重庆 2020 级高三第三次教学质量检测考试数学（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合 A，进而求补集即可.
【详解】∵ ，又 ，
∴ ，
故选 C
【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.
2.已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算，化简得到 ，再由题意，即可得出结果.
【详解】因为 为纯虚数，
所以 ，因此 .
故选 C
【点睛】本题主要考查由复数的类型求参数，熟记复数的除法运算即可，属于基础题型.
3.已知平面向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
{1,2,3,4,5}U = { }2| 3 0A x x x= ∈ − ( ) 2f x x= −
( ) 0f x <
( )1 2， ( )0−∞， ( )0 2，
( ) ( )0 1 2−∞ ∪， ，
1x > ( ) 0f x < 1x <
1x > ( ) 2f x x= − ( ) 0f x < 1 2x< <
1x < 2 1x− > ( )2 2 2− = − − = −f x x x
R ( )f x ( ) ( )2 0f x f x− + =
( )( ) 2= − − =f x f x x 1x < ( )f x x= ( ) 0f x < 0x <
( ) 0f x < ( ) ( )0 1 2−∞ ∪， ，【答案】C
【解析】
【分析】
设第一个孩子分配到 a1 斤锦，利用等差数列前 n 项和公式得： 7＝996，从
而得到 a1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数．
【详解】解：设第一个孩子分配到 a1 斤锦，
则由题意得： 7＝996，
解得 a1＝65，
∴第八个孩子分得斤数为 a8＝65+7×17＝184．
故选 C．
【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列
的性质的合理运用．
9.函数 的图象大致为（ ）
A.
B.
8 1
8 78 12S a
×= + ×
8 1
8 78 12S a
×= + ×
ln
cos
xy x
=C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断 在 和 的正负，再判断 在 上的正负，
即可得出结果.
【详解】当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，排除 CD；
当 时， ， ，所以 ，图像应在 轴下方，排除 B；
故选 A
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，灵活运用排除法，熟记余弦函数与对数函数的性质
即可，属于常考题型.
ln
cos
xy x
= 0 1x< < 1 2x
π< < ln
cos
xy x
=
2 x
π π< <
0 1x< < cos 0x > ln 0x < ln 0cos
ln 0x > ln 0cos
>x
x
2 x
π π< < cos 0x < ln 0x > ln 0cos
= { }n na b− { }+n na b
{ }na
1 1 3
1ln-+ +
+− = −n n n n
na b a b n
1 1 3
13 3 ln 3( ) ln( 1) 3ln+ +
++ = + + = + + + −n n n n n n
na b a b a b n nn
( ) 1
1 1 3 ln−+ = + ⋅ +n
n na b a b n 1 1 3
1ln-+ +
+− = −n n n n
na b a b n
( ) [ ]1 1 2ln ( 1)! ln+− = − − −n na b a b n n ( ) 1
1 1 3 ln−+ = + ⋅ +n
n na b a b n求出 ，即可判断③的真假.
【详解】因为 ，
对于①， ，即 ，
当 时， ，即 ，显然数列 不是递
增数列，故①错；
对于②， ，
所以 ，
因此，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
所以
，
又 ， ，所以 ，即
，数列 单调递增，故②正确；
对于③，因为 ，
所以 ， ，…，
，
以上各式相加得：
，
所以 ，
( ) ( ) [ ]1
1 1 1 1 3 ln ( 1)!2 2+
−− + ⋅= + −
n
n
a b a ba n
( )*
1 1 3
12 2 lnn n n n n n
na a b b a b n Nn+ +
+= + = + + ∈，
1 1 3
1ln-+ +
+− = −n n n n
na b a b n
( ) ( ) 3
1 1 ln 1=+ +− − − +n n n n
na b a b n
1n = ( ) ( )2 2 1 1
1ln 02=− − − *n N∈ ( ) ( ) ( ) 1
1 1 1 1
12 3 ln 1 0−
+ +
+ − + = + ⋅ + + >
n
n n n na b a b a b n
1 1+ ++ > +n n n na b a b { }+n na b
( ) ( ) 3
1 1 ln 3ln ln( 1)1=+ +− − − = − ++n n n n
na b a b n nn
( ) ( )2 2 1 1 3ln1 ln 2=− − − −a b a b ( ) ( )3 3 2 2 3ln 2 ln3=− − − −a b a b
( ) ( )1 1 3ln( 1) ln=− −− − − − −n n n na b a b n n
( ) ( ) [ ]1 1 2ln 2 2ln3 ... 2ln( 1) ln 2ln ( 1)! ln=− − − + + + − − = − −n na b a b n n n n
( ) [ ]1 1 2ln ( 1)! ln+− = − − −n na b a b n n由 ，
解得
因为 ， 和 单调递增，所以数列 单调递增，故③正确；
故选 A
【点睛】本题主要考查数列的综合应用，熟记等比数列的通项公式，会用构造法求数列的通
项公式，熟记数列的单调性的判定方法即可，属于常考题型.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.已知曲线 在 处的切线与直线 平行，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
分析】
先对函数求导，得到 ，求出切线斜率，再由题意列出方程，即可求出结果.
