安徽省、等六校2020届高三数学（文）上学期第一次素质测试试卷（附解析Word版）

安徽六校教育研究会 2020 届高三第一次素质测试 文科数学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知复数 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对复数 进行乘法运算，并计算得到 ，从而得到虚部为 2. 【详解】因为 ，所以 z 的虚部为 2. 【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意 . 2.设集合 ，则 ( ) A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 对集合 通过解绝对值不等式化简为 或 ，再和集合 取交集. 【详解】因为 或 ， ， 所以 . 【点睛】两个集合进行交运算时，注意大于取大、小于取小的原则. 3.已知函数 是定义在 上 奇函数，当 时， ，则 ( ) A. 9 B. -9 C. 45 D. -45 【答案】C 【解析】 的 (1 )(3 )(z i i i= + − 2i 4i z 4 2z i= + (1 )(3 ) 4 2z i i i= + − = + 2 1i = − { } { }| 1 , | 1M x x N x x= ≥ = < M N = { }| 1x x < { | 1x x < }2x ≥ { }|0 1x x≤ < { }| 1x x ≤ − M { | 1M x x= ≥ 1}x ≤ − N { | 1} { | 1M x x x x= ≥ = ≥ 1}x ≤ − { }| 1N x x= < M N = { }| 1x x ≤ − ( )f x R ( ),0x∈ −∞ 3 2( ) 2f x x x= − (3)f =【分析】 函数 为奇函数，有 ，再把 代入已知条件得到 的值. 【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数， 所以 . 【点睛】本题考查利用奇函数的定义求函数值，即 ，考查基本运算能力. 4.若 ，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式的基本性质及指数函数的单调性，易知 D 是不正确的. 【详解】因为 ，所以 ， 考查指数函数 ，所以 ， 所以 D 不正确. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等 式的正确性. 5.已知函数 ，则 的大致图象是( ) A. B. ( )f x (3) ( 3)f f= − − 3x = − (3)f ( )f x R 3 2(3) ( 3) [( 3) 2( 3) ] ( 27 18) 45f f= − − = − − − − = − − − = (3) ( 3)f f= − − 1,0 1a c b> < < < 2019 2019log loga b> log logc ba a> ( ) ( )c bc b a c b a− > − ( ) ( )c ba c a a c a− > − 1,0 1a c b> < < < 0a c− > ( 1)xy a a= > ( ) ( )c b c ba a a c a a c a⇔< − < − 2 1( ) 4 4f x x x = − ( )f xC. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用特殊值 、 、 ，排除错误选项. 【详解】当 时， ，排除 A， 当 时， ，排除 D， 当 时， ，排除 C， 故选 B. 【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函 数图象问题的常见方法. 6.甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人这 6 次考 试的平均成绩分别用 表示，则下列结论正确的是（ ） A. ，且甲成绩比乙成绩稳定 B. ，且乙成绩比甲成绩稳定 C. ，且甲成绩比乙成绩稳定 D. ，且乙成绩比甲成绩稳定 【答案】C 1 2x = 1 4x = 1x = − 1 2x = 2 1 1( ) 11 12 4( ) 4( )2 2 f = = − − 1 4x = 2 1 1 4 1( ) ( )1 14 3 24( ) 4( )4 4 f f= = − < − 1x = − 1 1( 1) 04 4 8f − = = >+ ,x x乙甲 x x> 乙甲 x x> 乙甲 x x< 乙甲 x x< 乙甲【解析】 【分析】 从茎叶图提取两个人的成绩，分别求出两个人的平均分，得到甲的平均数比乙的平均数要低， 但甲数据比较集中，所以成绩比较稳定. 【详解】 ， ， 所以 ， 因为甲数据比较集中，所以成绩比较稳定. 【点睛】茎叶图保留了原始数据，所以可通过计算平均数来比较大小，再通过数据的集中与 离散程度判断稳定性. 