2019 学年第一学期高三调研测试（一）
文科数学
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知全集 ， ， ，则 为
A. {1} B. {1,6} C. {1,3,5} D.
{1,3,5,6}
【答案】D
【解析】
【分析】
利用集合的交集、补集运算即可求出。
【详解】因为 ，所以 ，故选 D。
【点睛】本题主要考查集合的基本运算。
2.已知复数 ，则其共轭复数 的虚部为
A. B. C. i D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数的代数形式的运算法则，求出 ，再利用共轭复数和复数的定义即可求出。
【详解】因为 ，所以 的共轭复数 为 ，
虚部为 ，故选 A。
【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则以及共轭复数、复数的定义应用。
3.已知 ，大小关系正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
U {1,2,3,4,5,6}= A={2,3,4,5} B {2,4,6}= ( )UC A B
{ }2,4A B = { }( ) 1,3,5,6UC A B∩ =
1 2
1
iz i
−= + z
3
2
3
2
− 3
2
3 i2
−
z
( )( )
( )( )
1 2 11 2 1 3
1 1 1 2
i ii iz i i i
− −− − −= = =+ + − z z
1 3
2 2 i− +
3
2
0.2 0.2
30.3 , 3 , log 0.3a b c= = =
a c b> > c a b> > b a c> > c b a> >【解析】
【分析】
利用“ ”分段法比较出三者的大小关系.
【详解】由于 ， ， ，即 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.
4.已知双曲线 的焦距为 ，则 的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 求得 的值，进而求得双曲线离心率.
【详解】依题意可知 ，所以 ，故 ，所以 ，
故选 C.
【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
5.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出。
【详解】
0,1
3log 1 0c < = 00 0.3 1a< < = 03 1b > = 0 1c a b< < < <
2 2
2: 14
x yC a
− = 4 3 C
3
2
2 33
11
6
2
2 39
13
2 2 2c a b= + a
2, 2 3b c= = 2 2 2 8a c b= − = 2 2a = 6
2
ce a= =
sin345° =
2 6
4
− 6 2
4
− 6 2
4
+−
6 2
4
+
( ) ( )sin345 sin 360 15 sin15 sin 45 30° = °− ° = − ° = − °− °，故选 A。
【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用。
6.从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第
一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。
【详解】从分别写有 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，基本
事件总数为 ，即 ，
抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为 ，即
，
故所求概率 ，故选 D。
【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法。
7.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半
之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”下图是
该算法的程序框图，如果输入 ， ，则输出的 值是
【
2 3 2 1 2 6
2 2 2 2 4
−= − × − × =
2
5
3
5
3
8
5
8
4 4 16n = × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4
10m =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , 2,1 , 3,1 , 4,1 , 2,2 , 3,2 , 4,2 , 3,3 , 4,3 , 4,4
10 5
16 8
mP n
= = =
102a = 238b = aA. 17 B. 34 C. 36 D. 68
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图进行模拟运算即可得出。
【 详 解 】 根 据 程 序 框 图 ， 输 入 的 ， ， 因 为 ， 且 ， 所 以
；第二次循环， ；第三次循环， ；
第四次循环， ，此时 ，输出 ，故选 B。
【点睛】本题主要考查更相减损术的理解以及程序框图的理解、识别和应用。
8.已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据向量模的公式求出 ，再利用向量夹角公式即可求出。
【详解】因为 ，所以
102a = 238b = a b¹ a b<
238 102 136b = − = 136 102 34b = − = 102 34 68a = − =
68 34 34a = − = 34a b= = 34a =
,a b | | 2, | | 1a b= = | 2 | 2 3a b+ = a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b⋅
| 2 | 2 3a b+ = ( )2 2 2
2 4 4 4 4 4 2 3a b a a b b a b+ = + ⋅ + = + ⋅ + = 解得 ，设 与 的夹角为 ，所以 ，故 ，故选 B。
【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式以及向量夹角公式的应用。
9.函数 的部分图象大致是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数 的奇偶性，再根据特殊点即可判断出 的图象。
