涟水县第一中学 2019-2020 高三第二次月考
数学（理科）试题
2019.12.15
一、填空题（共 14 题，每题 5 分，合计 70 分）
1.已知集合 ， ，则 ___
2.复数 （ 是虚数单位）的共轭复数为
3.若角 的终边上有一点 ，则实数 的值_________
4.函数 f（x）=log3（1+x）+ 的定义域是______
5．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的公差等于____
6.已知 ， ， ， ，类比这些等式，
若 （ ， 均为正整数），则 ______
7.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为______
8.已知函数 ， ）的部分图象如图所示，
则 ______
9.如图，在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在边 上，
若 ，则 的值是______
{ }3,4A = { }1,2,3B = A B =
i
iz 21+= i
120− ° ( 3, )a− a
3 4x−
{ }na n nS 11 22S = 7 1a = { }na
2 22 23 3
+ = 3 33 38 8
+ = 4 44 415 15
+ =
9 9a a
b b
+ = a b a b+ =
x y
1 0
2 0
2
x y
x y
x
− + ≤
− ≥
≤
2 3z x y= +
( ) ( )f x A sin xω φ= ⋅ + ( 0, 0,A ω φ> > <
(0)f =
ABCD 3AB = 3BC = E BC F CD
3AB AF⋅ = AE BF⋅ （第 8 题图） （第 9 题图）
10.已知 ，则 的值为______________
11.已知关于 的不等式 在区间 上恒成立，则实数 的
取值范围为____________.
12. 已知函数 是定义在 上的偶函数，若对于 ，都有 ，
且当 时， ，则 ____________
13. 对于数列 ，定义数列 为数列 的“ 倍差数列”，若 的
“ 倍差数列”的通项公式为 ，则数列 的前 项和 ________________
14.已知 ，若关于 的方程 有四个实根 则
这四根之和 的取值范围是_______________
二、解答题
15.（本大题 14 分）
设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数 满足
.
（1）当 时，若 为真，求 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
16．（本大题 14 分）
已知向量 ， ，设函数 ．
（1）求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；
1sin cos6 3
πα α + − = cos 2 3
πα −
x ( )2 1 13ax a x a x− + < − + [ ]2,3 a
( )f x R 0x ≥ ( ) ( )
32f x f x
+ = −
[ )0,2x∈ ( ) ( )2log 1f x x= + ( ) ( )2017 2019f f− + =
{ }na 1{ 2 }n na a+ − { }na 2 { }1 2, na a=
2 12n+ { }na n nS
sin , 2 0( ) 2
ln , 0
x xf x
x x
π− − ≤ ≤=
>
x ( )f x k= 1 2 3 4, , ,x x x x
1 2 3 4x x x x+ + +
p x 2 23 2 0x ax a− + < 0a < q x
2 7 6 0x x+ + <
1a = − p q∧ x
p¬ q¬ a
( 3sin 2 2,cos )m x x= + (1,2cos )n x= ( )f x m n= ⋅ （2）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若 ， ，△ABC 的
面积为 ，求 a 的值．
17.（本大题 14 分）
是否存在常数 使得等式 对一切正整数 都成
立？若存在，求出 值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.
18（本大题 16 分）
首届中国国际进口博览会于 2018 年 11 月 5 日至 10 日在上海的国家会展中心举办.国
家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集……首届进博会高点纷呈.一个更加开放和自信的
中国，正用实际行动为世界构筑共同发展平台，展现推动全球贸易与合作的中国方案.
某跨国公司带来了高端智能家居产品参展，供购商洽谈采购，并决定大量投放中国市
场.已知该产品年固定研发成本 30 万美元，每生产一台需另投入 90 美元.设该公司一年内生
产该产品 万台且全部售完，每万台的销售收入为 万美元,
( ) 4f A = b 1=
3
2
,a b 2 2 21 2 (2 1)( )n n n an b+ + + = + + n
,a b
x ( )G x
( )
( )
240 3 ,0 20,
3000 600080 , 20.1 1
x x
G x xx x x
− < ≤
= + − > + +（1）写出年利润 （万美元）关于年产量 （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润.
