重庆 2020 级高三第三次教学质量检测考试
数学（文科）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合 A，进而求补集即可.
【详解】∵ ，又 ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查补集的概念及运算，考查计算能力，属于基础题.
2.已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A. 48 B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用除法运算化简复数，结合纯虚数概念，得到结果．
{1,2,3,4,5}U = { }2| 3 0A x x x= ∈ − ( ) 3f m = ( )f m− =
( ) ( ) 2f x f x+ − =
3( ) sin 1,f x a x bx= + +
( ) ( ) 2f x f x+ − =
( ) ( ) 2f m f m+ − = ( ) 3f m =
( ) 1f m− = −
2m 2 0mx y m− − + =【详解】直线 可化为： ，
直线 过定点 ，如图所示：
∴“ ”是直线 不过第二象限的充要条件，
故选：A
【点睛】本题考查充分性与必要性，考查数形结合思想，属于基础题.
5.正方体 ， ， 分别为 , 中点，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先找到异面直线的夹角的平面角，然后利用勾股定理及余弦定理求出相应的值．
【详解】正方体 ， ， 分别为 , 中点，
取 的中点为 ，连接 、 ，
易知： ∥ ，
∴ 为异面直线 与 所成角，
设 ，则 ，
∴cos∠FD1N ．
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 ，
故选：D
2 0mx y m− − + = ( )2 1y m x− = −
( )2 1y m x− = − ( )1,2
2m 2 0mx y m− − + =
1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC CD 1C E 1D F
3
2
3
5
1
2
4
5
1 1 1 1ABCD A B C D− E F BC CD
AD N 1D N FN
1D N 1C E
1FD N∠ 1C E 1D F
2BC = 1 1 5,D N D F= = 2FN =
5 5 2 4
52 5 5
+ −= =
⋅ ⋅
1C E 1D F 4
5【点睛】本题考查的知识点：异面直线的夹角，勾股定理的应用，余弦定理的应用，考查学
生的计算能力，属于中档题．
6.明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下问题“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，
次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意思是将 996 斤绵
分给八个人，从第二个人开始，每个人分得的绵都比前一个人多 17 斤，则第八个人分得绵的
斤数为（ ）
A. 150 B. 167 C. 184 D. 201
【答案】C
【解析】
【分析】
设第一个孩子分配到 a1 斤锦，利用等差数列前 n 项和公式得： 7＝996，从
而得到 a1＝65，由此能求出第八个孩子分得斤数．
【详解】解：设第一个孩子分配到 a1 斤锦，
则由题意得： 7＝996，
解得 a1＝65，
∴第八个孩子分得斤数为 a8＝65+7×17＝184．
故选：C．
【点睛】本题考查等差数列的第八项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列
的性质的合理运用．
7.设实数 ， 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
8 1
8 78 12S a
×= + ×
8 1
8 78 12S a
×= + ×
a b 0 1a b< < <
ab a b> + 1ab a b+ < + ba ab> b aa b>利用反例法与指数函数的图象与性质即可作出判断.
【详解】根据题意可设
对于 A， 不成立；
对于 B， 不成立；
对于 D， ，不成立；
而对于 C， 成立，
故选：C
【点睛】本题考查不等式 性质和运用，考查反例法和指数函数的性质，考查运算能力和推
理能力，属于基础题．
8.若直线 与 相切，则实数 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设切点为： 求出 在此点处的切线方程 ，对比
，即可得到结果.
