东 2020 届高三年级第一次摸底考试
数学（理科）试题
一、选择题
1.若 是虚数单位,在复平面内复数 表示的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
运用复数除法的运算法则,化简复数 ,最后选出正确答案.
【详解】因为 ,所以复平面内复数 表示的点的坐标为
,该点在第四象限.
故选：D
【点睛】本题考查了复数除法的运算法则.考查了复数在复平面表示点的位置问题.
2.若全集 ,集合 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式,并求出正整数解集,化简全集的表示,根据补集、交集的定义,求出
.
【详解】 .
因为 ,所以 ,因此 .
故选：B
i 2
1
i
i
−
+
2
1
i
i
−
+
2 (2 ) (1 ) 1 3
1 (1 ) (1 ) 2 2
i i i ii i i
− − ⋅ −= = −+ + ⋅ −
2
1
i
i
−
+
1 3( , )2 2
−
{ }* 2 5 6 0U x N x x= ∈ − − ≤ { }2,3A = { }0,1,5B = ( )UB A∩
{ }0,1,5 { }1,5 ∅
{ }0,1,4,5,6
( )UB A∩
{ } { } { }* 2 *5 6 0 1 6 1,2,3,4,5,6U x N x x x N x= ∈ − − ≤ = ∈ − ≤ ≤ =
{ }2,3A = { }1,4,5,6U A = ( ) { }1,5UB A∩ =【点睛】本题考查了集合的补集运算、并集运算,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算
能力.
3.下列函数中,既是偶函数,又在 上单调递增的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对选项中的四个函数,先求定义域,再判断是不是偶函数,当 时,化简函数的解析式,
再判断单调性即可选出正确答案.
【详解】选项 A：函数 的定义域为全体非负实数集,故该函数不具有奇偶性,不符合题意；
选项 B：函数 的定义域为全体实数集. ,所以该函
数是偶函数, 当 时, ,因为 ,所以该函数此时是减
函数,不符合题意；
选项 C：函数 的定义域为非零的全体实体集,
,所以该函数是偶函数,
当 时, ,根据单调性的性质可知：该函数此时单调递减,
不符合题意；
选项 D：函数 的定义域为全体实数集, ,所
以该函数是偶函数, 当 时, ,符合题意.
故选：D
【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性,属于基础题.
4.设 , , ,则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
( )0, ∞+
3
2y x= xy e−= 21 lgy x= −
6y x= +
( )0,x∈ +∞
3
2y x=
( ) xy f x e−= = ( ) ( )x xf x e e f x− − −− = = =
( )0,x∈ +∞ 1( ) ( )x x xf x e e e
− −= = = 10 1e
< <
2( ) 1 lgy f x x= = −
2 2( ) 1 lg( ) 1 lg ( )y f x x x f x= − = − − = − =
( )0,x∈ +∞ 2( ) 1 lg 1 2lgf x x x= − = −
( ) 6y f x x= = + ( ) 6 6 ( )f x x x f x− = − + = + =
( )0,x∈ +∞ ( ) 6y f x x= = +
50.3a = 0.35b = 0.3log 5c = , ,a b c
a b c> > a c b> > c a b> > b a c> >【解析】
【分析】
根据对数函数、指数函数的单调性,运用中间值比较法,可以比较出 的大小关系.
【详解】因为函数 是全体实数集上的减函数,所以有 ；
因为函数 是全体实数集上的增函数,所以有 ；
因为函数 是正实数集上 减函数,所以有 ,因此有 .
故选：D
【点睛】本题考查了对数式、指数式的比较,运用对数函数、指数函数的单调性,运用中间值
比较法是解题的关键.
5.素数也叫质数,部分素数可写成“ ”的形式（ 是素数）,法国数学家马丁•梅森就是
研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“ ”形式（ 是素数）的素数称为梅
森素数.2018 年底发现的第 个梅森素数是 ,它是目前最大的梅森素数.已知
第 个梅森素数为 ,第 个梅森素数为 ,则 约等于（参考数据：
）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 两数远远大于 1, 的值约等于 ,设 ,运用指数运算法则,把指数式转化
对数式,最后求出 的值.
