吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第一次调研测试
文科数学
一、选择题
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合交集的定义，即可求出答案.
【详解】因为 ， .
所以
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补
集运算及其性质.
2.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的最小正周期 ，即可求解。
【详解】 ，
故选：B
【点睛】本题考查求三角函数 的周期，属于基础题。
{ }1,0,1,2A = − { }0B x x= ≤ A B =
{ }1,2 { }1,0− { }0,1,2 { }1−
{ }1,0,1,2A = − { }0B x x= ≤
A B = { }1,0−
3sin 4 3y x
π = +
2π
2
π
3
π π
2T ω
π=
4ω =
2T ω
π=
2
4 2T
π π∴ = =
sin( )y A xω ϕ= +3.已知 D 是△ABC 边 AB 上的中点，则向量 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算，用基底 表示向量 .
【详解】因为 D 是△ABC 边 AB 上的中点，所以 .
故选 A.
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基
向量靠拢.
4.已知奇函数 当 时， ，则当 时， 的表达式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设 x0，又当 x>0 时,f(x)=x(1−x)，故 f(−x)=−x(1+x)，
又函数为奇函数，故 f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即 f(x)=x(x+1)，
本题选择 C 选项.
5.已知正项等比数列 满足 ， 与 的等差中项为 ，则 的值为( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为 ， ，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得
到所求首项．
CD =
1- 2BC BA+ 1
2BC BA−
1- 2BC BA− 1
2BC BA+
{ },BC BA CD
1 1
2 2CD CB BD CB BA BC BA= + = + = − +
( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x
(1 )x x− + (1 )x x− − (1 )x x+ ( 1)x x −
{ }na 3 1a = 5a 4
3
2 a 1
2 1a
q 0q >【详解】正项等比数列 公比设为 ，满足 ， 与 的等差中项为 ，
可得 ， ，即 ，
可得 ，
解得 （舍去）， ，
则 ，
故选： ．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，
属于基础题．
6.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题化简式子,计算出 ,结合 ,即可.
【详解】 ,得到 ,所以
,故选 C.
【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.
7.已知向量 ， 的夹角为 60°， ， ，则 （ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 展开计算即可得出答案.
{ }na ( 0)q q > 3 1a = 5a 4
3
2 a 1
2
2
1 1a q = 5 4
3 12a a+ = 4 3
1 1
3 12a q a q+ =
22 3 2 0q q+ − =
2q = − 1
2q =
1 4a =
A
3cos( )2 3
πα + = − cos2 =α
2
3
− 1
3
− 1
3
2
3
sinα 2cos2 1 2sinα α= −
3cos sin2 3
πα α + = − = −
3sin 3
α =
2 1 1cos2 1 2sin 1 2 3 3
α α= − = − ⋅ =
a b 1a = 2b = 2a b− =
2 3 7
( )2
2 2a b a b− = − 【详解】
故选：A.
【点睛】本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题,解本类题型需熟练掌握两向量差的模
长计算公式： .
8.将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图像向左平移 个单位得到数学函数 的图像，在 图像的所有对称轴中，
离原点最近的对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据平移变换可得 ，根据放缩变换可得函数 的解析式，结合
对称轴方程求解即可.
详解：将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到 ，
再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，
即 ，
( )2
2 2a b a b− = −
2 2
= 4 4 +a a b b− ⋅
2 2
4 4 cos60 +a a b b°= − ⋅
14 4 1 2 42
= − × × × +
2=
( )2 22 2a b a b a a b b− = − = − ⋅ +
2 n 2) 3( sif x x
π = +
12
π ( )g x ( )g x
24x
π= −
4x
π= 5
24x
π=
12x
π=
2 4 3y sin x
π = +
( )g x
( ) 2 2 3f x sin x
π = +
2 4 3y sin x
π = +
12
π ( )g x
( ) 22 4 2 412 3 3g x sin x sin x
π π π = + + = + 由 ，
得 ，
当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函
数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.
9.若函数 （ 且 ）在 R 上为减函数，则函数 的图象可以
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根 据 函 数 （ 且 ） 在 R 上 为 减 函 数 知 道 . 即 在
上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.
【详解】因为函数 （ 且 ）在 R 上为减函数.