【详解】因为函数 的定义域为 ， ，函数为奇函数，其图象关
于原点对称，所以 C、D 不正确；又因为 ，所以 A 不正确，故选 B。
【点睛】本题主要考查利用函数的性质识别函数的图象。
10.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数
的图像，若函数 为偶函数，则函数 在 的值域为
A. B. C. D.
1a b⋅ = a b θ 1cos 2
a b
a b
θ ⋅= =
3
πθ =
( )
2
e e cos
( )
x x x
f x x
−−
=
( )f x ( )f x
( )f x { }0x x ≠ ( ) ( )f x f x− = −
2
( )( ) 0e ef
π π
π π
−− −= <
( ) 3 cos(2 ) 02f x x
πϕ ϕ = + − < >
3AM BM= AFM△ 9 3
2
2 2
18 6
x y+ =
2 2
14 3
x y+ =
2
2 12
x y+ =
2 2
14 2
x y+ =
3AM BM= 2a c= 3
2FM b= AFM△ 9 3
2程，结合 ，求出 ，从而求出椭圆的标准方程。
【详解】依据 ，可得 ，解得 ， ，又
， ，解得 ，故选 A。
【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，意在考查学生的计算能力。
12.已知函数 ，若函数 有两个零点，则实数 a 的取
值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数 有两个零点，可以转化为方程 有两根，即直线
与函数 的图象有两个交点，即可求出 a 的取值范围。
【详解】因为函数 有两个零点，所以直线 与函数
的图象有两个交点，作出 的图象，
所以，当 时，即 ，直线 与函数 的图象有两个交
点，故选 D。
2 2 2a b c= + , ,a b c
3AM BM= 2
3
a b
a c FM
= =+ 2a c= 3
2FM b=
1 3 9 3( )2 2 2AFM
bS a c= × + × =△
2 2 2a b c= + 2 2, 6a b= =
2
2 , 1( )
log , 1
x xf x
x x
≤= >
( ) 2y f x x a= + +
(1,2] [-2,-1) [2,4] [-4,-2)
( ) 2y f x x a= + + ( ) 2a f x x− = + y a= −
( ) ( ) 2g x f x x= +
( ) 2y f x x a= + + y a= − ( ) ( ) 2g x f x x= +
2
2 2 , 1( )
log 2 , 1
x x xg x
x x x
+ ≤= + >
2 4a< − ≤ [-4,-2)a∈ y a= − ( ) ( ) 2g x f x x= +【点睛】本题主要考查函数的零点与两函数图象的交点之间的关系应用，意在考查学生转化
与化归思想的应用能力。
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本小题共 4 题，每小题 5 分。
13.函数 的极大值为____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先求函数的导函数，再解不等式 和 得函数的单调区间，进而由极值的定
义求得函数的极值点和极值.
【详解】∵ ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
∴函数 在 是增函数，在 上是减函数，在 是增函数，
∴函数 在 时取得极大值 2，故答案为 2.
【点睛】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数
的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工
具作用．
14.记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】
根据前 项和公式先求出公比 ，即可求出
【详解】显然可知公比 ，否则 ，由 ，
解得 ，所以 。
3( ) 3f x x x= −
( ) 0f x >′ ( ) 0f x ′ 1x < − 1x > ( ) 0f x′ < 1 1x− < <
( )f x ( )1−∞ −， ( )11− ， ( )1 + ∞，
( ) 3 3f x x x= − 1x = −
x
nS { }na n 1 3
32, 2a S= = 6a =
1
16
−
n q 6a
1q ≠ 3 6S =
3
2
3
2(1 ) 32(1 )1 2
qS q qq
−= = + + =−
1
2q = −
5
5
6 1
1 12 2 16a a q = = × − = − 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前 项和公式应用。
15.△ 的内角 的对边分别为 ，已知 ，
，则 的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据正弦定理角化边，再用余弦定理表示出 ，即可求出 的值。
【详解】由正弦定理可得， ，由余弦定理可得， ，
消去 ，得 ，所以 。
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用。
16.已知正三棱柱 中，且 ，直线 与平面 所成角为 45，则此
三棱柱的外接球的表面积为______.
【答案】 .