7.如图程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两 个空白框中，可以分别填入（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】 程序框图为当型循环，所以 进入判断框后，只有满足条件才会进行循环，所以填 ，要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 . 【详解】因为程序框图为当型循环，所以当 满足条件时，才会进行循环，显然不能填 75 77 82 83 85 90 826x + + + + += =甲 72 76 81 86 91 92 836x + + + + += = 乙 x x< 乙甲 3 2 2020n n− > n 2020A > 1= +n n 2020A > 2= +n n 2020A ≤ 1= +n n 2020A ≤ 2= +n n A 2020A ≤ n n 2= +n n A，故排除 A,B，由于要求输出 为偶数，且 的起始值为 0，所以 . 【点睛】本题考查程序框图中的当型循环，只要读懂题意，易得判断框和循环体各自应填的 条件与表达式. 8.函数 （ 其中 ）的图象如图所示，则 ( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由函数图象得到 ，由函数的最小值为-1，得 ，由函数图象过点 及 得 的值. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 当 时， ，又 ， 所以 ，所以 ， 所以 . 【点睛】本题考查利用三角函数的图象获取信息求得 的值，特别是在求 值时，如果 要选择图象过点 ，则要注意 为函数的第二零点. 9.如图，在平行四边形 中， 分别为 上的点，且 ，连接 交于 点，若 ，则点 在 上的位置为（ ） 2020A > n n 2= +n n ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0,| | 2A πϕ> < ( )f π = 1 2 2 2 3 2 4 4 T π= 1A = 7( , 1)12 π − | | 2 ϕ π< ϕ 7 4 12 3 4 T π π π= − = 2 2T ππ ωω= = ⇒ = min( ) 1f x = − 1A = 7 12x π= 7 7( ) sin( ) 112 6f π π ϕ= + = − | | 2 ϕ π< 3 πϕ = ( ) sin(2 )3f x x π= + 3( ) sin(2 )3 2f ππ π= + = , ,A ω ϕ ϕ ( ,0)3 π 3x π= ABCD ,M N ,AB AD 4 5AM AB=  ,AC MN P 4 11AP AC=  N ADA. 中点 B. 上靠近点 的三等分点 C. 上靠近点 的四等分点 D. 上靠近点 的五等分点 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平面向量基本定理把 表示成基底 的线性组合，即 ， 再根据三点共线得到关于 的方程. 【详解】设 ， 因为 ， 又 三点共线，所以 ，解得： ，所以 ， 所以点 在 上靠近点 的三等分点. 【点睛】运用平面向量基本定理求解向量问题，其关键在于基底的选择，再把涉及的向量全 部用基底表示，于是向量的运算就转化成基底的运算. 10.已知椭圆 的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆相交于 、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ， 则椭圆离心率的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆对称性可证得四边形 为平行四边形，根据椭圆定义可求得 ；利用点到 直线距离构造不等式可求得 ，根据 可求得 的范围，进而得到离心率的范围. AD AD D AD D AD D AP ,AM AN  5 4 11 11AP AM AN λ= +   λ AD ANλ=  4 4 4 5( (11 ) )11 11 4AP AC AB AD AM ANλ= + = +=      5 4 11 11AM AN λ= +  , ,M N P 5 4 111 11 λ+ = 3 2 λ = 2 3AN AD=  N AD D 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > F P : 4 3 0l x y− = A B | | | | 6AF BF+ = P l 6 5 9(0, ]5 3(0, ]2 5(0, ]3 1 3( , ]3 2 AFBF′ 3a = 2b ≥ 2 2 2a b c= + c【详解】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示： 由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则 又 四边形 为平行四边形 又 ，解得： 点 到直线 距离： ，解得： ，即 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，重点考查椭圆几何性质，涉及到椭圆的对称性、椭圆 的定义、点到直线距离公式的应用等知识. 