nglo 三湘名校教育联盟·2020 届高三第一次大联考
理科数学
本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 的子集个
数为（）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 ,再求出 ,然后利用公式 进行计算可得.
【详解】 ，∴ ，∴子集个数为 4．
故选 B.
【点睛】本题考查了集合的运算,集合子集的个数问题，属基础题.
2.若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
先由复数的除法得 ，再求其共轭复数即可得解.
U = R { | ( 2) 0}A x x x= − { 1,0,1,2,3}B = − ( )U A B
UC A ( )UC A B∩ 2n
( ,0) (2, )UC A = −∞ +∞ ( ) { 1,3}UC A B = −
z ( )1 1 2i z i− = + z
1 3
2 2z i= − +【详解】由 ，可得 .
在复平面内对应的点为 位于第三象限.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.
3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所
得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人
所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多
少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）
A. 钱 B. 1 钱 C. 钱 D. 钱
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得 a＝
﹣6d，结合 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5 即可得解．
【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即 a＝﹣6d，
又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，属于基础题.
4.已知函数 ， 是 的导函数，则函数 的图像大致为
（）
A. B. C. D.
( )1 1 2i z i− = + 1 2 (1 2 )(1 ) 1 3 2 1 3
1 2 2 2 2
i i i iz ii
+ + + + −= = = = − +−
1 3
2 2z i= − − 1 3( , )2 2
− −
2
3
4
3
5
3
2( ) 2cosf x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )y f x′=【答案】C
【解析】
【分析】
因为 ，显然 是奇函数，求导易得 在 R 上单调
递增.
【详解】因为 ，显然 是奇函数，
又 ,所以 在 R 上单调递增.只有 C 符合,
故选 C．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.
5.已知 ， 均为单位向量， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合向量数量积的性质可求 ，代入即可求解．
【详解】解： ， 均为单位向量，且 ，
，
，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
6. 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则“ 为锐角三角形”是
( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( )f x′
( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′
( ) 2 2cos 0f x x′′ = − ≥ ( )f x′
a b 3a b+ = ( ) ( )2 (a b a b+ ⋅ − = )
1
2
− 1
2
3
2
− 3
2
a b⋅
a b a b 3+ =
2 23 a 2a b b∴ = + ⋅ +
1a b 2
∴ ⋅ =
( ) ( ) 2 2 12a b a b 2a a b b 2
+ ⋅ − = − ⋅ − =
ABC∆ A B C a b c ABC∆“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理可知 时 C 一定为锐角，进而由充分必要条件的定义判断即可得解.
【详解】当△ABC 锐角三角形时，C 一定为锐角，此时 成立，
当 成立时，由余弦定理可得 cosC＞0，即 C 为锐角，但此时△ABC 形状不能确定，
故 为锐角三角形”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的判断及余弦定理的应用，属于基础题.
7.在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可得 ，进而得 ，再利用面积公式即可得
解.
【 详 解 】 因 为 ， 解 得
.
所以 .
所以 的面积为 .
为
2 2 2a b c+ >
2 2 2a b c+ >
2 2 2a b c+ >
2 2 2a b c+ >
ABC∆ 2 2 2a b c+ >
ABC∆ 1AB = 3AC = 1AB BC⋅ = ABC∆
1
2
5
2 5
( )AB BC AB AC AB⋅ = ⋅ − 2cos 3A = 5sin 3A =
2
( ) 1 3cos 1 1AB BC AB AC AB AB AC AB A⋅ = ⋅ − = ⋅ − = × − =
2cos 3A =
2 5sin 1 cos 3A A= − =
ABC∆ 1 1 5 5sin 1 32 2 3 2AB AC A⋅ ⋅ = × × × =故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.
8.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换、函数 的图象变换规律，得出结论．
【 详 解 】 解 ： 函 数
，
故将函数 的图象向右平移 个单位，可得 的图象，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数 的图象变换规律，统一
这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．
9.设 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过对数 运算性质对对数的底数变形,化为同底,利用对数函数 的单调性可得
,通过指数函数的性质可得 .