【详解】由 得 ，
因此曲线 在 处的切线斜率为： ，
又切线与直线 平行，
所以 ，解得 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由切线的斜率求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.
14.已知函数 ，其中 的部分图象如图所
示，则 ______________．
【
( ) [ ]
( )1 1
1
1 1
2ln ( 1)! ln
3 ln
n n
n
n n
a b a b n n
a b a b n−
− = − + − − + = + ⋅ +
( ) ( ) [ ]1
1 1 1 1 3 ln ( 1)!2 2+
−− + ⋅= + −
n
n
a b a ba n
1 1 0a b+ > 13 −= ny [ ]ln ( 1)!= −y n { }na
3y x ax= + 1x = 2 1y x= + a
1−
23′ = +y x a
3y x ax= + 23′ = +y x a
3y x ax= + 1x = 1 3xk y a= =′= +
2 1y x= +
3 2a+ = 1a = −
1−
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ ( )0 0A ω ϕ π π> > ∈ −， ， ，
ϕ =【答案】
【解析】
【分析】
先 由 图 像 得 到 ， ， 求 出 ， 得 到
，根据图像过点 ，得到 ，即可求出结
果.
【详解】先由图像可得： ， ，
所以 ，因此 ，
又图像过点 ，所以 ，即 ，
由图像可得： ，所以 ，
又 ，所以 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由三角函数部分图像求参数的问题，熟记三角函数的图像与性质即可，
属于常考题型.
15.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先 对 函 数 求 导 ， 得 到 ， 根 据 题 意 得 到
在 上恒成立，即 在 上恒成立，再令
2
3
π
2A = 2 8 22 43 3
π π π πω
= = − = T 1
2
ω =
( ) 12sin 2
ϕ = + f x x 2 ,03
π
2 2 ,3 k k Z
πϕ π= + ∈
2A = 2 8 22 43 3
π π π πω
= = − = T
1
2
ω = ( ) 12sin 2
ϕ = + f x x
2 ,03
π
1 22sin 02 3
π ϕ × + = sin 03
π ϕ + =
2 ,3
π ϕ π π+ = + ∈k k Z 2 2 ,3 k k Z
πϕ π= + ∈
( )，ϕ π π∈ − 2
3
ϕ π=
2
3
π
( ) ( ) 22 1xf x e k x= + − ( )0 + ∞， k
( ]1e−∞ +，
( )f x ( ) ( )2 2 1′ = + −xf x e k x
( ) ( )2 2 1 0′ = + − ≥xf x e k x ( )0 + ∞， 1− ≤
xek x
( )0 + ∞，， ，对其求导，用导数的方法求出其最小值，即可得出结果.
【详解】由 得 ，
又函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
由 得 ；由 得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
因此 ，所以 ，
故 ，即 .
故答案为
【点睛】本题主要考查由函数在给定区间上的单调性求参数的问题，熟记导数的方法求函数
的最值即可，属于常考题型.