19.（本大题 16 分）
已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 的斜率为 1 的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）设 ，记 在区间 上的最大值为 M（a），当
M（a）最小时，求 a 的值．
S x
3 21( ) 4f x x x x= − +
( )y f x=
[ 2,4]x∈ − 6 ( )x f x x− ≤ ≤
( ) | ( ) ( ) | ( )F x f x x a a= − + ∈R ( )F x [ 2,4]−20.（本大题 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{an}满足： ，求证:数列{an}为“M－数列”；
（2）已知数列{bn}满足: ，其中 Sn 为数列{bn}的前 n 项和．
①求数列{bn}的通项公式；
②设 m 为正整数，若存在“M－数列”{cn} ，对任意正整数 k，当 k≤m 时，都有
成立，求 m 的最大值．
2 4 5 13 2, 4 4 0a a a a a a= − + =
1
1
1 2 21,
n n n
b S b b +
= = −
θ 1k k kc b c + 理科参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． ；
6. 89 7．8 8． 1 9． 10．
11. 12．0 13． 14．
二、解答题
15．解：（1）当 时， 真，则 ，解得 ；.............2 分
真，则解得 .............4 分
∵ 为真，则 真且 真，
故 的取值范围为 .............7 分
（2） 是 的必要不充分条件，则 是 的必要不充分条件，.............9 分
∵ 真，有 ，............11 分
∴ .故 .............14 分
16.解（1）∵ ， ，
∴
............3 分
∴ ............4 分
令 （ ），∴ （ ）
{ }1,2,3,4 i+2 3 3− 31 4x x
− < ≤
1−
9
2
− 7
9
6a < 1(n 1)2 2n+− + 10, 2e e
+ −
1a = − p 2 3 2 0x x+ + < 2 1x− < < −
q 6 1x− < < −
p q∧ p q
x ( 2, 1)− −
p¬ q¬ q p
p 2a x a< <
1,
2 6,
a
a
−
−
3 1a− −
( )3sin2 2 cosm x x= + ， ( )1 2cosn x= ，
( ) 23sin2 2 2cosf x m n x x= ⋅ = + +
3sin2 cos2 3x x= + +
2sin 2 36x
π = + +
2
2T
π π= =
32 2 22 6 2k x k
π π ππ π+ ≤ + ≤ + k Z∈ 2
6 3k x k
ππ π π+ ≤ ≤ + k Z∈∴ 的单调区间为 ， ............7 分
（2）由 得， ，
∴
又∵ 为 的内角，∴ ，∴ ，∴ ............10 分
∵ ， ，∴ ，∴ ............12 分
∴ ，∴ .............14 分
17．解：分别令 ，可得 ，解得 ．............4 分
故猜想等式 对一切正整数 都成立.
下面用数学归纳法证明：
①当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立．............6 分
②假设 时猜想成立，
即 ．............8 分
当 n=k＋1 时，
............10 分
( )f x 2
6 3k k，ππ π π + + k Z∈
( ) 4f A = ( ) 2sin 2 3 46f A A
π = + + =
1sin 2 6 2A
π + =
A ABC
1326 6 6A
π π π< + < 52 6 6A
π π+ =
3A
π=
3
2ABCS
= 1b = 1 3sin2 2bc A = 2c =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 14 1 2 2 1 32
= + − × × × = 3a =
1,2n = ( )
( )
1 3
5 10 2
a b
a b
= + = +
1
6
1
6
a
b
=
=
( )( )2 2 2 2 1 11 2 6
n n nn
+ ++ + + = n
( *, 1)n k k N k= ∈ ≥
( )( )2 2 2 2 1 11 2 6
k k kk
+ ++ + + =
( ) ( )( ) ( )2 22 2 2 2 1 11 2 1 16
k k kk k k
+ ++ + + + + = + +
( ) ( ) ( )1 2 1 6 1
6
k k k k + + + + =
( )( )21 2 7 6
6
k k k+ + +
=．............12 分
所以当 n=k＋1 时，等式也成立．............13 分
由①②知猜想成立，即存在 使命题成立．............14 分
18．解：（1）当 时， ；...........3 分
当 时， .............6 分
函数解析式为 ............8 分
（2）当 时，因为 ， 在 上单调递增，
所以当 时， .............10 分
当 时，
.............13 分
当且仅当 ，即 时等号成立.............14 分
因为 ，所以 时， 的最大值为 2380 万美元.............15 分
答：当年产量为 29 万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为 2380 美
元 .............16 分
19．解：（Ⅰ） ，令 得 或者 .
