江苏淮安高中协作体2019-2020高二数学上学期期中试题（含答案Word版）

淮安市高中教学协作体 2019—2020 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷 考试时间为 120 分钟，满分 150 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 命题“ ， ”的否定为 （ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 2.“ ”是“ ”的 条件. （ ） A．充分不必要条件; B．必要不充分条件 C．充要条件; D．既不充分也不必要条件 3.不等式 的解集为 （ ） A、 B、 C、 D、 4.已知等比数列 中， ， ，则 等于 （ ） A、 B、4 C、 D、不确定 5.下列命题正确的是 ( ) A．若 ，则 　　　　 B．若 ，则 　　 C．若 ，则 D．若 ，则 6．下列命题正确的个数为 （ ） （1）已知定点 满足 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是椭圆； （2）已知定点 满足 ，动点 满足 ，则动点 的轨迹是 一条射线； （3）当 时，曲线 ： 表示椭圆； （4）曲线方程 的化简结果为 . [ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + ≤ [ ]0 1,3x∃ ∈ − 2 0 03 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∉ − 2 3 2 0x x− + > [ ]1,3x∀ ∈ − 2 3 2 0x x− + > [ ]0 1,3x∃ ∉ − 2 0 03 2 0x x− + > M N< 3 3log logM N< (2 )(1 ) 0x x+ − > ( , 2) (1, )−∞ − +∞ ( 2,1)− ( , 1) (2, )−∞ − +∞ ( 1,2)− { }na 1 0a < 3 7 16a a = 5a 4± 4− bcac > ba > 22 ba > ba > ba 11 > ba < ba < ba < 1 2,F F 1 2 8F F = P 1 2 8PF PF+ = P 1 2,F F 1 2 8F F = M 1 2 8MF MF− = M 1 4k< < C 2 2 14 1 x y k k + =− − 2 2 2 2+ 4) + 4) 10x y x y+ + − =（ （ 2 2 125 9 y x+ =A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 7.若 分别是双曲线 的左、右焦点, 为双曲线 上一点,且 , 则 的长为 ( ) A． B． 或 C． D． 8. 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点， 过 的直线 交椭圆 于 两点.若 周长是 ，则该椭圆方程是( ) A． B． C． D． 9. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 10. 已知等差数列 中,首项为 （ ）,公差为 ,前 项和为 , 且满足 ,则实数 的取值范围是 ( ) A. ; B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共计 30 分．不需要写出解答过程，请将答案填 写在答题卡相应的位置上．） 11.若双曲线 的焦距为 8，点 在其渐近线上，则双曲线 的方程 为 12.设 为等差数列 的前 项和,若 ,则 13．已知椭圆 ，长轴在 轴上.若焦距为 ，则 等于 1 2,F F 2 2 116 20 x y− = P C 1 9PF = 2PF 1 17 1 17 12 1( 2,0)F − 2 ( 2,0)F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F l C ,A B 2ABF∆ 4 3 2 2 13 x y+ = 2 2 13 2 x y+ = 2 2 112 10 x y+ = 2 2 14 3 x y+ = { }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a }{ na 1a 01 ≠a d n nS 01551 =+Sa d [ 3, 3]− ( , 3]−∞ − [ 3, )+∞ ( , 3] [ 3, )−∞ − +∞ 2 2 2 2: 1x yC a b − = (1, 3)M C nS { }na n 5 3 5 9 a a = 9 5 S S = 2 2 110 2 x y m m + =− − y 2 2 m14. 若函数 ，则该函数的最小值为 15. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 , 是短轴的一个端点 若 为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 . 16.已知数列 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围 三、解答题（本大题共 5 小题，12 分+12 分+14 分+16 分+16 分，共计 70 分．请在答题纸指定 区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 中， ， ． （1）求 ， ； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 18.（本小题满分 12 分） 设数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，且 ， . （1）求数列 和 的通项公式; （2）设 ,求数列 的前 项和 . 