【详解】 ， ， ，∴ ， ，故选
D．
的
( ) cos2 sin 26f x x x
π = − −
( ) cos2g x x= ( )
3
π
3
π
6
π
6
π
( )y Asin ωx φ= +
( ) π 1 3 1 3 πf x cos2x sin 2x cos2x cos2x sin2x cos2x sin2x cos 2x6 2 2 2 2 3
= − − = − − = + = −
( )g x cos2x= π
6
( )f x
( )y Asin ωx φ= +
4log 3a = 8log 6b = 0.10.5c −=
a b c> > b a c> > c a b> > c b a> >
2logy x=
1a b< < 1c >
2log 3a = 3
2log 6b = 6 63( 3) ( 6) 0− < 1a b< < 0.12 1c = >【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小,属基础题.
10.定义在 R 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则 （）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和 可推出函数的周期为 4,再根据周期性可求得.
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
．
故选 A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.
11.设函数 ，若关于 x 的方程 对任意的 有三个
不相等的实数根，则 a 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为当 时， 恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.
【详解】因为关于 x 的方程 对任意的 有三个不相等的实数根
所以当 时， ， 有一根，
( )f x (1 ) (1 )f x f x+ = − [0,1]x∈ ( ) (3 2 )f x x x= −
29( )2f =
1− 1
2
− 1
2
(1 ) (1 )f x f x− = +
( ) ( )f x f x− = − (1 ) (1 )f x f x− = +
( 1) ( 1) ( 3)f x f x f x+ = − − = − 4T =
29 29 3 1 1 1( ) ( 16) ( ) ( ) (3 2 ) 12 2 2 2 2 2f f f f= − = − = − = − − × = −
2
e 1, 0( )
, 0
x xf x
x ax x
−= − >
( ) 0f x m+ = (0,1)m∈
( , 2]−∞ − [2, )+∞ [ 2,2]−
( , 2] [2, )−∞ − +∞
0x > 2x ax m− = −
( ) 0f x m+ = (0,1)m∈
0x (0,1)m∀ ∈ 1xe m− = −当 时， 恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的
恒成立，所以 解得 ．故选 B．
【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.
12.若 ， 恒成立，则整数 k 的最大值为（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
恒成立，即 恒成立, 即 的最小值大
于 k,再通过,二次求导可求得.
【详解】 恒成立，即 恒成立，即 的
最 小 值 大 于 k ， ， 令 ， 则
， ∴ 在 上 单 调 递 增 ， 又 ，
，∴ 存在唯一实根 a，且满足 ， ．当
时 ， ， ； 当 时 ， ， ， ∴
，故整数 k 的最大值为 3．故选 C．
【点睛】本题考查了转化思想,构造法,以及不等式恒成立和利用导数求函数的最值,属难题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.由曲线 与直线 围成的封闭图形的面积为___________．
【答案】
0x > 2x ax m− = −
2
02
4 0
a
a m
>
= − >
(0,1)m∈ 2 4a ≥ 2a
(0, )x∀ ∈ +∞ 1 ln( 1)
1
x k
x x
+ + > +
1 ln(x 1) k
x x 1
+ + > +
( 1)[1 ln( 1)]( ) x xh x kx
+ + += > h(x)
1 ln(x 1) k
x x 1
+ + > +
( 1)[1 ln( 1)]( ) x xh x kx
+ + += > h(x)
2
x 1 ln(x 1)h (x) x
− − +′ = g(x) x 1 ln(x 1)(x 0)= − − + >
( ) 01
xg x x
′ = >+ g(x) (0, )+∞ (2) 1 ln3 0g = − <
(3) 2 2ln2 0g = − > g(x) 0= (2,3)a∈ 1 ln( 1)a a= + +
x a> g(x) 0> h (x) 0′ > 0 x a< < g(x) 0< ( ) 0h x′ <
( 1)[1 ln( 1)]( ) ( ) 1 (3,4)min
a ah x h a aa
+ + += = = + ∈
2 2y x x= − + y x=
1
6【解析】
【分析】
将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 ， ，结合图像可知围成的封闭图形的面
积.
【详解】将直线方程与曲线方程联立可得交点坐标为 ， ，
如图:
结合图像可知围成的封闭图形的面积为 ．
【点睛】本题考查了定积分的几何意义,属基础题.
14.已知向量 ， ，且 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行可得 ，结合 可得 ，结合诱导公式化
(0,0) (1,1)
(0,0) (1,1)
11
2 3 2
00
1 1 1( 2 ) ( )3 2 6x x x dx x x− + − = − + =∫
( )2,sina α= ( )1,cosb α= / /a b ( )sin cos 2
πα π α − + =
4
5
2cos sinα α= 2 21 sin cosα α= + 2 4sin 5
α =简得 即可得解.