【 详 解 】 因 为 两 数 远 远 大 于 1, 所 以 的 值 约 等 于 , 设
,
因此有 .
故选：C
的
, ,a b c
0.3xy = 5 00 0.3 0.3 1< < =
5xy = 0.3 05 5 1> =
0.3logy x= 0.3 0.3log 5 log 1 0< = b a c> >
2 1n − n
2 1n − n
51 825899332 1P = −
8 312 1P = − 9 612 1Q = − Q
P
lg 2 0.3≈
710 810 910 1010
,P Q Q
P
61
31
2
2
61
31
2
2 k=
k
,P Q Q
P
61
31
2
2
61
30 30
31
2 2 lg 2 lg2 k k k= ⇒ = ⇒ =
930lg 2 lg lg 9 10k k k= ⇒ = ⇒ =【点睛】本题考查了数学估算能力,考查了指数运算性质、指数式转化为对数式,属于基础题.
6.函数 y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：函数 f（x）=2x 2–e|x| 在[–2,2]上是偶函数，其图象关于 轴对称，因为
，所以排除 选项；当 时， 有一零点，
设为 ，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数．故选 D
7.“ ”是“关于 的不等式 的解集为 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断不等式 的解集为 成立的条件,然后根据充分性、 必要性的定义选 出
正确答案.
【 详 解 】 因 为 关 于 的 不 等 式 的 解 集 为 , 所 以 有 ： 且
,
所以有 ,显然由 不一定能推出 ,但由 一定能推出
,故“ ”是“关于 的不等式 的解集为 ”的必要不充
分条件.
y
2 2(2) 8 ,0 8 1f e e= − < − < ,A B [ ]0,2x∈ 4 xy x e′ = −
0x 0(0, )x x∈ ( )f x 0( ,2)x x∈ ( )f x
2 2a− ≤ ≤ x 2 1 0ax ax a
− + ≥ R
2 1 0ax ax a
− + ≥ R
x 2 1 0ax ax a
− + ≥ R 0a >
2 1( ) 4 0a a a
− − ⋅ ≤
0 2a< ≤ 2 2a− ≤ ≤ 0 2a< ≤ 0 2a< ≤
2 2a− ≤ ≤ 2 2a− ≤ ≤ x 2 1 0ax ax a
− + ≥ R故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,解决不等式恒成立问题是解题的关键.
8.已知函数 ,若 ,则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
根据分段函数的解析式,分类讨论解不等式,最后求出实数 的取值范围.
【详解】当 时, ,而 ,所以
；
当 时, ,而 ,所以 ,综上所述：
实数 的取值范围是 .
故选：B
【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法,正确求解对数不等式、绝对值不等式是解题的关
键.
9.二次函数 和 ( , )的值域分别为 和 ,命题
,命题 ,则下列命题中真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个二次函数最高次项系数的正负性可以通过举例说明命题 的真假,
根据两个二次函数最高次项系数的正负性进行分类讨论,可以判断出命题 的真假,最后根据
【
( )
3
2 1 1, 0
log , 0
x xf x x x
+ − ≤= >
( ) 1f a ≤ a
[ )3, 3,2
−∞ − +∞
3 ,32
−
( ]3 ,0 0,32
− U [ ]4,2−
a
0a ≤ ( ) 3 11 2 1 1 1 2 2f a a a≤ ⇒ + − ≤ ⇒ − ≤ ≤ 0a ≤
3 02 a− ≤ ≤
0a > ( ) 31 log 1 3f a a a≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ 0a > 0 3a< ≤
a 3 ,32
−
2y ax bx c= + + 2y cx bx a= + + 0ac ≠ a c≠ M N
:p M N :q M N ≠ ∅I
p q∧ ( )p q∨ ¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q¬ ∧
p
q且命题、或命题的真假判断方法选出正确答案.
【详解】(1)当 , 时, 二次函数 的值域为： ,
二次函数 的值域为： ,此时显然
是假命题,而 是负的, 是正的,故命题 是假命题, 命题
是真命题；
(2)当 , 时, 二次函数 的值域为： ,
二次函数 的值域为： ,此时
、 是同号,故命题 是真命题；
(3)当 , 时, 二次函数 的值域为： ,
二次函数 的值域为： ,此时
、 是同号,故命题 是真命题；
(4)当 , 时, 二次函数 的值域为： ,
二次函数 的值域为： ,此时
正数、 是负数,故命题 是真命题；
综上所述： 是假命题, 是真命题.