9 , ( 2, )2y x xx = + ∈ − +∞+ )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 21, FF P 21PFF∠ 3n na = { }na n nT *n N∈ 3( ) 3 62nT k n+ ≥ − k { }na 3 8a = 6 17a = 1a d 12n n nb a −= + { }nb n nS { }na n 2 nS n= { }nb 1 1a b= 2 2 1 1( )b a a b− = { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nT19．(本小题满分 14 分) （1）解不等式： （2）若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围; （3）若对一切 ,均有 成立,求实数 的取值范围. 20. （本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右顶点， 是上顶点， 是左焦点， 为线段 上一点，且 ． （1）若椭圆的离心率为 ，且 的面积为 ，求椭圆的方程； （2）若直线 与直线 的交点 恰在椭圆上，求椭圆的离心率 ． 2 1 13 x x + ≥− x 2 3 0ax ax+ − < R a 1x > 2 2 8 ( 2) 15x x m x m− − ≥ + − − m xOy A 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > B F D AB 2AD DB=  1 2 ABF∆ 6 3 DO BF C e A x y O B F C DC x A D B 60 21. （本小题满分 16 分） 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 （如图），考虑到防洪 堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为 （米），外周长（梯形的上底线段 与两腰长的和）为 （米）. ⑴求 关于 的函数关系式，并指出其定义域； ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 14 米，则其腰长 应在什么范围内？ ⑶当防洪堤的腰长 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最 小）？求此时外周长的值. 60 16 3 2 3 x BC y y x x x淮安市高中教学协作体 2019—2020 学年度第一学期期中考试 高二数学试卷参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．） 1.A 2.B 3. B 4. C 5. D 6.C 7. C 8. A 9. B 10. D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共计 30 分． 11. ; 12. 1; 13．7; 14. 4; 15. ; 16. 或 . 三、解答题（本大题共 5 小题，12 分+12 分+14 分+16 分+16 分，共计 70 分．请在答题纸指定 区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 中， ， ． （1）求 ， ；（2）设 ，求数列 的前 项和 ． 解：（1）由 …………2 分 可解得： ， . ……………6 分 （2）由（1）可得 ，所以 ， …………8 分 所以 …………12 分 18. （本小题满分 12 分） 设数列 的前 项和为 ，数列 为等比数列，且 ， . （1）求数列 和 的通项公式;（2）设 ,求数列 的前 项和 . 解:（1）当 时, , 当 时, , 所以 , , ………………3 分 设数列 的公比为 ,因为 ,所以 , 2 2 14 12 x y− = 2( ,1)2 2 27k ≥ 2[ , )27 +∞ { }na 3 8a = 6 17a = 1a d 12n n nb a −= + { }nb n nS 3 1 6 1 2 8 5 17 a a d a a d = + =  = + = 1 2a = 3d = 3 1na n= − 13 1 2n nb n −= − + 2[2 (3 1)] 1 2 3 2 12 1 2 2 n n n n n n nS + − − += + = + −− { }na n 2 nS n= { }nb 1 1a b= 2 2 1 1( )b a a b− = { }na { }nb n n n ac b = { }nc n nT 1n = 1 1 1a S= = 2n ≥ 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n−= − = − − = − 1 1 ,( 1) 1,( 1) 2 1,( 2) 2 1,( 2)n n n S n na nS S n n n− = = = = = − − ≥ − ≥ *n N∈ { }nb q 1 1a b= 1 1b =因为 ,所以 , , 所以 ,所以 , ……………………6 分 （2） ,所以 ………8 分 又 两式相减得 ………10 分 ，所以 ………12 分 19．(本小题满分 14 分) （1）解不等式： （2）若关于 的不等式 的解集为 ,求实数 的取值范围; （3）若对一切 ,均有 成立,求实数 的取值范围. 解:（1）原不等式等价于 ， ……………2 分 等价于 ， 所以原不等式的解集为 .