2020届高三数学（理）高考适应性月考（三）试卷（附解析Word版）

巴蜀中学 2020 届高考适应性月考卷（三） 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚. 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号，在试题上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 4.考试结束后，请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解. 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 化简集合 ，进而求并集即可. 【详解】由题意可得 ， ， 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.在正项等比数列 中，若 ，则 （ ） A. 2019 B. 2018 C. 1009 D. 1010 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等比数列下标和性质即可得到结果. { }| 4 2M x x= − < < { }2| 6 0N x x x= − − < M N∪ = { }| 4 3x x− < < { }| 4 2x x− < < − { }| 2 2x x− < < { }| 2 3x x< < N { }| 4 2M x x= − < < { }| 2 3N x x= − < < { }| 4 3M N x x= − < a b c< < 0,1 60C 60C【解析】 【分析】 由结构图知：每个顶点同时在 3 个面内，计算出五边形的总顶点数，从而得到结果. 【详解】由结构图知：每个顶点同时在 3 个面内， 所以五边形面数为 个， 故选：B. 【点睛】本题以 分子为载体，考查空间问题的计数问题，考查空间想象能力与推理能力， 属于中档题. 5.如图，过正方形 的顶点 在 内任意作射线 ，则该射线与正方形的交点位 于边 上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用几何概型公式即可得到结果. 【详解】角度性几何概率： ， 故选：D. 【点睛】几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管 这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的 概率． 6.已知 为第二象限角，且 ，则 （ ） 60 3 20 6 125 × − × = 60C ABCD A BAD∠ AP BC 1 5 1 4 1 3 1 2 45 1 90 2P °= =° α 5sin 4 5 πα + = −   tan 4 πα − =  A. B. C. 2 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用同角基本关系式得到 ，结合诱导公式得到结果. 【详解】由于 为第二象限角，且 ，所以 为第三象限角， 从而 ， ， 所以 ， 故选：D. 【点睛】本题考查同角基本关系式，考查三角函数的恒等变换，考查计算能力，属于常考题 型. 7. ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， 的面积为 ，已知 且 ，则 外接圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ，结合余弦定理与三角形面积公式可得 ， 再利用正弦定理可得 外接圆的半径. 【详解】 ， 1 2 1 2 − 1tan 4 2 πα + =   α 5sin 4 5 πα + = −   4 πα + 2 5cos 4 5 πα + = −   1tan 4 2 πα + =   1tan 24 tan 4 πα πα  − = − = −     +   a b c ABC∆ A B C ABC∆ S 15a = ( )( ) 4 32 3a b c b c a bc S+ + + − = + ABC∆ 5 2 5 ( )( ) 4 32 3a b c b c a bc S+ + + − = + tan 3A = ABC∆ ( )( ) 4 32 3a b c b c a bc S+ + + − = + 2 2 2 4 3 2 3 sin3 3b c a S bc A⇒ + − = =即 ， 所以 ， ， 由正弦定理 ， 所以 ， 故选：C. 【点睛】本题考查解三角形问题，考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查计算 能力，属于中档题. 8.函数 的图象如图所示，为了得到 的 图象，可将 的图象（ ） A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的图象得到 ，结合图像变换知识得到答案. 【详解】由图象知： ，∴ . 2 32 cos sin3bc A bc A= tan 3A = 3A π= 152 2 5sin 3 2 aR A = = = 5R = ( ) ( )( )sin 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < ( ) cosg x xω= ( )f x 6 π 12 π 12 π 6 π ( ) sin 2 3f x x π = +   7 2 12 12 2 T T π π π π= − = ⇒ = 2ω =又 时函数值最大， 所以 .又 ， ∴ ，从而 ， ， 只需将 的图象向左平移 个单位即可得到 的图象， 故选：C. 【点睛】已知函数 的图象求解析式 (1) .(2)由函数的周期 求 (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 ，一般用最高点或最低点求。 9.