【详解】设切点为： ，
∴ 在此点处的切线方程为：
，即
∴ ，解得 ，
故选：B
的
1 1, ,4 2a b= =
1 ,8ab = 3 ,4a b+ =
91 ,8ab + = 3 ,4a b+ =
12 ,ba −= 1
42ab
−=
1 ,ba a ab> >
1y kx= + 1y x x
= + k =
3
4
1
2
3
2
0 0
0
1, ,x x x
+
1y x x
= +
0 0
2
211 xy x x
= +
−
1y kx= +
0 0
0
1, ,x x x
+
2
1y 1 x
′ = −
1y x x
= +
( )0
0
20
0
111y x xx xx
− + = −
−
0 0
2
211 xy x x
= +
−
2
0
0
11
21
k x
x
= −
= 0
3
4
2
k
x
=
=【点睛】本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，
解题的关键是正确理解导数的几何意义．
9.已知点 是区域 内任意一点，且 仅在 处取得最大值，则
的范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用图象判断，求出目标函数的最大
值．
【详解】解：画出 可行域如图所示，
其中 A（ ， ），B（3，1），C（1，3），
若目标函数 z＝ax+y 仅在点（ ， ）取得最大值，
由图知，直线 z＝ax+y 的斜率小于直线 x+y＝4 的斜率，
即﹣a＜﹣1，
解得 a∈（1，+∞）．
故选：B．
( , )x y
4
2 1
1
x y
x y
x
+ ≤
− ≤
≥
z ax y= + ( )3,1 a
( , 1)−∞ − (1, )+∞
[1, )+∞ 1, (1, )2
−∞ − ∪ +∞
4
2 1
1
x y
x y
x
+ ≤
− ≤
≥
1 0
3 1【点睛】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：借助于平面区域特性，用几何方法
处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．
10.抛物线 与过点 的直线交于 ， ，若存在横坐标为 2 的点 满足
，则 的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线 的方程为： ，代入抛物线方程可得： ，
，又有 可得 ，从而可得：
，方程有解可得结果.
【详解】设直线 的方程为： ，
代入抛物线方程可得： ，
设 A（ ， ）、B（ ， ），
∴
由 可得： ，
联立方程： ，可得 ，
又 ，
∴ ，
此时 即 ，
∴ ，即 ，
2 4y x= ( )0P t， A B Q
2AQ QB= t
2 2 3 22
AB x my t= + ( )2 2 24 2 0x m t x t− + + =
2 2
1 2 1 24 2 ,x x m t x x t+ = + = 2AQ QB=
1 22 6x x+ =
( ) 2
4 9 36 368 8 18 04
t tm t m
− ++ − + =
AB x my t= +
( )2 2 24 2 0x m t x t− + + =
1x 1y 2x 2y
2 2
1 2 1 24 2 ,x x m t x x t+ = + =
2AQ QB=
1 22 6x x+ =
2
1 2
1 2
4 2
2 6
x x m t
x x
+ = +
+ =
2
1
2
2
8 4 6
6 4 2
x m t
x m t
= + −
= − −
2
1 2x x t=
( ) 2
4 9 36 368 8 18 04
t tm t m
− ++ − + =
0,∆ ≥ ( ) 2
2 9 36 368 18 4 8 04
t tt
− +∆ = − − × × ≥
28 36 0t− + ≥ 3 22t ≤∴ 的最大值为 ，
故选：D
【点睛】本题考查直线与抛物线 位置关系，考查韦达定理，考查转化能力与计算能力，属
于中档题.
11.由 排成的数表如下：
数表中每一行均构成等差数列，各行的首项构成公比为 2 的等比数列；且第 行的末项恰为前
行的首项的和（例如 ）.若有 ，则 的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 题 意 可 得 ： ， 从 而 可 得
，即 ，又 ，所以 ，即可得到 的前 项和.
