益阳市、湘潭市 2020 届高三 9 月教学质量检测
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置；
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效；
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有且只
有一项符合题目要求。
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简集合 ，再由交集的概念，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选 A
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.
2.
A. -1 B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，可直接得出结果.
详解】 .
故选 D
【点睛】本题主要考查复数的除法运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.
【
{ }2| 2 3 0A x x x= + − = { 3, 1,1,3}B = − − A B =
{1, 3}− { 1, 3}− − { 1,3}− {1,3}
A
{ } { }2| 2 3 0 3,1= + − = = −A x x x { 3, 1,1,3}B = − −
{1, 3}= −A B
1
1
i
i
+ =−
i− i
21 (1 ) 2
1 (1 )(1 ) 2
i i i ii i i
+ += = =− − +3.在等比数列 中， ，则其公比为
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】因为在等比数列 中， ，
所以 ，解得 .
故选 C
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.
4.已知 （ 为第二象限角），则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再由两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】因为 为第二象限角， ，所以 ，
因此 .
故选 D
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，给值求值的问题，熟记两角差的余弦公式即可，属于
常考题型.
{ }na 1 3 4 6
3, 38a a a a+ = + =
1
2
− 1
2
{ }na 1 3 4 6
3, 38a a a a+ = + =
3 4 6
1 3
8
+= =+
a aq a a 2q =
1sin 3
α = α cos 4
πα − =
4 2
6
− 2 2
6
− 4 2
6
+ 2 4
6
−
2 2cos 3
α = −
α 1sin 3
α = 2 2cos 3
α = −
2 2 2 1 2 2 4cos cos cos sin sin4 4 4 2 3 3 2 6
π π πα α α − − = + = − × + × = 5.在正方体 中，下列几种说法正确的是（ ）
A. B.
C. 与 成 角 D. 与 成 角
【答案】D
【解析】
试题分析：直线 与 是异面直线，而 ∥ ，所以 即为 与 所
成的角．显然三角形 是等边三角型，所以 ．故选 D．同时可以判断其
它选项是错误的．
考点：异面直线所成 角及其是否垂直的问题．
6.根据如下样本数据得到的回归直线方程为 ，则
3 4 5 6
4.5 4 3 2.5
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线性回归直线的函数特征，结合题中数据，即可判断出结果.
【详解】由表中数据可得，随着 的增大， 越来越小，所以 ；
又 时， ，所以当 时，必有 .
故选 B
的
1 1 1 1ABCD A B C D−
1 1AC AD⊥ 1 1D C AB⊥
1AC DC 45° 1 1AC 1B C 60°
1 1AC 1B C 1B C 1 1AC 1B C
ˆy bx a= +
x
y
0, 0a b> >
0, 0a b> <
0, 0a b< <
0, 0a b< >
x y 0b <
3x = 4.5y = 0x = ˆ 4.5 0= > >y a【点睛】本题主要考查回归直线的函数特征，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.
7.执行如图所示的程序框图，当 时，则输出的 值是
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.
【详解】执行程序框图如下：
输入： ，
初始值： ，
第一步： ，进入循环体， ， ；
第二步： ，进入循环体， ， ；
第三步： ，进入循环体， ， ；
第四步： ，进入循环体， ， ；
第五步： ，结束循环，输出 ；
故选 C
【点睛】本题主要考查循环程序框图输出的结果，逐步执行框图，即可得出结果.
15p = n
15p =
1, 0n S= =
0 15= f f9.将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，
则 的单调递减区间是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将 化为 ，根据题意得到 ，再由正弦函数的增
区间，即可得出结果.
【详解】因为 ，将其图像向左平移 个单位长度，
得到 ，
由 ，得 ，
所以 的单调递减区间是
故选 B
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间，熟记三角函数的平移原则，以及正弦函数的单
调性即可，属于常考题型.
10.在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
( ) sin 2 3 cos2f x x x= +
3
π ( )g x
( )g x
3, ( )4 4k k k Z
π ππ π + + ∈ , ( )4 4k k k Z
π ππ π − + ∈
32 ,2 ( )4 4k k k Z
π ππ π + + ∈ 2 ,2 ( )4 4k k k Z
π ππ π − + ∈
( )f x 2 n 2) 3( sif x x
π = + ( ) 2sin2=−g x x
( ) sin 2 3 cos2 2sin 2 3f x x x x
π = + = + 3
π
( ) 2sin 2 2sin23 3
π π = + + =− g x x x
2 2 2 ,2 2
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈k x k k Z ,4 4
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈k x k k Z
( )g x , ( )4 4k k k Z
π ππ π − + ∈
ABCD E CD F AE BF =
1 3
2 4AD AB− 3 1
4 2AB AD−
4 1
3 2AB AD− 1 3
2 4AB AD+ 【解析】
【分析】
先由 为 的中点，得到
，再由 为 的中点，结合平面向量基本定理，即可得出结果.