已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上，侧棱 ， ， 两两垂直，且 ，若以 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 公共部分的体积为 ， 球 的体积为 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可知 是半径为 1 球的体积的 ，把三棱锥 补成正方体，利用正方体与外 接球的关系即可得到球 的体积为 . 【详解】由题意易得： ， 将三棱锥 补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为： ， 的 12x π= 2 2 212 2 3k k π π πϕ π ϕ π× + = + ⇒ = + ( )0,ϕ π∈ 3 πϕ = ( ) sin 2 3f x x π = +   ( ) cos2 sin 2 sin 22 12 3g x x x x π π π    = = + = + +         ( )f x 12 π ( )g x ( )sin ( 0, 0)y A x B Aω ϕ ω= + + > > max min max min,2 2 y y y yA B − += = T 2, .T πω ω= ϕ P ABC− O PA PB PC 2PA PB PC= = = P P ABC− 1V O 2V 1 2 V V 3 36 3 72 1 64 3 24 1V 1 8 P ABC− O 2V 3 1 1 4 18 3V π = ⋅   P ABC− 2 2 22 2 3R PA PB PC= + + =从而 ， ， 所以 ， 故选：B. 【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 ，则其外接球半径公式为: . 10.已知 ，函数 的零点分别为 ，且 ，则 （ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令 ，解二次方程可得 或 ，进而分段讨论，即可得到结果. 【详解】令 ，则由 ， ， 即 或 ， 由 ，得 或 0， 由 ，得 ， 或 ， 所以函数 的零点分别为 ， ， ， ， ， 从而 ， 3R = ( )3 2 4 33V π= ⋅ ( )1 3 2 1 3 728 3 V V = = , ,a b c 2 2 2 24R a b c= + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 lg 0 x x f x x x  ≥=  − > 2AB BF x= = 3x a= ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2AB BF x= = 1 2BF x a= − ( )1 2 2AF x x a a= − − = 2 4AF a= 1 12 2AF F B a= = 1 2 3F B a x a x a= = − ⇒ = 2AF M 2BM AF⊥ Rt AMB∆ 2cos 3 AMBAM AB ∠ = = 1 2AF F∆ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 22 cosF F AF AF AF AF BAF= + − ∠ 2 3 7a = 1c = 2 4 7b =【点睛】本题考查待定系数法求双曲线的方程，考查双曲线定义、余弦定理等知识，考查推 理能力与计算能力，属于中档题. 12.已知 是定义在 上的奇函数，记 的导函数为 ，当 时，满足 ，若存在 ，使不等式 成立，则实 数 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意构造 ， 在 上单调递增，且 ，从而可以推 断出 在 上单调递增，即可化抽象不等式为具体不等式，得到结果. 【详解】令 ， 在 上单调递增，且 ，从而可以推 断出 则 （当 时，满足 ）， 从而 在 上单调递增， 所以当 时， ， 从而当 时， ； 当 时， （当 时取等号）， 又当 时， ，即 ， 所以 在 上单调递增， 由于 是定义在 上的奇函数，从而 在 上单调递增； 不等式 ( )f x R ( )f x ( )'f x 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > x∈R ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ +  a 11 e − 11 e + 1 e+ e ( ) ( ) ( )0x f xg x xe = ≥ ( )g x [ )0,+∞ ( ) 0g x ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( ) ( )0x f xg x xe = ≥ ( )g x [ )0,+∞ ( ) 0g x ≥ ( ) ( ) ( )'' 0x f x f xg x e −= > 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > ( )g x [ )0,+∞ 0x > ( ) ( ) ( )0 0x f xg x ge = > = 0x > ( ) 0f x > 0x ≥ ( ) 0f x ≥ 0x = 0x ≥ ( ) ( )' 0f x f x− > ( ) ( )' 0f x f x> ≥ ( )f x [ )0,+∞ ( )f x R ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )2 2 2x xf e x x f ae x − + ≤ + . 令 ，则原问题等价于 有解，从而 ， ∵ ， ∴ 在 上单减，在 上单增， ∴ ， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的运用，函数存在性的问题，函数零点的问题，利用函数的性质求 参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.函数 在点 处的切线方程为___． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，函数 的导数为 ，得到 ，再由直线的点斜式方程，即可求解 切线的方程。 【详解】由题意，函数 的导数为 ，所以 ， 即函数 在点 处的切线的斜率为 ， 由直线的点斜式方程可知，切线的方程为 ，即 。 