【详解】向量 ， ，且 ，所以 .
.
由 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量共线的向量表示及同角三角函数关系，属于基础题.
15.已知 是偶函数，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义,由 恒成立可得.
【 详 解 】 由 得
， ∴ ，
．
【点睛】本题考查了偶函数的性质,属基础题.
16.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则当 取最
大值时， 的值为______.
【答案】674
【解析】
【分析】
化简条件可得 ，进而得 ，利用反比例函数的性
质分析数列的单调性即可得解.
( ) 2sin cos sin2
πα π α α − + =
( )2,sina α= ( )1,cosb α= / /a b 2cos sinα α=
( ) 2sin cos ( sin )( sin ) sin2
πα π α α α α − + = − − =
2 2
2 2 2 sin 5sin1 sin cos sin 4 4
α αα α α= + = + = 2 4sin 5
α =
4
5
( ) ln(e 1) ( 0)axf x bx b= + − ≠ a
b
=
( ) ( )f x f x− =
( ) ( )f x f x= −
1ln( 1) ln( 1) ln ln( 1)
ax
ax ax ax
ax
ee bx e bx bx e ax bxe
− ++ − = + + = + = + − + 2ax bx=
2a
b
=
{ }na n nS 1
3
2020a = ( )*
1 2,n n na S S n n N−= ≥ ∈ nS
n
( )*
1
1 1 1 2,
n n
n n NS S −
− = − ≥ ∈
1
2023
3
nS
n
=
−【详解】由 ，可得 .
所以 .
从而有： 是以 为首项，-1 为公差的等差数列.
所以 ，所以 .
当 时， 递增，且 ；
当 时， 递增，且 .
所以当 时， 取最大值.
故答案为：674.
【点睛】本题主要考查了 和 的递推关系，考查了数列的单调性，属于中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由等差数列的基本量表示项与和，列方程组求解即可；
（2）先求得 ，再利用裂项求和即可得解.
【详解】解析：（1）设公差为 ，则 ，解得 ，∴
.
( )*
1 2,n n na S S n n N−= ≥ ∈ ( )*
1 1 2,n n n nS S S S n n N− −− = ≥ ∈
( )*
1
1 1 1 2,
n n
n n NS S −
− = − ≥ ∈
1{ }
nS 1
1 2020
3S
=
1 2020 2023( 1) ( 1)3 3n
n nS
= + − ⋅ − = −
1
2023
3
nS
n
=
−
1 674n≤ ≤ nS 0nS >
675 n≤ nS 0nS <
674n = nS
na nS
{ }na n nS 5 19a = 5 55S =
{ }na
1
1
n na a +
n nT
4 1na n= − ( )3 4 3
n
n +
1
1 1 1 1
4 4 1 4 3n na a n n+
= − − +
d 1
1
4 19
5 10 55
a d
a d
+ =
+ =
1 3
4
a
d
=
=
( )3 4 1 4 1na n n= + − = −（2） ，
∴
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.
18.在 中，角 所对的边分别为 ， ．
（1）求 ；
（2） 为边 上一点， ， ，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】分析：（1）由余弦定理可得 ，从而可得 ，进而得解；
（2）在 中，由正弦定理可得： ,①，在 中，
,②，联立①和②可得解.
详解：（1）由已知条件和余弦定理得：
即：
则
又 ， .
（2）在 中，由正弦定理可得： ,①
在 中， ,②
由①②可得： ，即： ,
.
( )( )1
1 1 1 1 1
4 1 4 3 4 4 1 4 3n na a n n n n+
= = − − + − +
1 1 1 1 1 1 1
4 3 7 7 11 4 1 4 3nT n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − − + ( )3 4 3
n
n
= +
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 22( ) 2 cosa b ac B bc− = +
A
D BC 3BD DC=
2DAB
π∠ = tanC
2
3
π 3 3
7
2 2 2a b c bc− − = cosA
ABC△
sin sin120
c BC
C
=
Rt ABC
( )sin 30 cC BD
+ =
2 2 2
2 22 2 2 2
a c ba b ac bcac
+ −− = ⋅ +
2 2 2a b c bc− − =
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = −
0 A π< ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2log log log na a a+ +⋅⋅⋅+
( )( )1 1 2 16 n n n= + +
{ }na
2logn n nb a a= ⋅ { }nb n nT
2n
na = ( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
1n = 1 2a = ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+
( )( )1 1 2 16 n n n= − − 2n
na =
2n
nb n= ⋅
1n = ( )2
2 1log 1a = 1na > 1 2a =
2n ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − −
( ) ( )( ) ( )( )2
2
1 1log 1 2 1 1 2 16 6na n n n n n n= + + − − − 2n= 2n
na =
1n = 2n
na =
2n
nb n= ⋅
1 21 2 2 2 2n
nT n= ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 2 3 12 1 2 2 2 2n
nT n += ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
1 2 12 2 2 2n n
nT n +− = + +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) 11 2 2nn += − ⋅ −
( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
( ) 2xf x e ax a= + + +
( )f x
0x ≤ ( ) 2f x ≥ a【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）求函数导数得 ，分别讨论 和 时导数的正负从而得函数的单调
性；
（2）令 ，则 ， ，讨论 ， 和 时，利
用导数研究函数 单调性进而得解.
