广东省惠州市2020届高三数学（文）第二次调研试卷（附解析Word版）

惠州市 2020 届高三第二次调研考试 文科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题 卡上。 2.作答选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试 卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 1.已知集合 ， ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先解出集合 所含的元素，再由集合的交集运算的定义求解。 【详解】 ，又 即 ， 故选：C. 【点睛】本题考查交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解答本题的关键，属于基础题。 2.已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念解答。 { }| 2 2P x x= − ≤ ≤ { }| lg 0Q x x= > P Q = ( )2,0− [ )1,2 ( ]1,2 ( ]0,2 Q { }| lg 0Q x x= > { }| 1Q x x∴ = > { }| 2 2P x x= − ≤ ≤ { }|1 2P Q x x∴ = < ≤ ( ]1,2P Q = z ( )1 2i z i− = + i z 1 3 2 2 i− − 1 3 2 2 i+ 1 3 2 2 i− + 1 3 2 2 i−【详解】 ， ， ，即 的共轭 复数为 ， 故选：D. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题。 3.若 ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由诱导公式可得 ，再根据平方关系计算出 ，之后利用二倍角的正弦公式即可得到 答案。 【详解】由题意，根据诱导公式得 ， 又因为 且 ，所以 ，根据 可得 ， 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式，属于基础题。 4.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙 子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5 部专著中 有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这 5 部专著中选择 2 部作为“数学文化” 校本课程学习内容，则所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D ( )1 2i z i− = + ( )( ) ( )( ) 2 12 1 3 1 1 1 2 i ii iz i i i + ++ +∴ = = =− − + 1 3 2 2z i∴ = − z 1 3 2 2z i= − ( ) 1sin 3 π α− = 3 2 2 π πα≤ ≤ sin 2α 4 2 9 − 2 2 9 − 2 2 9 4 2 9 sinα cosα ( ) 1sin sin 3 π α α− = = 3 2 2 π πα≤ ≤ sin 0α > 2 a π π≤ ≤ 2 2sin cos 1α α+ = 2 2cos 3 α = − 1 2 2sin 2 2sin cos 2 3 3 α α α  = = × × −    4 2 9 = − 3 5 7 10 4 5 9 10【解析】 【分析】 利用列举法，从这 5 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有 10 种情况，所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有 9 种情况， 由古典概型概率公式可得结果. 【详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这 5 部专著中 有 3 部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这 5 部专著分别为 ，其中 产生于 汉、魏、晋、南北朝时期．从这 5 部专著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件有 共 10 种情况，所选 2 部专著中至少有一部是 汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有 ，共 9 种情况， 所以所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 ．故选 D． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概 率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本 事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求. 在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先 ， …. ，再 ， ….. 依次 …. …这样才能避免多写、漏写现象的发 生. 5.某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了 100 个样本。若样本数据 ， ，…， 的 方差为 8，则数据 ， ，…， 的方差为（ ） A. 8 B. 15 C. 16 D. 32 【答案】D 【解析】 分析】 利用方差的性质，若 的方差为 ，则 的方差为 ， 直接求解． 【 , , , ,a b c d e , ,a b c , , , , , , , , , ,ab ac ad ae bc bd be cd ce de , , , , , , , , ,ab ac ad ae bc bd be cd ce 9 10 mP n = = 1 1( , )A B 1 2( , )A B 1( , )nA B 2 1( , )A B 2 2( , )A B 2( , )nA B 3 1( , )A B 3 2( , )A B 3( , )nA B 1x 2x 100x 12 1x − 22 1x − 1002 1x − 1 2, , , nx x x 2s 1 2 , , nax b ax b ax b+ + +, 2 2a s【详解】样本数据 ， ，…， 的方差为 8，所以数据 ， ，…， 的方差为 ， 故选：D. 