攀枝花市高 2020 届高三第一次统考
理科数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共
4 页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150
分．考试时间 120 分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应顺目的答案标号徐黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试着
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先解不等式化简集合 ，再求交集即可.
【详解】由 解得 ，故 .
又 ，所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及交集、解不等式，是一道基础题.
2.已知复数 ，其中 为虚数单位.则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
{ }( 2) 0M x x x= − < { }2, 1,0,1,2N = − − M N =
{ }0,1,2 { }2, 1− − { }1
{ }2, 1,0,2− −
M
( 2) 0x x − < 0 2x< < { | ( 2) 0} { | 0 2}M x x x x x= − < = < <
{ }2, 1,0,1,2N = − − {1}M N =
1z i
i= + i | |z =
1
2
2
2 2 2【解析】
【分析】
先利用复数的除法法则将复数 表示为一般形式，然后利用复数求模公式可求出 的值.
【详解】 ，则 ，故选 B .
【点睛】本题考查复数的除法法则以及复数模的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算
法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
3.在等差数列 中， ，则数列 的前 项的和 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设公差为 ，把已知式化简，再利用求和公式即可求解.
【详解】设公差为 ，由 可得 ，则 .
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的基本问题，求前 项和. 是等差数列的基本量，一般可以利
用条件建立关于 的方程(组)解决问题.
4.已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式可得 ，再利用三角函数的定义求解即可.
z z
( )
( )( )
1 1
1 1 1 2 2
i ii iz i i i
−= = = ++ + −
2 21 1 2
2 2 2z = + =
{ }na 6 8
1 12a a= + { }na 7 7S =
4 7 14 28
d
d 6 8
1 12a a= + 1 1
15 ( 7 ) 12a d a d+ = + + 1 3 2a d+ =
7 1 1
7 67 7( 3 ) 142S a d a d
×= + = + =
n 1,a d
1,a d
α (3, 4)− πcos 2
α + =
4
5
− 3
5-
3
5
4
5
πcos sin2
α α + = − 【详解】因为角 的终边经过点 ，所以 .
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.
5.执行如图所示 程序框图，如果输入 ， ，则输出的 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，逐步写出各变量取值的变化，判断循环条件是否成立，最终可得答案.
【详解】执行程序框图，各变量的值依次变化如下：
成立；
， 成立；
， 不成立，
跳出循环，输出的 等于 .
的
α (3, 4)− 2 2
4 4sin 53 ( 4)
y
r
α −= = = −
+ −
π 4cos sin2 5
α α + = − =
6n = 3m = p
120 360
840 1008
6, 3, 1, 1;n m k p= = = =
1 (6 3 1) 4,p = × − + = k m<
2, 4 (6 3 2) 20k p= = × − + = k m<
3, 20 (6 3 3) 120k p= = × − + = k m<
p 120故选：A.
【点睛】本题考查程序框图，解题的一般方法是模拟执行程序，依次写出各变量取值的变化，
解题时要留意循环终止的条件.
6.一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分
与剩余部分体积的比为（ ）
A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6
【答案】A
【解析】
分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【详解】解：由题意可知：几何体被平面 ABCD 平面分为上下两部分，
设正方体的棱长为 2，上部棱柱的体积为： ；
下部为： ，截去部分与剩余部分体积的比为： ．
故选：A．
【点睛】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，棱柱的体积的求法，考查计算能力.
7.函数 的部分图象大致是（ ）
【
1 2 1 2 22
× × × =
2 2 2 2 6× × − = 1
3
3cos 1( ) xf x x
+=A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分析函数的定义域、奇偶性以及函数值的正负变化，排除错误选项可得答案.
【详解】由 ，可得 ，
故 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A.
当 时， ；当 时， ，排除 C,D.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图象的识别，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质
分析函数图象的特征，排除错误选项得到答案.
8.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较 、 、 与 和 的大小关系，从而可得出实数 、
3cos 1( ) xf x x
+= ( ) ( )f x f x− = −
( )f x
π0 2x< < ( ) 0f x > 11 cos 3x− ≤ < − ( ) 0f x <
1
23a = 2log 3b = 9log 2c = a b c
a b c> > a c b> > b a c> > c b a> >
a b c 1 1
2
a、 的大小关系.