16.已知平面向量 满足： ， ， ，则 的最
大值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】
先由题意，不妨令 ， ，以 方向为 轴， 方向为 轴，建立平面直角坐
标系，得到 ， ，设 ，根据题意，得到 ，
即点 在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，再由 表示
点 与定点 之间的距离，根据点与圆位置关系，即可求出结果.
( )
xeg x x
= 0x >
( ) ( ) 22 1xf x e k x= + − ( ) ( )2 2 1′ = + −xf x e k x
( ) ( ) 22 1xf x e k x= + − ( )0 + ∞，
( ) ( )2 2 1 0′ = + − ≥xf x e k x ( )0 + ∞，
1− ≤
xek x
( )0 + ∞，
( )
xeg x x
= 0x >
2 2
( 1)( )
x x xe x e e xg x x x
− −′ = =
( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< <
( )
xeg x x
= (0,1) (1, )+∞
min( ) (1)g x g e= = min( ) (1)≥ =g x g e
1− ≤k e 1≤ +k e
( ]1e−∞ +，
a b ， 2a b= = ⊥ a b
2 2
2 3 0− ⋅ + = b b c c 2a c+
= OA a OB b= OA x OB y
(2,0)=a (0,2)=b ( , )= = c OC x y 2 2( 3) 1x y+ − =
( , )C x y (0,3)N 1 2 22 ( 4)+ = + + a c x y
( , )C x y ( 4,0)M −【详解】因为 ， ，
不妨令 ， ，以 方向为 轴， 方向为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，
由 可得 ，即 ，
所以向量 所对应的点 在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，
又 表示点 与定点 之间的距离，
因此 .
故答案为 6
【点睛】本题主要考查求向量模的最值，利用建系的方法，根据向量数量积的运算法则，以
及向量模的几何意义即可求解，属于常考题型.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 成等比数列，且
．
（1）求 ；
（2）求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
2a b= = ⊥ a b
= OA a OB b= OA x OB y
(2,0)=a (0,2)=b ( , )= = c OC x y
2 2
2 3 0− ⋅ + = b b c c 2 28 6 0− + + =y x y 2 2( 3) 1x y+ − =
c ( , )C x y (0,3)N 1
2 22 ( 4)+ = + + a c x y ( , )C x y ( 4,0)M −
max 1 16 9 1 6= + = + + =CM MN
{ }na n 2 4 7nS a a a， ， ，
5 50S =
na
1
1
n na a +
n
2 4na n= + ( )12 3
n
n +（1）先设等差数列的公差为 ，根据题意，求出首项与公差，即可得出通项；
（2）由（1）的结果，得到 ，根据裂项相消法，即可求出结果.
【详解】（1）先设等差数列的公差为 ，
由题知 ，
而 ，故 ，
由 ，
∴ ，∴ ；
（2）由（1）可得： ，
∴前 项和为
.
【点睛】本题主要考查求等差数列的通项，以及求数列的和，熟记数列的通项公式以及裂项
相消法求数列的和即可，属于常考题型.
18.在 中， 为 边上的中点．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 题 意 ， 得 到 ， 由 三 角 形 面 积 公 式 ， 得 到
，进而可求出结果；
（2）先由 ，得到 ，求出 ，
根据余弦定理，以及 ，列出等式，求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为在 中， 为 边上的中点，
d
( )( )1
1 1
2 4 2 6+
= + +n na a n n
d
( )( )2 2 2
4 2 7 4 4 4 42 3 6a a a a a d a d da d= ⇒ = − + ⇒ =
0d ≠ 4 6a d=
5 3 35 50 10S a a= = ⇒ =
12 6d a= =， 2 4na n= +
( )( )1
1 1 1 1 1
2 4 2 6 4 2 3n na a n n n n+
= = − + + + +
n 1 1 1 1 1 1 1
4 3 4 4 5 2 3n n
− + − + + − + +
( )
1 1 1
4 3 3 12 3
n
n n
= − = + +
ABC∆ 2 3AB AC D= =， ， BC
sin
sin
BAD
DAC
∠
∠
2BAD DAC∠ = ∠ AD
3
2
5
4
ABD ADCS S∆ ∆=
1 1sin sin2 2AB AD BAD AD AC DAC⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ∠
2BAD DAC∠ = ∠ 3cos 4
∠ =DAC 2 1cos 2cos 1 8BAD DAC∠ = ∠ − =
BD DC=
ABC∆ 2 3AB AC D= =， ， BC所以 ，即 ，
∴ ；
（2）由 得 ，
所以 ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
而 ，所以 ，
解得 .
