四川省成都市第七中学2020届高三数学（理）零诊模拟试卷（附解析Word版）

成都七中高 2020 届零诊热身试卷数学（理工类） 第Ⅰ卷 一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由 得： ， ， 则 ，故选 B. 2.若 ，则复数 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解：由题意可知： ， 则 . 本题选择 D 选项. 3.设 是定义在 上周期为 2 的奇函数，当 时， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 根据 的周期为 2，则 ，再根据奇函数 求解. 【 { }1 1A x x= − < { }2 1 0B x x= − < A B = ( )1,1− ( )1,2− ( )1,2 ( )0,1 2{ | 1 1}, { | 1 0}A x x B x x= − < = − < { }| 0 2A x x= < < { }| 1 1B x x= − < < ( )1,2A B∪ = − 1 1 22 ai ii + = ++ a = 5 i− − 5 i− + 5 i− 5 i+ ( ) ( )( )1 2 1 2 5ai i i i+ = + + = 5 1 5ia ii −= = + ( )f x R 0 1x< < ( ) 2f x x x= − 5 2f  − =   1 4 − 1 2 − 1 4 1 2 ( )f x 5 1 2 2f f   − = −       ( ) ( )f x f x= − −【详解】因为 的周期为 2， 所以 ； 又 是奇函数， 所以 所以 故选 B 【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：根据奇偶性、周期性把自变量化到有 解析式的区间. 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下 统计数据表： 收入 （万 元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收 入为 15 万元家庭年支出为（ ） A. 11.4 万元 B. 11.8 万元 C. 12.0 万元 D. 12.2 万元 【答案】B 【解析】 . ( )f x 5 5 122 2 2f f f     − = − + = −           ( )f x 1 1 2 2f f   − = −       25 1 1 1 1 2 2 2 2 4f f       − = − = − − =              x y ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = −试题分析：由题 ， ，所 以 ． 试题解析：由已知 ， 又因为 ， 所以 ，即该家庭支出为 万元． 考点：线性回归与变量间的关系． 5.设 为 中 边上的中点，且 为 边上靠近点 的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由平面向量基本定理可得： ，故选 A. 6.执行如图的程序框图，则输出 的值是（ ） ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = − D ABC∆ BC O AD A 5 1 6 6BO AB AC= − +   1 1 6 2BO AB AC= −   5 1 6 6BO AB AC= −   1 1 6 2BO AB AC= − +   ( )1 1 5 1 3 6 6 6BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC= − = − = + − = − +          xA. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 易知当 时，循环结束；再寻找 的规律求解. 【详解】计算过程如下： 2 －1 2 … 0 1 2 3 4 … 1024 是 是 是 是 是 是 否 当 时，循环结束，所以输出 . 故选 D. 【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律. 7.等差数列 中的 、 是函数 的两个极值点，则 （ ） 1 2 1− 1024y = x x 1 2 1− 1− y 1024y < 1024x = 1x = − { }na 2a 4032a ( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − ( )2 2 2017 4032log a a a⋅ ⋅ =A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 由 ， 得 ， 由 ， 且 是 的极值点，得 ， ， ∴ ，则 ，故选 C. 8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若 ，则 或 ；②定义域为 的函数 ，函数 为奇函数是 的充分不必要条件；③若 ， 且 ，则 的最小值为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】D 【解析】 【分析】 ①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判 断. 【详解】当 且 时， 成立， 根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确； 定义域为 的奇函数 必有 ， 定义域为 函数 且满足 不一定是奇函数，如 ，故②正确； 若 ， 且 ， 则 当且仅当 即 时等号成立，故③正确； 24 log 6+ 23 log 3+ 24 log 3+ ( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − ( ) 2 8 6f x x x= − +′ ( ) 2 8 6 0f x x x= − + =′ 2 4032a a、 ( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − 2 4032 20172 8a a a+ = = 2 4032 6a a⋅ = 2017 4a = ( )2 2 2017 4032 2 2log · · log 24 3 log 3a a a = = + 2 2 5a b+ ≠ 1a ≠ 2b ≠ R ( )f x ( )f x ( )0 0f = 0x > 0y > 2 1x y+ = 1 1 x y + 3 2 2+ 1a = 2b = 2 2 5a b+ = R ( )f x ( )0 0f = R ( )f x ( )0 0f = ( ) 2f x x= 0x > 0y > 2 1x y+ = 2 1 3 2 3 22 21 1 2y x y x y y x yx x + = + + + ≥ + ⋅ = + 2y x x y = 2 2 , 2 12x y −= = −故选 D. 