【详解】由于指数函数 是增函数，则 ；
对数函数 是增函数，则 ，即 ；
对数函数 是增函数，则 .
因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中
间值法得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.
9.下列说法中正确的是（ ）
A. 若命题“ ”为假命题，则命题“ ”是真命题
B. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
C. 设 ，则“ ”是“ ”的充要条件
D. 命题“平面向量 满足 ，则 不共线”的否命题是真命题
【答案】D
【解析】
【分析】
利用逻辑联结词、全称命题的否定、不等式的性质、向量的性质等逐一判断各选项是否正确.
【详解】选项 A,若命题“ ”为假命题，则命题 至少有一个假命题，
即可能有一真一假，也可能两个都是假命题，
所以“ ”可能是真命题，也可能是假命题，故 A 不正确.
选项 B,命题“ ， ”的否定是“ ， ”,故 B 不正确.
选项 C, ，无法得出 ，故 C 不正确.
选项 D, 原命题的否命题时“平面向量 满足 ，则 共线”，
因为 ，所以由 可得 .
所以 ，则 或 ，即 共线.故 D 正确.
故选：D.
b c
3xy = 1
023 3 1a = > =
2logy x=
2 2 2log 2 log 3 log 2< < 1 12 b< <
9logy x= 9 9
1log 2 log 3 2c = < =
a b c> >
p q∧ p q∨
*x N∀ ∈ 3 2x x≥ *
0x N∀ ∈ 3 2
0 0x x<
,a b∈R ( ) 0b a b− > 1 1
a b
<
,a b | | | | | |a b a b⋅ > ⋅ ,a b
p q∧ p q，
p q∨
*x N∀ ∈ 3 2x x≥ 0x∃ ∈ *N 3 2
0 0x x<
1 1 0 ( ) 0a b ab a ba b ab
−< ⇔ > ⇔ − > ( ) 0b a b− >
,a b | | | | | |a b a b⋅ ≤ ⋅ ,a b
| | = | | | | cos ,a b a b a b⋅ ⋅ | | | | | |a b a b⋅ ≤ ⋅ cos , 1a b ≥
cos , = 1a b ± , =0a b ° 180° ,a b 【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，
综合考查了不等式的性质、平面向量的性质.与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的一
般方式.
10.已知函数 ，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，则 、 为直线 与函数 图象的两个交点，作出函数
的图象，可得出 ，然后将 、 用 表示，将 转化为关于 的二次函
数在区间 上的值域来求解.
【详解】设 ，则 、 为直线 与函数 图象的两个交点，如
下图所示：
， ，得 ，则 ，
， ，因此， 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】本题考查代数式范围的求解，解题的关键就是将所求代数式的取值范围转化为以某
变量为自变量的函数值域来处理，考查化归与转化思想以及函数思想的应用，属于中等题.
11.关于函数 有下述四个结论：
( ) , 0
1 1, 02
x x
f x
x x
>= + ≤
m n< ( ) ( )f n f m= n m−
( ]1,2 [ )1,2 3 24
， 3 24
，
( ) ( )f n f m t= = m n y t= ( )y f x=
( )y f x= 0 1t< ≤ m n t n m− t
( ]0,1
( ) ( )f n f m t= = m n y t= ( )y f x=
m n ( )h x ( ) (0,1)h x ∈
( )t h x=
2 ( 1) 1 0t a t a+ + + − = 2 2=( +1) 4( 1) ( 1) 4 0Δ a a a− − = − + >
1 2,t t 1 2( ) , ( )h x t h x t= =
1t = 1 +1 1 0a a+ + − = 1
2a = −
3
2t = −
0t = 0 0 1 0a+ + − = 1a =
2t = −
t 1 2,t t 1 2t t< 1 20 1t t< < <
0 0 1 0,
1 1 1 0,
a
a a
+ + −
1 12 a− < <
,a b 3( ) 2a b b+ ⋅ = ,a b 【答案】
【解析】
【分析】
利用数量积运算法则 即可求解.