【详解】因为 为 的中点，
所以 ，
又在平行四边形 中， 为 的中点，
所以 .
故选 A
【点睛】本题主要考查用基底表示向量，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.
11.设 ，若 有三个不同的实数根，则实数 的取值范围
是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先作出函数的图像， 有三个不同的实数根，化为函数
与直线 有三个交点，结合图像，即可得出结果.
【详解】作出函数 图像如下：
又 有三个不同的实数根，
所以函数 与直线 有三个交点，
由图像可得： .
F AE
1 1
2 2
= + BF BA BE E CD
F AE
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
= + = − + + BF BA BE AB BC CE
ABCD E CD
1 1 1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 4 2 4
= − + + = − + − = − BF AB BC CE AB AD AB AD AB
3
3 ( 0)( ) log ( 0)
x xf x x x
≤= >
( ) 0f x a− = a
0 1a< < 0 1a< ≤
0 1a≤ < 0 1a≤ ≤
( ) 0f x a− =
3
3 ( 0)( ) log ( 0)
x xf x x x
≤= >
y a=
3
3 ( 0)( ) log ( 0)
x xf x x x
≤= >
( ) 0f x a− =
3
3 ( 0)( ) log ( 0)
x xf x x x
≤= >
y a=
0 1a< ≤故选 B
【点睛】本题主要考查根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，
利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型.
12.已知点 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线
的左右焦点， 为 的内心，若 ，则双曲线的离心率为
A. 6 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先设圆 与 的三边 ， ， 相切于点 ， ， ，连接 ， ， ，用
内切圆半径表示出 ， ， 的面积，再由 ，结合双
曲线的定义，即可得出结果.
【详解】如图，设圆 与 的三边 ， ， 相切于点 ， ， ，连接 ，
， ，则 ， ， ，它们分别是 ， ， 的高，
所以 ， ，
，其中 为 的内切圆半径；
因为 ，
P
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1 2( ,0), ( ,0)F c F c−
I 1 2PF F∆
1 2 1 2
3
3∆ ∆ ∆= +IPF IF F IPFS S S
3 2
I 1 2PF F∆ 1 2F F 1PF 2PF E F G IE IF IG
1 2IF F∆ 1
∆IPF 2
∆IPF
1 2 1 2
3
3∆ ∆ ∆= +IPF IF F IPFS S S
I 1 2PF F∆ 1 2F F 1PF 2PF E F G IE
IF IG 1 2
⊥IE F F 1
⊥IF PF 2
⊥IG PF 1 2IF F∆ 1
∆IPF 2
∆IPF
1 1 1
1 1
2 2∆ = ⋅ = ⋅IPFS PF IF PF r 2 2 2
1 1
2 2∆ = ⋅ = ⋅IPFS PF IG PF r
1 2 1 2 1 2
1 1
2 2∆ = ⋅ = ⋅FIFS F F IE F F r r 1 2PF F∆
1 2 1 2
3
3∆ ∆ ∆= +IPF IF F IPFS S S所以 ，
所以 ，
由双曲线的定义可得： ，
因此双曲线的离心率为 .
故选 B
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知函数 ，则函数 的图像在点 处的切线方程为________.
【答案】 ，
【解析】
【分析】
先对函数求导，根据题意求出切线斜率，进而可得切线方程.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 的图像在点 处的切线斜率为 ，
又 ，
因此，函数 的图像在点 处的切线方程为 ，
即 .
1 1 2 2
1 3 1
2 6 2
⋅ = ⋅ + ⋅PF r F F r PF r
1 2 1 2
3
3
− =PF PF F F
2 32 3
=a c
3= =ce a
2( ) 2f x x x= + ( )f x (1, (1))f
4 1 0x y− − =
2( ) 2f x x x= + ( ) 2 2f x x′ = +
( )f x (1, (1))f (1) 4k f ′= =
2(1) 1 2 3= + =f
( )f x (1, (1))f 3 4( 1)− = −y x
4 1 0x y− − =故答案为
【点睛】本题主要考查函数在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.
14.若 满足条件 ，则 的最小值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数 为 ，结合图像，即可得出结果.
【详解】由约束条件 作出可行域如下：
又目标函数 可化为 ，显然当直线 过点 A 时，截距最小，目标函
数取最小值．
由题意，易得 ，
所以 .