11.某罐头加工厂库存芒果 ，今年又购进 新芒果后，欲将芒果总量的三分之一 用于加工为芒果罐头．被加工为罐头的新芒果最多为 ，最少为 ，则下列坐标 图最能准确描述 、 分别与 的关系是（ ） A. F′ P ,AF BF′ ′ ,A B OA OB= OF OF′ = ∴ AFBF′ AF BF′∴ = 2 6AF BF BF BF a′+ = + = = 3a = P l 3 6 5 5 bd −= ≥ 2b ≥ 2 2 29 2a c c− = − ≥ 0 5c∴ < ≤ 50, 3 ce a  ∴ = ∈   C ( )m kg ( )n kg ( )1f kg ( )2f kg 1f 2f nB. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意分类讨论 、 分别与 的关系，再对照图象选择.1f 2f n【详解】要使得被加工为罐头的新芒果最少，尽量使用库存芒果，即当 时 此时 ，当 时， ，对照图象舍去 C,D; 要使得被加工为罐头的新芒果最多，则尽量使用新芒果，即当 时 ，当 时 ，因为 ，所以选 A. 【点睛】本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 12.如图， 是双曲线 左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于 两点．若 ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A.  B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设 ，利用双曲线的定义求出 和 的值，再利用勾股定 理求 ，由 得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设 ， 由双曲线的定义得： ，解得： ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以双曲线的渐近线方程为 . 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会 的 m n m,n 2m3 + ≤ ≤ 2f 0= n 2m> 2 n m n 2mf m3 3 + −= − = m n mn,n3 2 + ≤ ≥ 1 m nf 3 += m n mn,n3 2 + > < 1f n= m 2m2 < 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2F C ,A B 1 1: : 3: 4:5AB BF AF = 2 3y x= ± 2 2y x= ± 3y x= ± 2y x= ± 1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = = 3x = a c by xa = ± 1 1 23, 4, 5,AB BF AF AF x= = = = 3 4 5x x+ − = − 3x = 2 2 1 2| | 4 6 4 13F F = + = 13c⇒ = 2 5 2 1a x a= − = ⇒ = 2 3b = 2 3by x xa = ± = ±用到双曲线的定义，考查运算求解能力. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】 由两直线垂直斜率相乘为-1，得切线的斜率为 ，由切线的存在性，则 在 有解，再利用参变分离求 的取值范围. 【详解】 ， 因为 的图象存在与直线 垂直的切线，所以切线斜率为 ， 所以 在 有解，即 在 有解， 因为 ，所以 . 【点睛】本题考查两直线垂直斜率的关系、利用导数研究函数的切线及参数的取值范围，考 查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中注意参数 的值能否取到等号. 14.设 等 差 数 列 的 公 差 不 为 0 ， , 若 是 与 的 等 比 中 项,则 等 于____． 【答案】5 【解析】 【分析】 由 是 与 的 等 比 中 项，得 ，把等差数列通项公式与等比中项公式代入 等式，求得 的值. 