【详解】由单位向量可得 ，设向量 的夹角为 ，
则 ，
解得 ，则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用数量积求向量的夹角，解题时要注意单位向量的模长为 ，还要注意向
量夹角的取值范围为 .
14.已知幂函数 的图象经过点 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用幂函数的定义可得 ，再利用幂函数的图象过点 可求得 的值，则答案可得.
【详解】由 是幂函数，可得 .
由 的图象经过点 ，可得 ，解得 .
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查幂函数，利用定义求解即可，是一道基础题.
15.正项等比数列 满足 ，且 2 ， ， 成等差数列，设
，则 取得最小值时的 值为_________．
π
3
= cosa b a b θ⋅
= 1a b = ,a b θ
22 3( ) = cos cos 1 2a b b a b b a b bθ θ+ ⋅ = ⋅ + + = + =
1cos 2
θ = π= 3
θ
π
3
1
[0,π]
ny mx= ( , )m n R∈ (4,2) m n− =
1
2
1m = (4,2) n
ny mx= 1m =
ny x= (4,2) 2=4n 1
2n =
1 11 2 2m n− = − =
1
2
{ }na 1 3
5
4a a+ = 2a 4
1
2 a 3a
*
1( )n n nb a a n N+= ∈ 1 2 nb b b⋅ ⋅ n【答案】
【解析】
【分析】
先由题意列关于 的方程组，求得 的通项公式，再表示出 ，即可求得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 .
由 ， ， 成等差数列，可得 ，则 ，
所以 ，解得 (舍去)或 .
因为 ，所以 .
所以 .所以 .
所以 ，
当 时， 取得最小值， 取得最小值.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等比数列、等差数列、等比数列求积、求最值等.利
用等比数列的基本量进行运算是解题的突破口.
16.已知函数 对 满足 ， ，且
，若 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意推导出函数 的周期为 ，并求出 、 、 、 、 、
，并结合周期性得出 的值.
【详解】 ， 且 ，得 ，
， ，
2
1,a q { }na 1 2 nb b b⋅ ⋅
{ }na q
22a 4
1
2 a 3a 4 2 32a a a= + 3 2
1 1 12a q a q a q= +
2 2q q= + 1q = − 2q =
2
1 3 1 1
5
4a a a a q+ = + = 1
1
4a =
1 31 2 24
n n
na − −= ⋅ = 3 2 2 5
1 2 2 2n n n
n n nb a a − − −
+= = ⋅ =
1 (2 8)3 1 1 3 (2 5) ( 4)2
1 2 =2 2 2n nn n n
nb b b
−− − + + + + − −⋅ ⋅ = =
2n = ( 4)n n − 1 2 nb b b⋅ ⋅
2
( )f x x R∀ ∈ ( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x+ = +
( ) 0f x > ( )1 4f = ( ) ( )2019 2020f f+ =
3
4
( )y f x= 6 ( )0f ( )1f ( )2f ( )3f ( )4f
( )5f ( ) ( )2019 2020f f+
x R∀ ∈ ( ) 0f x > ( ) ( ) ( )1 2f x f x f x+ = + ( ) ( )
( )
12 f xf x f x
++ =
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 1 1 13 1 1
f x f xf x f x f x f x f x
+ +∴ + = = ⋅ =+ +
( ) ( ) ( )16 3f x f xf x
∴ + = =+是以 为周期的周期函数，
， ，可得 ，
，又 ，得 ， ， ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用函数的周期性求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查推
理能力与计算能力，属于中等题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.数列 中， ， ，数列 满足
．
（1）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）证明见解析， ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)利用 ， ， 可证数列 是等差数列，然后可
得 ， 的通项公式.