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程，其中解答中根据导数四 则运算的法则，正确求解函数的导数，得出曲线在某点处的切线的斜率，再利用点斜式求解 切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 14.若 ，则 ______. 【答案】 ( )2 22 2 2 2x x xe x x ae x a x x xe−⇔ − + ≤ + ⇔ ≥ − + − ( ) 2 2 2 xh x x x xe−= − + − ( )a h x≥ ( )mina h x≥ ( ) ( ) ( )( )' 2 2 1 2x x xh x x e xe x e− − −= − − − = − + ( )h x ( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ) ( )min 11 1a h x h e ≥ = = − a 11 e − 2( ) lnf x x x= ( )1,0 1 0x y− − = ( )f x ( )f x′ ( )1 1k f ′= = ( ) 2 lnf x x x= ( ) 2 lnf x x x x′ = + ( )1 1f ′ = ( ) 2 lnf x x x= (1,0) 1k = 1y x= − 1 0x y− − = ( )1 2 1 sin 1ax b x dx− + =∫ sin 6a ππ − =   3 2 −【解析】 【分析】 利用微积分定理及奇函数的性质可得 ，结合诱导公式可得结果. 【详解】 ， ∴ ， 所以 . 故答案为： 【点睛】本题考查微积分定理，诱导公式，特殊角 三角函数值，考查运算能力，属于基础 题. 15.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得 ， ，明确关于 的函数 的单调性可得结果. 【详解】由 ， ，得 ， ， 所以 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， 又当 时， ； 当 时， ， 所以 的最小值为 . 的 3 2a = ( )1 2 3 1 11 2sin | 0 13 3 a aax b x dx x −− + = + = =∫ 3 2a = 3 3sin sin cos6 2 6 6 2a π π ππ π   − = − = − = −       3 2 − { }na n nS 2 3a = 5 25S = 1 5 n n n a a S + + 8 5 2 1na n= − 2 nS n= n 1 5 n n n a a S + + 2 3a = 5 25S = 2 1na n= − 2 nS n= 2 1 2 2 1 2 2 1 5 5 5 5 n n n a a n n n S n n + −+ = + = + − 2 5 1 5 5n n  = + −   1, 5n  ∈  )5,n ∈ +∞ *n N∈ 2n = 1 8 5 5 n n n a a S + + = 3n = 1 5 5 3 n n n a a S + + = 1 5 n n n a a S + + 8 5故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的基本运算，考查函数的最值，考查转化能力与计算能力，属于 中档题. 16.在 中， ， ，点 满足 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ， ，可得 ，即 在直线 上，从而 当 时 最小，结合三角形知识得到结果. 【详解】 ， 令 ， ， 则 ， 因为 ， 所以 在直线 上，从而当 时 最小， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， 又 ， 得 . 8 5 ABC∆ 120A = ° 2 6AB AC= = D 2 3 3 x yAD AB ACx y x y = ++ +    AD 3 39 13 1 3AE AB=  2AF AC=  x yAD AE AFx y x y = ++ +    D EF AD EF⊥ AD 2 3 3 x yAD AB ACx y x y = ++ +    ( )1 23 x yAB ACx y x y  = + + +    1 3AE AB=  2AF AC=  x yAD AE AFx y x y = ++ +    1x y x y x y + =+ + D EF AD EF⊥ AD AEF∆ 1 23AE AB= = 2 6AF AC= = 120A = ° 2 13EF = min 1 1sin2 2AEFS AE AF A EF AD∆ = ⋅ ⋅ = ⋅  min 32 6sin 3 392 132 13 AE AF AAD EF × ×⋅= = =故答案为： 【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识，考查三点共线、余弦定理，三角形面积 公式等知识，考查转化能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 ，点 为线段 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）连接 交 于点 ，连接 ，易得 ，从而得证； （2）以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正向建立空间直角坐标系， 求出平面 与平面 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（1）连接 交 于点 ，连接 ， ∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ . 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 3 39 13 P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2PA AD= = E PD / /PB ACE P AC E− − 6 3 BD AC O OE / /EO PB A AB AD AP x y z ACE PAC BD AC O OE E O PD BD / /EO PB EO ⊂ ACE PB ⊄ ACE / /PB ACE（2）解：∵ 平面 ， ∴ . 