湖南省益阳市湘潭市2020届高三数学（理）9月检测试卷（附解析Word版）

益阳市、湘潭市 2020 届高三 9 月教学质量检测 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置； 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效； 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用集合的交集运算求解 【详解】 ，则 答案选 C 【点睛】本题考查集合的交集运算，需注意端点取不取得到的问题。 2.复数 ，在复平面内复数 的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先对 进行化简，再求 的共轭复数及 的共轭复数在复平面对应的点 【详解】 ，则 ， 在复平面内对应的点为 ，为第四象限 答案选 D 【点睛】本题考查复数除法运算，共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不 { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 3 1B x x= − < < A B = { }| 3 1x x− < < { }| 3 3x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ < { }| 1 1x x− < < { } { }2| 2 3 0 | 1 3A x x x A x x= − − ≤ ⇒ = − ≤ ≤ A B = { }| 1 1x x− ≤ < 2 1z i = − z 2 1z i = − z z 2 1 i1 iz = = +− 1z i= − 1z i= − ( )1, 1−大，综合性强 3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，可算出 ，又 ，根据等差中项 性质求解即可 【详解】由 ，又 ， 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用 了 和等差中项的性质，简化了运算 4.已知向量 ， ， ，若 ，则 的值为 （） A. 2 B. C. D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】 由 表示出 与 的基本关系，化简求解即可 【详解】 ， 答案选 D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表 示法为： 或 5.某校有 1200 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 ，试卷满分 150 分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数 的 { }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a 15 30S = 8a 10 4a = 15 8 815 30 2S a a= = ⇒ = 10 4a = 9 8 10 92 6 3a a a a= + = ⇒ = ( )2 1 2 1n nS n a− = − ( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b c+    tanα 1 2 1 2 − ( )a b c+    sinα cosα ( )4,sina b α+ =  ( ) 4cos 2sin tan 2a b c α α α+ ⇒ = − ⇒ = −    1 2 2 1x y x y= 1 1 2 2 x y x y = ( )( )2105, 0N σ σ >占总人数的 ，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为（） A. 180 B. 240 C. 360 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正态分布对称性特征，成绩高于 120 分和成绩低于 90 分概率值应该相同，成绩在 90 分 到 105 分的占余下的 ，代入数值进行运算即可 【详解】由题知， ， 所以 ， 所以 ， 所以此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 人。 答案选 C 【点睛】本题考查正态分布基本量的计算，解题一般思路：先确定对称轴，根据对称特点求 解相应数值 6.已知 ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，有以下命题： ①若 ， ，则 .②若 ， ，则 .③若 ， ，则 .④若 ， ， ，则 . 其中真命题有（） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确 ② 与 有可能相交，命题错误 ③由面面垂直的判定定理判断，命题正确 ④成立的前提是面面垂直，命题错误 . 1 5 1 2 1( 120) ( 90)5P X P X> = = < 1 3(90 120) 1 2 5 5P X = − × =  1 3 3(90 105) 2 5 10P X = × =  31200 36010 × = α β m n m α⊥ m β⊥ α β∥ m α n α m n m α⊂ m β⊥ α β⊥ lα β = m α⊂ m l⊥ m β⊥ m n【详解】对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若 ， ，则 平 面与 无公共点，可证 ，命题①正确 对命题②，若 与 为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误 对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相 互垂直. ③中 ， ，所以 。