( )y f x∴ = 6
( ) ( )2f x f x+ = − ( ) ( ) ( )1f x f x f x∴ + = ⋅ − ( ) ( )20 1 4f f = =
( )0 2f∴ = ( )1 4f = ( ) ( )
( )
12 20
ff f
= = ( ) ( )
1 13 0 2f f
= = ( ) ( )
1 14 1 4f f
= =
( ) ( )
1 15 2 2f f
= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 32019 2020 6 336 3 6 336 4 3 4 2 4 4f f f f f f∴ + = × + + × + = + = + =
3
4
{ }na 1
1
2a =
1
12 2
n
n na a +
= −
*( )n N∈ { }nb 2n
n nb a= ⋅
*( )n N∈
{ }nb { }na
2logn
n
nc a
=
2
2
n nc c +
n nT
2n n
na = 3 1 1
2 1 2n n
− −+ +
1
12 2
n
n na a +
= − 2n
n nb a= ⋅ 1
1 12n
n nb a+
+ += ⋅ { }nb
{ }nb { }na(2)利用(1)可得 ，于是可用裂项相消法求和.
【详解】（1）由 ，即 ．
而 ，∴ ，即 ．
又 ，∴数列 是首项和公差均为 1 的等差数列.
于是 ，∴ .
（2）∵ ，∴ .
∴
.
【点睛】本题考查等差数列的判断、裂项相消法求和.通项公式形如 ( 为常数)
的数列可用裂项相消法求和，裂项时要注意恒等变形调整系数，即 .
18. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足
= ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)先化切为弦，再利用三角恒等变换、正弦定理化简，可得答案.
(2)利用余弦定理和均值不等式求解，也可以利用正弦定理和三角函数的性质求解.
2
2 2 1 1
( 2) 2n nc c n n n n+
= = −+ +
1
12 2
n
n na a +
= −
1
12 2 1n n
n na a+
+= −
2n
n nb a= 1 1n nb b += − 1 1n nb b+ − =
1 12 1b a= = { }nb
1 ( 1) 1= 2n
n nb n n a= + − × =
2n n
na =
2 2log log 2n
n
n
nc na
= = =
2
2 2 1 1
( 2) 2n nc c n n n n+
= = −+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 1 1 2nT n n n n
= − + − + − + + − + − − + +
1 1 11 2 1 2n n
= + − −+ +
3 1 1
2 1 2n n
= − −+ +
2
1( )
d
n n d+ 1 2,d d
2 2
1 1 1
1 1=( )
d d
n n d d n n d
− + +
ABC△ A B C a b c tan sin 2 cos2 2 2
A C Aa b +
cos 2
Ca
B
6b = 2 2a c+
2π
3 24【详解】（1） ，
.
.
.
由正弦定理得 .
， .
， .
， .
（2）方法一： ， ，
由余弦定理得 ，
.
由基本不等式得 （当且仅当 时“ ”成立），
，则 ，即 的最小值为 .
方法二： ， ， ，
由正弦定理得 ，
.
tan sin 2 cos cos2 2 2 2
A C A Ca b = a +
∴ sin sin 2 cos cos cos2 2 2 2 2
A C A A Ca b = a +
2 sin cos cos cos sin sin2 2 2 2 2 2
A A A C A Cb = a ∴ −
∴ πsin cos cos sin2 2 2
A C B Bb A= a = a = a
+ −
sin sin =sin sin 2
BB A A
sin 0A ≠ ∴ 2sin cos =sin2 2 2
B B B
sin 02
B ≠ ∴ 1cos =2 2
B
0 πB< < ∴ 2π
3B =
2π
3B = =6b
2 2 2 2 cosb a c ac B= + −
∴ 2 2 36a c ac+ + =
2 2
2
a cac
+≤ a c= =
2 2
2 236 2
a ca c
+∴ ≤ + + 2 2 24a c+ ≥ 2 2a c+ 24
2π
3B =
3A C
π+ = 6b =
6 4 32πsin sin sin 3
a c
A C
= = =
∴ 4 3sin , 4 3sina A c C= =
∴ 2 2 2 248(sin sin )a c A C+ = +
1 cos2 1 cos248 2 2
A C− − = + .
， ，则 .
，则 的最小值为 .
【点睛】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理、最值的求法等，一般需综合利用三
角恒等变换和三角函数的性质进行解题.