【详解】由题意可得：
第 行： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
又 ，∴
又
∴
的
t 3 22
{ }na
1
2 3
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
a
a a
a a a a
a a a a a a a a
n
n 3 1 2a a a= + 40 80a = { }na n
2n n− 2n n+ 2n 12 2n+ −
11 22 1 2 ,i ia a a a −−
= + + + ( )1
1
2 1 2 2 1i i
ia a d−
−
−
− = −
( ) ( )1 1
12 1 2 1i ia d− −− = − 1a d= 40 80a = 1 2a = { }na n
11 22 1 2 ,i ia a a a −−
= + + +
i ( )1
1
2 1 2 2 1i i
ia a d−
−
−
− = −
( )2
1
1 2 2 2 1i
ia a a d−
−+ + + = −
( ) ( )1 1
12 1 2 1i ia d− −− = −
1a d=
40 80a = 4032 8 64,a a d− ==
5
32 1 2 ,a a ⋅=
1 2a =∴数表{ }： 2，
4，6
8，10，12，14
即
故 的前 项和为 ，
故选：B
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻
找规律．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
12.数列满足 满足 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累加法及裂项相消法，即可得到结果.
【详解】∵
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查通项公式的求法，涉及累加法、裂项相消法，考查学生转化能力与计算能
力，属于常考题型.
13. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为________.
na
2 ,na n=
{ }na n 2n n+
{ }na 1
1
( 1)n na a n n+ = + + 1 1a = 10a =
19
10
1
1 1 1 ,( 1) 1n n na a an n n n+
= + = + − + +
10 9
1 1 ,9 10a a = + − 9 8
1 1 , ,8 9a a = + − 2 1
11 ,2a a = + −
10
1 1 1 1 11 19 10 8 9 2a = − + − + + − +
1 192 10 10
= − =
19
10
x y 2x y xy+ = xy【答案】8
【解析】
【分析】
利用 ，即可得到 的取值范围.
【详解】∵正实数 ， 满足 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 8，
故答案为：8
【点睛】本题考查均值不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，考查变形能力与计算能
力，属于常考题型.
14.已知函数 在 处取得最大值，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，代入 即可得到结果．
【详解】∵函数 处取得最大值，
∴
即 ，
∴
在
2 2 2xy x y xy= + ≥ xy
x y 2x y xy+ =
2 2 2xy x y xy= + ≥ 2x y=
2 2xy ≥
8xy ≥
xy
( ) sin ( 0)3f x x
πω ω = + > x θ= (2 ) (4 )f fθ θ− =
3
2
2 ,3 2k k Z
π πω πθ + = + ∈ (2 ) (4 )f fθ θ−
( ) sin ( 0)3f x x
πω ω = + > x θ=
2 ,3 2k k Z
π πω πθ + = + ∈
2 ,6k k Z
πω πθ = + ∈
(2 ) (4 ) sin 2 sin 43 3f f
π πθ θ ωθ ωθ − = + − + ，
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数的性质与三角恒等变换，考查学生的运算能力，属于基础题．
15.已知非零平面向量 ， ， 满足 ， ，且 ，则 的最大
值为________.
【答案】1
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，根据题意可设： ，
可得 ，而 ，利用均值不等式即可得到结果．
【详解】建立平面直角坐标系，根据题意可设： ，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，即 的最大值为 1，
故答案 ：1
【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查数量积的坐标运算，均值不等式，考查转化
能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
为
( )2 3 3sin 4 sin 8 03 2 2k k
ππ π π + − + = −= =
3
2
a b c 0a b⋅ = a c b c⋅ = ⋅ | | 2a b− = a c
c
⋅
( ),0 ,a m= ( )0, ,b n m= 、n>0, ( ),c x y=
2 2
0
4
mx ny
m n
− =
+ =
a c
c
⋅
2 2
1
1 1
m n
=
+
( ),0 ,a m= ( )0, ,b n m= 、n>0, ( ),c x y=
2 2
0
4
mx ny
m n
− =
+ =
2 2 2
2 2
2 22
1
1 1
mx mx
x y mx x m nn
a c
c
= = =
+
⋅
+ +
( ) ( )2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 12 2 2 1 14 4 4
n mm nm n m n m n
+ = + + = + + ≥ + =
2 2
1 1
1 1
m n
≤
+
a c
c
⋅
16.已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，
，且 .