【点睛】本题考查方差的性质应用，若 的方差为 ，则 的方差为 ，属于基础题。 6.以下三个命题： ①“ ”是“ ”的充分不必要条件； ②若 为假命题，则 ， 均为假命题； ③对于命题 ： ，使得 ；则 是： ，均有 . 其中正确的个数是（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 ①求出不等式 的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论. ②用 联结的两个命题，只要有一个为假则这个复合命题即为假. ③根据特称命题的否定为全称命题判断. 【详解】①不等式 ，解得 或 ，  所以 ， ，“ ”是“ ”的 充分不必要条件.①正确； ②若 为假命题，则 ， 至少有一个为假，故②错误； ③命题 ： 使得 的否定 为 ，均有 .③正确， 故选：B. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属 于基础题。 1x 2x 100x 12 1x − 22 1x − 1002 1x − 22 8 32× = 1 2, , , nx x x 2s 1 2 , , nax b ax b ax b+ + +, 2 2a s 2x > 2 3 2 0x x− + ≥ p q∧ p q p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 2 3 2 0x x− + ≥ ∧ 2 3 2 0x x− + ≥ 2x ≥ 1x ≤ { }| 2x x > { }| 2 1x x x≥ ≤或 22 3 2 0x x x> ⇒ − + ≥ 2 3 2 0 2x x x− + ≥ ⇒ >/ 2x > 2 3 2 0x x− + ≥ p q∧ p q p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥7.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆 与内接三角形构成，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，体积为 ， 故选 A. 8.已知双曲线 ，双曲线 的左、右焦点分别为 F1,F2,M 是双曲线 C2 的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2,O 为坐标原点，若 ，且双曲线 C1,C2 的离心率相同，则双曲线 C2 的实轴长是 （ ） A. 32 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】 求得双曲线 C1 的离心率，求得双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式， 结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线的实轴长． 【详解】双曲线 的离心率为 ， 设 F2（c，0），双曲线 C2 一条渐近线方程为 y= x， 2 1 6 6 π + 2 1 6 2 π + 2 1 3 6 π + 2 1 3 2 π + 31 1 1 4 2 1 21 1 1 ( )3 2 2 3 2 6 6V ππ= × × × × + × × = + 2 2 1 : 14 xC y− = 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b − = > > 2 16OMFS =△ b a 2 2 1 14 xC y− =： 5 2 b a可得|F2M|= =b， 即有|OM|= =a， 由 ，可得 ab=16， 即 ab=32，又 a2+b2=c2，且 = ， 解得 a=8，b=4，c=4 ， 即有双曲线的实轴长为 16． 故选：D． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查 化简整理的运算能力，属于中档题． 9.已知直线 是函数 的一条对称轴，则（ ） A. B. 上单调递增 C. 由 的图象向左平移 个单位可得到 的图象 D. 由 的图象向左平移 个单位可得到 的图象 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项 A 错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选 项 B 错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项 C 错误和选项 D 正确. 【详解】由题意可得： ，据此可得： ，令 k=0 可得： ，选项 A 错误；函数的解析式为： ，若 ，则 在 2 2 bc a b+ 2 2c b− 2 16OMFS =  1 2 c a 5 2 5 3x π= ( ) ( )2sin 2 2f x x πϕ ϕ = + ( )g x (0,1)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) (1) 0g x g≥ = ( )f x (0,1)x∈ (1, )x∈ +∞.选 B. 【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值 法等方法进行判断. 11.已知数列 的各项均为正数， ， ，若数列 的前 项和为 5，则 （ ） A. 119 B. 121 C. 120 D. 122 【答案】C 【解析】 依 题 意 有 ， 即 数 列 是 以 首 项 ， 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 故 . ， 前 项 和 ， 所 以 . 点睛：本题主要考查递推数列求数列通项公式，考查裂项求和法.首先根据题目所给方程，原 方程是分式的形式，先转化为整式，得到两个平方的差为常数的递推数列，根据这个递推数 列可以得到数列 是以 首项，公差为 的等差数列，即求出 的通项公式，进而求得 的通项公式，接着利用裂项求和法求得前 项和，最后列方程解出 的值. 12.