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记三角形面积公式，以及余弦定理即可，属于常考题型.
19.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了 100
件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值．由检测结果得到如下频率
分布直方图．
分组 频数 频率
8
16 0.16
4 0.04
合计 100 1
ABD ADCS S∆ ∆= 1 1sin sin2 2AB AD BAD AD AC DAC⋅ ⋅ ∠ = ⋅ ⋅ ∠
sin 3
sin 2
BAD AC
DAC AB
∠ = =∠
2BAD DAC∠ = ∠ sin 2sin cos∠ = ∠ ∠BAD DAC DAC
3cos 4
∠ =DAC 2 1cos 2cos 1 8BAD DAC∠ = ∠ − =
ABC△ 2 2 14 2 2 8BD AD AD= + − ⋅ ⋅ ⋅
ADC∆ 2 2 39 2 3 4DC AD AD= + − ⋅ ⋅ ⋅
BD DC= 2 21 34 2 2 9 2 38 4
+ − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅AD AD AD AD
5
4AD =
[ )45,47
[ )47,49
[ ]49,51
( ]51 53，
( ]53 55，（1）求图中 的值；
（2）根据质量标准规定：零件重量小于 47 或大于 53 为不合格品，重量在区间 和
内为合格品，重量在区间 内为优质品．已知每件产品的检测费用为 5 元，每
件不合格品的回收处理费用为 20 元．以抽检样本重量的频率分布作为该零件重量的概率分
布．若这批零件共 件 ，现有两种销售方案：方案一：不再检测其他零
件，整批零件除对已检测到的不合格品进行回收处理，其余零件均按 150 元/件售出；方案二：
继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按 150 元/件售出，优
质品按 200 元/件售出．仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理
由．
【答案】（1） ；（2）当 时，选方案一；当 时，选方
案二．
【解析】
【分析】
（1）根据题中数据，得到 ，根据频率之和 ，进而可求出结果；
（2）根据题中条件，得到两种方案下的总收入，比较两收入的大小，即可得出结果.
【详解】（1）根据题中数据可得： ，
又频率之和为 ，
则 ；
（2）该工厂若选方案一：可收入 元；
若选方案二：一件产品的平均收入为 元，
为
a b，
[ )47 49，
( ]51 53， [ ]49 51，
m ( )*100m m N> ∈，
0.24, 0.04a b= = 1815m≥ 1814m≤
0.08 0.042b = = 1
0.08 0.042b = =
1
1 0.12 0.08 0.04 0.02 0.242a = − − − − =
( ) ( )12 150 5 100 12 20 150 2540m m− × − × − × = −
20 0.12 150 0.4 200 0.48 5 148.6− × + × + × − =故总收入 元；
，
故当 时，选方案一；
当 时，选方案二．
【点睛】本题主要考查补全频率分布直方图，以及由频率分布直方图解决实际问题，熟记频
率的性质即可，属于常考题型.