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 的面积
【答案】（1） 或 （2）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 ，结合正弦定理可得 ，从而
得到结果；
（2）由于 ，所以 ，结合余弦定理可得 ，利用面积公式可得答案．
【详解】（1）因为 ，则
从而 ，
（2）由于 ，所以 ，又余弦定理： ，解得 ，
所以面积为
【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，由三角函数值班求角，正余弦定理，三角形
的面积公式等知识的综合运用．
17.已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ， ， 成等比数列，且 .
（1）求 ；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题意列出基本量的方程组，即可得到通项公式；
ABC△ A B C a b c (2 ,1)m a=
( cos cos ,sin cos )n b A a B C B= − − m n ∥
A
4b = 2a = ABC△
6A
π= 5
6
π
2 3
cos cos 2 (sin cos )b A a B a C B− = − 1sin 2A =
a b<
6A
π= =2 3c
m n ∥ cos cos 2 (sin cos )b A a B a C B− = −
sin cos 2sin sin sin cosB A A C A B= −
sin( ) 2sin sinA B A C+ = 1sin 2A = 5
6 6A
π π= 或
a b<
6A
π= 2 24 4 3cos 2 4 2
cA c
+ −= =⋅ ⋅ =2 3c
1 2 3 4 sin 2 32 6
π⋅ ⋅ ⋅ =
{ }na n nS 1a 2a 5a 4 16S =
na
{ }nb 31 2
2 4 8 2
n
n
b bb b n+ + +…+ = { }n na b⋅ n nT
2 1na n= − 1(2 3) 2 6n
nT n += − ⋅ +（2）利用 可得 ，结合错位相减法可得结果．
【详解】（1） 解得 ，而 ，
所以 ， ，
（2）由于 ，则 .
相减得 ，又有 ，从而 .则 ，
，
相减得：
得
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查采用错位相减法求数列的前 n 项和，解题时
要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用，属于中档题．
18.某工厂生产一批零件，为了解这批零件的质量状况，检验员从这批产品中随机抽取了 100
件作为样本进行检测，将它们的重量（单位：g）作为质量指标值，由检测结果得到如下频率
分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
8
16 0.16
4 0.04
合计 100 1
31 2
2 4 8 2
n
n
b bb b n+ + +…+ = 2n
nb =
( ) ( )22
1 5 2 1 1 1, 4a a a a a d a d⋅ = ⋅ + = + 12d a= 4 1 1
4 34 162S a d a
×= + =
1 1a = 2d = 2 1na n= −
31 2
2 4 8 2
n
n
b bb b n+ + + + = 3 11 2
1 1( 2)2 4 8 2
n
n
b bb b n n−
−+ + + + = −
1( 2)2
n
n
b n= 1 2b = 2n
nb = 1 2 31 2 3 2 5 2 (2 1) 2n
nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅
2 3 12 1 2 3 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n
nT n n += ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + − ⋅
( )1 2 3 1 11 2 2 2 2 2 (2 1) 2 6 (2 3) 2n n n
nT n n+ +− = ⋅ + ⋅ + + + − − ⋅ = − − − ⋅
1(2 3) 2 6n
nT n += − ⋅ +
[45,47)
[47,49)
[49,51)
(51,53]
(53,55]（1）求图中 ， 的值；
（2）根据质量标准规定：零件重量小于 47 或大于 53 为不合格品，重量在区间 和
内为合格品，重量在区间 内为优质品.已知每件产品的检测费用为 5 元，每件
不合格品的回收处理费用为 20 元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.
若这批零件共 400 件，现有两种销售方案：
方案一：对剩余零件不再进行检测，回收处理这 100 件样本中的不合格品，余下所有零件均
按 150 元/件售出；
方案二：继续对剩余零件的重量进行逐一检测，回收处理所有不合格品，合格品按 150 元/件
售出，优质品按 200 元/件售出.
仅从获得利润大的角度考虑，该生产商应选择哪种方案？请说明理由.