命题③正确 对命题④，若二面角的平面角为锐角时， 与 斜交，命题④错误。 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间 想象能力 7.执行如图所示 程序框图，若输出的 的值为 14，则判断框内可以填入（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可依次执行循环语句，判断 满足的条件即可 【详解】由题可知，初始输入值 执行第一次循环可得： ， 执行第二次循环可得： ， 执行第三次循环可得： ， 执行第四次循环可得： ， …… 的 m α⊥ m β⊥ α β α β∥ m n m α⊂ m β⊥ α β⊥ m β i 90?s > 100?s > 110?s > 120?s > s 0 01, 1s i= = 1 0 1 2i i= + = 1 1 0 3s i s= + = 2 1 1 3i i= + = 2 2 1 6s i s= + = 3 2 1 4i i= + = 3 3 2 10s i s= + = 4 3 1 5i i= + = 4 4 3 15s i s= + =由循环规律可知， ， 当 ，将 代入 可得 即判断框中应为 答案选 B 【点睛】本题考查循环语句中对于判断框中条件的判断，解题时可从答案入手，分析大致规 律，如本题中可判断的是要执行多次循环，知道 满足的条件是大于多少，再由循环规律和题 干信息进行推导即可 8.已知函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， ，则不等式 的解集是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据偶函数的定义域关于原点对称求出 ，再根据偶函数的对称性和题设给的 的 增减性解题即可 【详解】 是定义在 上的偶函数， ，解得 ， 的定义域为 又 ，当 时， 在 单调递减， 再由偶函数的对称性可知 ，解得 答案选 C 【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽 1ni n= + ( )( )1 2 2n n ns + += 1 14 13ni n n= + = ⇒ = 13n = ( )( )1 2 2n n ns + += 14 15 1052ns ×= = 100?s > s ( )f x [ ]1 2 ,m m− [ ]1 2, 0,x x m∀ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −  ( ) 0f x ax− = a 2 ,44 e     ,44 e     ,4 e +∞   2 ,4 e +∞   ( )g x ax= ( ) 0f x ax− =时，两函数图像有四个交点，再分别分析临界点所对应的 值，即可求出范围 【详解】 由图像分析可知，当 时 应有两解，即 ，解得 ，此时应满足 ，解得 当 ，若 与 图像相切，设切点坐标为 ，由 ①，又 ，即 ② 联立①②可得 ， ， 综上所述， 答案选 A 【点睛】本题考查函数零点的求法，采用构造函数法，再根据交点个数是零点的具体体现来 进行转化，同时利用导数来研究函数零点，本题中解法也是解决函数问题中常用解法 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据线性约束条件画出可行域，再将 进行平移寻找最值点即可 ( ) ( )f x g x= a 0x ≤ ( ) 0f x ax− = 2 4 0x x ax+ − = 1 20, 4x x a= = − 4 4 0a− < − < ( )0,4a∈ 0x > ( )g x ax= ( )f x ( )0 0,x y 00 0 2 0 0 xx y ax ax eey x =  ⇒ = = ( )0 0 2 0 1' xe xf x ax −= = ( )02 0 0 1xax e x= − 0 2x = 2 4 ea = 2 4 ea∴ > 2 ,44 ea  ∈   x y 3 0 3 3 0 x y x y y − + ≥  + ≤  ≥ 2z x y= + 2 xy = −【详解】如图，根据线性约束条件画出可行域， 画出符合条件的可行域，将 进行平移，当移到最高点 时，得到 的最大 值， 则 的最大值是 6 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 14.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数。某校国学 社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射” 不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种. 【答案】504 【解析】 【分析】 利用先分类再分步的方式，分“射”排最后一位和“射”排中间 4 位的情况进行求解 【详解】第一种情况，当“射”排最后一位时，共有 种方法 第二种情况，当“射”排中间 4 个位置中的 1 个时共有 种方法 不同的排列方式共有 种 所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有 504 种 【点睛】本题主要考查排列组合问题，由于题中出现了特殊位置，所以解题时优先从特殊位 置着手，再对剩下位置进行全排列 15.已知数列 的各项均为正数，记 为数列 的前 项和，若 ， ，则 ______. 