20.已知函数 存在极值点．
（1）求 的取值范围；
（2）设 的极值点为 ，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先由题意确定函数定义域，再对函数求导，当 得到函数单调，无极值点；当
时，设 ，分别讨论 和 两种情况，根据二次函数的性质，即
可得出结果；
（2）先由（1）得 ，推出 ，根据 ，得到
，令 ，根据函数 单调性，确定
的范围，即可求出结果.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，即函数 单调递减，无极值点；
当 时，由 或 ，
设 ，则
当 时， 的两根一个小于 1、一个大于 1，故 有一个极值点；
148.6m
2150 2540 148.6 1814 7m m m− > ⇒ >
1815m≥
1814m≤
( ) ( ) ( )2 ln 1 1f x ax x a R= − − + ∈
a
( )f x 0x ( )0 0f x x< a
0a > 10 4a< <
0a = 0a ≠
( ) 22 2 1h x ax ax= − − 0a > 2a < −
2
0 02 2 1 0− − =ax ax ( )0 0
1
2 1a x x
= − ( )0 0f x x<
( ) ( )0 0
0
1 11 ln 12 1 2
− − + − >−x xx
( ) 1 ln2g x x xx
= − + ( )g x 0x
( )f x ( )1 +∞， ( ) 21 2 2 12 1 1
ax axf ax xx x
′ − −= − =− −
0a = ( ) 0f x′ < ( )f x
0a ≠ 0 0a∆ > ⇒ > 2a < −
( ) 22 2 1h x ax ax= − − ( )1 1 0h = − <
0a > ( ) 0h x = ( )f x当 时，由对称轴为 ，知 的两根均小于 1，故 无极值点；
综上所述， ；
（2）由（1）知 且 ，∴ ，
，
，
令 ，显然 在 上单增，
又 ，∴ 即 ，
∴ ，
∴
【点睛】本题主要考查根据函数有极值点求参数，以及由不等式恒成立求参数的问题，通常
需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性与极值即可，属于常考题型.
21.已知椭圆 的左右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在椭
圆 上，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 直线与椭圆 交于 两点，点 在直线 上，求
的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
.
的
2a < − 1
2x = ( ) 0h x = ( )f x
0a >
0a > 2
0 02 2 1 0− − =ax ax ( )0 0
1
2 1a x x
= −
( ) ( ) ( ) ( )2
2 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0
ln 1 1 ln 1 12 1
xf x x ax x x x xx x
< ⇔ − − + < ⇔ − − + −
( ) 1 ln2g x x xx
= − + ( )g x ( )0 + ∞，
( ) 11 2g = 0 1 1x − > 0 2x >
( )0 0
1 1
2 1 4a x x
= > 1 2F F， 3
2
D
C 1 2DF F∆ 4+2 3
C
( )1 0， C A B， P 4x =
2 2 2PA PB AB+ +
2
2 14
x y+ = 45
2（1）根据题意，得到 ，求出 ，得到 ，进而可求出椭圆方程；
（2）当斜率为 时，得到 ，易求出结果；当直线不斜率为 时，
设 ，设直线方程为 ，联立直线与椭圆方程，
根据韦达定理，以及弦长公式等，得到
，再令 ， ，将原式化为 ，根据二次函数性质，即
可求出结果.
【详解】（1）由题意可得： ，
解得： ，所以 ；
故椭圆方程为： ；
（2）①当直线斜率为 时，
则
②当直线不斜率为 时：设 ，设直线方程为 ，
联立方程 ，得 ， ，
， ，所以
3
2
2 2 4 2 3
c
a
a c
=
+ = +
,a c b
0 ( ) ( ) ( )2 0 2 0 4 0A B P− ， ， ， ， ， 0
( ) ( ) ( )1 1 2 2 04A x y B x y P y， ， ， ， ， 1x my= +
( ) ( )
4 2 4 2
2
0 0 2 2
2 2
2 2 2
2 4 38 146 72 38 130 722 18 184 4 4
+ + + + + +== + + + ++ + +
m m m m my ymPA PB AB
m m
2 4= +t m 1=u t
( ) 2160 174 56= − +h u uu
3
2
2 2 4 2 3
c
a
a c
=
+ = +
2
3
a
c
= =
2 2 2 1b a c= − =
2
2 14
x y+ =
0 ( ) ( ) ( )2 0 2 0 4 0A B P− ， ， ， ， ，
2 2 26 2 4 56PA PB AB PA PB AB= = = ⇒ + + =， ，
0 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 04A x y B x y P y， ， ， ， ， 1x my= +
2 2
1
4 4
x my
x y
= +
+ =
( )2 24 2 3 0m y my+ + − = ( )216 3 0m∆ = + >
1 2 2
2
4
my y m
+ = − + 1 2 2