所以 .
因为函数 ，定义域为 ，故排除 A、B.
当 时，函数 在 上单调递减.
当 时, 函数 在 单调递增.
24 ,3 2x k k Z
π π π+ = + ∈
1 ,4 24x k k Z
ππ= − ∈
0k =
24x
π= −
sin( )y A xω ϕ= +
2π
ω 2x k
πω ϕ π+ = + x kω ϕ π+ =
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ ( )log 1ay x= −
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ 0 1a< < logay x=
( )0 +∞，
( ) xf x a= 0a > 1a ≠
0 1a< <
( )log 1ay x= − ( ) ( )1 1,−∞ − +∞
1x > ( ) ( )log 1 log 1a ay x x= − = − ( )1,+¥
1x < − ( ) ( )log 1 log 1a ay x x= − = − − ( )1−∞ −故选:D.
【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数
（ 且 ）在 R 上为减函数，判断出 ，即 .在 上
单调递减.
10.在 中， ， ， ，D、E 分别为 AB、BC 中点，则
（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 6
【答案】C
【解析】
分析】
根据题意知 ,将 用 表示出来，再运算即可得出答案.
【详解】因为 D、E 分别为 AB、BC 中点.
所以 , ,
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用.属于基础题.解本题的关键在于根据题意得到
，利用平面向量基本定理将 用 表示出来.
11.等比数列 的前 项和为 ，若 ，
,则 （ ）
A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540
【答案】B
【解析】
【
( ) xf x a= 0a > 1a ≠ 0 1a< < logay x= ( )0 +∞，
ABC△ 4AB = 2AC = 90BAC∠ = ° AE CD⋅ =
0AB AC⋅ = AE CD 、 AB AC 、
( )1 +2AE AC AB= 1
2CD CA AD AB AC= + = −
( ) 2 21 1 1 1+ = 22 2 4 2AE CD AC AB AB AC AB AC ⋅ = ⋅ − − =
0AB AC⋅ = AE CD 、 AB AC 、
{ }na n nS ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
1 2 3 8a a a = 8S =【分析】
由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 ， 由 可 得 公 比
， ，再由等比数列的求和公式即可求出
【详解】由等比数列的性质可得 ，解得 ，
又 ，
，
，
即 ，
又 ，所以
由等比数列的求和公式
故选：B
【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.
12.设函数 的定义城为 D，若满足条件：存在 ，使 在 上的值城为
（ 且 ），则称 为“k 倍函数”，给出下列结论：① 是“1
倍函数”；② 是“2 倍函数”：③ 是“3 倍函数”．其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据 在 ， 单调递减,可在区间 上找，也可在区间
2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
2q = 1 1a = 8S
3
1 2 3 2 8a a a a= = 2 2a =
( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
2 4 61 3 5 2 1 2 1 3 5 2 1( ) ( ) 3( )n n na a a a a a a a a a a a− −∴ + + + + + + + + + + ++ = +
2 4 2 1 3 5 2 16 2( )n na a a a a a a a −+ + + + + +∴ += +
2 1 1 3 51 3 5 2 12( )n nq q q qa a a a a a a a− −+ + + + + + + +∴ =
2q =
2 1a a q= 1 1a =
8 8
1
8
(1 ) 2 1 2551 1
a qS q
− −∴ = = =−
( )f x [ ],m n D⊆ ( )f x [ ],m n
[ ],km kn k ∈R 0k > ( )f x ( ) 1f x x
=
( ) 2f x x= ( ) xf x e=
( ) 1f x x
= ( ),0- ¥ ( )0,+¥ ( ),0- ¥上找使 成立的 的值.
②因为 ,所以 ，又 在 上单调递增，即在区间
上找使 成立的 的值.
③ 在 上单调递增，即找使 成立的 的值.等价于
有两根，可证明 有两个零点.
【详解】① 是“1 倍函数”:即存在 ，使 在
上的值城为 .
若 ， 在 上单调递减,即 .
令 , 在 上的值域为 .
即 是“1 倍函数”；
② 是“2 倍函数”: 即存在 ，使 在 上的值城为 .
因为 ,所以 .
又因为 在 上单调递增,即 .
即 在 上的值域为 ，即 是“2 倍函数”.