【详解】因为 是 与 的 等 比 中 项,，所以 ， 所以 ，整理得 ， ( ) ln 2f x x ax= − 2 0x y+ = a 1 ,4  − +∞   1 2 ' 1 1( ) 2 2f x ax = − = 0x > a ' 1( ) ln 2 ( ) 2f x x ax f x ax = − ⇒ = − ( )f x 2 0x y+ = 1 2 ' 1 1( ) 2 2f x ax = − = 0x > 1 12 2a x = − 0x > 1 1 1 2 2x − > − 1 12 2 4a a> − ⇒ > − a { }na d 1 16a d= ka 1a 2ka k ka 1a 2ka 2 1 2k ka a a= ⋅ k ka 1a 2ka 2 1 2k ka a a= ⋅ 2 1 1 1[ ( 1) ] [ (2 1) ]a k d a a k d+ − = ⋅ + − 2 2 15 0k k− − =解得： 或 （舍去）. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与等比数列中项的性质，考查基本量法的运用. 15.将函数 与直线 的所有交点从左到右依次记为 ，若 点坐标为 ，则 ____. 【答案】10 【解析】 【分析】 由函数 与直线 的图象可知，它们都关于点 中心对称， 再由向量的加法运算得 ，最后求得向量的模. 【详解】由函数 与直线 的图象可知， 它们都关于点 中心对称， 所以 . 【点睛】本题以三角函数和直线的中心对称为背景，与平面向量进行交会，考查运用数形结 合思想解决问题的能力. 16.如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 是 的中点，动点 在底面 内（不包括边界），若 平面 ，则 的最小值是____． 【答案】 【解析】 5k = 3k = − ( ) 4cos 2f x x π =    ( ) 1g x x= − 1 2 5, ,...,A A A P ( )0, 3 1 2 5...PA PA PA+ + + =   ( ) 4cos 2f x x π =    ( ) 1g x x= − 3 (1,0)A 1 2 5 3... 5PA PA PA PA+ + + =    ( ) 4cos 2f x x π =    ( ) 1g x x= − 3 (1,0)A 2 2 1 2 5 3... 5 | | 5 (0 1) ( 3 0) 10PA PA PA PA+ + + = = − + − =    1 1 1 1ABCD A B C D− M AD P ABCD 1 / /B P 1A BM 1C P 30 5【分析】 由面面平行找到点 在底面 内的轨迹为线段 ，再找出点 的位置，使 取得最 小值，即 垂直 于点 ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取 中点 ，连结 ，作 ，连 ， 因为面 面面 ，所以动点 在底面 内的轨迹为线段 ， 当点 与点 重合时， 取得最小值， 因为 ， 所以 . 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点 的位置，再通过解三角形 的知识求最值. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.设等比数列 满足 . （1）令 ，求 的最大值； （2）令 ，求数列 的前 n 项和 . 【答案】（1）1024；（2） . 【解析】 【分析】 P ABCD DN P 1C P 1C P DN O BC N 1 1, ,B D B N DN CO DN⊥ 1C O 1 / /B DN 1A BM P ABCD DN P O 1C P 1 1 1 52 2 2 55 2 DN CO DC NC CO⋅ = ⋅ ⇒ = = 2 2 1 min 1 1 1 30( ) 15 5C P C O CO CC= = + = + = P { }na 1 3 2 420, 10a a a a+ = + = 1 2 3n nT a a a a=  nT 2logn nb a= { }n na b nS ( ) 596 3 2 n nS n −= + − ⋅（1）根据条件求出等比数列通项公式 ，解不等式 可得前 4 项都大于 1， ，从而求得 的最大值；（2）利用错位相减法进行求和. 【详解】（1）设等比数列 首项为 ，公比为 ， 所以 ，解得： 所以 ，当 时，解得： ， 所以 ， ， 所以 的最大值为 . （2）由（1）知 ，则 ， ， 两边同时乘以 得： ， 两式相减得： 所以 . 【点睛】等比数列前 项积达到最大，主要是根据各项与 1 的大小进行比较；错位相减法进行 求和时，要注意最后得到的常数的准确性，即本题中的 96 必需确保没有算错，其它项可以合 并，也可以不合并. 18.在 中， 分 别 为 角 的 对 边 ，且 . 