武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷
理 科 数 学
（本试卷共 3 页，大题 3 个，小题 22 个。答案要求写在答题卡上）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．）
1．集合 ， ，则 （ ）
A. B． C. D.
2．复数 ，其中 为虚数单位，则 的虚部为（ ）
A. B． 1 C. D.
3．已知 sin α＝ 5
5
，sin(α－β)＝－ 10
10
，α，β 均为锐角，则 β 等于( )
A.5π
12 B .π
3 C.π
4 D.π
6
4．把 60 名同学看成一个总体,且给 60 名同学进行编号,分 5 为 00,01,…,59,现从中抽取一
容量为 6 的样本,请从随机数表的倒数第 5 行(下表为随机数表的最后 5 行)第 11 列开
始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第 6 个号码为( )
A.32 B .38 C.39 D.26
5．如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1
中，点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点，则三棱锥 P﹣BCD 的正视
图与侧视图的面积之和为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
6．在等比数列 中，“ 是方程 的两根”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条
件
7．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量
{ | 2lg 1}A x x= < { }2| 9 0B x x= − ≤ A B =
[ 3,3]− (0, 10) (0,3] [ 3, 10)−
1 21z i z i= + =， i 1
2
z
z
1− i i−
{ }na 4 12,a a 2 3 1 0x x+ + = 8 1a = −(单位:厘米),左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对
应的散点图,并求得其回归方程为 以下结论中不正确的为( )
A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米
D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米
8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，
竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想
的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 5，2，则输出的 n 等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9．已知抛物线 y2＝2x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线
交于 M，N 两点，若 ，则|MN|＝（ ）
A． B． C．2 D．
10．已知圆 C1：x2＋y2－kx＋2y＝0 与圆 C2：x2＋y2＋ky－4＝0 的公共弦所在直线恒过点
P(a，b)，且点 P 在直线 mx－ny－2＝0 上，则 mn 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11．已知 F 为双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，定点 A 为双曲线虚轴的一个顶点，
过 F，A 的直线与双曲线的一条渐近线在 y 轴左侧的交点为 B，若FA→
＝( 2－1)AB→
，
则此双曲线的离心率是( )
A. 2 B. 3 C.2 2 D. 5
ˆ 1.16 30.75,y x= −
），（
4
10
4
10， ），（
4
1-∞
∞
4
1- ，12．已知函数 ，当 时， 的取值范围为
，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 ， ， 与 的夹角为 ，则
__________.
14．(x2＋1) 的展开式的常数项是_________.
15．已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式 f（x）＞
x 的解集用区间表示为 ．
16．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3 人作出如下预测：
甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙 3 人
的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）在平面四边形 ABCD 中，已知 AB＝2 ，AD＝3，
∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝ ．
（1）求 BD；
（2）求△BCD 周长的最大值．
18.（本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 中，侧面 底面 ，底
面 是平行四边形， ， ，
， 是 中点，点 在线段 上.
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求实数 使直线 与平
面 所成角和直线 与平面 所成角相等.
19.（本小题满分 12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一
定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红
( )( 2) 3,( ln 2)( )
3 2 ,( ln 2)
xx x e xf x
x x
− − + ≥=
− b>0)的离心率 e= ,过右焦点 F 且垂直于
x 轴的弦长为 2.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)若直线 l:y=x+m 与椭圆 C 交于 M,N 两点,求△MFN 的面积取最大值时 m 的值.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝(a－x)ex－1，x∈R.
(1)求函数 f(x)的单调区间及极值；
(2)设 g(x)＝(x－t)2＋ ，当 a＝1 时，存在 x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，
使方程 f(x1)＝g(x2)成立，求实数 m 的最小值.
【选修 4-4：极坐标与参数方程】
22．（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: (t 为参数).在以
O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ2= .
(1)求曲线 C1 的普通方程及 C2 的直角坐标方程;
(2)设 t1=1,t2=-1 在曲线 C1 上对应的点分别为 A,B,P 为曲线 C2 上的点,求△PAB 面积的
最大值和最小值.
【选修 4-5：不等式选讲】
23.（本小题满分 10 分）已知函数 .
(1)若函数 的最小值为 3，求实数 的值；
(2)在（1）的条件下，若正数 满足 ，求证： .