2 xy = − ( )0,3 2z x y= + max 2 3 6z = × = 2z x y= + 5 5 120A = 1 1 4 4 4 4 384A A A⋅ ⋅ = 384 120 504+ = { }na { }nS { }na n ( )2 * 1 1 2 n n n n aa n Na a+ + = ∈− 1 1a = 6S =【答案】63 【解析】 【分析】 对 进行化简，可得 ，再根据等比数列前 项和公式进行求 解即可 【详解】由 数列 为首项为 ，公比 的等比数列， 所以 63 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解， 约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质 16.已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ，过 的直线 与圆 相切于点 ，且直线 与双曲线 的右支交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，作出图形，结合双曲线第一定义，再将所有边长关系转化到直角三角形 中， 化简求值即可 ( )2 * 1 1 2 n n n n aa n Na a+ + = ∈− 1 2n n a a + = n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2n n n n n n n n n n n n n aa a a a a a a a a aa a+ + + + + + = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = + ⋅− ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n n n n aa a a a a a a a a a a + + + + +⇒ + − = + ⇒ − = ⇒ = { }na 1 1a = 2q = ( ) ( )6 6 1 6 1 1 1 2 631 1 2 a q S q − × − = = =− − 6S = C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F 1F l 2 2 2x y a+ = T l C P 1 14F P FT=  C 5 3 2MPF【详解】 如图，由题可知 ， ，则 ， 又 ， ， ， 又 ， 作 ，可得 ， ，则 在 ， ，即 ， 又 ，化简可得 ，同除以 ，得 解得 双曲线的离心率为 【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题，利用双曲线的第一定义和中 位线定理将所有边长关系转化到直角三角形 中是解题关键，一般遇到此类题型，还是建 议结合图形来进行求解，更直观更具体 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 . （1）求角 ； （2）若 的面积为 ， ，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 1 2OF OF c= = OT a= 1FT b= 1 14F P FT=   3TP b∴ = 1 4F P b∴ = 1 2 2PF PF a− = 2 4 2PF b a∴ = − 2 / /F M OT 2 2F M a= TM b= 2PM b= 2MPF∆ 2 2 2 2 2PM MF PF+ = ( )22 2c b a= − 2b a c= + 2 2 2c a b= + 2 23 2 5 0c ac a− − = 2a 23 2 5 0e e− − = 5 3e = 5 3 2MPF ABC∆ A B C a b c ( )sin sin 3 cosa c B b C b A+ − = A ABC∆ 4 3 6a = ABC∆ 60A =  6 2 21+【分析】 （1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可 （2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出 整体即可 【详解】解：（1）由正弦定理得： ， ∵ ，∴ ，∵ 是 的内角，∴ . （2）∵ 的面积为 ，∴ ， 由（1）知 ，∴ ， 由余弦定理得： ， ∴ ，得： ， ∴ 的周长为 . 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合 面积公式解决周长、面积问题 18.在四棱锥 中， ， ， . （1）若点 为 的中点，求证： 平面 ； （2）当平面 平面 时，求二面角 的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）通过作 的中点 ，连结 ， ，通过中位线定理分别证明 ， b c+ ( )sin sin sin sin sin 3sin cosA C B B C B A+ − = sin 0B ≠ tan 3A = A ABC∆ 60A =  ABC∆ 4 3 1 sin 4 32 bc A = 60A =  16bc = 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − ( )2 3b c bc= + − ( )2 48 36b c+ − = 2 21b c+ = ABC∆ 6 2 21+ P ABCD− 4BC BD DC= = = 2AB = 2 3AD PB PD= = = E PC / /BE PAD PBD ⊥ ABCD C PD B− − 22 11 CD M EM BM EM PD来证明平面 平面 ，从而证明 平面 （2）当平面 平面 时，再结合题干信息，可作 的中点 ，连接 ，以 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴正方向建立空间直角坐 标系，用向量法来求解二面角 的余弦值 【详解】解：（1）取 的中点 ，连结 ， . ∵ 为等边三角形，∴ . ∴ ，又 ， ∴四边形 是平行四边形，∴ . 