5 1 2n na −= 5 1 12n na −= ≥ 5 1a = nT { }na 1a q 2 3 1 1 1 120, 10a a q a q a q+ = + = 1 16, 1 ,2 a q = = 5 1 2n na −= 5 1 12n na −= ≥ 5n ≤ 1 2 3 4 5 1a a a a a> > > > = 6 71 a a> > > nT 4 5 16 8 4 2 1024T T= = × × × = 2logn nb a= 2 5 1log 52n n−= = − 51(5 ) ( )2 n n na b n −⋅ = − ⋅ 4 3 51 1 14 ( ) 3 ( ) (5 ) ( )2 2 2 n nS n− − −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ 1 2 3 2 41 1 1 14 ( ) 3 ( ) (5 ) ( )2 2 2 2 n nS n− − −= ⋅ + ⋅ + + − ⋅ 4 3 5 41 1 1 1 14 ( ) [( ) ( ) ] (5 ) ( )2 2 2 2 2 n n nS n− − − −= ⋅ − + + − − ⋅ 3 1 4 1 1( ) [1 ( ) ] 12 24 16 (5 ) ( )1 21 2 n nn − − − − = × − − − ⋅ − 1 41 164 16[1 ( ) ] (5 ) ( )2 2 n nn− −= − − − − ⋅ 4148 ( 3) ( )2 nn −= + − ⋅ ( ) 596 3 2 n nS n −= + − ⋅ n ABC∆ , ,a b c , ,A B C ( )sin sin sinB C A C− = −（1）求角 ； （2）若 ，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用 展开代入已知条件，化简得 ，再根据 ，求 得 ； （2）用角 这一变量来表示 ，转化成研究 的最大值. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 . （2）由（1）得 ， 由正弦定理 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，其中 ， 由 ，存在 使得 ，所以 的最大值为 1， 所以 的最大值为 . 【点睛】本题考查三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考查逻辑推理和运算求 解能力，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量 ，构造关于变量 的函数， 接着研究函数的值域，从而得到目标式子的最值. 19.某商场近 5 个月 销售额和利润额如表所示：的 A 3a = 2b c+ 3A π= 2 21 sin sin( )B A C= + 1cos 2A = 0 A π< < 3A π= B 2b c+ 2 3(2sin 3cos )B B+ ( )sin sin sinB C A C− = − ( ) ( )sin sin sinA C C A C+ − = − 1sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos 2A C A C C A C A C A+ − = − ⇒ = 0 A π< < 3A π= 2 3C B π= − 2sin sin sin a b c RA B C = = = 3 2sinsin sin( )3 3 b c B B π π= = − 22 3sin , 2 3sin( )3b B c B π= = − 22 2 3sin 4 3sin( ) 2 3(2sin 3cos )3b c B B B B π+ = + − = + 2 21sin( )B ϕ= + 3tan , (0, )2 2 πϕ ϕ= ∈ 2(0, )3B π∈ B 2B πϕ+ = sin( )B ϕ+ 2b c+ 2 21 B B（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系； （2） 求出利润额 关于销售额 的回归直线方程； （3） 当销售额为 4 千万元时，利用（2）的结论估计该商场的利润额（百万元）. , , 【答案】（1）散点图见解析；（2） ；（3）1.9 百万元. 【解析】 【分析】 （1）画出坐标系，并描出 5 个离散的点； （2）由最小二乘法公式求出系 ，再由回归直线过散点图的中心 求 ； （3）把 代入回归直线，得到预报值 . 详解】（1）散点图如图所示： 两个变量正相关，且具有线性相关关系. （2）易求 ， 由公式有 且 ， 则线性回归方程为 . （3）当 时，由（1）可求得 ，即利润额约为 百万元. 【点睛】本题考查统计中的散点图、回归直线方程及其应用，考查数据处理能力，注意回归 【 y x 1 1 2 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nxy x x y y b x n x x x = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑  a y bx= −  0.65 .7ˆ 0y x= − b (6,3.2) a 4x =  1.9y = 6, 3.2x y= = 2 2 2 2 3 2.2 1 0.2 0 1 0.8 3 1.8 20ˆ 0.653 1 1 3 13b × + × + + × + ×= = =+ + + ˆ 3.2 0.65 6 0.7a = − × = − 0.65 .7ˆ 0y x= − 4x =  1.9y = 1.9方程的写法与平时写的直线方程的区别. 