已知椭圆 的短轴长为 2，上顶点为 ，左顶点为 ， 分别是 椭圆的左、右焦点，且 的面积为 ，点 为椭圆上的任意一点，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析： 由得椭圆 的短轴长为 ， 可得， ( ) 0f x > { }na 1 2a = 1 1 4 n n n n a a a a+ + − = + 1 1{ } n na a+ + n n = 2 2 1 4n na a+ − = { }2 na 4 4 2 4 , 2n na n a n= = ( ) 1 1 1 1 1 12 21n n n na a n n+ = ⋅ = + −+ + + n ( ) ( )1 12 1 3 2 1 1 12 2nS n n n= − + − + + + − = + − ( )1 1 1 5, 1202 n n+ − = = { }2 na 4 4 2 na na n n 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > A B 1 2,F F 1F AB∆ 2 3 2 − P 1 2 1 1 PF PF + [1,2] [ 2, 3] [ 2,4] [1,4] 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 ( ) 1 1 2 3 2 2F ABS a c b∆ −= − =， 可得 ，从而可得结果. 详解：由得椭圆 的短轴长为 ， ， 解得 ， ，设 ， 则 ， ， 即 ， ，故选 D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题.求解与椭圆性质有关的 问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、 长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 15 题第一空 3 分，第二空 2 分。 13.已知向量 ， ，若 ，则实数 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量垂直的坐标运算进行求解。 【详解】由题意 且 ， ， ，得 . 故答案为： 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示若 、 ， 则 ，属于基础题。 2, 3a c= = 1PF x= ( )2 1 2 1 1 4 4 2PF PF x + = − − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2, 1b b= = ( ) 1 1 2 3 2 2F ABS a c b∆ −= − = 2 3, 2, 3a c a c− = − ∴ = = 1 2 2 4PF PF a+ = = 1PF x= 2 4PF x= − [ ],x a c a c∈ − + 2 3,2 3x  ∈ − +  ( ) [ ]2 1 2 1 1 1 1 4 1,44 4 2PF PF x x x ∴ + = + = ∈− − − ( )12,a k= ( )2 ,14b k= + a b⊥  k = 12 13 − a b⊥  ( )12,a k= ( )2 ,14b k= + ( )12 2 14 0k k∴ + + = 12 13k = − 12 13 − ( )1 1,a x y= ( )2 2,b x y= a b⊥  1 2 1 2 0x x y y+ =14.设函数 ，则 ______. 【答案】0 【解析】 【分析】 直接利用分段函数，由内及外求解函数值。 【详解】 ， . 所以 故答案为： 【点睛】本题考查求分段函数的函数值，判断出自变量所属的段，将自变量的值代入相对应 的解析式中求出函数值。 15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】 由 ， 根 据 正 弦 定 理 得 ， 即 ， ， 又因为 ， 所以 ， 故答案为 ． 16.已知底面边长为 的正三棱柱 的六个顶点在球 上，又知球 与此正三棱 柱的 5 个面都相切，则球 与球 的半径之比为______，表面积之比为______. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 lg 1 x x xf x x x  + − ≤=  − > ( )( )4f f − = ( )4 16 4 2 10f − = − − = ( )10 1 lg10 0f = − = ( )( ) ( )4 10 =0f f f− = 0 ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( )3 cos cos , 60a C c A b B− = = ° A 75° ( )3 acosC ccosA b− = ( )3 sinAcosC sinCcosA sinB− = ( ) 33sin 2A C− = ( ) 1sin , 302 6A C A C π− = − = = ° 180 B 120A C+ = °− = ° 2 150 ,A 75A = ° = ° 75° a 1 1 1ABC A B C− 1O 2O 1O 2O 5 :1 5:1由题意球 为正三棱柱的外接球，球 为正三棱柱的内切球，正三棱柱的外接球和内切球的 球心为同一点，在上下底面中心的连线的中点上，外接球的半径为球心到各顶点的距离，内 切球的半径为球心到各面的距离， 即可求出球 与球 的半径的关系。 【详解】设球 ，球 的半径分别为 ， ，由于正三棱柱的六个顶点都在同一个球面上， 所以球心在上下底面中心的连线的中点上，如图， ， ， ，在 中， ， 由 于 所 以 ： ， ，则球 与球 的半径比为 ，所以球 与球 的表面积之 比等于 ，所以答案应填： ， . 【点睛】正三棱柱的外接球和内切球的球心为同一点，在上下底面中心的连线的中点上，外 接球的半径为球心到各顶点的距离，内切球的半径为球心到各面的距离，找出两球半径和三 棱柱的底边的关系再代入球的表面积计算公式即可。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.记 为等差数列 的前 项和，若 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，证明 . 【答案】(1) ， . 