又∵ 是正方形，∴ . ∴ 平面 以点 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴的正向建立空间直角坐标系， 各点坐标如下： ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 ， ∴ . ∵ 平面 ， ， ∴取平面 的法向量为 ， ， ∴二面角 的余弦值为 . 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、 面面间的位置关系及空间向量法的应用，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档 . PA ⊥ ABCD PA BD⊥ ABCD AC BD⊥ BD ⊥ PAC A AB AD AP x y z ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )2,2,0C ( )0,2,0D ( )0 0 2P , , ( )0,1,1E ACE ( )0 0 0, ,n x y z= 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 1 0 1 x n AC x y y n AE y z z = ⋅ = + = ⇒ = − ⋅ = + =  =   ( )1, 1,1n = − BD ⊥ PAC ( )2,2,0BD = − PAC ( )1,1,0m = − 1 1 6cos , 33 2 m n − −< >= = − ⋅   P AC E− − 6 3题． 18.已知函数 ， ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】 （1）求出导函数 ，解不等式得到单调区间； （2）令 ，则 恒成立，研究函数的最值即可. 【详解】解：（1） ， 由 ，得 的单调增区间为 ， ； 由 ，得 的单调减区间为 . （2）令 ，则 恒成立， ， ∵ ，∴ . 令 ，则 在 上单调递增，且 ， ∴当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增； ∴ ，∴ . 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一 道中档题． 19.为庆祝新中国成立七十周年，巴蜀中学将举行“歌唱祖国，喜迎国庆”歌咏比赛活动，《歌 唱祖国》，《精忠报国》，《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐，高二某班级就该 班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决，投票情况如下表. ( ) ( )2 1ln 2f x x x xx = + − ( ) 3 22 43g x x x x b= − − + b R∈ ( )g x ( ) ( )f x g x≤ b ( )g x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ ( )1,2− 7 3b ≥ ( ) ( )( )2' 2 2 4 2 2 1g x x x x x= − − = − + ( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( ) 0h x ≥ ( ) ( )( )2' 2 2 4 2 2 1g x x x x x= − − = − + ( )' 0g x > ( )g x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ ( )' 0g x < ( )g x ( )1,2− ( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( ) 0h x ≥ ( ) ( )2' 2 1 2 1 lnh x x x x x= − − + + ( )( )2 1 ln 1x x x= + + − 0x > 2 1 0x + > ( ) ln 1x x xϕ = + − ( )xϕ ( )0, ∞+ ( )1 0ϕ = ( )0,1x∈ ( ) 0xϕ < ( )' 0h x < ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0xϕ > ( )' 0h x > ( )h x ( ) ( )min 71 03h x h b= = − ≥ 7 3b ≥小组 1 2 3 4 5 6 7 8 赞成人 数 4 5 6 6 5 6 4 3 总人数 7 7 8 8 7 7 6 6 （1）若从第 1 小组和第 8 小组 同学中各随机选取 2 人进行调查，求所选取的 4 人中至少有 2 人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率； （2）若从第 5 小组和第 7 小组的同学中各随机选取 2 人进行调查，记选取的 4 人中不赞成 《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）利用对立事件概率公式可得结果； （2）X 的可能取值为 0，1，2，3，4 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E （X）． 【详解】解：（1） . （2）各小组人员情况： 小组 1 2 3 4 5 6 7 8 赞成人数 4 5 6 6 5 6 4 3 不赞成人 数 3 2 2 2 2 1 2 3 总人数 7 7 8 8 7 7 6 6 的可能取值为 0，1，2，3，4，且 的 X X 27 35 2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 4 3 3 3 3 3 1 2 2 7 6 271 35 C C C C C C C CP C C + += − = X， ， ， ， ， 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 . 