选项 A: 因为 是假命题, 是真命题, 是假命题；
选项 B: 因为 是假命题, 是真命题,所以 是假命题,因此 是假命题；
是
0a > 0c < 2y ax bx c= + +
24
4
ac bM y y a
− = ≥
2y cx bx a= + +
24
4
ac bN y y c
− = ≤
:p M N
24
4
ac b
a
− 24
4
ac b
c
− :p M N
:q M N ≠ ∅I
0a > 0c > 2y ax bx c= + +
24
4
ac bM y y a
− = ≥
2y cx bx a= + +
24
4
ac bN y y c
− = ≥
24
4
ac b
a
− 24
4
ac b
c
− :q M N ≠ ∅I
0a < 0c < 2y ax bx c= + +
24
4
ac bM y y a
− = ≤
2y cx bx a= + +
24
4
ac bN y y c
− = ≤
24
4
ac b
a
− 24
4
ac b
c
− :q M N ≠ ∅I
0a < 0c > 2y ax bx c= + +
24
4
ac bM y y a
− = ≤
2y cx bx a= + +
24
4
ac bN y y c
− = ≥
24
4
ac b
a
− 24
4
ac b
c
− :q M N ≠ ∅I
p q
p q p q∧
p q q¬ ( )p q∨ ¬选项 C: 因为 是假命题, 是真命题,所以 是真命题, 是假命题,因此 是
假命题；
选项 D: 因为 是假命题, 是真命题,所以 是真命题, 是真命题.
故选：D
【点睛】本题考查了命题的真假判断,考查了二次函数的值域,考查了集合之间的关系、运算
问题,分类讨论是解题的关键.
10.若函数 在 上是单调函数，且 存在负的零点，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数,判断出函数在 时的单调性,进而可以判断整个函数的单调性,这样利用分段函
数的单调性的性质和 存在负的零点,这样可以选出正确答案.
【详解】当 时, ,所以函数在 时单调递增,
由题意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增,因此有： ,又
因为 存在负的零点,因此有 ,综上所述： 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性和零点求参数问题,考查了数学运算能力.
11.已知 是定义在 上的奇函数,且 ,若对任意两个不相等的
正数 ,都有 ,则 的解集为（ ）
A. B.
p q p¬ q¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
p q p¬ ( )p q¬ ∧
( ) , 0
2 3 1, 0
xe x a xf x
ax a x
− + >= + − ≤
( ),−∞ +∞ ( )f x
a
10, 3
( ]0,1 1 ,13
1 ,3
+∞
0x >
( )f x
0x > ( ) ( )' 1 0x xf x e x a f x e= − + −⇒ >= 0x >
2 0 0 13 1 1
a aa a
> ⇒ < ≤ − ≤ +
( )f x 13 1 0 3a a− > ⇒ > a 1 ,13
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ ( )2 6f =
1 2,x x
( ) ( )2 1 1 2
1 2
0x f x x f x
x x
−
( ) ( ), 2 0,2−∞ − ( ) ( )2,0 2,− +∞C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所求不等式的形式构造新函数,根据 ,可以判断出函数 的单
调性,最后利用函数的单调性和偶函数数的性质,求出 的解集.
【详解】由题意可知： ,因此有
,
设 ,因此函数 在 时是单调递减函数, 因为 ,
所以 ,而 是定义在 上的奇函数,所以有
,因此函数 是 上的偶函数.
由偶函数的性质可知：当 时, 函数 是单调递增的.
所以当 时, ；
当 时, ,综上所述：
的解集是 .
故选：C
【点睛】本题考查了通过构造函数求解不等式解集问题,对已知的不等式进行数学变形,利用
函数的单调性和偶函数的性质是解题的关键.