③ 是“3 倍函数”: 即存在 ，使 在 上的值城为 .
因为 在 上单调递增,所以 等价于 有两根.
记 ，现证 有两个零点.
( )0,+¥
1( )
1( )
f m nm
f n mn
= =
= =
m n、
( ) 2 0f x x= ≥ 0n m> ≥ ( ) 2f x x= [0, )+∞
[0, )+∞
2
2
( ) 2
( ) 2
f m m m
f n n n
= =
= =
m n、
( ) xf x e= R ( ) 3
( ) 3
m
n
f m e m
f n e n
= =
= =
m n、 3xe x=
( ) 3xg x e x= −
( ) 1f x x
= [ ] ( ) ( ), ,0 0,m n ⊆ −∞ +∞ ( )f x [ ],m n
[ ],m n
[ ] ( ), ,0m n ⊆ −∞ ( ) 1f x x
= ( ),0- ¥
1( )
11( )
f m nm mn
f n mn
= = ⇒ =
= =
12, 2m n= − = − ( ) 1f x x
= 1[ 2 ]2
− −， 1[ 2 ]2
− −，
( ) 1f x x
=
( ) 2f x x= [ ],m n R⊆ ( )f x [ ],m n [ ]2 ,2m n
( ) 2 0f x x= ≥ 0n m> ≥
( ) 2f x x= [0, )+∞
2
2
( ) 2 0, 2
( ) 2
f m m m m n
f n n n
= = ⇒ = = = =
( ) 2f x x= [ ]0,2 [ ]0,4 ( ) 2f x x=
( ) xf x e= [ ],m n R⊆ ( )f x [ ],m n [ ]3 ,3m n
( ) xf x e= R ( ) 3
( ) 3
m
n
f m e m
f n e n
= =
= = 3xe x=
( ) 3xg x e x= − ( )g x，令 解得 .
即函数 在 单调递减，在 上单调递增.
，即 有两个零点.
即 有两根.
即存在 ，使 在 上的值城为 .
即 是“3 倍函数”.
综上所述：①②③均正确.
故选:D.
【点睛】本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“k 倍函数”的定义:只
需在定义域内找到区间 使 的值城为 .再根据函数的定义域与值域建立等
式，说明存在性.
二、填空题
13.已知函数 ，则 ________.
【答案】1
【解析】
【分析】
根据解析式，先求 ，再求 即可
【详解】 ，
，
，
故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。
。
( ) 3xg x e′ = − ( ) 3 0xg x e′ = − = ln3x =
( ) 3xg x e x= − ( ),ln3−∞ ( )ln3,+∞
( ) ln3ln3 3ln3 3 3ln3 3ln 03
eg e= − = − = < ( ) 0g x =
3xe x=
[ ],m n R⊆ ( ) xf x e= [ ],m n [ ]3 ,3m n
( ) xf x e=
[ ],m n ( )f x [ ],km kn
1
ln , 0( ) 2 , 0x
x xf x x+
>= ≤
1f f e
=
1f e
1f f e
1
ln , 0( ) 2 , 0x
x xf x x+
>= ≤
1 1ln 1f e e
∴ = = −
01 ( 1) 2 1f f fe
= − = =
∴14.已知 ， ，且 ，则向量 的坐标是______．
【答案】 ，
【解析】
【分析】
根据 且 ，可设 ，再利用 ，解出 的值即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以设
又因为 .
所以 或 .
故答案 ： ， .
【点睛】本题考查根据向量平行与模长求向量的坐标表示,属于基础题.根据向量平行设出向
量 ，可以简化计算.
15.我国古代 天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇
（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、
小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，
其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为 16.5
尺，这十二节气的所有日影子长之和为 84 尺，则夏至的日影子长为________尺.