【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助 逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” . 9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位 优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲 对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩 【答案】A 【解析】 【分析】 根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一 分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好， 又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良 好， 又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩， 又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类 讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 10.在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在直线 上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CC OP 1A BD α sinα 6 ,13       3 ,13       6 2 2,3 3       3 6,3 3      【分析】 首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案. 【详解】 由题意可得：直线 OP 于平面 所成的角 的取值范围： 不妨取 . 在 中， . 的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键. 11.函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 的形式，再利用周期函数求出 其最小正周期，可得答案. 1A BD α 1 1 1, [ , ]2 2AOA C OA π π ∠ ∪ ∠   2AB = 1Rt AOA 1 1 2 1 2 6sin 32 2 AAAOA AO ∠ = = = + ( )1 1 1sin sin 2C OA AOAπ∠ = − ∠ 1sin 2 AOA= ∠ 1 12sin cosAOA AOA= ∠ ∠ 6 3 2 2 62 3 3 3 3 = × × = > sinα 6 ,13       6 ,13       ( ) ( )2sin 4cos 1f x x x= ⋅ − 3 π 2 3 π π 2π ( )f x y= sin x+A ω ϕ（ ）【详解】解： ，可得其最小正周期为 ， 故选 B. 【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期 性的，属于中档题型 12.如图，已知 ，其内部有一点 满足 ，命 题 最大值有可能超过 36 度；命题 若三边长对应分别为 ，则 ；则正确 的选项为（ ） A. 真 假 B. 假 假 C. 真 真 D. 假 真 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理计算三边关系得到 ，得到命题 q 为真命题，根据角度关系得到内角和超 过 ，故命题 P 为假命题，得到答案. 【详解】方法 1： 在 中，根据正弦定理得 ，即 ① ( ) ( ) ( )2sin 2cos cos2 sin 2cos cos cos2f x x x x x x x x= + = ⋅ + sin 2 cos sin cos2 sin3x x x x x= + = 2 3 π ABC∆ O OAB OAC OBC OCA θ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = :p θ :q , ,a b c a bc=2 p q p q p q p q 2a bc= 5θ ACO∆ ( )sin 2 sin b m π θ θ=− sin2 sin b m θ θ=在 中，根据正弦定理得 ，即 ② 由①②得 ，即 . 又 ， 在 中，根据正弦定理得 ，即得 ， ∴ . ∴ 为真. ∵ ，∴ 不是最长边，∴ 至少有一个超过 ，∴内角和超过 ，所以 错 误. 方法 2：如图 延长 交 的外接圆于点 ，则 ， ∴ ，∴ . 又∵ ，∴ . ∴ ，即 ，即 . 【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力. 第Ⅱ卷 二、 填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分 13.命题 ： ， ，写出命题 的否定：_______________ 【答案】 ， CBO∆ ( )sin sin a m θ α θ=+ ( )sin sin a m θ α θ=+ ( )sin2 sin b a θ θ α= + ( ) sin2 sin b a θ θ α= + ( )sin sin2 ,sin sinA Cθ θ α= = + sin sin b A a C = ABC∆ sin sin A a C c = a b c a = 2a bc= q 2a bc= a ,B C∠ ∠ 2θ 5θ p AO BOC∆ D 2DBC DOC CABθ∠ = ∠ = = ∠ BCD BOD ABO ABCθ∠ = ∠ = + ∠ = ∠ ~ABC BCD∆ ∆ AB BC BC DC = CDA CDO CBO CADθ∠ = ∠ = ∠ = = ∠ DC AC= AB BC BC AC = 2BC AC BA= ⋅ 2a bc= p 0x R∃ ∈ 2 0 02 2 0x x+ + ≤ p x R∀ ∈ 2 2 2 0x x+ + >【解析】 【分析】 特称命题改为全称命题，把“ ”改为“ ”，“存在”改为“所有”，再否定结论. 【详解】命题 是特称命题，它的否定是全称命题， 所以命题 的否定为： ， 【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论. 14.曲线 与直线 ， 所围成封闭图形的面积为 ，实数 满足 ，则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 先通过定积分计算面积得到 ，再通过线性规划得到答案. 