12.若关于 的方程 有三个不等的实数解 ,且 ,其
( ) ( )2,0 0,2− ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞
( ) ( )2 1 1 2
1 2
0x f x x f x
x x
−
1 20, 0x x> >
( ) ( )
( ) ( )2 1 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
0 0 0
x f x x f x f x f x
x f x x f x x x x x
x x x x x x
− −− ⋅< ⇒ < ⇒ ( )2 6f =
(2) 3g = ( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
( ) ( ) ( )( ) ( )f x f x f xg x g xx x x
− −− = = = =− − ( )g x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
0x < ( )g x
0x > ( )
3 0 ( ) (2) 0 2f x g x g xx
− > ⇒ > ⇒ < <
0x < ( )
3 0 ( ) ( 2) 0 2 2 0f x g x g x xx
− > ⇒ > − ⇒ > > − ⇒ − < <
( )
3 0f x
x
− > ( ) ( )2,0 0,2−
x
1
0
x
x x
x e me x e
+
+ + =+ 1 2 3, ,x x x 1 2 30x x x< < ' ( ) 0g x < ( ) x
xg x e
=
1x < ' ( ) 0g x > ( ) x
xg x e
= 1(0) 0, (1)g e
= = 0x >
( ) 0>g x 0x < ( ) 0
+ = >
= >
10 2a< <
( ) ( ) 2 2
1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 22 ln 2 lnf x f x x x xax x x ax x x x+ − − + − −+ += −−
( ) ( )2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 3 lna x x x x x x x x = + − − + +
2 1 ln 2aa
= − − −
2 1( ) 1 ln 2 , 0 2h a a aa
= − − − < ( )h a 10 2a< < 1( ) 52h a h < = − 5t ≥ −
t [ )5,− +∞
[ )5,− +∞
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 2 2cos cos sin sin sinC B A A C− = −
B
ABC△ 5 3 21b = a c+
3
π
9
B
,a c a c+
2 2 2cos cos sin sin sinC B A A C− = −
2 2 2sin sin sin sin sinB C A A C− = −
2 2 2b c a ac− = − 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2
cos 2
a c bB ac
+ −= = 1
2 2
ac
ac
=
0 B π< <
3B
π=
3B
π=
21b =
2 2 2 2 cosb a c ac B∴ = + − 2 2 21a c ac= + − =又 ,
,②
由①②得， ,
所以 ,
所以 .
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系,考查了正弦定理、余弦定理、面积公式,考
查了数学运算能力.
18.已知函数 , ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时,判断 的零点个数．
【答案】(1)见解析；(2)2
【解析】
【分析】
(1)对函数 进行求导,利用分类讨论法求出函数 的单调性；
(2)设 ,求导,让导函数等于零,然后判断出函数的单调性,最后确定函数
零点个数.
【详解】(1) ,
故当 时, ,
所以函数 在 上单调递增,
当 时,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递增,
令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,
综上,当 时,函数 在 上单调递增,
1 sin 5 32S ac B= =
20ac∴ =
2 2 41a c+ =
( )2 2 2a c a c+ = + + 2 81ac =
9a c+ =
( ) 2 2 lnf x x a x= − ( ) 2 2 2ln 2g x x x= − + −
( )f x
1a = ( ) ( )g x f x−
( )f x ( )f x
( ) ( ) ( )F x g x f x= −
( ) 22 af x x x
′ = − ( )22 x a
x
−
=
0a ≤ ( ) 0f x′ ≥
( )f x ( )0, ∞+
0a > ( ) 0f x′ > x a>
( )f x ( ),a +∞
( ) 0f x′ < x a<
( )f x ( )0, a
0a ≤ ( )f x ( )0, ∞+当 时,函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
(2)设 ,
则 ,令 ,
解得 ,
当 时, ；
当 时, ；
故 最大值为 ，
所以 有且只有一个零点 .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点,考查了分类讨论思想,考查了数学运
算能力.