点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算 公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.已知数列 满足 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，数列 的前 项和为 ，若 对任 意正整数 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ，即 为等差数列，从而得到数列 的通项公式； 【 ( ) 2 2 5 4 2 2 7 6 40 21 C CP X C C = = = ( ) 1 1 2 2 1 1 2 5 4 5 4 2 2 2 7 6 41 9 C C C C C CP X C C += = = ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 5 2 5 2 4 2 2 2 7 6 322 105 C C C C C C C CP X C C + += = = ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 4 5 2 2 2 2 7 6 23 35 C C C C C CP X C C += = = ( ) 2 2 2 2 2 2 7 6 14 315 C CP X C C = = = X X P 4 21 4 9 32 105 2 35 1 315 ( ) 4 32 2 1 260 2 3 49 105 35 315 24E X = + + × + × + × = { }na 1 2a = 1 1 2 2n n na a + + − = { }na ( ) ( )2 1 1 4 2 2n n n n n n n b a a + − + + = { }nb n nT ( ) 11 0n nT λ++ − < n λ 2n na n= ⋅ 7 2 12 3 λ− < ≤ 1 1 12 2 n n n n a a+ + = + 2 n n a    { }na（2）由（1）可得 ，利用分组求和与裂项相消法得到 ，分 类讨论研究最值即可. 【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ∴ 为等差数列， ∴ ， ∴ . （2） ， ， ∵ ，∴ . ①当 为偶数时， ， 令 ， 则 nb ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn n + + + − − −= + −⋅ + nT 1 1 2 2n n na a + + = + 1 1 12 2 n n n n a a+ + = + 2 n n a    ( )1 1 12 2 n n a a n n= + − ⋅ = 2n na n= ⋅ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 4 2 2 1 4 2 1 2 2 1 2 n nn n n n n n n n n b n n n n+ + − + + − + + = =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 n n n n n n n n +  − + + + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 n n n n n nn n + + + − − −= + −⋅ + 1 112 21 12 1 2 n nT     − − −         =  − −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 n n n nn n + +     − − − − − − + − + − +⋅⋅⋅+ −      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅      ( ) ( ) 1 1 11 1 116 2 2 1 2 nn nn + +   −−   = − − − + −     +      ( ) 12 4 1 3 3 1 2 nn n ++  = − − − +   ( ) 11 0n nT λ++ − < ( ) ( ) 12 4 11 3 3 1 2 n n n nT n λ ++  − > = − − − +   n ( ) 12 4 1 3 3 1 2 nn n λ ++  > − +  +   ( ) ( ) 14 1 3 1 2 nnf n n ++  =  +   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 15 1 4 11 3 2 2 3 1 2 n nn nf n f n n n + ++ +   + − = −   + +   ， ∴ ， ∴ ； ②当 为奇数时， ， 由①知 单减，又当 时， ，∴ ， 综上， . 【点睛】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析，突 出裂项法求和，突出转化思想与综合运算能力的考查，属于中档题． 21.已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，点 为椭圆 上任 意一点，点 关于原点 的对称点为点 ，有 ，且当 的面积最大 时为等边三角形. （1）求椭圆 的标准方程； （2）与圆 相切的直线 ： 交椭圆 于 ， 两点，若椭圆上存在点 满足 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）依题意知： ，从而可得椭圆 的标准方程； （2）利用直线 ： 与圆 相切可得 ，联立方程利用韦达定理可 ( ) ( ) 11 5 4 2 6 2 3 1 n n n n n +  + + = −   + +    ( )( ) 1 21 6 11 02 6 1 2 n n n n n + − − − = − + = − + = − n ( ) ( )12 4 1 2 3 3 1 2 3 nn f nn λ ++  < + = + +   ( )f n n → +∞ ( ) 0f n → 2 3 λ ≤ 7 2 12 3 λ− < ≤ C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F A C A O 'A 1 1' 4AF A F+ = 1 2AF F∆ C 2 2 1x y+ = l y kx t= + C M N P ( )( )0OP OM ONµ µ= + >   OMPN 2 2 14 3 x y+ = )2 2,3 2 4 3 2 a b a = = C l y kx t= + 2 2 1x y+ = 2 21t k= +得 ，代入椭圆方程可得 ，表示四边形的面积 ， 借助函数的单调性可得答案. 