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . ∵ 为 的中点， 为 的中点，∴ . 同理： 平面 . ∵ ，∴平面 平面 . ∵ 平面 ，∴ 平面 . （2）取 的中点 ，连结 ， ，则 ， . ∵平面 平面 ， ， ∴ 平面 ，∴ ， ， . 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 建立空间直角坐标系 . BM AD BEM  PAD / /BE PAD PBD ⊥ ABCD BD O PO OC x OB y OP z C PD B− − CD M EM BM BCD∆ 2 3BM = 2 3AD BM= = 2AB DM= = ABMD BM AD BM ⊄ PAD AD ⊂ PAD BM∥ PAD E PC M CD EM PD EM  PAD EM BM M= BEM  PAD BE ⊂ BEM / /BE PAD BD O CO PO CO BD⊥ PO BD⊥ PBD ⊥ ABCD PO BD⊥ PO ⊥ ABCD PO CO⊥ 2 2PO = 2 3CO = O OC x O xyz−则 ， ， . ∴ ， ， 平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 . 令 ，得 ， ，∴平面 的一个法向量 ， ∴ . 设二面角 的大小为 ，结合图形可知 . 【点睛】本题考查立体几何基本知识，第一问考查了线面平行的证法，证线面平行一般有两 种思路：一种通过证直线和平面里的一条直线平行来证线面平行；另一种通过证面面平行， 说明直线在其中一个平面，从而证线面平行。第二问考查了用空间向量求解二面角余弦值的 一般方法，建立合适的空间坐标系，正确表示各点坐标和相应平面的法向量是关键，在向量 法求解二面角余弦值时，要注意夹角是锐角还是钝角，从而正确求解二面角余弦值 19.某市旅游局为了进一步开发旅游资源，需要了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某 月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位 数是 126，景点乙中的数据的平均数是 124. （1）求 ， 的值； ( )0, 2,0D − ( )2 3,0,0C ( )0,0,2 2P ( )2 3,2,0DC = ( )0,2,2 2DP = PBD ( )1 1,0,0n = PCD ( )2 , ,n x y z= 2 2 0 0 n DC n DP  ⋅ = ⋅ =     2 3 2 0 2 2 2 0 x y y z  + = + = 6y = 2x = − 3z = − PCD ( )2 2, 6, 3n = − − 1 2 1 2 1 2 2 22cos , 112 6 3 n nn n n n ⋅ −< >= = = − + +⋅      C PD B− − θ 22cos 11 θ = x y（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据（视样本频率为概率）. 今从这段时期内任取 4 天，记其中游客数不低于 125 人的天数为 ，求概率 ； （3）现从上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据（甲、乙两景点中各取 1 天），记其中游客 数不低于 115 且不高于 135 人的天数为 ，求 的分布列和期望. 【答案】（1） ， （2） （3）详见解析 【解析】 【分析】 （1）通过中位数和平均数的定义进行求解即可 （2）分析题意可知，该分布符合独立重复试验特点，属于二项分布，采用二项分布公式进行 求解 （3）该分布特点符合相互独立实验特点，采用相互独立实验公式进行求解 【详解】（1）由题意知甲的中间两位数的尾数为 7、x,根据中位数为 126，即 乙中以 124 位标准数，则 109 为表示为-15，115 可表示为-9，可列出等式 则 124-10=114， ，所以 ， ； （2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数不低于 125 人的概率为 ， 任取 4 天，即是进行了 4 次独立重复试验，其中有 次发生，故随机变量 服从二项分布， 则 ； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的有 3 天，景点乙的数据中符合条件的有 7 天， 所以在景点甲中被选出的概率为 ，在景点乙中被选出的概率为 . 由题意知： 的所有可能的取值为 0，1，2. 则 ， ， ， ξ ( )2P ξ ≤ η η 5x = 4y = 328 625 7 6 52 x x + = ⇒ = 15 9 6 1 2 9 11 17 10− − − + + + + + = 4y = 5x = 4y = 6 3 10 5 = ξ ξ ( ) 0 4 3 2 2 0 1 2 4 4 4 3 3 3 2 3 22 15 5 5 5 5 5P C C Cξ           ≤ = − + +                     328 625 = 3 10 7 10 η ( ) 7 3 210 10 10 100P η = = × = ( ) 3 3 7 7 291 10 10 10 10 50P η = = × + × = ( ) 3 7 212 10 10 100P η = = × =所得分布列为： 0 1 2 . 【点睛】本题以茎叶图形式考查概率统计基本量的计算问题，当有偶数个数时，中位数为中 间两位数之和的平均值，有奇数个数时，中位数为中间的那位数，求解时要注意对数据排序； 平均数的求法可采用设标准数法，此法可减小运算量；（2）（3）问求解的关键在于分清是哪 一种分布特点，独立重复试验最大特点为每次实验互不受影响，相互独立实验区别于二项分 布的地方在于各实验事件对应概率一般不同，解题时要加以区分 20.