20.如图所示，三棱柱 中，侧面 为菱形， 在侧面 上的投影恰为 的中点 ． （1） 证明： ； （2） 若 ，且三棱柱 的体积为 ，求三棱柱 的高. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）证明 垂直 所在的平面 ，进而可得证； （2）根据三棱柱 的体积为 ，求得 ，由 ， 得到三棱柱的高 . 【详解】（1）连接 ，因为侧面 为菱形， 所以 ，且 与 相交于点 ， 因为 平面 ， 平面 ， 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1 60 ,CBB A∠ =  1 1BB C C 1B C O 1B C AB⊥ 1AC AB⊥ 1 1 1ABC A B C− 3 8 1 1 1ABC A B C− 21 7 1B C AB ABO 1 1 1ABC A B C− 3 8 1 11B C BC B B= = = 7 8ABCS∆ = 21 7h = 1BC 1 1BB C C 1 1B C BC⊥ 1B C 1BC O AO ⊥ 1 1BB C C 1B C ⊂ 1 1BB C C所以 ，又 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 . （2）由 且 垂直平分 可知 是等腰直角三角形，则 ， 又 得 . ，且等边 中， ，故 中， 又 ，易求得等腰 中 边上的高为 ， 则 ， 由 有 . 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、三棱柱高的概念，注意利用割补思想进行体积的求解 运算，考查空间想象能力和运算求解能力. 21. . （1）讨论函数 的极值点情况； （2）若 ，存在 ， 使得 成立，求 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）6. 【解析】 【分析】 （1）求出函数定义域为 ，对参数进行分类讨论，求导后解不等式，从而得到单调区 间，进而得到函数的极值点； 1B C AO⊥ 1B C AO O∩ = 1B C ⊥ ABO AB Ì ABO 1B C ⊥ AB 1AC AB⊥ AO 1B C 1ACB∆ 1 1 2AO B C= 1 1 1 1 1 1 13 3 3 3ABC A B C B ABC A B BC B BCV V V S AO− − − ∆= = = × ⋅ 2 3 1 1 3 3 3·4 8 8B C AO B C= = = 1 11B C BC B B= = = 1 2AO = 1BCB∆ 3 2BO = Rt AOB∆ 221 3 12 2AB   = + =      2 2AC = ABC∆ AC 14 4 1 2 14 7 2 2 4 8ABCS∆ = × × = 1 1 3· 8ABC A BC ABCV S h− ∆= = 21 7h = 2( ) ln ( )f x x a x a R= − ∈ ( )f x 2a = 1 2 1, , , ,nx x x ee  ∈   ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1n nf x f x f x f x−+ + + ≤ n (0, )+∞（2）当 时， ，由于 ，可得 ，再取 ，得到 ，故 的最大值为 . 【详解】（1）定义域 ， ， 故当 时， ，所以函数 上单调递增，无极值点； 当 时，令 ，得 所以函数 在 上单调递增， 令 ，得 ，所以函数 在 上单调递减，有极小值点 ， 无极大值点； 综上所述，当 时，无极值点；当 时，有极小值点 ，无极大值点. （2）当 时，由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 又因为 ， 故 ， 故 时， ， 由于 ， 则 ， 取 ，则 ， 故 的最大值为 . 【点睛】本题考查函数与导数中的极值、不等式证明、最值等问题，对逻辑思维能力、运算 求解能力等的要求较高，属于难题. 在 1 ,x ee  ∈   2( ) 1, 2f x e ∈ −  ( )2 2 ( ) 1ne f e f x n− = ≥ ≥ − 2 1 7n e≤ − < 1 2 3 4 5 1x x x x x= = = = = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 2f x f x f x e+ +…+ = < − n 6 (0, )+∞ 22( ) 2 a x af x x x x −′ = − = 0a ≤ ' ( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 0a > ' ( ) 0f x > 2 2 ax > ( )f x 