3
4y y m
= − +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 2 0 2 1 2 1 2(4 ) ( ) (4 ) ( ) ( ) ( )+ + = − + − + − + − + − + −PA PB AB x y y x y y x x y y
2 2 2 2 2 2
1 0 1 2 0 2 1 2 1 2(3 ) ( ) (3 ) ( ) ( ) ( )= − + − + − + − + − + −my y y my y y my my y y
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 0 0 1 2 1 218 6 ( ) (1 )( ) 2 2 ( ) (1 )( )= − + + + + + − + + + −m y y m y y y y y y m y y令 ，则 式 ，
又令 ，则 ，记为 ，
其对称轴 ，开口向上，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ．
【点睛】本题主要考查求椭圆标准方程，以及直线与椭圆位置关系的应用，熟记椭圆标准方
程的求法，椭圆的简单性质，以及弦长公式等即可，属于常考题型，计算量较大.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）判断直线 与曲线 的公共点的个数，并说明理由；
（2）设直线 与曲线 交于不同的两点 ，点 ，若 ，求
的值．
【答案】（1）两个，理由见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线 的直角坐
标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果；
( ) ( ) ( )4 2 4 2
2
0 0 2 22 2 2
4 38 146 72 38 130 722 18 18 *4 4 4
+ + + += + + + ++ + +
m m m m my ym m m
2 24 4 4t m m t= + ⇒ = −
( )*
2
2
38 174 160 18t t
t
− += +
1 10 4u t
= ∈ ， ( ) 2* 160 174 56u u= − + ( ) 2160 174 56= − +h u uu
1
4u >
( ) 2160 174 56= − +h u uu 10 4
， ∈ u
( )min
1 45
4 2h u h = =
xOy l
1 cos
1 sin
x t x
y t x
= +
= − + t 0 α π< <
O x C
( )1 2cos2 8cosρ θ θ− =
l C
l C A B， ( )1 1P −， 1 1 4
3PA PB
− = tanα
4
3
C C（2）先由（1）设方程 的两根为 ，得到
， ，再由 ，得到
，求解即可得出结果.
【详解】（1）由 得 ，所以 ，
即 ，
将直线 参数方程代入 ，得 ，
即 ，
由 知 ， ，
故直线 与曲线 有两个公共点；
（2）由（1）可设方程 的两根为 ，
则 ， ，
故 ，
∴ ，即 ，
∴ .
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲
线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属
于常考题型.
选修 4-5：不等式选讲
23.已知实数 满足 ， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
的
( )2 2sin 2sin 4cos 3 0t tα α α⋅ − + ⋅ − = 1 2t t，
1 2 2
2sin 4cos
sin
α α
α
++ =t t 1 2 2
3 0sin α
−⋅ = ( )2 22sin 4cos 12sin 0α α α∆ = + + >
l C
( )2 2sin 2sin 4cos 3 0t tα α α⋅ − + ⋅ − = 1 2t t，
1 2 2
2sin 4cos
sin
α α
α
++ =t t 1 2 2
3 0sin α
−⋅ = ( )( )ap bq aq bp pq+ + ≥【解析】
【分析】
（1）根据绝对值不等式的性质，得到 ，再由题
中条件，根据不等式的性质，即可得出结论成立；
（2）根据题意，由分析法逐步递推，得到显而易见的结论即可.
【详解】（1）由绝对值不等式的性质可得： ，
又 ， ，
故 ；
（2）因为 ，
要证 ，
即证 ，
即证 ，
又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
所以即证 成立，
即证 成立，
由（1）知 显然成立，
因此，
【点睛】本题主要考查不等式的证明，熟记含绝对值不等式的性质，基本不等式，以及不等
式的证明方法即可，属于常考题型．
( )3 3 2a b a b a b a b a b+ − − + − − = +≤
( )3 3 2a b a b a b a b a b+ − − + − − = +≤
3 3a b+ ≥ 1a b− ≤
1a b+ ≥
0pq >
( )( )ap bq aq bp pq+ + ≥
1
+ + ≥
bq bpa ap q
2 2 1
+ + + ≥
q pa b ab p q
2q p
p q
+ 1= =q p
p q 1= = ±p q
2 2 2 1+ + ≥a b ab
( )2 1+a b
( )2 1+a b
( )( )ap bq aq bp pq+ + ≥
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