【答案】1.5
【解析】
【分析】
由题意设此等差数列 的公差为 ，则 求出首项即可得到答案。
【详解】设此等差数列 的公差为 ，
由题意 即 解得
所以夏至的日影子长为
为
的
2 5a = ( )1,2b = / /a b a
( )2,4 ( )2, 4− −
( )1,2b = / /a b ( ),2a m m= 2 5a = m
/ /a b ( )1,2b =
( ),2a m m=
2 24 2 5 2a m m m= + = ⇒ = ±
( )2,4a = ( )2, 4a = − −
( )2,4 ( )2, 4− −
( ),2a m m=
{ }na d 12
1 5 9
84
16.5
S
a a a
=
+ + =
{ }na d
12
1 5 9
84
16.5
S
a a a
=
+ + =
1
5 1
12 1112 842
3 3( 4 ) 16.5
a d
a a d
× + =
= + =
1 1.5
1
a
d
=
=
1.5 故答案为：
【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等
式，属于基础题。
16.已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则
______．
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 图 像 求 出 、 ， 再 计 算 出 、 、 、 、 、
的值，再由周期性得出答案.
【详解】由图知： ,即 .
所以 ，又 .
即 .
即 .
所以 ， ， ，
， ，
1.5
( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0 2
πω< <
2
πϕ <
( ) ( )0 1f f+ + ( ) ( )2 48f f+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ =
33 3
2
= 3
πω
3
πϕ = ( )0f ( )1f ( )2f ( )3f ( )4f
( )5f
2 3 6T = × = 2 =6 = 3
π πωω ⇒
( ) sin 3f x x
π ϕ = +
( )1 0f − =
03 3
π πϕ ϕ− + = ⇒ =
( ) sin 3 3f x x
π π = +
( ) 30 sin =3 2f
π =
( ) 31 sin 3 3 2f
π π = + =
( ) 22 sin =03 3f
π π = +
( ) 3 33 sin =3 3 2f
π π = +
( ) 4 34 sin 3 3 2f
π π = + = .
所以 .
又函数 周期为 6.
所以
.
故答案为： .
【点睛】本题考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式与三角函数的周期性的应用，属
于中档题.解本题的关键在于正确求出三角函数的解析.
三、解答题
17. 是底部 不可到达的建筑物， 是建筑物的最高点，为测量建筑物 的高度，先把
高度为 1 米的测角仪放置在 位置，测得仰角为 45°，再把测角仪放置在 位置，测得
仰角为 75°，已知 米， 在同一水平线上，求建筑物 的高度。
【答案】（ ）米
【解析】
【分析】
在 中，利用正弦定理求出 ，在 求出 即可求出 .
( ) 55 sin =03 3f
π π = +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3 + 4 5 =2 3f f f f f f+ + + +
( ) sin 3 3f x x
π π = +
( ) ( )0 1f f+ + ( ) ( )2 48f f+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 33 30 1 2 3 +8 4 5 0 = 2+f f f f f f f+ + + +
33 3
2
AB B A AB
CD EF
2DF = D F B， ， AB
2 3+
ACE∆ AE AEG∆ AG AB【详解】
中， ，
（米）
因为
所以 （米）
所以建筑物 的高度为（ ）米
【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属
于基础题。
18.已知数列 为等差数列，公差 ，前 n 项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，记数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
ACE∆
sin45 sin(75 - 45 )
AE CE=° ° °
222sin45 2 2 21sin30
2
AE
×°= = =°
1 sin75 1 2 2sin75 1AB AG AE= + = ° + = ° +
sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° °
1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
+= × + × =
2 62 2 1 2 34AB
+= × + = +
AB 2 3+
{ }na 0d ≠ nS 1 2a = 2a 4a 8a
{ }na
2
n
n
b S
= { }nb nT 2nT <
2na n=【分析】
（1）根据 ，且 ， ， 成等比数列．列出方程，即可解出 ，即可得出答案.
（2）由（1）知 ，代入 ，再利用裂项相消求出 ，即可说
明 .
【详解】（1）由题意得： ， ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ， ．
（2） ， ，
，
即 ．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式，裂项相消法求数列的前 项和.属于
基础题.常见的裂项相消: .
19.在 中角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 ．
（1）求角 B 的值；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理将 中 边化为角，再化简即可得出答案.
（2）利用角 B 的余弦公式可求出 ，再由 求出答案.