2 ,2 a +∞    ' ( ) 0f x < 2 2 ax < ( )f x 20, 2 a      2 2 a 0a ≤ 0a > 2 2 a 2a = ( )f x 1[ ,1)e (1, ]e min( ) (1) 1f x f= = 2 2 2 2 1 1 2 3, 5.29 2.7 2 ( ) 2 2.8 2 5.84f f e ee e   = + < = − < = − < − =   2 max( ) ( ) 2f x f e e= = − 1 ,x ee  ∈   2( ) 1, 2f x e ∈ −  ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 12 ( ) ( 1) (1) 1n ne f e f x f x f x f x n f n−− = ≥ ≥ + + + ≥ − = − 2 1 7n e≤ − < 1 2 3 4 5 1x x x x x= = = = = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 5 5 2f x f x f x e+ +…+ = < − n 622.在平面直角坐标系 中， 圆 为 的内切圆.其中 . （1）求圆 的方程及 点坐标； （2）在直线 上是否存在异于 的定点 使得对圆 上任意一点 ，都有 为常数 )？若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）圆 的圆心为 ，利用点到直线距离公式，求得半径 ，得到圆的方程 ， 再由线段 、线段 均与圆相切，得到点 ； （2）假设存在 为常数)，设 ，几何关系坐标化，转化成恒 成立问题，进而得到 或 ，分别代入 并进行检验，得到定点 . 【详解】（1）由 知直线 的方程为 ， 由于圆 与线段 相切，所以半径 即圆 的方程为 . 由题意 与线段 相切，所以线段 的方程为 ，即 . 又 与线段 也相切，所以线段 的方程为 ，即 . 故 （2）设 ，则 ， ， 若在直线 上存在异于 的定点 ，使得对圆 上任意一点 ， 都有 为常数 )，等价于 ， 对圆 上任意点 恒成立. 即 xOy O ABC∆ ( , ), (2, 1), ( 1,3)A m n B C− − O A AO A Q O P (PA PQλ λ= Q λ 2 2 1x y+ = ( )1, 1A − − 1 1, , 22 2Q − −   O (0,0) 1r = 2 2 1x y+ = AC AB ( 1, 1)A − − (PA PQλ λ= ( )0 0, , ( , )Q x y P x y 2λ = 1λ = 0 2 1x λ= − 1 1,2 2Q − −   (2, 1), ( 1,3)B C− − BC 4 3 5 0x y+ − = O BC | 5 | 15r −= = O 2 2 1x y+ = 2 2 1x y+ = AC AC 1x = − 1m = − 2 2 1x y+ = AB AB 1y = − 1n = − ( 1, 1)A − − ( )0 0, , ( , )Q x y P x y 2 2| | ( 1) ( 1)PA x y= + + + ( ) ( )2 2 0 0| |PQ x x y y= − + − AO A Q O P (PA PQλ λ= ( ) ( )2 22 2 0 0( 1) ( 1)x y x x y yλ+ + + = − + − O ( , )P x y ( ) ( )2 22 2 2 2 0 0( 1) ( 1)x y x x y yλ λ+ + + = − + −整理得： 因为点 在直线 上，所以 ，由于 在圆 上，所以 . 故 对任意 恒成立， 所以 显然 ，所以 故 ， 因为 ，解得： 或 ； 当 时， 此时 重合，舍去. 当 时， 综上，存在满足条件的定点 ，此时 . 【点睛】本题考查圆的方程、点到直线距离公式、直线与圆的位置关系等知识，考查逻辑推 理能力和运算求解能力，特别是坐标法思想的灵活运用，即把几何问题转化为代数问题中的 恒成立问题，从而得到方程组 是解决本题的难点. ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 01 2 2 2 2 2 0x y x x y y x yλ λ λ λ− + + + + + + − + = Q AO 0 0x y= P O 2 2 1x y+ = ( )2 2 2 2 0 02 2 ( ) 3 2 0x x y xλ λ λ+ + + − − = [ 2, 2]x y+ ∈ − 2 0 2 2 2 0 2 2 0 3 2 0 x x λ λ λ  + =  − − = 0λ ≠ 0 2 1x λ= − 2 2 23 0λ λ− − = 0λ > 2λ = 1λ = 1λ = ( 1, 1)Q − − ,Q A 2λ = 1 1,2 2Q − −   1 1,2 2Q − −   2λ = 2 0 2 2 2 0 2 2 0 3 2 0 x x λ λ λ  + =  − − =