19.将边长为 的正方形 沿对角线 折叠,使得平面 平面 , 平面
, 是 的中点,且 ．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1) 以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系,
求出点 三点的坐标,通过 是 的中点,可得 ,利用面面垂直的性质定理
可得 平面 ,进而可以求出点 的坐标,最后利用向量法可以证明出 ；
(2)分别求出平面 、平面 的法向量,最后利用空间向量夹角公式求出二面角
0a > ( )f x ( ),a +∞ ( )0, a
( ) ( ) ( )F x g x f x= − = 2ln 2 2ln 2x x− + −
( ) 2 1F x x
′ = − ( ) 0F x′ =
2x =
( )0,2x∈ ( ) 0F x′ >
( )2,x∈ +∞ ( ) 0F x′ <
( )F x ( )2 0F =
( ) ( )g x f x− 2
2 ABCD BD ABD ⊥ CBD AE ⊥
ABD F BD 2AE =
DE AC⊥
B EC F− −
45°
A , ,AB AD AE x y z
, ,E B D F BD CF BD⊥
CF ⊥ BDA C DE AC⊥
BCE FCE的大小．
【详解】(1)证明：以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空
间直角坐标系,
如图所示,则 , ,
取 的中点 并连接 .
由题意得,
又 平面 平面 ,
平面 ,
,
, ,
,
.
(2)解：设平面 的法向量为 ,
则 , ,
令 .
平面 的法向量为 ,
所以 ， ,
由 得 .
B EC F− −
A , ,AB AD AE x y z
( )0,0, 2E ( )2,0,0B ( )0,2,0D
BD F ,CF AF
CF BD⊥
BDA ⊥ BDC
CF∴ ⊥ BDA
( )1,1, 2C∴
( )0, 2, 2DE∴ = −uuur ( )1,1, 2AC =uuur
( )0, 2, 2DE AC⋅ = − ⋅uuur uuur ( )1,1, 2 0=
DE AC∴ ⊥
BCE ( )1 1 1, ,n x y z=
( )2,0, 2EB = −uuur ( )1,1, 2BC = −uuur
0
0
DE n
CB n
⋅ = ⇒ ⋅ =
1 1
1 1 1
2 2 0
2 0
x z
x y z
− =
− − =
( )1, 1, 2n = −
FCE ( )2 2 2, ,m x y z= ( )1,1,0F
( )1,1,0EC =uuur ( )0,0, 2FC =uuur
2 2
2
00
00
x yEC m
zFC m
+ = ⋅ = ⇒ =⋅ =
( )1, 1,0m = −ur设二面角 为 ,
则 ,
所以二面角 的大小为 .
【点睛】本题考查了用空间向量的知识解决线线垂直、二面角的问题,正确求出相关点的坐标
是解题的关键.
20.已知 是椭圆 的两个焦点, 为坐标原点,离心率为 ,点
在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2) 为椭圆上三个动点, 在第二象限, 关于原点对称,且 ,判断
是否存在最小值,若存在,求出该最小值,并求出此时点 的坐标,若不存
在,说明理由．
【答案】(1) ；(2)存在,最小值为 ,
【解析】
分析】
(1)把点的坐标代入椭圆方程中,再求出离心率的表达式,最后根据 三者之间的关系,可
以求出 的值,最后写出椭圆的标准方程；
(2)利用平面向量数量积的定义,化简 的表达式,可以发现只需判断
面积是否有最小值,设出直线 的方程,与椭圆的方程联立,利用一元二次方程的根
与系数的关系,求出 的表达式,同理求出 的表达式,最后确定 面积的表达式,利
用基本不等式可以求出 面积的最小值,最后求出点 的坐标.
【详解】(1)点 在椭圆上,则 ,
又 ， ,
解得 , ,
【
B EC F− − θ
2cos cos , 2n mθ = =r ur
B EC F− − 45°
1 2,F F ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > O 6
3
( )3,1−
, ,D E F D ,E F DE DF=
tanDE DF EDF⋅ ∠uuur uuur
D
2 2
16 2
x y+ = 6 6 6,2 2D
−
, ,a b c
,a b
tanDE DF EDF⋅ ∠uuur uuur
EDF EF
EF OD EDF
EDF D
( )3,1−
2 2
3 1 1a b
+ =
6
3
c
a
= 2 2 2a b c= +
2 6a = 2 2b =椭圆的方程为 ；
（2） ,
只需判断 面积是否有最小值.