已知圆 ： ，椭圆 ： 的离心率为 ，圆 上任 意一点 处的切线交椭圆 于两点 ， ，当 恰好位于 轴上时， 的面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1） （2） 为定值且定值为 ，详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，结合图形特点求解出 与 的长，再结合椭圆的离心率特点代换出关 于 的椭圆标准方程，将点 坐标代入椭圆方程即可求得标准方程 （2）分两种情况进行讨论，当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时， ，当斜率存在时，设切线方程为 ，采用解析几何方法 η P 21 100 29 50 21 100 ( ) 21 29 210 1 2 1100 50 100E η = × + × + × = O 2 2 4 3x y+ = C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 O P C M N P x OMN∆ 4 3 C PM PN⋅ 2 2 14 2 x y+ = PM PN⋅ 4 3 OP MN b M P 2 3 2 3 4 3 3 3PM PN⋅ = × = y kx m= +联立切线与椭圆标准方程，得出关于两点横坐标的韦达定理，再用弦长公式表示出 ， 最终将表达式进行化简求值即可 【详解】解：（1）由椭圆的离心率为 知 得 ， ∴椭圆 的方程为 . 由圆的切线性质、圆的对称性及 的面积为 得： ， 又 ，∴ ， 设 ，则 ， ，将其代入椭圆方程得 ， ， ∴椭圆 的方程为 . （2）①当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时， ， ②当过点 的圆的切线斜率存在且不为 0 时，设切线的方程为 ， ， ，∴ ，即 . 联立直线和椭圆的方程得： ，即 ， 则 ， PM PN⋅ 2 2 2 2 2 1 2 a b a − = 2a b= C 2 2 2 2 12 x y b b + = OMN∆ 4 3 1 4 2 3OP MN⋅ ⋅ = 2 3 3OP = 4 3 3MN = ( )1 1,M x y 2 1 4 3x = 2 1 4 3y = 2 2b = 2 4a = C 2 2 14 2 x y+ = P 2 3 2 3 4 3 3 3PM PN⋅ = × = P y kx m= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 3 31 m k = + ( )2 24 13m k= + ( )22 2 4x kx m+ + = ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = ( ) ( )( )2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 4 1 2 2 4 0 4 2 1 2 4 2 1 km k m kmx x k mx x k  ∆ = − + − >  + = − +  −= +设 ，则 , 由 ，解得 ， ∴ ， 综上所述， 为定值且定值为 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，求证过圆的切线与椭圆交线的弦长乘积的定值问题， 第一问考点较为基础，第二问整体难度较大，关键在于解析几何中的参数代换问题，韦达定 理表示弦长问题也是常规解法，参数代换的难点在于怎样将多个参数代换成一个参数，这就 需要做题时挖掘隐藏条件，如本题中根据垂直推到出的斜率之积为-1 的表达式，如根据点 O 到切线距离为定值的表达式。 21.已知函数 （ 为常数）. （1）讨论函数 的单调性； （2）若 为整数，函数 恰好有两个零点，求 的值. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）整数 的值为-3，-2，-1. 【解析】 【分析】 （1）先求导，再讨论参数 的正负，进一步判断函数的单调性 （2）通过（1）的结论可判断 ，代入极值点可求得函数的最大值，根据题意要使最大值 ( )0 0,P x y 2 2 1 0 2 01 1PM PN k x x k x x⋅ = + − ⋅ + − ( ) ( )2 2 1 2 0 1 2 01 k x x x x x x= + − + + 0 0 0 0 1y x k y kx m  = −  = + 0 21 mkx k −= + ( ) 22 2 2 2 2 2 2 4 41 1 2 1 2 1 1 m mk mk mkPM PN k k k k k − − − − ⋅ = + − ⋅ +  + + + +  ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 411 2 1 2 1 m m k m kkk k k −= + − ++ + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 2 2 3 22 4 11 2 1 2 1 m k km kk k k +−= + −+ + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 4 3 2 4 13 11 2 31 2 1 k k k k kk k k + × − + + = + − ⋅+ + + 4 3 = PM PN⋅ 4 3 ( ) ( )2ln 2 2f x x ax a x= + + + + a ( )f x a ( )f x a a a 0a ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )' 0f x > 10 x a < < − ( )' 0f x < 1x a > − ( )f x 10, a  −   1 ,a  − +∞   0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )f x 10, a  −   10, a  −   ( )max 1 1 1ln 1f x f a a a    = − = − − +       ( ) ln 1g x x x= + + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1 1 1 1ln 1 5 ln 256 5 ln 2434 4 4 4 4g   = + + = − < −   ( )1 5 5ln3 04 = − < ( )( )1 1 1 2ln 1 2 ln 3 33 3 3 3g   = + + = −   ( )22 2 ln 03 e> − = ( )g x 10, 4     1 ,3  +∞  a ( )maxf x ( )f x 3a = − ( )maxf x ( ) 2ln 2f x x x x< − + + ( )10 ln10 100 10 2 0f < − + + < ( )f x 10, a  −   ( ) 2ln 2 ln 3f x x x x x< − + + < + 3 3 1 1ln 3 0f e e   < + =  ∴函数 在 上有两个零点. 综上所述，函数 有两个零点，整数 的值为-3，-2，-1. 【点睛】本题主要考查根据导数研究函数单调性、利用导数判断函数最值与零点的关系，考 查数学转化的思想方法，难度较大，在解决此类题型中，最值点一般是研究重点，在最值点 处函数的增减性会发生变化，抓住最值点研究零点问题也是导数求解问题中的难点，对于最 值点与零点的交汇问题应学会归纳题型，强化训练，才能攻克此难点 （二）选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）若点 是曲线 上的点，点 是曲线 上的点，求 的最小值. 【答案】（1） （2）2. 【解析】 【分析】 （1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出结果； （2）先由题意设 ，根据点到直线距离公式得到点 到直线 的距离为： ，再由 ，即可求出结果. 详解】解：（1）由 得： ， 将 ，代入得曲线 ，的直角坐标方程为： （2）由题意，可设 ，由点到直线的距离公式可得： 【 ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x a xOy 1 2 cos: 6 sin xC y ϕ ϕ  = = ϕ O x 2C sin 44 πρ θ + =   2C P 1C Q 2C | |PQ 4 2x y+ = ( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 | 2 ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d sin 44 πρ θ + =   sin cos 4 2ρ θ ρ θ+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2C 4 2x y+ = ( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP点 到直线 的距离为： 由题意可得： ，即 所以， 的最小值为 2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求出距离最值的 问题，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及曲线的参数方程即可，属于常考题型. 23.选修 4－5：不等式选讲:已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可； 问题转化为 恒成立，当 时， ， 令 ，求出 的最大值，求出 m 的范围即可． 【详解】解： 当 时， ， 由 ， 得 或 或 ， 解得： 或 ， 故不等式的解集是 ； 当 时， ， P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 | 2 ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d 2 2 sin 4 26| 2 cos 6 sin 4 2 || | 2 2 2 PQ πϕϕ ϕ  + − + −  ≥ = ≥ | |PQ ( ) ( )1 2f x x m x m R= + − − ∈ 3m = ( ) 1f x > [ ]1,2x∈ − ( ) 2 1f x x< + m 3 ,32      1 3m > ( )1 ( )2 ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + [ )1,2x∈ − 212 2 xm x x −> = −− − ( ) 21 2g x x = − − ( )g x ( )1 3m = ( ) 1 3 2f x x x= + − − ( ) 1f x > 1 {2 7 1 x x 1 2 {4 5 1 x x − ≤ ≤ − > 2 { 2 7 1 x x > − + > 3 22 x< ≤ 2 3x< < 3 ,32      ( )2 [ ]1,2x∈ − ( ) ( )1 2f x x m x= + − −恒成立， 即 恒成立， 整理得： ， 当 时， 成立， 当 时， ， 令 ， ， ， ， ， 故 ， 故 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规 题． ( ) 2 1f x x< + ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + ( )2 x m x− > − 2x = 0 2> − [ )1,2x∈ − 212 2 xm x x −> = −− − ( ) 21 2g x x = − − 1 2x− ≤