【详解】曲线 与直线 ， 所围成封闭图形的面积为 0x x p p x R∀ ∈ 2 2 2 0x x+ + > y x= ( 0)x a a= > 0y = 2a ,m n 1 9 0 m n m n a n − ≥  + ≤  ≥ 2m n− 1 ,42  −   a y x= ( 0)x a a= > 0y = 2a 3 3 22 2 0 2 2 4 03 3 9 a axdx x a a a= = = ⇒ =∫ 1 1 9 4 0 0 m n m n m n a m n n n − ≥ − ≥   + ≤ ⇒ + ≤   ≥ ≥ 根据图像知： 当 时： 为最小值 当 时： 为最大值 的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力. 15.已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 是两曲 线的公共点，若 ，则此椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案. 【详解】设椭圆的左焦点为 ，由题意抛物线的准线方程为 ， 由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 ，可得点 P 的横坐标为 ， 纵坐标为 则有 ，所以 ， 则 故答案为 【点睛】本题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出 P 点坐标是解题的关键. 5 3,2 2m n= = 12 2m n− = − 4, 0m n= = 2 4m n− = 2m n− 1 ,42  −   1 ,42  −   2 2 ( 0)y px p= > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > F P 5 6PF p= 1 2e = 1F 1, ,0 , ,0 ,2 2 2 2 p p p px F F c   = − − =       5 6 p 5 6 2 3 p p p− = 6 3 p 2 2 2 1 1 6 5 7 3 6 6 p p pPF PF    + = =        12 | | 2a PF PF p= + = 12 2 p ce a p = = = 1 2e =16.定义在区间 上的函数 恰有 2 个不同零点，则实数 的取 值范围是__________. 【答案】 或 【解析】 【分析】 首先的到 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案. 【详解】定义在区间 上的函数 恰有 2 个不同零点 易知： 是一个零点. 时： 或 且 或 故答案为： 或 【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力. 三、解答题（共 70 分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上 17.在 中，角 ， ， 所对应的边长分别为 ， ， ，已知 ， （1）求角 ； （2）若 ，求 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）化简条件得： ，即可得角 ； （2）由余弦定理可得 ，再结合条件可得 ，进 而得 ，再由正弦定理求得 ，进而可求面积. . (0,2] ( )2( ) ( 2) lnf x x x x t= − ⋅ − + t 1 14 t< ≤ 5 4t = 2x = ( ]0,2 ( ) ( ) ( )22 lnf x x x x t= − ⋅ − + 2x = ( )0,2x∈ ( )2 2 2 5ln 0 1 1 4x x t x x t t x x t− + = ⇒ − + = ⇒ = − + + ⇒ = 1 1t− < ≤ 2 10 4x x t t− + > ⇒ > 1 14 t< ≤ 5 4t = 1 14 t< ≤ 5 4t = ABC∆ A B C a b c 4B π= cos cos2 0A A− = C 2 2 2b c a bc+ = − + ABCS∆ 12C π= 31 3 − 1cos 2A = C 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − 22a a+ = a c试题解析： （1）因为 ，所以 ， 解得： ， 舍去，所以 ，又 ，所以 （2）在 中，因 ，由余弦定理得： 又 ，所以 ，所以 ， 又因为 ，由正弦定理 得： ，所以 . 18.为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查，测 得身高情况的统计图如下： （1）估计该校男生的人数；并求出 值 （2）估计该校学生身高在 之间的概率； （3）从样本中身高在 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 之间的概率。 【答案】（1）男生人数为 400； （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）用样本身高在 之间的 频数除以样本总数来估计；（3）列举所有情况，根据古典概型的概率公式求解. 【详解】解（1）样本中男生人数为 40，由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。 为 cos cos2 0A A+ = 22cos cos 1 0A A+ − = 1cos 2A = cos 1A = − 3A π= 4B π= 5 12C π= ABC∆ 3A π= 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − 2 2 2b c a bc+ = + + 22a a+ = 2a = 5 6 2sin sin 12 4C π += = sin sin c a C A = 3 2 6 3c += 1 3sin 12 3ABCS ac B∆ = = + a 170 ~185cm 170 ~180cm 175 ~180cm 12a = 0.5P = ( ) 1 2P A = 170 ~185cm由于以 10%的比例抽取，所以样本中女生应该是 30 人，所以 （2）由统计图知，样本中身高在 之间的学生有 人，样本 容量为 70， 所以样本中学生身高在 之间的频率 ，所以由 估计该校学身高在 之间的概率 （3）样本中女生身高在 之间的人数为 4，身高在 之间的人数为 1。 设 表示事件“从样本中身高在 之间的女生中任选 2 人，至少有 1 人身高在 之间”，通过列举可得 或者正面列举也是 . 【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型，属于综合题.分层抽样的要点是总体 及各层的抽样比例相同；古典概型列举所有基本事件时要有逻辑顺序，不要遗漏. 19.如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， . （1）证明： ； （2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值的绝对 值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 且 平分 得到答案. （2） 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标 ， 计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案. 