设直线 的方程为 ,
设 , ,
联立 ,得 ,
所以 ,
因为 ，同理可知 ,
,
此时 ,
因为 即 时, 最小值为 ,
易知直线 的方程为 ,
联立 ,解得 ,即 .
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了求三角形面积
最小值问题,考查了基本不等式的应用,考查了数学运算能力.
∴ 2 2
16 2
x y+ =
tanDE DF EDF DE⋅ ∠ =uuur uuur
sin 2 DEFDF EDF S∠ = △
EDF
EF ( )0y kx k= >
( )1 1,E x y ( )2 2,F x y
2 2
16 2
y kx
x y
= + =
2
2
6
3 1x k
= +
2
11 2EF k x= + =
2
2
2 6 1
1 3
k
k
⋅ +
+
1
ODk k
= − 2
2
16 1
11 3
kOD
k
⋅ +
=
+
2
2
6 1
3
k
k
⋅ +=
+
1 1
2 2EDFS EF OD= = ⋅△
2 2
2 2
2 6 1 6 1
1 3 3
k k
k k
⋅ + ⋅ +⋅
+ +
( )
( )( )
2
2 2
6 1
3 1 3
k
k k
+
=
+ +
( )
( )( )
2
2 2
6 1
3
3 1 3
2
k
k k
+
≥ =
+ +
2 23 1 3k k+ = +
0k > 1k = tanDE DF EDF⋅ ∠uuur uuur 6
OD y x= −
2 2
16 2
y x
x y
= − + =
6
2
6
2
x
y
= −
=
6 6,2 2D
− 21.已知函数 , ,设 ．
(1)如果曲线 与曲线 在 处的切线平行,求实数 的值；
(2)若对 ,都有 成立,求实数 的取值范围；
(3)已知 存在极大值与极小值,请比较 的极大值与极小值的大小,并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 当 时, 极大值大于极小值；
当 时, 极大值小于极小值.
【解析】
【分析】
(1)分别求出两个函数的导数,把 代入两个导函数中,根据线线平行斜率的关系,可以求
出实数 的值；
(2)对函数 求导,分类讨论函数的单调性,最后求出实数 的取值范围；
(3)令 的导函数等于零,求题意确定实数 的取值范围,分类讨论,根据函数的单调性确
定极大值与极小值之间的大小关系即可.
【详解】(1)因为 , ,
所以 , ,
由 ,得
(2) ,
易知 ,
①当 ,即 时,有 ,
所以 在 上是增函数,
( ) ( )ln 1f x x= + ( ) ( )2 02
xg x ax a
= >+
( ) ( ) ( )F x f x g x= −
( )y f x= ( )y g x= 1x = a
( )0,x∀ ∈ +∞ ( ) 0F x > a
( )F x ( )F x
1
2 1a ≥ 1 12 a< < ( )F x
10 2a< < ( )F x
1x =
a
( )F x a
( )F x a
( ) 1
1f x x
′ = +
( ) ( )2
4
2
ag x
x a
′ =
+
( ) 11 2f ′ = ( ) ( )2
41
1 2
ag
a
′ =
+
( ) ( )1 1f g′ ′= 1
2a =
( ) ( ) ( )F x f x g x= − = ( ) ( )2ln 1 02
xx xx a
+ − >+
( )0 0F =
( ) ( )2
1 4
1 2
aF x x x a
′ = −+ +
( )
( )( )
2
2
4 1
1 2
x a a
x x a
+ −=
+ +
( )4 1 0
0
a a
a
− ≥
> 1a ≥ ( ) 0F x′ >
( )F x ( )0, ∞+所以 ,满足题意.
②当 ，即 时,
,得 ,
因为 , ,
所以 在 上是减函数,
,不符合题意.
综上, .
(3) ,
即 有两个不相等实数根 ,
因为 ,
所以 且 ,
①当 时,即 时,
在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是增函数,
故 极大值为 ,极小值为 ，且 .
②当 时,即 时,
在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是减函数,在
上是增函数,
故 极大值为 ,极小值为 .