19.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， ，
是 的中点.
（1）证明： ；
（2）若 ，求二面角 平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
分析】
（1）取 的中点 ，连接 、 ，证明 平面 ，从而得出 ；
（2）证明出 平面 ，可得出 、 、 两两垂直，以点 为坐标原点，
、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，然后计算
出平面 、 的法向量，利用空间向量法求出二面角 平面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取 中点 ，联结 、 ，
为等边三角形， 为 的中点， .
【
2π48 24 cos2 cos 23A A
= − + −
1 348 24 cos2 sin 22 2A A
= − +
π48 24sin 2 6A = − +
π0 3A< < ∴ π π 5π26 6 6A< + < 1 πsin 2 12 6A < + ≤
∴ 2 224 36a c≤ + < 2 2a c+ 24
P ABC− PAC ⊥ ABC PAC∆ AB AC⊥
D BC
AC PD⊥
2AB AC= = D PA B− −
2 7
7
AC E PE DE AC ⊥ PDE AC PD⊥
PE ⊥ ABC PE AC DE E
EC ED EP x y z E xyz−
PAD PAB D PA B− −
AC E DE PE
PAC∆ E AC ∴ PE AC⊥是 的中点， 为 中点， ， ， .
， 平面 ，
平面 ， ；
（2）由（1）知， ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，则 、 、 两两垂直，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系
，
则 、 、 、 、 .
设平面 的法向量为 ， ， .
由 ，得 ，令 ，得 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ， ，
由 ，得 ，取 ，得 ， .
D BC E AC //DE AB∴ AB AC⊥ DE AC∴ ⊥
PE DE E= AC∴ ⊥ PDE
PD ⊂ PDE AC PD∴ ⊥
PE AC⊥
PAC ⊥ ABC PAC ABC AC= PE ⊂ PAC
PE∴ ⊥ ABC PE AC DE
E EC ED EP x y z
E xyz−
( )1,0,0C ( )1,0,0A − ( )1,2,0B − ( )0,1,0D ( )0,0, 3P
PAD ( )1 1 1, ,n x y z= ( )0,1, 3PD = − ( )1,0, 3PA = − −
0
0
PD n
PA n
⋅ =
⋅ =
1 1
1 1
3 0
3 0
y z
x z
− =
− − = 1 1z =
1 3x = − 1 3y =
PAD ( )3, 3,1n = −
PAB ( )2 2 2, ,m x y z= ( )0,2,0AB =
0
0
AB m
PA m
⋅ =
⋅ =
2
2 2
2 0
3 0
y
x z
=− − = 2 1z =
2 3x = − 2 0y =所以，平面 的一个法向量为 .
则 .
结合图形可知，二面角 的平面角为锐角，其余弦值为 .
【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算，一般需要建立
空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.
20.已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且此抛
物线的准线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 交椭圆 于 、 两点，线段 的中点为 ，直线 是线段 的垂直
平分线，试问直线 是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 过定点 ，详见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意得出 ，由题意知点 在椭圆 上，由此得出关于 、
的方程组，求出 、 的值，即可得出椭圆 的标准方程；
（2）解法一：由题意可知，直线 的斜率不为零，然后分直线 的斜率存在且不为零和直线
的斜率不存在两种情况讨论，在第一种情况下，设直线 的方程为 ，设点
、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，由
得出 ，并写出直线 的方程，由此可得出直线 所过定点的坐标；在第二种情况下
可得出直线 为 轴，即可得出直线 过定点 ，由此得出结论；
解法二：由题意可知，直线 的斜率不为零，然后分直线 的斜率存在且不为零和直线 的斜率
PAB ( )3,0,1m = −
4 2 7cos , 72 7
m nm n
m n
⋅= = =
×⋅
D PA B− − 2 7
7
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2 4 3y x=
C 1
C
l C A B AB ( )1,M t m AB
m
2
2 14
x y+ = m 3 ,04
2 2 3a b− = 13, 2
− ± C a b
2a 2b C
l l l
l ( )1y k x t= − +
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y l C 1 2 2x x+ =
1
4k t
= − m m
m x m 3 ,04
l l l不存在两种情况讨论，在第一种情况下，由点差法可得出直线 的斜率为 ，可写出直
线 的方程，即可得出直线 所过定点的坐标；在第二种情况下可得出直线 为 轴，即可
得出直线 过定点 ，由此得出结论.