【解析】
【分析】
先根据题意求出侧棱棱长，然后由三棱柱的外接球的球心为两底面中心连线的中点，即可求
出外接球的半径，从而算出表面积。
【 详 解 】 如 图 所 示 ， 过 点 作 垂 直 于 交 于 ， 连 接 ， 所 以
， 因 为 底 面 正 三 角 形 边 长 为 2 ， 所 以 ， ， 又
，所以 。由于三棱柱的外接球的球心为两底面中心连线的中点，
在 中， ， ，所以 ，即 ，故该
三棱柱的外接球的表面积为 。
n
ABC , ,A B C , ,a b c 1sin sin sin2b B a A c C− =
1cos 4A = b
c
1cos 4A = b
c
2 2 21
2b a c− = 2 2 2 1cos 2 4
b c aA bc
+ −= =
2a
23
3 12
2 4 4
c c
bc b
= = 3b
c
=
1,ABC A B C− 2AB = 1A B 1 1B BCC
22
3
π
1A 1 1A D 1 1B C 1 1B C 1D 1BD
1 1 45A BD∠ =
1 1 3A D = 1 6A B =
2 2 2
1 1A B A A AB= + 1 2A A =
1 1Rt OO A∆ 1 1
2 33AO =
1
2
2OO = 2 4 1 11
3 2 6AO = + = 2 11
6R =
2 11 224 4 6 3Rπ π π= × =【点睛】本题主要考查正三棱柱的几何特征以及其外接球的表面积求法，意在考查学生的直
观想象能力和计算能力。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知公差不为零的等差数列 中， ， 顺次成等比数列。
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设出公差，依据等差数列性质及条件，列出等式，求出公差，即可求出数列 的通项
公式；（2）根据裂项相消法即可求出数列 的前 项和 。
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由
得 ，
即 ，
解得 ，
因为 ，所以 .
所以
{ }na 2 3a = 1 3 7, ,a a a
{ }na
( )
1
1n
n n
b a a
= − { }nb n nT
1na n= +
1
n
n +
{ }na
{ }nb n nT
{ }nd d 2
3 1 7a a a=
( ) ( )( )2
2 2 2 5a d a d a d+ = − +
2(3 ) (3 )(3 5 )d d d+ = − +
( 1) 0d d − =
0d ≠ 1d =
2 ( 2) 3 ( 2) 1 1na a n d n n= + − × = + − × = +即 .
（2）
所以，
【点睛】本题主要考查等差数列性质、等比数列的定义、以及裂项相消法的应用，意在考查
学生的推理能力和计算能力。
18.某校共有学生 2000 人，其中男生 1100 人，女生 900 人为了调查该校学生每周平均课外阅
读时间，采用分层抽样的方法收集该校 100 名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）如图，根据收集 100 人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，
其中样本数据分组区间为 .若在样本数据中有 38 名女学生
平均每周课外阅读时间超过 2 小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断
是否有 95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.
男生 女生 总计
每周平均课外阅读时间不超过 2 小时
每周平均课外阅读时间超过 2 小时
1na n= +
( )
1 1 1 1
1 ( 1) 1n
n n
b a a n n n n
= = = −− + +
1 2 3n nT b b b b= + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 1 1n n n n
= − + − + − + + − + − − +
11 1n
= − +
1
n
n
= +
[0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6]总计
附：
0.100 0.050 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）男生人数 人，女生人数： 人（2）填表详见解析,有 95%的把握认为“该校
学生的每周平均阅读时间与性别有关.”
【解析】
【分析】
（1）由男女生比例以及分层抽样特征，即可求解；（2）由频率分布直方图可得到学生平均
每周课外阅读时间超过 2 小时
【详解】（1）男生人数：女生人数=1100：900=11：9
所以，男生人数 人
女生人数： 人.
（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过 2 小时的人数为：
人，
所以，平均每周课外阅读时间超过 2 小时的男生人数为 37 人.
可得每周课外阅读时间与性别的列联表为
男生 女生 总计
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
0P K k≥
0k
55 45
11 100 5520
× =
9 100 4520
× =
(1 0.300 1 0.250 1 0.150 1 0.050) 100 75× + × + × + × × =每周平均阅读时间不超过 2 小时 18 7 25
每周平均阅读时间超过 2 小时 37 38 75
总计 55 45 100
所以，有 95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”
【点睛】本题主要考查分层抽样方法以及独立性检验的基本思想和应用，意在考查学生的计
算能力。
19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
，点 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 EFD；
（2）求点 到平面 的距离.