,
( ) ( )0 0F x F> =
( )4 1 0
0
a a
a
− <
> 0 1a< <
( ) 0F x′ = ( )1 2 1x a a= − − ( )2 2 1x a a= −
( )20,x x∈ ( ) 0F x′ <
( )F x ( )20, x
( ) ( )0 0F x F< =
1a ≥
( ) ( )
( )( )
2
2
4 1 0
1 2
x a aF x
x x a
+ −′ = =
+ +
( )2 4 1 0x a a+ − = ( )1 2 1x a a= − − ( )2 2 1x a a= −
( )
( )
1 0
2 1 1
a a
a a
− >− − ≠ −
0 1a< < 1
2a ≠
2 1a− < − 1 12 a< <
( )F x ( )11, x− ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞
( )F x ( )1F x ( )2F x ( ) ( )1 2F x F x>
1 2 0a− < − < 10 2a< <
( )F x ( )11, x− ( )1, 2x a− ( )22 ,a x− ( )2 ,x +∞
( )F x ( )1F x ( )2F x
( ) ( ) ( )1 2 1ln 1F x F x x− = + − ( )1 2
2
1 2
2 2ln 12 2
x xxx a x a
− + ++ +
( )
( )( )2 11
2 1 2
41ln 1 2 2
a x xx
x x a x a
− += + + + + 因为 , , ,
所以 .
综上，当 时, 极大值大于极小值；
当 时, 极大值小于极小值.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了利用导数证明不等式恒成立问题,考查了函数的
极大值与极小值之间的大小关系问题,考查了数学运算能力.
22.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点,
轴的非负半轴建立极坐标系,点 的极坐标 ，曲线 的极坐标方程为
．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若 为曲线 上的动点,求 中点 到直线 的距离最小值．
【答案】(1) , ；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用加减消元法消参可以求出直线 的普通方程.利用极坐标与直角坐标之间的转化公式
可以求出曲线 的直角坐标方程；
(2)求出 的直角坐标,利用曲线 的参数方程设出点 的坐标,利用中点坐标公式,求出
的坐标,利用点到直线距离公式求出 到直线 的距离,利用辅助角公式,根据正弦型函数的
单调性可以求出 中点 到直线 的距离最小值．
【详解】(1)直线 的普通方程 ,
由 ,
,
2 1 0x x− > 2 2 0x a+ > 1 2 0x a+ <
( ) ( )1 2F x F x<
1 12 a< < ( )F x
10 2a< < ( )F x
xOy l
3
2
x t
y t
= − −
= + t O
x P
53 2, 4
π
C
2 2 cos 4
πρ θ = +
l C
Q C PQ M l
1 0x y+ + = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + = 2
2
l
C
P C Q M
M l
PQ M l
l 1 0x y+ + =
2 2 cos 4
πρ θ = + =
2 22 2 cos sin2 2
θ θ ⋅ − ⋅
2cos 2sinθ θ= −
2 2 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ∴ = −即 ,
曲线 的直角坐标方程为 ；
(2)易知 的直角坐标 ，设 ,
则 的中点 ,
设 到直线 的距离为 ,
则 ,
当 时, .
【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了中点坐标
公式,考查了点到直线距离公式,考查了圆的参数方程的应用,考查了数学运算能力.
23.已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 在 上有解,求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用零点法分类讨论求出不等式 的解集；
(2)根据题意本问题题可以转化为 成立,求出 的最大值,最后求
出实数 的取值范围．
【详解】(1)不等式化为 或 或 ,
解得 或 或
2 2 2 2x y x y+ = −
∴ C ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
P ( )3, 3− − ( )1 2 cos , 1 2 sinQ α α+ − +
PQ 2 2 cos 4 2 sin,2 2M
α α − + − +
M l d
2 2 cos 4 2 sin 12 2
2
d
α α− + − ++ +
=
sin 24
2
πα + − =
sin 14
πα + = min
2
2d =
( ) 1 2f x x x= + −
( ) 2f x ≥ −
x ( ) 23 5f x a a− ≥ − 2 ,13
− a
{ }1 3x x− ≤ ≤ 5 17 5 17
2 2a
− +≤ ≤
( ) 2f x ≥ −
( ) 2
max3 5f x a a− ≥ − ( )f x
a
0
1 2 2
x
x x
≥
+ − ≥ −
1 0
1 2 2
x
x x
− ≤
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