求最大值。
【详解】设中间三项为 ，则 ，所以 ， ，
所以后三项的和为 ，
又因为 ，所以可令 ，
所以
故选：
的
p q p q
a b> 2 2 1a b> − a b≤ 2 2 1a b≤ −
2, 1 1x R x∀ ∈ +
2, 1 1x x∃ ∈ + ⇒ sin sinA B> A B> ⇐ sin sinA B>
2 2 4x y+ = ,x y
1 102 10 3 102 2 10
,x y 3 9
4
x y+
2cos , 2sinx yθ θ= =
, ,a b c 2b x y= +
2
x yb
+= 3
2 4
b y x yc
+ += =
3 3 9
2 4 4
x y x y x yb c y y
+ + ++ + = + + =
2 2 4x y+ = 2cos , 2sinx yθ θ= =
( ) ( )3 9 3 3 10 3 10cos 3sin sin4 2 2 2
x y θ θ θ ϕ+ = + = + ≤
C【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质。
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数 a 的取值范围是 ______.
【答案】
【解析】
【详解】命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，
等价于∀t∈R，t2-2t-a≥0 是真命题，
∴△=4+4a≤0，解得 a≤-1．
∴实数 a 的取值范围是（-∞，-1]．
故答案为（-∞，-1]．
14.在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，
则 ______．
【答案】
【解析】
【详解】由正弦定理及 可得 ，又 ，
所以 ，即 ,
由余弦定理可得 ，
则 ，应填答案
15.若数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用数列的递推关系式的应用和叠乘法的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的
通项公式求出结果．
【详解】解：数列 满足 ， ，①
( ], 1−∞ −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 3a b bc− = ， 2 3sinC sinB=
A =
6
π
sin 2 3sinC B= 2 3c b= 2 2 3a b bc− =
2 2 26a b b= + 2 27a b=
2 2 2 2 2
2
13 7 3cos 2 24 3
b c a b bA bc b
+ − −= = =
6A
π=
6
π
{ }na 1 12a = 2
1 2 32 3 n na a a na n a+ + +⋅⋅⋅+ = 2019a =
4
673
{ }na 1 12a = 2
1 2 32 3 n na a a na n a+ + +…+ =当 时， ，②
① ②得 ，
所以 ，
，
，
所有的式子相乘得 ，
所以
即首项符合通项，
故 ，
所以
故答案为：
【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，叠乘法的应用，主要考查学生的
运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16.若实数 x，y 满足 x＞y＞0，且 log2x＋log2y＝1，则 的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
由 log2x＋log2y＝1，得 xy＝2， ＝ ＝ ＝x－y＋ ≥4，
则 的最小值为 4.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知数列 是首项为 1，公比为 等比数列，并且 ， ， 成等差数列.
（1）求 的值；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
的
2n
2
1 2 3 1 12 3 ( 1) ( 1)n na a a n a n a− −+ + +…+ − = −
− 2 2
1( 1) ( )n nn a n n a−− = −
1
1n
n
a n
a n−
−=
…
2
1
1
2
a
a
=
1
1na
a n
=
( )12 , 2na nn
= ≥
1
12 121a = =
12
na n
=
2019
12 4
2019 673a = =
4
673
2 2x y
x y
+
−
{ }na ( )0q q > 12a 3
1
2 a 2a
q
{ }nb n nb a n= + { }nb n nT
2q =
( )12 1 2
n n n +− +【解析】
【分析】
（1）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比；
（2）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列 采用分组求和即可．
【详解】解：（1）由 ， ， 成等差数列，得 ，
即 ，
由于 ，所以 ，
所以 或 （舍），
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 .
又 ，
，
所以数列 的前 项和为：
.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用
以及等差数列和等比数列的前 项和公式的应用．主要考查学生的运算能力．
18.命题 ：函数 有意义；命题 ：实数 满足 .
（1）当 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
{ }nb
12a 3
1
2 a 2a 3 1 22a a a= +
2
1 1 12a q a a q= +
1 1a = 2 2 0q q− − =
2q = 1q = −
2q =
12n
na -= 12n
n nb a n n−= + = +
1
1 2 1 2 2n
na a a −+ +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ 1 2 2 11 2
n
n−= = −−
( )11 2 3 2
n nn
++ + +⋅⋅⋅+ =
{ }nb n
( ) ( )1 2 1 2n nT a a a n= + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+
( )12 1 2
n n n += − +
n
p ( )( )2 2lg 4 3 0y x ax a a= − + − > q x 3 02
x
x
− 2 24 3 0x ax a− + < 0a >
3a x a< <
p 3a x a< < 0a >
1a = p 1 3x< <
3 02
x
x
− 0y > 8 0x y xy+ − =
8 2 8xy x y xy= + ≥
32xy ≥
8x y= 16x = 2y =
xy
8 1 1x y
+ =
( ) 8 1 89 y xx y x y x y x y
+ = + + = + +
89 2 9 4 2y x
x y
≥ + ⋅ = +当且仅当 ，即 ， 时取等号.
因此 的最小值为 .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生变形能力，属于中档题．
21.在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 与 在 两侧， ，求 面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理，即可求出 以及 的值；
（2）根据题意画出图形，由（1）知 为等边三角形，设边长为 ， ，
，则 ，在 中利用正
弦、余弦定理将 ， 转化为角 的三角函数，即可求出 面积的最大值。
【详解】解：（1） 中，由正弦定理 及
知 ，
所以 ，
由余弦定理知 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）如图
8y x
x y
= 8 2 2x = + 2 2 1y = +
x y+ 9 4 2+
ABC∆ A B C a b c sin sin
sin
A B a c
C a b
− −= +
B
BA BC= D B AC 2 2DC DA= = BCD∆
3B
π= 3 1+
cos B B
ABC∆ a ACD θ∠ =
ADC α∠ = 1 3 12sin cos sin2 3 2 2BCDS a a a
π θ θ θ∆
= × × + = + ACD∆
cosa θ sina θ α BCD∆
ABC∆
sin sin sin
a b c
A B C
= = sin sin
sin
A B a c
C a b
− −= +
a b a c
c a b
− −= +
2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 2 cosa c b ac B=+ −
2 cosac B ac= 1cos 2B =
( )0,B π∈
3B
π=令 ， ， ，
则 ，∴ .
又 ，
∴ ，
∴ .
∴
.
当 等号成立.∴ 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的综合应用问题，体现了边角转
化思想，属于难题．
22.设数列 的前 n 项和为 .满足 ，且 ，设
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：对一切正整数 n，有 .
【答案】（1） ；（2）详见解析.
ACD θ∠ = ADC α∠ = AB AC BC a= = =
1
sin sin
a
α θ= sin sinaα θ=
2 2 22 1 2 2 1 cosa α= + − × × ×
2 2 2 2 2 2cos sin 5 4cos sina a aθ θ α α= − = − − 2cos 4cos 4α α= − +
cos 2 cosa θ α= −
1 3 12sin cos sin2 3 2 2BCDS a a a
π θ θ θ∆
= × × + = +
( )3 12 cos sin2 2
α α= − + 3 sin 3 13
πα = + − ≤ +
5
6
πα = BCD∆ 3 1+
{ }na nS 1 *
12 2 1,n
n nS a n N+
+= − + ∈ 1 1a =
*
1 2,2
n
n n
ab n N−= + ∈
{ }nb
1 2
1 1 1 3
2na a a
+ + +
2 3
1
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 31 1 12 2 2 2 2 2
n
n
na a a −
+ + + < + + + + = + −
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