【答案】（1） ， （2）选方案二，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图先求出 b，由此列方程能求出 a；
（2）分别计算方案一与方案二的收入的均值，比较即可得出答案.
【详解】（1）由题知 ， .
（2）该工厂若选方案一：可收入 元
若选方案二：收入为 元，
利润方案二比方案一高 1980 元，所以，选方案二.
【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了决策性问题，考查学生分析问题解决问题的能
力，属于中档题.
a b
[47,49)
(51,53] [49,51)
0.04b = 0.24a =
0.08 0.042b = = 1 0.12 0.08 0.04 0.02 0.242a = − − − − =
(400 12) 150 5 100 12 20 57460− × − × − × =
400 (0.4 150 0.48 200 5 0.12 20) 59440× × + × − − × =19.已知离心率为 的椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为椭
圆上异于长轴顶点的动点.当 轴时， 面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） 的内角平分线交 轴于 ，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，求出椭圆的几何量，然后求解椭圆 C 的方程；
（2）设 ，则直线 ： ； ： ,利用点
到直线的距离，建立等量关系，从而得到 ，表示目标即可.
【详解】（1） ， ， ，解得 ， ， ，所以方程
为 .
（2）设 ，则直线 ： ； ：
设 ，由于是角平分线， ， ，
从而 ，由于 ， ，则
.
化简得 ；则 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算
能力．
20.已知函数 .
1
2 C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1F 2F P
2PF x⊥ 1 2PF F△ 3
2
C
1 2F PF∠ x Q OP OQ⋅
2 2
14 3
x y+ = [0,1)
( )0 0,P x y 1PF ( )0 0 01y x xy y+ = + 2PF ( )0 0 01y x xy y− = −
0
1
4t x=
21 322 2
bc a
⋅ ⋅ = 2a c= 3b c= 1c = 2a = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
( )0 0,P x y 1PF ( )0 0 01y x xy y+ = + 2PF ( )0 0 01y x xy y− = −
( ,0)Q t ( ) ( )
0 0
2 22 2
0 0 0 0
( 1) ( 1)
1 1
t y t y
x y x y
+ −=
+ + − +
2
2 0
0 3 1 4
xy
= −
( ) ( )2 2
0 0
1 1
1 14 44 4
t t
x x
+ −=
+ − ( 1,1)t ∈ − 0 ( 2,2)x ∈ −
( ) ( )0 0
1 1( 1) 4 (1 ) 42 2t x t x+ ⋅ − = − ⋅ +
0
1
4t x= 2
0
1 [0,1)4OP OQ x⋅ = ∈
2 21 1 3( ) ln2 2 2f x x ax x x ax = − − + （1）讨论函数 的极值点；
（2）若 极大值大于 1，求 的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论明确函数的单调性，从而得到函数
的极值点；
（2）由（1）， 和 时，无极大值，不成立；当 时，当 时分别利
用 极大值大于 1，建立不等关系即可.
【详解】
（1） 时， 在 单减， 单增，极小值点为 ；
时， 在 单增， 单减， 单增，极小值点为 ，极
大值点为 ；
时， 在 单增，无极值点；
时， 在 单增， 单减， 单增，极小值点为 ，极大值点
为 .
（2）由（1）， 和 时，无极大值，不成立
当 时，极大值 ，解得 ，
由于 ，所以 .
当 时，极大值 ，得 ，令 ，则
， 在 取得极大值 ，且 .