详解】证明：（1）连接 ，交 于点 ，连接 ， 因为侧面 为菱形， 【 12a = 170 ~185cm 14 13 4 3 1 35+ + + + = 170 ~185cm 35 0.570f = = f 170 ~180cm 0.5P = 170 ~180cm 175 ~180cm A 170 ~180cm 175 ~180cm ( ) 3 11 6 2P A = − = ( ) 1 2P A = 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= 1AC AB⊥ 1 60CBB∠ = ° 1AB BC= = 1 1 1A A B C− − 1 7 1BC 1B C O AO 1B C AO⊥ 1B C AO O OB x OB O xyz− 1BC 1B C O AO 1 1BB C C所以 ，且 为 与 的中点，又 ，所以 平面 . 由于 平面 ，故 . 又 ，故 . （2）因为 ，且 为 的中点，所以 . 又因为 ，所以 ，故 ，从而 两两相互垂直， 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标 因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则 设 是平面 的法向量，则 ，即 所以 . 设 是平面 的法向量，则 ，同理可取 , ，所以二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意 在考查学生的计算能力和空间想象能力. 1 1B C BC⊥ O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ ABO AO ⊂ ABO 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ O 1B C AO CO= AB BC= BOA BOC∆ ∆≌ OA OB⊥ 1, ,OA OB OB O OB x OB O xyz− 1 60CBB∠ = ° 1CBB∆ AB BC= 1 1 3 1 10,0, , ( ,0,0) , 0, ,0 , 0, ,02 2 2 2A B B C     −           1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 10, , , ,0, , , ,02 2 2 2 2 2AB A B AB B C BC     = − = = − = = − −                   ( , , )n x y z= 1 1AA B 1 1 1 0 0 n AB n A B  ⋅ = ⋅ =   1 1 02 2 3 1 02 2 y z x z  − =  − = (1, 3, 3)n = m 1 1 1A B C 1 1 1 1 0 0 m A B m B C  ⋅ = ⋅ =   (1, 3, 3)m = − 1cos , 7| || | n mn m n m ⋅= =      1 1 1A A B C− − 1 720.已知椭圆 ，与 轴负半轴交于 ，离心率 （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 并延 长交直线 于 ， 两点，若 ，求证：直线 恒过 定点，并求出定点坐标。 【答案】（1） （2）见证明 【解析】 【分析】 （1）由椭圆与 轴交于 可得 得值，结合 与 即可求解；（2）由 ， 和两点斜率公式即可分别用 表示 ， 表示 ，再联立直 线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解. 【详解】（1）由题有 ， . ∴ ，∴ . ∴椭圆方程为 . （2）法 1： ， . 又 ∴ ，同理 又 ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > x ( )2,0A − 1 2e = C :l y kx m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y AM AN 4x = ( )3 3,E x y ( )4 4,F x y 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + MN 2 2 14 3 x y+ = x ( )2,0A − a 1 2 ce a = = , ,a b c AM AEk k= AN AFk k= 1 1,x y 3y 2 2,x y 4y 2a = 1 2 ce a = = 1c = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = ( )2 2 22 2 , 3 4 8 4 12 0 1.4 3 y kx m k x kmx mx y = + ⇒ + + + − = + = ( )( )2 2 2 2 2 264 4 3 4 4 12 0 12 9k m k m m k∆ = − + − > ⇒ < + 1 2 2 8 3 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + AM AEk k= 31 1 3 1 1 00 6 2 4 2 2 yy yyx x −− = ⇒ =+ + + 2 4 2 6 2 yy x = + 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = +∴ ∴ ，此时满足 ∴ ∴直线 恒过定点 法 2：设直线 的方程为： 则 ∴ 或 ∴ ，同理 ， 当 时，由 有 . ∴ ，同理 又 ∴ ， 当 时， ∴直线 的方程为 ( )1 2 2 1 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 2 6 6 6 x y x y y yy y x x y y y y y y + + ++ + += + = ( )1 2 1 2 2 14 y y x y x y⇒ + = + ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 14 kx m kx m x kx m x kx m⇒ + + + = + + + ( )( )1 2 1 24 2 8 0k m x x kx x m⇒ − + − + = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 12 2484 2 8 0 03 4 3 4 3 4 m k mkmk m k mk k k − +−⇒ − − + = ⇒ =+ + + m k= − 2 212 9m k< + ( )1y kx m k x= + = − MN ( )1,0 AM 1 2x t y= − ( )1 22 2 1 1 2 3 4 12 0 14 3 x t y t y t yx y = − ⇒ + − = + = 0y = 1 2 1 12 3 4 ty t = + 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 