............2 分
当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；
( )( )( )1 2 3 2
6
k k k+ + +=
1 1,6 6a b= =
0 20x< ≤ ( ) ( )90 30S xG x x= − + 23 150 30x x= − + −
20x > ( ) ( )90 30S xG x x= − + = ( )3000 210 301
xx x
−− + −+
( )
23 150 30,0 20,
3000 210 30, 20.1
x x x
S xx xx
− + − < ≤= −− + − > +
0 20x< ≤ ( )23 25 1845S x= − − + S ( ]0,20
20x = ( )max 20 1770S S= =
20x > ( )3000 210 301
xS x x
−= − + −+
9000= 10 29701x x
− − ++
( ) 900010 1 29801x x
= − + − ++
( )90002 ·10 1 2980 23801 xx
≤ − + + =+
( )9000 10 11 xx
= ++ 29x =
2380 1770> 29x = S
23( ) 2 14f x x x′ = − + 23( ) 2 1 14f x x x′ = − + = 0x = 8
3x =
0x = (0) 0f = y x= 0x y− =当 时， ，此时切线方程为 ，即 ；
综上可得所求切线方程为 和 .............4 分
（Ⅱ）设 ，............5 分
令 得 或者 ，
所以当 时， ， 为增函数；
当 时， ， 为减函数；
当 时， ， 为增函数；............7 分
而 ，所以 ，即 ；............8 分
同理令 ，可求其最小值为 ，所以 ，即
，............9 分
综上可得 .............10 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ，
所以 是 中的较大者，............12 分
若 ，即 时， ；...........13 分
若 ，即 时， ............14 分
所以当 最小时， ，此时 .............16 分
20．解（1）设等比数列{an}的公比为 q，所以 a1≠0，q≠0.
由 ，得 ，解得 ．
因此数列 为“M—数列”.............4 分
（2）①因为 ，所以 ．
由 得 ，则 .............5 分
8
3x = 8 8( )3 27f = 64
27y x= − 27 27 64 0x y− − =
0x y− = 23( ) 24g x x x′ = − 27 27 64 0x y− − =
3 21( ) ( ) 4g x f x x x x= − = −
23( ) 2 04g x x x′ = − = 0x = 8
3x =
[ 2,0]x∈ − ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
8(0, )3x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
8[ ,4]3x∈ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
(0) (4) 0g g= = ( ) 0g x ≤ ( )f x x≤
3 21( ) ( ) 6 64h x f x x x x= − + = − + ( 2) 0h − = ( ) 0h x ≥
( ) 6f x x≥ −
6 ( )x f x x− ≤ ≤
6 ( ) 0f x x− ≤ − ≤
( )M a , 6a a +
6a a≥ + 3a ≤ − ( ) 3M a a a= = − ≥
6a a< + 3a > − ( ) 6 6 3M a a a= + = + >
( )M a ( ) 3M a = 3a = −
2 4 5
3 2 14 4 0
a a a
a a a
=
− + =
2 4 4
1 1
2
1 1 14 4 0
a q a q
a q a q a
=
− + =
1 1
2
a
q
=
=
{ }na
1
1 2 2
n n nS b b +
= − 0nb ≠
1 1 11,b S b= =
2
1 2 2
1 1 b
= −
2 2b =由 ，得 ，............6 分
当 时，由 ，得 ，
整理得 ．............9 分
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此，数列{bn}的通项公式为 bn=n .............10 分
②由①知，bk=k， .
因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为 q，所以 c1=1，q>0
因为 ck≤bk≤ck+1，所以 ，其中 k=1，2，3，…，m.
当 k=1 时，有 q≥1；
当 k=2，3，…，m 时，有 ．
设 f（x）= ，............13 分
则 ．
令 ，得 x=e.列表如下：
x e (e，+∞)
+ 0 –
f（x） 极大值
因为 ，所以 ．............14 分
取 ，当 k=1，2，3，4，5 时， ，即 ，
1
1 2 2
n n nS b b +
= − 1
12( )
n n
n
n n
b bS b b
+
+
= −
2n ≥ 1n n nb S S −= − ( ) ( )1 1
1 12 2
n n n n
n
n n n n
b b b bb b b b b
+ −
+ −
= −− −
1 1 2n n nb b b+ −+ =
( )*n N∈
*k N∈
1k kq k q− ≤ ≤
ln lnln 1
k kqk k
≤ ≤ −
ln ( 1)x xx
>
2
1 ln( ) xf ' x x
−=
( ) 0f ' x =
(1,e)
( )f ' x
ln 2 ln8 ln9 ln3
2 6 6 3
= < = max
ln3( ) (3) 3f k f= =
3 3q = ln lnk qk
kk q≤经检验知 也成立．
因此所求 m 的最大值不小于 5．
若 m≥6，分别取 k=3，6，得 3≤q3，且 q5≤6，从而 q15≥243，且 q15≤216，
所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.
综上，所求 m 的最大值为 5．............16 分
1kq k− ≤
微信/支付宝扫码支付