【答案】（1）详见解析（2）
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2100 (18 38 7 37)
25 75 55 45
× × − ×= × × ×
2100 (684 259)
25 75 55 45
× −= × × ×
100 425 425
25 75 55 45
× ×= × × ×
3.892 3.841≈ >
P ABCD− PAD ⊥ , / / ,ABCD CD AB AD AB⊥
1 13, 12 2AD CD PD AB PA= = = = = E F、 AB AP、
/ /PBC
P EFD
21
7【解析】
【分析】
（1）根据面面平行的判定定理，在面 EFD 内找两条相交直线平行于平面 ，即可证出；
（2）根据等积法， ，先求出三角形 DEF 的面积，再求出 ，即可求出点
到平面 的距离。
【详解】（1）由题意知：点 是 的中点， 且 ，
所以 ，所以四边形 是平行四边形，则 .
平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 分别为 的中点，所以 .
平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
，所以平面 平面 .
（2） 中， ， ， ，
所以 ，所以
因为平面 平面 ，
平面 平面
所以 平面 .
连 ，取 的中点 ，连 ，易知 ，
平面 且 .
设点 P 到平面 EFD 的距离为 d.
在 Rt△ 中，
在 Rt△ 中，
在 Rt△ 中，
PBC
P EFD E PFDV V− −= E PFDV −
P EFD
E AB / /CD AB 1
2CD AB=
CD BE‖ BCDE //DE BC
DE ⊂/ PBC BC ⊂ PBC / /DE PBC
E F、 AB AP、 / /EF PB
EF ⊄ PBC PB ⊂ PBC
/ /EF PBC
EF DE E∩ = / /PBC EFD
PDA∆ 3AD = 1PD = 2PA =
2 2 2PD AD AP+ = PD AD⊥
PAD ⊥ ABCD
PAD ABCD AD=
PD ⊥ ABCD
PE AD H ,EH FH / /FH PD
FH ⊥ ABCD 1 1
2 2FH PD= =
HAE
2
2 2 23 712 2EH HA AE
= + = + =
FHE
22
2 2 1 7 22 2EF FH HE
= + = + =
DAE 2 2 2 2( 3) 1 2DE AD AE= + = + =在 Rt△ 中，
△ 中， ，
即 ，
解得 ，
所以
所以 .
因为平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ， ，所以， 平面
所以， 的长即是点 到平面 的距离.
在 Rt△ 中， ，
所以， ，
所以 .
所以 ，
即 ，
在
PDA 1 12DF PA= =
DEF 2 2 2 2 cosDF DE EF DE EF DEF= + − × × ∠
2 2 21 2 ( 2) 2 2 2 cos DEF= + − × × ∠
5cos
4 2
DEF∠ =
2 7sin 1 cos
4 2
DEF DEF∠ = − ∠ =
1 1 7 7sin 2 22 2 44 2EFDS EF ED DEF∆ = × × × ∠ = × × × =
PAD ⊥ ABCD
PAD ABCD AD= EA ⊂ ABCD EA AD⊥ EA ⊥
ABCD EA E PFD
ADP 3sin 2
ADAPD PA
∠ = =
1 1 3 3sin 1 12 2 2 4PFDS PF PD APD∆ = × × × ∠ = × × × =
1 3
3 12P EFD E PFD PFDV V S AE− − ∆= = × × =
1
3P EFD EFDS dV − ∆= ×
3 1
12 3 EFDS d∆= ×即 ，解得 .
所以，点 到平面 的距离为 .
【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理的应用以及利用等积法求点到面的距离，意在考
查学生的直观想象能力和数学运算能力。
20.已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若当 时， ，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义，即可求出切线方程；
（2）先将 等价变形为 ，构造函数 ，
通过导数研究其单调性，求出其最小值大于零即可。
【详解】（1） 的定义域为 .
当 时， ，
， ， .
曲线 在 处的切线方程为 ，
即 .
（2）当 时， 等价于 .