1O 2O 1O 2O 1O 2O R r AB a= OA R= OE r= OEA∆ 2 3 3 3 2 3AE a a= × = 1 3 3 3 2 6OE r a a= = × = 2 2 2OA OE AE= + 2 25 12R a= 2 21 12r a= 1O 2O 5 :1 1O 2O 2 2 2 2 2 2 5 4 12 514 12 aR R r r a π π = = = 5 :1 5:1 nS { }na n 4 5 20a a+ = 6 48S = { }na 1 1 n n n b a a + = nT { }nb n 1 6nT < 2 1na n= + *n N∈(2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用已知条件构造关于 和 的方程组，即可求出数列的通项公式. （2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的前 项和，即可得证. 【详解】（1）设等差数列 公差为 ，依题意 ， 解得 ， 由 ， ∴ ， . （2） ，且 ∴ 因为 ， 所以 ，得证。 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考 查学生的计算能力和转化能力，属于中档题。 18.为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落 1a d n { }na d 4 5 1 6 1 2 7 20 6 56 482 a a a d S a d + = + = ×= + = 1 3 2 a d =  = ( )1 1na a n d+ −= 2 1na n= + *n N∈ 1 1 n n n b a a + = 2 1na n= + ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+  ∴ = = = − + + + +  1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3nT n n  = − + − +⋅⋅⋅+ − + +  1 1 1 2 3 2 3n  = − +  *n N∈ 1 02 3n ∴ >+ 1 1 1 3 2 3 3n ∴ − 1a = 1b = ( ) ( )( )1 1xf x x e= + − ( ) ( )0 0, 1 0f f= − = 0m ≤ 2x mx x≥ + ( ) ( )( )1 1xg x x e x= + − − ( ) ( )2 2xg x x e= + −′ ( ) ( ) ( )t x g'(x t' x x 3 xe= = +）, x 3< − ( )h x 0′ < g'(x） g'(x 0 − ( )h x 0′ > g'(x） ( )g 0 0′ =所以 在 上当单调递减，在 上单调递增，且 ， 故 ， 故 . 【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法，以及利用导数证明不等式的方法，解题时 要认真审题，注意导数性质的合理运用. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极 点， 轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系. （I）求圆 的普通方程及其极坐标方程； （II）设直线 的极坐标方程为 ，射线 与圆 的交点为 ， 与直线 的交点为 Q，求线段 PQ 的长. 【 答 案 】（ I ） 普 通 方 程 为 ： ， 极 坐 标 方 程 为 ： . （II） 【解析】 【分析】 （I）利用 消去参数，求得圆的普通方程，将 代入， 可求得对应的极坐标方程.（II）分别将 代入直线和圆的极坐标方程，然后两式相减， 可求得 的长. 【详解】（I）∵圆 的参数方程为 ( 为参数) ∴消去参数 得普通方程为： 又 ∴ ( )g x ( )0−∞， 0 ∞+， ( )g 0 0= ( ) ( ) ( )( ) 20 0 1 1xg x g x e x mx x≥ = ⇒ + − ≥ ≥ + ( ) 2f x mx x≥ + xOy C cos 1 sin x y α α =  = + α O x C l sin( ) 23 πρ θ + = : 6OM πθ = C P l 22 ( 1) 1yx + − = 2sinρ θ= | | 1PQ = 2 2cos sin 1α α+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = π 6 θ = PQ C 1 x cos y sin α α =  = + α α ( )22 1 1x y+ − = cos , sinx yρ θ ρ θ= = ( ) ( )2 2cos sin 1 1ρ θ ρ θ+ − =化简得圆 的极坐标方程为： . （II）∵射线 与圆 的交点为 ∴把 代入圆的极坐标方程可得： 又射线 与直线 的交点为 Q ∴把 代入直线 极坐标方程可得： ∴ ∴线段 PQ 的长 【点睛】本小题主要考查极坐标、直角坐标和参数方程相互转化，考查利用极坐标的几何意 义来解问题的方法，属于基础题. 23.已知关于 x 的不等式|x﹣m|+2x≤0 的解集为（﹣∞，﹣2]，其中 m＞0． （1）求 m 的值； （2）若正数 a，b，c 满足 a+b+c＝m，求证： 2． 【答案】（1）m＝2（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）解不等式，得出答案。 （2）直接使用均值不等式即可证明之。 【详解】（1）由 f（x）≤0 得|x﹣m|+2x≤0， 即 或 ， 化简得： 或 由于 m＞0，所以不等式组的解集为（﹣∞，﹣m）． 由题设可得﹣m＝﹣2，故 m＝2． （2）由（1）可知，a+b+c＝2， C 2sinρ θ= : 6OM πθ = C P 6 πθ = 2sin 16P πρ = = : 6OM πθ = l 6 πθ = l sin 26 3 π πρ  + =   2Q ρ = 1P QPQ ρ ρ= − = 2 2 2 + + ≥b c a a b c 2 0 x m x m x ≥  − + ≤ ， ， 2 0 x m m x x   − + ≤ ＜ 3 x m mx ≥ ≤ ， ， . x m x m ≤  ≤ − ，又由均值不等式有： a≥2b， b≥2c， c≥2a， 三式相加可得： c≥2b+2c+2a， 所以 a+b+c＝2． 【点睛】本题考查解不等式与利用均值不等式证明。 2b a + 2 +c b 2 +a c 2 2 2 a b+ + + + +b c a a a c 2 2 2 + + ≥b c a a b c