【详解】（1） ，
若 ，则 ， 在 上单调递增；
若 时，由 得 ，由 得 ，∴ 在
上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时， ，即 ，令 ，则 ，
，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，∴ 在 上递增，由 与 的图
像可得 在 上不恒成立；
当 时，由 解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
∴ 在 上的最小值为 ，∴ ，解得
.
的
[ ]1,0−
( )' xf x e a= + 0a ≥ 0a <
( ) xh x e ax a= + + ( )0 0h ≥ 1a ≥ − 0a = 0a > 1 0a− ≤ <
( )' xf x e a= +
0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x R
0a < ( )' 0f x > ( )lnx a> − ( )' 0f x < ( )lnx a< − ( )f x
( )( ),ln a−∞ − ( )( )ln ,a− +∞
0x ≤ 2 2xe ax a+ + + ≥ 0xe ax a+ + ≥ ( ) xh x e ax a= + + ( )0 0h ≥
1a ≥ −
0a = ( ) 0xh x e= >
0a > ( )' 0xh x e a= + > ( )h x ( ],0−∞ xy e= ( )1y a x= − +
( ) 0h x ≥ ( ],0−∞
1 0a− ≤ < ( )' 0xh x e a= + = ( )lnx a= −
( )lnx a< − ( )' 0h x < ( )h x
( )ln 0a x− < ≤ ( )' 0h x > ( )h x
( )h x ( ],0−∞ ( )( )lnh a− ( )( ) ( )ln ln 0h a a a− = − ≥
1 0a− ≤
(0,1) ( ,2 2]−∞
1( )f x ax
′ = − 0a ≤ ( )f x (0, )+∞
0a > ( )f x 1( )f a
1 1( ) ln 0f a a
= >
0 1a< < 1( ) 0f a
> 1( ) 0f e
< ( )f x 1 1( , )e a
1( ) 0f a
> 2
2f( ) 0e
a
< ( )f x
2
2
1( , )e
a a
a
1 2 0x x k+ + >
2 2
2 2 2 1 1 1
2 1
ln ln 0x x ax x x ax
x x
+ − − − + >−
2( ) lnm x x x ax= + − (0, )+∞ min
1(2 )a x x
+
1( )f x ax
′ = − 0x >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a > 1(0, )a
( ) 0f x′ > 1( , )a
+∞ ( ) 0f x′ 0 1a< <
2
2
1 1 e
e a a
< < 1( ) 1 1 0a af e e e
= − − + = − < ( )f x 1 1( , )e a
2 2 2
2( ) 2 2ln 1 3 2ln (0 1)e e ef a a aa a a
= − − + = − − < <
2
( ) 3 2ln eF a a a
= − −
2 2
2 2
2 2( ) 0e e aF x a a a
−′ = − + = > ( )F a (0,1)
2( ) ( )1 3 0F a F e< = − <
2
2f( ) 0e
a
< ( )f x
2
2
1( , )e
a a
(0,1)
2 2 1 1
1 2
2 1
ln ln 0x ax x axx x x x
− − ++ + >−
2 2
2 2 2 1 1 1
2 1
ln ln 0x x ax x x ax
x x
+ − − − + >−
2( ) lnm x x x ax= + − (0, )+∞
1( ) 2 0m x x ax
′ = + − (0, )+∞ min
1(2 )a x x
+
0x > 1 12 2 2 2 2x xx x
+ ⋅ =
12x x
= 2
2x =
2 2a
( ,2 2]−∞
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