令 ，
即 ， 。
（i）当 时， 时，
3 1 7
12 3 4 d= × × 21
7d =
P EFD 21
7
( ) ln ( 1)( )f x x x a x a= − − ∈R
2a = ( )f x ( )( )1, 1f
(1, )x∈ +∞ ( ) ln 0f x x+ > a
1 0x y+ − = ( ,2]−∞
( ) ln 0f x x+ > ( 1)ln 01
a xx x
−− >+
( 1)( ) ln 1
−= − +
a xg x x x
( )f x ( )0, ∞+
2a = ( ) ln 2 2f x x x x= − +
( ) ln 1f x x′ = − ( )1 1f ′ = − ( )1 0f =
( )f x ( )( )1, 1f ( )0 1 1y x− = − × −
1 0x y+ − =
(1, )x∈ +∞ ( ) ln 0f x x+ > ( 1)ln 01
a xx x
−− >+
( 1)( ) ln 1
−= − +
a xg x x x
2
2 2
1 2 2(1 ) 1( ) ( 1) ( 1)
a x a xg x x x x x
′ + − += − =+ + ( )1 0g =
2a ≤ ( )1,x∈ +∞ 2 22(1 ) 1 2 1 0+ − + ≥ − + >x a x x x故 ， 在 上单调递增，因此 ；
（ii）当 时，令 得 ，
由 和 得 ，
故当 时， ， 在 单调递减，
因此 ，不符合题意。
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性解
决恒成立问题，解题关键一是如何构造函数，二是函数单调性的讨论，意在考查学生的转化
能力和分类讨论思想的应用。
21.已知抛物线 和动直线 .直线 交抛物线 于 两点，抛物线
在 处的切线的交点为 .
（1）当 时，求以 为直径的圆的方程；
（2）求 面积 最小值.
【答案】（1） （2）4
【解析】
【分析】
（1）联立直线方程和抛物线方程，求出点 A、B 的坐标，进而可求出 ，以及线段 AB 的中
点坐标，因此可写出以 为直径的圆的方程；（2）先利用导数的几何意义求出
抛物线 在 处的切线方程，联立可得点 N，再利用三角形面积公式，分别求出 以及
点 N 到直线 AB 的距离，即可表示出面积，最后由函数的单调性得出最小值。
【详解】设 .
联立 ，消去 得 ，设 .
解得
的
( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x >
2a > ( ) 0g x′ = 2 2
1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1= − − − − = − + − −x a a x a a
2 1>x 1 2 1=x x 1 1
1 2
1 2
2 3 4 2 3 4,
7 4 3 7 4 3
x x
y y
= + = −
= + = − 则
设线段 的中点坐标为 ，则， ，
则以 为直径的圆的方程为 .
（2）由 得 .
易得直线 ，直线
联立
由（1）得
由（2）同理可得 .
由 ，得 ，
得
联立 得 ，则 .
所以 ，
.即
所以
点 到直线
( ) ( )2 2 2 2
1 2 1 2| | 8 (8 3) 16AB x x y y= − + − = + =
AB ( )0 0,x y 1 2
0 2 32
x xx
+= =
1 2
0 72
y yy
+= =
AB 2 2( 2 3) ( 7) 64x y− + − =
2 4x y=
2
xy′ =
( )1
1 1: 2
xAN y y x x− = − ( )2
2 2: 2
xBN y y x x− = −
( )
( )
1
1 1
2
2 2
(1)2
(2)2
xy y x x
xy y x x
− = −
− = −
2
1 1 1 1 1
1 1 1
4
2 2 2 2 2
x x x y xy y x y x x y= + − = + − = −
2
22
xy x y= −
1 2
1 22 2
x xx y x y− = − ( )( )1 2 1 21 2
1 22 4
x x x xx x x y y
− +− = − =
1 2
2
x xx
+=
2
1
4
y kx
x y
= +
=
2 4 4 0x kx− − = 1 2 1 24 , 4x x k x x+ = = −
1 2 22
x xx k
+= =
1 1
1 12 1 12 2
x xy x y k kx= − = × − − = − ( )2 , 1N k −
( ) ( )22 2
1 2 1 2| | 1 4 4 1AB k x x x x k= + + − = +
( )2 , 1N k − : 1 0l kx y− + =的距离 .
所以
显然，当 时，△ 的面积最小，最小值为 4.
【点睛】本题主要考查圆的方程求法、利用导数的几何意义求切线方程、直线与抛物线的位
置关系应用、以及点到直线的距离公式应用，意在考查学生的转化思想和函数思想应用，以
及数学运算能力，解题关键是能够用参数 表示出点 N，进而得到三角形面积的函数关系式。
请考生在第 22~23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .
（1）若 ，求直线 以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，且 ，求直线 的斜率.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据 的大小消去参数 ，求得直线 的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，
求得曲线 的直角坐标方程.（2）方法 1：写出直线 的极坐标方程，代入曲线 的极坐标方
程，根据极坐标系下的弦长公式列方程由此求得直线 的斜率.方法 2：设出直线的直角坐标方
程，联立直线的方程和曲线 的直角坐标方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线斜率.
【详解】解：（1）由题意，直线 ，可得直线 是过原点 直线，的
2
2
| 2 1 1| 2 1
1
k kd k
k
× + += = +
+
1 | |2ABNS AB d∆ = × ×
( )2 21 4 1 2 12 k k= × + × +
( )324 1k= +
0k = ABN
k
xOy l
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t O
x C 2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− =
3
πα = l C
l C M N、 6MN = l
3y x= 2 2 1x y= + 2±
α t l
C l C
l
C
1
2:
3
2
x t
l
y t
=
=
l故其直角坐标方程为 ，
又 ，由
故 ；
（2）由题意，直线 l 的极坐标为 ，
设 、 对应的极径分别为 ，
将 代入曲线 的极坐标可得：
，
故 ， ，
，
故 ，则 ，即 ， ，
所以 故直线 的斜率是
法二：由题意，直线 方程为 ，设 、 对应的点坐标为
联立直线 与曲线 的方程 ，消去 得 .
所以 ，故直线 的斜率是 .
【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查极坐标系下弦长
的计算，考查直角坐标系下弦长的计算公式，属于中档题.
23.已知函数
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 时， 恒成立，求 的取值范围.
3y x=
2 2cos 2 sin 1ρ θ ρ θ− = cos , sinx yρ θ ρ θ= =
2 2 1x y= +
( )Rθ α ρ= ∈
M N 1
ρ 2
ρ
( )Rθ α ρ= ∈ C
2 2cos 2 sin 1ρ ρα α− =
1 2 2
2sin
cos
αρ ρ α+ = 1 2 2
1
cos
ρ ρ α= −
∴ 1 2MN ρ ρ= − = ( )2
1 2 1 2 2
24 cos
ρ ρ ρ ρ α+ − =
2
2 6cos α = 2 1cos 3
α = 2 2 2sin 1 cos 3
α α= − = 2
2
2
sintan 2cos
αα α= =
tan 2k α= = ± l 2±
l y kx= M N ( ) ( )1 1 2 2, , ,x y x y
l C 2 2 1
y kx
x y
=
= +
y 2 2 1 0x kx− − =
1 2 1 22 , 1x x k x x+ = = −
( ) ( )22 2 2
1 2 1 2 1 2| | 1 1 4 2 1 6MN k x x k x x x x k= + − = + ⋅ + − = + =
2k = ± l 2±
( ) 2f x x a x= + + −
1a > ( ) 2f x ≥
[ ]1,2x∈ ( ) 4f x x+ ≤ a【答案】（1）不等式 的解集为 R（2）
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式求得 的最小值，结合 求得不等式的解集为 .
将原不等式 转化为 恒成立，去绝对值符号后根据 的取值范围，求
得 的取值范围.
【详解】解：（1） 即 ,
因为 ,
所以
又 ，所以 所以不等式 解集为 R.
（2）因为 ，所以
则 恒成立等价于 恒成立，
即 恒成立
由 可得 ，
所以
【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归
与转化的数学思想方法，属于中档题.
的
( ) 2f x ≥ 3 0a− ≤ ≤
| | | 2 |x a x+ + − 2a > R
( ) 4f x x+ ≤ | | 2x a+ ≤ x
a
( ) 2f x ≥ | | | 2 | 2x a x+ + − ≥
| | | 2 | | ( 2) | | 2 |x a x x a x a+ + − ≥ + − − = +
| | | 2 | | 2 |x a x a+ + − ≥ +
2a > 2 4a + > ( ) 2f x ≥
[ ]1,2x∈ ( ) | | 2f x x a x= + + −
( ) 4f x x+ ≤ | | 2x a+ ≤
2 2x a x− − ≤ ≤ −
[ ]1,2x∈ 2 [ 4, 3]x− − ∈ − − [ ]2 0,1x− ∈
3 0a− ≤ ≤
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