【详解】解：（1）依题意知： ，∴ ， ∴椭圆 的标准方程为 ： . （2）∵直线 ： 与圆 相切， ∴原点到直线 的距离为 ，即 ， ∴ . 设 ， ， ， 由 消去 得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 在椭圆 上，∴ ， 0 2 0 2 8 4 3 6 4 3 ktx k ty k µ µ − = +  = + 24 3 2 k t µ += 2 2 3 22 3 4 3 kS k += + 2 4 3 2 a b a = = 2 3 a b = = C C 2 2 14 3 x y+ = l y kx t= + 2 2 1x y+ = l 2 1 1 td r k = = = + 2 21t k= + 2 1t ≥ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y ( )0 0,P x y 2 2 14 3 y kx t x y = + + = y ( )2 2 24 3 8 4 12 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 8 4 3 ktx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 4 3 tx x k −= + ( )1 2 1 2 2 62 4 3 ty y k x x t k + = + + = + ( )OP OM ONµ= +   0 2 0 2 8 4 3 6 4 3 ktx k ty k µ µ − = +  = + P C 2 2 2 2 8 6 4 3 4 3 14 3 kt t k k µ µ   −   + +   + =∴ . 设 的中点为 ，则 ， ∴四边形 的面积为 . 令 ， 则∵ ，∴ ， ∴ ， ∴四边形 面积的取值范围为 . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、四边形面 积、换元法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注 意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做， 则按所做的第一题计分. 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参 24 3 2 k t µ += MN E ( ) 2OP OM ON OEµ µ= + =    OMPN 12 2 2MONS S MN d MNµ µ µ∆= = ⋅ ⋅ = ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 64 4 4 12 4 3 1 4 3 k t t k k k µ − − + = ⋅ + + ( ) 2 2 2 22 12 3 94 1 4 3 k tk k µ − += ⋅ + ⋅ + ( ) 2 2 2 22 4 34 3 1 4 3 k tk k µ − += ⋅ + ⋅ + ( ) 2 2 2 2 22 4 3 4 34 3 12 4 3 k k tkt k + − += ⋅ + ⋅ + ( ) ( ) 2 22 2 22 2 4 1 34 34 3 1 2 1 4 3 k kk k k k − + ++= ⋅ + ⋅ + + 2 2 3 22 3 4 3 k k += + ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 1 4 3 4 4 4 3 kf k k k += = −+ + 24 3 3k + ≥ ( )2 3 3 4f k≤ < 2 2 3S≤ < OMPN )2 2,3 xOy 1C 2 2cos 2sin x y α α = +  = α 2C数方程为 （ 为参数）. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若曲线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先得到曲线 的普通方程，将 代入化简得到答案；（2）将 的参数方程 代入 的普通方程，得到 ， ，将所求的 用 表示，从而得到答案. 【详解】解：（1）曲线 的普通方程为 ，即 . 将 代入化简得 的极坐标方程为 . （2）将 的参数方程代入 的普通方程 中，得 ， 设 ， 两点的参数分别为 ， ，则 ， 、 异号， . 【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化，直线参数的几何意义，属于简单题. 32 5 41 5 x t y t  = +  = + t 1C 1C 2C P Q ( )2,1A 1 1 AP AQ + 4cosρ θ= 2 91 15 1C cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2C 1C 1 2t t+ 1 2t t 1 1 AP AQ + 1 2,t t 1C ( )2 22 4x y− + = 2 2 4 0x y x+ − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 1C 4cosρ θ= 2C 1C ( )2 22 4x y− + = 2 8 3 05t t+ − = P Q 1t 2t 1 2 1 2 8 5 3 0 t t t t  + = −  = −