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长郡中学 2020 届高三停课不停学阶段性测试 理科数学试题 一．选择题 1.若i 为虚数单位，复数 z 满足 1 1z i i i   （ ） ，则 z 的虚部为（ ） A． 2 1 2  B． 2 1 C． 2 1 2 i  D．1 2 2  2．设集合 3 01 xA x x       ，  3B x x ≤ ，则集合 1x x ≥ （ ） A． B． A BU C． D． 3．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从 第 2 月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3 月入 25 贯，全年（按 12 个月计）共入 510 贯”，则该人 12 月营收贯数为（ ） A．35 B．65 C．70 D．60 4．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传 到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其 游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在话音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”， 食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布” 又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小千和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石 头、剪刀、布”游戏比赛，则小千和大年比赛至第四局小千胜出的概率是（ ） A． B． C． D． 5．已知 a=log0.62，b=log20.6，c=0.62，则（ ） A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 6.椭圆C : 159 22  yx ， 21 FF , 是其焦点，点 P 是椭圆 C 上一点，若 21PFF 是直角三 角形，则点 P 到 x 轴的距离为（ ） A． 5 3 B． 5 2 C． 5 D． 2 5 微信公公众号《免费下载站》7.若 为锐角，且 140504  tan)tancos(  则 =（ ） A． 60° B．50° C．40° D． 30° 8．设等比数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，公比为 q ，且 3 9 6S S S， ， 成等差数列，则 38q 等于 （ ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 9．在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 2 2 8 15 0x y x    ，若直线 2y kx  上 至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为 1 的圆与圆C 有公共点，则 k 的最小值是（ ） A、 4 3  B、 5 4  C、 3 5  D、 5 3  10. 已 知 函 数 ( ) sin 2 3 cos2f x a x x  的 图 象 关 于 直 线 12x   对 称 ， 若 1 2( ) ( ) 4f x f x   ，则 1 2x x 的最小值为( ) A. 3  B. 2 3  C. 4  D. 2  11．如图，在梯形 ABCD 中，已知 2AB CD ， ，双曲线过C ， D ， E 三点， 且以 A ， B 为焦点，则双曲线的离心率为（ ） A． 7 B． 2 2 C．3 D． 10 12. 如图，棱长为 4 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，点 A 在平面 内， 平面 ABCD 与平面 所成的二面角为 030 ，则顶点 1C 到平面 的 距离的最大值是（ ） A.  2 2 2 B.  2 3 2 C.  2 3 1 D.  2 2 1 二．填空题 13.已知 1 2 1 12 ( 1 2 )n x x dx     ,则 21 n x x     的展开式中 的常数项为___ _____ 14.某封 闭几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 D C A B E 8 6 4 6 6 正视图 左视图 俯视图 微信公公众号《免费下载站》15．对于数列 ，都有 为常数）成立，则称 数列 具有性质 ． 若数列 的通项公式为 ，且具有性质 ，则实 数a的取值范围是 16. 若 ，满足 恒成立，则实数 的取值范围为____． 三．解答题 17．已知在 ABC 中， , ,a b c 分别为角 A,B,C 的对应边，点 D 为 BC 边的中点， ABC 的 面积为 2 3sin AD B . (1)求sin sinBAD BDA   的值； (2)若 6 , 2 2BC AB AD  ，求b 。 18．如图，矩形 ABCD 中，AB=6， ，点 F 是 AC 上的动点．现将矩形 ABCD 沿着 对角线 AC 折成二面角 D'﹣AC﹣B，使得 ． (1)求证：当 时，D'F⊥BC； (2)试求 CF 的长，使得二面角 A﹣D'F﹣B 的大小为 ． 微信公公众号《免费下载站》19.已知 F 为抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点． 当直线与 x 轴垂直时， 4AB  ． (1)求抛物线 C 的方程； (2)若直线 AB 与抛物线的准线 l 相交于点 M，在抛物线 C 上是否存在点 P，使得直线 PA， PM，PB 的斜率成等差数列?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 20．已知函数 f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）． (1)当 a=﹣1 时，求函数 f（x）的最小值； (2)若 x≥0 时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数 a 的取值范围； 微信公公众号《免费下载站》21．如图，直角坐标系中，圆的方程为 2 2 1x y  ， ( )1,0A ， 1 3,2 2      B ， 1 3,2 2C       为圆上三个定点，某同学从 A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子， 把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若 掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头 相反的方向移动．设掷骰子 n 次时，棋子移动到 A ，B ，C 处的概率分别为  nP A ，  nP B ，  nP C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到 A ， B ，C 处的概率分别为  1P A O ，  1 1 2P B  ，  1 1 2P C  ． （1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到 A ， B ，C 处的概率； （2）掷骰子 N 次时，若以 X 轴非负半轴为始边，以射线OA，OB ，OC 为终边的角的余 弦值记为随机变量 nX ，求 4X 的分布列和数学期望； （3）记  n nP A a ，  n nP B b ，  n nP C c ，其中 1n n na b c   ．证明：数列 1 3nb    是等比数列，并求 2020a . 微信公公众号《免费下载站》22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线 1 3 3cos: 2sin xC y       （ 为参数）经过伸缩变换 3 2 xx yy       ，后的曲 线为 2C ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求 2C 的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线 3C 的极坐标方程为 sin 16       ，且曲线 3C 与曲线 2C 相交于 P ， Q 两点， 求 PQ 的值． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数   2 1f x x b x     ，   2 2 22g x x a c x b     ，其中 a ，b ，c 均为正实数， 且 1ab bc ac   ． （Ⅰ）当 1b  时，求不等式   1f x ≥ 的解集； （Ⅱ）当 x R 时，求证    f x g x≤ ． 微信公公众号《免费下载站》