……4 分 （2）当 时，原不等式是 ，恒成立，符合题意； …………………5 分 当 时，不等式 是二次不等式，结合二次函数图象，得 ，即 ，解得 ， …………………7 分 综上所述，实数 的取值范围是 …………………8 分 （3）不等式可等价转化为 对 恒成立, 2 2 1 1( )b a a b− = 2 (3 1) 1b − = 2 1 2b = 1 2q = 11( )2 n nb −= *n N∈ 1 1 2 1 (2 1) 21( )2 nn n nn a nc nb − − −= = = − ⋅ 1 2 3 1n n nT c c c c c−= + + + + + 0 1 2 2 11 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n− −= × + × + × + + − ⋅ + − ⋅ 1 2 3 12 1 2 3 2 5 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nT n n−= × + × + × + + − ⋅ + − ⋅ 0 1 2 2 11 2 (2 1)2 2 [2 2 2 2 ]n n n nT n − −− = × − − + × + + + + 12(1 2 )1 (2 1)2 2 1 2 n n nT n −−− = − − + × − 11 (2 1)2 4(2 1)n nn −= − − + − 3 (2 1)2 2 2 3 (3 2 )2n n n nT n n− = − − − + × = − + − 3 (2 3)2n nT n= + − 2 1 13 x x + ≥− x 2 3 0ax ax+ − < R a 1x > 2 2 8 ( 2) 15x x m x m− − ≥ + − − m 4 03 x x + ≥− ( )( )4 3 0 3 0 x x x + − ≥  − ≠ { }4 3x x x≤ − >或 0a = 3 0− < 0a ≠ 2 3 0ax ax+ − < 0 0 a 4 4( 1) 2 2 ( 1) 2 2( 1) 1x xx x − + − ≥ − − =− − 3x = min( ) 2g x = 2m ≤ m ( ,2]−∞ xOy A 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > B F D AB 2AD DB=  1 2 ABF∆ 6 3 DO BF C e ( ,0)F c− 2 2c a b= − 1 2 1 2 c a = 2a c= ABF∆ 6 3 1 ( ) 6 32 a c b+ = 4 3bc = 2 2 3b a c c= − = 2 4c = 2c = 4, 2 3a b= = 2 2 116 12 x y+ = (0, )B b ( ,0)F c− :BF 1x y c b + =− A x y O B F C DC x A D B 60 ∵ , 且 ，∴ ∴ ，得 ， ……………10 分 ∴直线 ， ………………………………………12 分 联立方程组 ，解得 ，所以 ，………14 分 ∵点 恰在椭圆上，∴ ，即 ， 化简得 ，即 ， 又 ， ∴ …………16 分 21. （本小题满分 16 分） 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为 （如图），考虑到防洪 堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为 （米），外周长（梯形的上底线段 与两腰长的和）为 （米）. ⑴求 关于 的函数关系式，并指出其定义域； ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 14 米，则其腰长 应在什么范围内？ ⑶当防洪堤的腰长 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最 小）？求此时外周长的值. 解：⑴∵ ,∴ , , ( ,0)A a (0, )B b 2AD DB=  2( )OD OA OB OD− = −    2 1 2( , )3 3 3 3 a bOD OA OB= + =   2( , )3 3 a bD :DO 2 by xa = 1 2 x y c b by xa  + =−  = 2 2 2 acx a c bcy a c − = − − = − 2( , )2 2 ac bcC a c a c − − − − C 2 2 2 2 2( ) ( )2 2 1 ac bc a c a c a b − − − −+ = 2 2 2 2 4 1(2 ) (2 ) c c a c a c + =− − 2 2 0c ac a+ − = 2 1 0e e+ − = (0,1)e∈ 5 1 2e −= 60 16 3 2 3 x BC y y x x x xBCy 2+= xyBC 2−= xyxBCxAD −=++= 22 3 2h x=， , , …………………4 分 又∵ ，∴ , ∴ ； ……………………6 分 ⑵ 得 , ∵ , ∴腰长 的范围是 . …………………10 分 ⑶∵ ， ∴ ，当且仅当 即 时等号成立． ∴外周长的最小值为 米，此时腰长为 米. …………………16 分. 1 1 316 3 ( ) ( 2 )2 2 2AD BC h y x y x x= + = − + − 22 3 64yx x− = 32 3 2 xy x = + 3 2 32 322 02 h x xBC y x x  = ≥  = − = − > 4 8x≤ < 32 3 ,( [4,8))2 xy xx = + ∈ 32 3 142 xy x = + ≤ 164 3x≤ ≤ 16[4, ] [4,8)3 ⊆ x 16[4, ]3 [4,8)x∈ 32 3 32 32 8 32 2 x xy x x = + ≥ ⋅ = 32 3 2 x x = 8 [4,8) 3 x = ∈ 8 3 8 33