2
ln
−
t
mx
( )f x m
, ,a b c 2a b c m+ + = 1 1 4a b b c
+ ≥+ +武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷
数学（理）参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．）
CACDB ADCBD AC
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.3 14. -42 15. （﹣3，0）∪（3，+∞） 16. 甲
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）
17.解：（1）在△ABD 中，由正弦定理得： ＝ ＝2cos∠ABD，
∴cos∠ABD＝ ，
∴cos∠ABD＝ ＝ ＝ ，
即：BD2﹣8BD+15＝0，解得：BD＝3 或 5；
（2）在△BCD 中，∠BCD＝ ，由余弦定理得：cos∠BCD＝ ＝ ，
∴BC2+CD2﹣BD2＝BC×CD， ∴（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，
由基本不等式得： ，∴（BC+CD）2≤ ，
∴ ，∴（BC+CD）2≤4BD2，
当 BD＝3 时，BC+CD≤6，即 3＜BC+CD≤6，所以 6＜BC+CD+BD≤9，
当 BD＝5 时，BC+CD≤10，即 3＜BC+CD≤10，所以 6＜BC+CD+BD≤15
所以△BCD 周长的最大值为：9 或 15．
18.(Ⅰ)解： 中 ，∴ ∴ ；
连 ， 中
∴ ∴ ，∴
又 ∴ 平面 ∴
(Ⅱ)由（1）： ，又侧面 底面 于 ，∴ 底面 ，∴以
为原点， 延长线、 、 分别为 、 、 轴建系；
PAD 2 2 2PA AD PD+ = 90PAD∠ = ° AD PA⊥
AC ABC 2 2 2 2 cos 4AC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ∠ =
2 2 2AC BC AB+ = AC BC⊥ AD AC⊥
PA AC A∩ = AD ⊥ PAC AD PC⊥
PA AD⊥ PAD ⊥ ABCD AD PD ⊥ ABCD
A DA AC AP x y z∴ ， ， , ， ，
∴ ， ， ，
设 ，（ ），则
，
设平面 的一个法向量 ，则 ，可得
又平面 的一个法向量
由题： ，即 解得：
19. （1）
（2）顾客抽奖 3 次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，
∴ ，
于是 ； ；
； ，
故 的分布列为
0 1 2 3
的数学期望为 .
20.解:(1)由题意知 解得 ∴椭圆 C 的方程为 =1.
(2)联立方程得 消去 y,得 3x2+4mx+2m2-4=0,
( )0 0 0A ，， ( )2 2 0B ， ， ( )0 2 0C ， ， ( )2 0 0D − ，， ( )1 1 0E − ，， ( )0 0 2P ，，
( )0 2 2PC = − ， ， ( )2 0 2PD = − − ，， ( )2 2 2PB ， ，= −
PF
PB
λ= [ ]0 1，λ ∈ ( )2 2 2PF λ λ λ= − ， ，
( )2 2 2 2F λ λ λ− +， ， ( )2 1 2 1 2 2EF ， ，λ λ λ= + − − +
PCD ( )m x y z= ， ， 0
0
m PC
m PD
⋅ =
⋅ =
( )1 1 1m = − − ， ，
ABCD ( )0 0 1n = ，，
cos cosEF m EF n= ， ，
2 2 2
3EF EF
λ λ− = 3 3
2
λ −=
10
71 1
10
1
10
1
5
1
6 =−=
CC
CCp
1
5
1(3, )5X B∼
0 0 3
3
1 4 64( 0) ( ) ( )5 5 125P X C= = = 1 1 2
3
1 4 48( 1) ( ) ( )5 5 125P X C= = =
2 2 1
3
1 4 12( 2) ( ) ( )5 5 125P X C= = = 3 3 0
3
1 4 1( 3) ( ) ( )5 5 125P X C= = =
P
64
125
48
125
12
125
1
125
1 3( ) 3 5 5E X = × =Δ=16m2-12(2m2-4)=-8m2+48>0,∴|m|< .
设 M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=- , x1x2= ,
∴|MN|= |x1-x2|= .
又点 F( ,0)到直线 MN 的距离 d= ,
∴S△FMN=|MN|·d= | +m|· (|m|< ).
令 u(m)=(6-m2) (|m|< ),则 u'(m)=-2(2m+3 )(m+ )(m- ),
令 u'(m)=0,得 m=- 或 m=- 或 m= ,
当-
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