( )f x
( )f x a
(1, ) ( , )ea e∈ ∪ +∞
1( ) ( ) ln 2f x x a x = − −
′ ( )f x
0a ≤ a e= a e> 0 a e< <
( )f x
1 3 1( ) ( )ln ( ) ln2 2 2f x x a x x a x a x a x = − + − − + = − −
′
0a ≤ ( )f x (0, )e ( , )e +∞ x e=
0 a e< < ( )f x (0, )a ( , )a e ( , )e +∞ x e=
x a=
a e= ( )f x (0, )+∞
a e> ( )f x (0, )e ( , )e a ( , )a +∞ x a=
x e=
0a ≤ a e=
a e> ( ) 14
ee ef a= − > 1
4a e
e
> +
1 1 3 1 31 04 4 4
e e ee
e e e
+ − = − = −
0 a e< < 21( ) (2 ln ) 12f a a a= − > 2
22 ln a a
− > 2t a=
1 2( ) 2 ln2g t t t
= − −
2 2
1 2 4( ) 2 2
tg t t t t
′ −= − + = ( )g t 4t = (4) 0g > (1) 0g =而 ， ,而 在 单增，所以 解为 ，则 .
综上 .
【点睛】本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推
理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合
思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现
综合性、应用性与创新性．
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
21.在极坐标系中，圆 的极坐标方程为 ，以极点 为原点，极轴为 轴
正半轴建立直角坐标系 ，过圆 的圆心 作倾斜角 的直线 .
（1）写出圆 的普通方程和直线 的参数方程；
（2）直线 分别与 ， 轴交于 ， ，求 最大值和 面积的最小值.
【答案】（1）圆 的普通方程为 ，圆心为 ， （ 为参
数）（2） 无最大值，面积最小为
【解析】
【分析】
（1）由题意圆 的普通方程和直线 的参数方程；
（2）分别令 ， 得 ， ，表示 与 面积，
借助三角知识与重要不等式即可得到结果.
【详解】（1）圆 的普通方程为 ，圆心为
直线 的参数方程为
（2）分别令 ， 得 ， ， ，
a e< t e< ( )g t (1, )e ( ) 0g t > (1, )e (1, )a e∈
(1, ) ( , )ea e∈ ∪ +∞
C 4cos 2sinρ θ θ= + O x
xOy C C ,2
πα α π ∈ l
C l
l x y A B | | | |CA CB⋅ ABO
C 2 2 4 2x y x y+ = + ( )2,1 2 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= +
= + t
| | | |CA CB⋅ 4
C l
0x = 0y = 1
2
cost α= − 2
1
sint α= − | | | |CA CB⋅ ABO
C 2 2 4 2x y x y+ = + ( )2,1
l ( )2 cos
1 sin
x t ty t
α
α
= +
= +
为参数
0x = 0y = 1
2
cost α= − 2
1
sint α= − 1 2
4
sin 2CA CB t t α⋅ = =当 最小时取最大，由于 ， .所以，无最大值.
时， ， 时 ，
则 面积为
，
时取等号.
【点睛】本题考查圆的普通方程，直线的参数方程的求法，考查代数式的最大值的求法，考
查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想，是中档题．
22. .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）设（1）中 最小值为 ，若 , ，求证： .
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法解含有绝对值的不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式，证明不等式即可．
【详解】（1）
时， ， ，∴
时， ，∴
时，， ， ，∴
综上
（2） ， ，则 ，
所以：
的
| sin 2 |α ,2
πα π ∈ | sin 2 | (0,1]α ∈
0x = 11 siny t α= + =0y 22 cosx t α= +
ABO
1 2cos sin1 22 sin cos
α α
α α
− −
1 12 2 4 tan2 tan
αα
= + − +
1 (4 4) 42
+ =
tan 2α =-
( ) | | | 1 2 |f x x a x a= − + + −
(2) 2f a
a M | 2 |m n M+ | |m n M− | 2 1| 3m n+ +
71 3a
(2) | 2 | | 3 2 | 2f a a= − + −
3
2a 3 3a 1a
31 2a
3 22 a< < 3a ≤ 3 22 a< <
2a ≥ 3 3a
7
3a
72 3a
71 3a
| 2 | 1m n+ | | 1m n− | 2 | | 2 | | 2 | | | 2m n m n m n m n m n+ = + + − + + −
| 2 1| | 2 | 1 3m n m n+ + + + 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与证明，考查运算能力与转化能力，属于中档题．
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