故答案为 1
【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，化目标函数
为一次函数的形式，结合图像即可求解，属于常考题型.
15.在 中，角 对边分别为 ，若 ，且 ,
，则 的面积为________.
4 1 0x y− − =
x y，
2 2
2 2
2 0
x y
x y
y
+ ≥
− ≤
− ≤
z x y= +
z x y= + y x z= − +
2 2
2 2
2 0
x y
x y
y
+ ≥
− ≤
− ≤
z x y= + y x z= − + y x z= − +
(1,0)A
min 1 0 1= + =z
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosc A a B b A= + 2b =
3a = ABC∆【答案】
【解析】
【分析】
先由题中条件求出 ，根据余弦定理求出 ，再由三角形面积公式，即可得出结
果.
【 详 解 】 因 为 ， 所 以
，
因此 ，又 , ，
由余弦定理可得： ，
即 ，解得 ，
因此三角形 为直角三角形，所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.
16.已知三棱锥 满足 ，则该三棱锥体积的最大值为
________.
【答案】
【解析】
【分析】
取 中点 ，连接 ， ，先由题意得到平面 平面 时，棱锥的高最大，等
于 ， 此 时 体 积 也 最 大 ； 得 到 ， 设 ， 得 到
，令 ，设 ，用导数的方法求出其最大值，
进而可求出结果.
【详解】取 中点 ，连接 ， ，因为 ，
3
2
1cos 2A = 1c =
2 cos cos cosc A a B b A= +
2sin cos sin cos sin cos sin= + =C A A B B A C
1cos 2A = 2b = 3a =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
23 4 2c c= + − 1c =
ABC∆ 1 3
2 2∆ABCS ac= =
3
2
A BCD− 3AB BD DC CA= = = =
2 3
AD E BE CE ⊥BAD CAD
BE 3 sin2− = ⋅ ∠A BCDV CE ACD ACD θ∠ =
39 sin sin2 2
θ θ
−
= − A BCDV sin 2
θ=x 3( ) = −f x x x
AD E BE CE 3AB BD DC CA= = = =所以 ， ，且 ，
由题意可得，当平面 平面 时，棱锥的高最大，等于 ，此时体积也最大；
所以此时该三棱锥体积为
，
设 ，则 ，
所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，
则 ，由 得 ；
由 得 ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
所以 ，
因此三棱锥体积的最大值为 .
故答案为
BE AD⊥ CE AD⊥ BE CE=
⊥BAD CAD BE
1 1 3sin sin3 6 2− ∆= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∠ ⋅ = ⋅ ∠A BCD ACDV S BE CA CD ACD BE CE ACD
ACD θ∠ = sin 3cos2 2
π θ θ− = ⋅ = CE CD
2 39 cos sin 9sin cos 9 sin sin2 2 2 2 2 2
θ θ θ θ θθ−
= ⋅ = ⋅ = − A BCDV
sin 2
θ=x 0 θ π< < 0 sin 12
θ< <
3( ) = −f x x x 0 1x< <
2( ) 1 3′ = −f x x 2( ) 1 3 0′ = − >f x x 30 3x< <
2( ) 1 3 0′ = − ⇒ − < < ( ) 0 2f x x′ < ⇒ > 1< −
0 2（ ，） (2, )+∞
2x ≥ 0f x −令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
在区间 上为减函数，
，即 ，
在区间 上为减函数，
，
故实数 的取值范围为
【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法求单调区间，以及由不等式恒成立求参数
的问题，利用导数的方法研究函数的单调性，最值等即可，属于常考题型.
21.已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．
（1）求椭圆 标准方程；
（2） 是椭圆 上不同的三点，若直线 的斜率之积为 ，试问从
两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1） （2） 两点的横坐标之和为 0，详见解析
【解析】
【分析】
（1）先由题中条件，得到 ，再由离心率求出 ，得到 ，进而可得椭圆方程；
（2）设 三点坐标分别为 ，直线 的斜率分
别为 ，得到直线 的方程为： ，联立直线与椭圆方程，根据韦达
定理表示出 与 ，再结合 ，即可得到结果.