【详解】（1）抛物线 的焦点为 ，准线为 .
由于抛物线 的准线 截椭圆 所得弦长为 ，
则点 在椭圆 上，则有 ，解得 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）法一：显然点 在椭圆 内部，故 ，且直线 的斜率不为 .
当直线 的斜率存在且不为 时，易知 ，设直线 的方程为 ，
代入椭圆方程并化简得： .
设 ， ，则 ，解得 .
因为直线 是线段 的垂直平分线，
故直线 的方程为 ，即 ，即 .
令 ，此时 ， ，于是直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时，易知 ，此时直线 ，故直线 过定点 .
综上所述，直线 过定点 ；
法二：显然点 在椭圆 内部，故 ，且直线 的斜率不为 .
AB 1
4t
−
m m m x
m 3 ,04
2 4 3y x= ( )3,0 3x = −
2 4 3y x= 3x = − C 1
13, 2
− ± C
2 2
2 2
3
1
3 4 1
a b
a b
− =
+ =
2
2
4
1
a
b
=
=
C
2
2 14
x y+ =
( )1,M t C 3 3
2 2t− < < l 0
l 0 0t ≠ l ( )1y k x t= − +
( ) ( )2 2 2 2 21 4 8 8 4 8 4 4 0k x kt k x k kt t+ + − + − + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
1 2 2
8 8 21 4
kt kx x k
−+ = − =+
1
4k t
= −
m AB
m ( )1 1y t xk
− = − − ( )4 1y t t x− = − ( )4 3y t x= −
4 3 0x − = 3
4x = 0y = m 3 ,04
l 0t = : 0m y = m 3 ,04
m 3 ,04
( )1,M t C 3 3
2 2t− < < l 0当直线 的斜率存在且不为 时，设 ， ，
则有 ， ，
两式相减得 ，
由线段 的中点为 ，则 ， ，
故直线 的斜率 ，
因为直线 是线段 的垂直平分线，
故直线 的方程为 ，即 ，即 .
令 ，此时 ， ，于是直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时，易知 ，此时直线 ，故直线 过定点
综上所述，直线 过定点 .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，在涉及中
点弦问题时，可以利用韦达定理法或点差法得出直线方程中两个参数的等量关系，进而得出
直线所过定点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.
21.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 （其中 是 的导函数）有两个极值点
、 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
l 0 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
21
1 14
x y+ =
2
22
2 14
x y+ =
( )( ) ( )( )1 2 1 2
1 2 1 2 04
x x x x y y y y
+ − + + − =
AB ( )1,M t 1 2 2x x+ = 1 2 2y y t+ =
l 1 2
1 2
1
4
y yk x x t
−= = −−
m AB
m ( )1 1y t xk
− = − − ( )4 1y t t x− = − ( )4 3y t x= −
4 3 0x − = 3
4x = 0y = m 3 ,04
l 0t = : 0m y = m 3 ,04
m 3 ,04
( ) ( )1 lnf x x a x a Rx
= − − ∈
( )y f x= 1,e e
−
( ) ( )2 2lng x x f x x ax′= ⋅ + − ( )f x′ ( )f x
1x 2x 1 2x x e< < ( ) ( )1 2g x g x−
2 2 0x e y e− − = 2
2
10, 4e e
− − （1）由 可得出 ，然后利用导数求出 ，作为所求切线的斜率，并写出
所求切线的点斜式方程；
（2）求出函数 的导数 ，由韦达定理得出
， ，并结合已知条件得出 ，然后得出
，并构造函数 ，将问题转化为函数
在 上的值域问题，利用导数求解即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， .
而 ，即 ，
故所求切线的斜率为 ，
所以方程为 ，即 ，即 ；
（2） ，
则函数 的定义域为 ， ，
若函数 有两个极值点 、 ，且 .