12 6 82 23 4 3 4 t tx t y t t t −= − = − =+ + 2 2 2 2 2 6 8 3 4 tx t −= + 2 2 2 2 12 3 4 ty t = + 3 4x = 3 1 3 2x t y= − 3 1 6y t = 1 64,E t       2 64,F t       1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + 2 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 12 12 6 6 t t t t t t + ++ = + ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 12 6 t t t t t t t t + + +⇒ = 1 2 0t t+ ≠ 1 2 4t t = − MN ( )1 2 1 1 1 2 y yy y x xx x −− = −−∴直线 恒过定点 ，当 时，此时也过定点 综上直线 恒过定点 【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方 程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法. 21.设函数 ，其中 . （1）当 时， 的零点个数； （2）若 的整数解有且唯一，求 的取值范围. 【答案】（1）只有一个零点（2） 【解析】 【分析】 （1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现 ，再分 和 根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时 的取值范围，求交集即可. 【详解】解：（1） ，当 时， ，函数单增， 且 时函数值都已经大于 0 了；当 时， ，函数单减， 且 ，所以只有一个零点 （2）观察发现 ，下证除整数 0 外再无其他整数 ， 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 22 2 1 21 1 2 2 1 2 12 12 12 3 4 3 4 6 8 6 8 6 83 4 3 4 3 4 3 4 t t t t t ty xt tt t t t −  + + −⇒ − = − − −+ + −+ + 2 1 1 2 2 1 1 2 1 12 6 84 3 4 3 4 t ty xt t t t  −⇒ − = − + + +  2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 6 8 124 4 3 4 3 4 t ty xt t t t t t −⇒ = − ⋅ ++ + + + ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 21 1 2 4 3 44 4 1 3 4 t x xt t t tt t t + = − = −+ ++ + MN ( )1,0 1 2 0t t+ = ( )1,0 MN ( )1,0 ( ) ( )1 2 1xf x e x ax+= ⋅ + − 1a < 0a = ( )f x ( ) 0f x < a 3 12 ae ≤ < ( )0 0f < 0x > 0x < a ( ) ( )1 2 1xf x e x+ ⋅′ = + 1 2x > − ( ) 0f x′ > 0x = 2 1x < − ( ) 0f x′ < ( ) 0f x < ( )0 0f < ( ) ( )2 1xf x e x a= ⋅ + −′①当 时， ， 根据同向不等式乘法得到 ，因为 ， 所以 ，所以函数单增，且 趋于 时函数值显然很大很大； 但要保证只有唯一整数 0，需要 ，却发现恒成立， ②当 时，要保证只有唯一整数 0，首先需要 ，得到 当 时， ， 根据同向不等式得到 ，又因 ， 所以 ，所以函数在 单减，且 综上所述： 的整数解有且唯一时， 【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法：1、直接求出函数零 点；2、根据函数单调性与极值判断；3、转化为两个函数的交点. 选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在极坐标系下，已知圆 和直线 （1）求圆 和直线 的直角坐标方程； （2）当 时，求圆 和直线 的公共点的极坐标. 【答案】（1） 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2-x-y=0,直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0 （2） 【解析】 试题分析：（1）根据 将圆 O 和直线 l 极坐标方程化为 直 角 坐 标 方 程 （ 2 ） 先 联 立 方 程 组 解 出 直 线 l 与 圆 O 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 ， 再 根 据 化为极坐标 试题解析：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ， 即 ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ， 故圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2－x－y＝0. 直线 l：ρsin ＝ ，即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 0x > e 1x > 2 1 1x + > ( )2 1 1xe x⋅ + > 1a < ( ) ( )2 1 0xf x e x a′ = ⋅ + − > x +∞ ( )1 0f > 0x < ( )1 0f − ≥ 3 2a e ≥ 1x < − 1xe e < 2 1 1x + < − ( ) 12 1xe x e ⋅ + < − 3 2a e > ( ) ( )2 1 0xf x e x a′ = ⋅ + − < 1x < − ( )1 0f − > ( ) 0f x < 3 12 ae ≤ < : cos sinO ρ θ θ= + ( )2: sin 0,0 24 2l πρ θ ρ θ π − = ≥ ≤ ≤   O l ( )0,θ π∈ O l 2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = + 2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = +则直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋1＝0. (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程，将两方程联立得， ，解得 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为 ，即为所求．