【详解】（1）由正弦定理可得， ，
的
1 2a = 2a 4a 8a 2d =
2
nS n n= + 2
n
n
b S
= 12 1 1nT n
= − +
2nT <
2
4 2 8a a a= ( ) ( )( )22 3 2 2 7d d d+ = + +
2 2 0d d− = 0d ≠ 2d =
( )2 2 1na n= + − 2na n=
2
nS n n= + 2
2 2 1 12 1n
n
b S n n n n
= = = − + +
1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 21 2 2 3 3 4 1 1nT n n n
= − + − + − +⋅⋅⋅+ − = − 6c∴ =
1 1 3sin 4 6 6 32 2 2S ac B= = × × × =
( ) sin 1f x x= − 1 2, ,x x nx { }nx
{ }nx nx { }nx n nS
4
n
n
Sa n
π= − sin na
2( 1) 2nx n
ππ= − + ( 1) 2n
nS n n
ππ= − +
( ) sin 1f x x= − sin 1 0x − = nx
nS
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − + n
2( 1) , *2nx n n N
ππ= − + ∈
2 4 2( 1)2 2 2 2nS n
π π π ππ π π = + + + + + + − + 2 [1 2 3 ( 1)] 2
nn
ππ= + + +…+ − +
( 1) 2
nn n
ππ= − +
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − + 当 时，
当 时，
【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合
性题目。
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值与最小值。
【答案】（1）增区间是 和 ；递减区间是 ；（2）最大值是 77，最小值
是
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数， 求单调递增区间， 求单调递减区间。
（2）根据函数的单调性即可求出最值。
【详解】（1）
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 的递增区间是 和 ；递减区间是
（2）由（1）知， 在 上单调递增，在区间 上单调递减
所以 的极大值为 极小值为 -
又因为 ，所以 的最大值是 77，最小值是
【点睛】本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。
*2 1,n k k N= − ∈ 2sin sin (2 2) sin 2( 1) sin4 4 4 2na k k
π π ππ π = − + = − + = =
*2 ,n k k N= ∈
3 2sin sin (2 1) sin 2 sin4 4 4 2na k k
π π ππ π π = − + = − + = − = −
3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − +
( )f x
[ 4,4]x ∈ − ( )f x
( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
-4
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ <
( )2 2( ) 3 6 9 3 2 3 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + −
( , 3)x∈ −∞ − ( ) 0, ( )f x f x′ >
( 3,1)x∈ − ( ) 0, ( )f x f x′ <
(1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ >
( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]−
( )f x ( 3) 28f − = ， (1) 4f = −
( 4) 21, (4) 77f f− = = ( )f x -422.已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求实数 a 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）因为 ，所以 ，求出 ，利用点斜式，即可写出答案.
（2）讨论 的取值,参变分离，找到 在 上的最小值，即为 a 的最大值.
【详解】（1） ， ，
， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ， ，
当 时， ，不等式恒成立， ；
当 时， ，所以 ，
设 ， ，
时， ， 为减函数，
时， ， 为增函数，
所以 ， ，
综上： ，所以 的最大值是 ．
【点睛】本题考查函数上某点的切线方程,含参不等式恒成立问题.属于中档题.求曲线上某点
的切线方程的一般思路是：求出切点与切线的斜率，利用点斜式写出直线.含参不等式恒成立
问题一般都可以参变分离,将解不等式等价转换为求函数的最值.
( ) 2lnf x a x x= − a R∈
1a = ( )f x ( )( )1, 1f
1x ≥ ( ) 0f x ≤
0x y+ = 2e
1a = ( ) 2lnf x x x= − ( ) ( )1 1f f′ 、
x ( ) 2
ln
xg x x
= ( )1 + ∞，
( ) 2lnf x x x= − ( ) 1 2f x xx
′ = −
( )1 1k f ′= = − ( )1 1f = −
( )1 1y x+ = − − 0x y+ =
( ) 0f x ≤ 2ln 0a x x− ≤
1x = 1 0− ≤ a R∈
1x > ln 0x >
2
ln
xa x
≤
( ) 2
ln
xg x x
= ( ) ( ) ( )2 2
12 ln2 ln 2
ln ln
x xx x xg x
x x
− − ′ = =
( )1,x e∈ ( ) 0g x¢ < ( )g x
( ),x e∈ +∞ ( ) 0g x¢ > ( )g x
( ) ( )min 2g x g e e= = 2a e≤
2a e≤ a 2e
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