则方程 的判别式 ，且 ， ，
，由基本不等式得 ，且 .
所以
.
( ) 1f e e
= − a e= ( )f e′
( )y g x= ( ) ( )22 122 2
x ax
g x x a x x
− +′ = − + =
1 2x x a+ = 1 2 1=x x 1
1 1xe
< <
( ) ( ) 2
1 2 1 12
1
1 4lng x g x x xx
− = − + ( ) 2
2
1 4lnh t t tt
= − +
( )y h t= 1 ,1t e
∈
( )y f x= ( )0, ∞+ ( ) 1 1f e e a a ee e
= − − = − ⇒ =
( ) 2
11 af x x x
′ = + − ( ) 2
11 ef x x x
′ = + −
( ) 2 2
1 11 ef e e e e
′ = + − =
( )2
1 1y x ee e
+ = − 2
2xy e e
= − 2 2 0x e y e− − =
( ) ( )2 22ln 2 2ln 1g x x f x x ax x ax x′= ⋅ + − = − + +
( )y g x= ( )0, ∞+ ( ) ( )22 122 2
x ax
g x x a x x
− +′ = − + =
( )y g x= 1x 2x 1 2x x e< <
2 1 0x ax− + = 2 4 0a∆ = − > 1 2 0x x a+ = > 1 2 1=x x
2
1
1x ex
∴ = <
1 2 1 22 2a x x x x= + > = 1
1 1xe
< <
( ) ( ) 2 2
1 2 1 1 1 2 2 22 2ln 2 2lng x g x x ax x x ax x− = − + − + −
( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 12 4lnx x x x a x x x= + − − − +
( )( ) 2
1 2 1 2 1 1 1 12
1
1 14ln 4ln 1x x x x x x x xx e
= − + − + = − + < ϕ
O x 1C π2, 6P
2C
2 (2 cos2 ) 6ρ θ+ =
1C
1( , )A ρ α 2
π, 2B ρ α + 2C 2 2
1 1
| | | |OA OB
+
4sinρ θ= 2
3
1C π2, 6P
r
1( , )A ρ α 2
π, 2B ρ α + 2C 2 2 2 2
1 2
1 1 1 1=| | | |OA OB ρ ρ+ +即可.
【详解】（1）将曲线 的参数方程 化为普通方程为 ，
即 .
由 ， ，得曲线 的极坐标方程为 .
由曲线 经过点 ，则 ( 舍去),
故曲线 的极坐标方程为 .
（2）由题意可知 ， ,
所以 .
【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程的转化，考查对极坐标方程含义的理解，是一道基
础题.牢记转化公式和极坐标系中 的含义即可顺利解题.
23.已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若对于 ， ，有 ， ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
分析】
(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式.
(2)利用绝对值三角不等式即可证明结论.
【详解】（1）由 得 ，
则 或 或
【
1C cos
2 sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=
= +
， 2 2 2( 2)x y r+ − =
2 2 24 4 0x y y r+ − + − =
2 2 2x yρ = + sin yρ θ = 1C 2 24 sin 4 0rρ ρ θ− + − =
1C π2, 6P
2 2π2 4 2 sin 4 0 26 r r− × × + − = ⇒ = 2r = −
1C 4sinρ θ=
2
1 (2 cos2 ) 6ρ α+ = 2 2
2 2
π2 cos2 (2 cos2 ) 62
ρ α ρ α + + = − =
2 2 2 2
1 2
1 1 1 1 2 cos2 2 cos2 2
| | | | 6 6 3OA OB
α α
ρ ρ
+ −+ = + = + =
ρ θ，
( ) | 2 1|f x x= −
( ) | | 3f x x< +
x y R∈ 1| 3 1| 3x y− + ≤ 1| 2 1| 6y − ≤ ( 6
7)f x ≤
{ | 2 4}x x− < <
( ) | | 3f x x< + | 2 1| | | 3x x− < +
1
2
2 1 3
x
x x
≥
− < +
， 10 2
1 2 3
x
x x
<
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