【详解】（1）由椭圆的右焦点 得 ，
的
2( ) lng x x x x= − ( ) ln 1 2g x x x′ = + −
( ) ( )h x g x′= 1 1 2( ) 2 xh x x x
−′ = − =
2x ≥ ( ) 0h x′ <
( )h x∴ [2, )+∞
( ) (2) 2ln 2 3 0h x h∴ ≤ = − < ( ) 0g x′ <
( )g x∴ [2, )+∞
( ) (2) 2ln 2 4g x g∴ ≤ = −
a (2ln 2 4, )− +∞
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( 2,0)F 6
3
C
P M N、 、 C ,PM PN 1
3
− M N、
2
2 13
x y+ = M N、
2c = 3a = 1b =
P M N、 、 ( ) ( ) ( ), , , , ,P P M M N Nx y x y x y PM PN、
1 2,k k PM ( )1p py y k x x− = −
Mx Nx 1 2
1
3k k⋅ = −
F( 2,0) 2c =又离心率 得 ，
所以椭圆的标准方程为：
（2） 两点的横坐标之和为 0，理由如下
设 三点坐标分别为 ，直线 的斜率分别为
，
则直线 的方程为： ，
由方程组 ，消去 得：
，
，
故 ，同理可得： ，
又 ，即 ，
从而 ，
即 两点的横坐标之和为常数零
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭
圆的简单性质即可，属于常考题型.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做第
一个题目计分。
6
3
ce a
= = 3, 1a b= ∴ =
2
2 13
x y+ =
M N、
P M N、 、 ( ) ( ) ( ), , , , ,P P M M N Nx y x y x y PM PN、
1 2,k k
PM ( )1p py y k x x− = −
( )
2
2
1
13
p p
x y
y y k x x
+ =
− = −
y
( ) ( ) ( )22 2
1 1 1 11 3 6 3 3 0p p p pk x k k x y x k x y+ − − + − + − =
( )1 1
2
1
6
1 3
p p
M p
k k x y
x x k
−
∴ + = +
2
1 1
2
1
3 6
1 3
p p p
M
k x k y xx k
− −= +
2
2 2
2
2
3 6
1 3
p p p
N
k x k y xx k
− −= +
1 2
1
3k k⋅ = − 2
1
1
3k k
= −
2
2
1 11 1
2 2
1
1
1 13 6 6 33 3
1 311 3 3
P p p
p p p
N
x y x x k y k xk kx k
k
− − − − + − ∴ = = + + −
0M Nx x+ =
M N、22.在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，
以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）若点 是曲线 上的点，点 是曲线 上的点，求 的最小值.
【答案】（1） （2）2.
【解析】
【分析】
（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出结果；
（2）先由题意设 ，根据点到直线距离公式得到点 到直线
的距离为： ，再由 ，即可求出结果.
【详解】解：（1）由 得： ，
将 ，代入得曲线 ，的直角坐标方程为：
（2）由题意，可设 ，由点到直线的距离公式可得：
点 到直线 的距离为：
由题意可得： ，即
所以， 的最小值为 2.
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求出距离最值的
问题，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及曲线的参数方程即可，属于常考题型.
xOy 1
2 cos:
6 sin
xC
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ O
x 2C sin 44
πρ θ + =
2C
P 1C Q 2C | |PQ
4 2x y+ =
( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP P
4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 |
2
ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d
sin 44
πρ θ + = sin cos 4 2ρ θ ρ θ+ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C 4 2x y+ =
( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP
P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 |
2
ϕ ϕ+ −=d
| |≥PQ d
2 2 sin 4 26| 2 cos 6 sin 4 2 || | 2
2 2
PQ
πϕϕ ϕ
+ − + − ≥ = ≥
| |PQ23.选修 4－5：不等式选讲:已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可；
问题转化为 恒成立，当 时， ，
令 ，求出 的最大值，求出 m 的范围即可．
【详解】解： 当 时， ，
由 ，
得 或 或 ，
解得： 或 ，
故不等式的解集是 ；
当 时， ，
恒成立，
即 恒成立，
整理得： ，
当 时， 成立，
当 时， ，
令 ，
，
( ) ( )1 2f x x m x m R= + − − ∈
3m = ( ) 1f x >
[ ]1,2x∈ − ( ) 2 1f x x< + m
3 ,32
1
3m >
( )1
( )2 ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + [ )1,2x∈ − 212 2
xm x x
−> = −− −
( ) 21 2g x x
= − −
( )g x
( )1 3m = ( ) 1 3 2f x x x= + − −
( ) 1f x >
1
{2 7 1
x
x
1 2
{4 5 1
x
x
− ≤ ≤
− > 2
{ 2 7 1
x
x
>
− + >
3 22 x< ≤ 2 3x< <
3 ,32
( )2 [ ]1,2x∈ − ( ) ( )1 2f x x m x= + − −
( ) 2 1f x x< +
( )1 2 2 1x m x x+ − − < +
( )2 x m x− > −
2x = 0 2> −
[ )1,2x∈ − 212 2
xm x x
−> = −− −
( ) 21 2g x x
= − −
1 2x− ≤
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